高考数学 预测06 平面向量（解析版）

预测06平面向量

高考预测

概率预测☆☆☆☆☆

题型预测选择题☆☆☆☆填空题☆☆

2021年高考仍将重点考查：2021年高考仍将重点考查：

1、向量的线性运算及向量共线的充要条件。1、向量的线性运算及向量共线的充

2、单独或与平面图形等知识结合重点平面向要条件。

量数量积的定义、性质及应用平面向量数量积2、单独或与平面图形等知识结合重

考向预测计算夹角、模、垂直等问题。点平面向量数量积的定义、性质及应

用平面向量数量积计算夹角、模、垂

直等问题。

应试必备

1.平面向量是高考考查的重点、热点.往往以选择题或填空题的形式出现.常以平面图形为载体，考杳

线性运算、数最积、夹角、垂直的条件等问题；

2.同三角函数、解析几何、不等式等知识相结合，考查数形结合思想、函数方程思想以及分析问题

解次问题的能力.难度为中等或中等偏易.

9知识必备

1、向量共线定理

如果有一个实数九使b=，(〃W0),那么。与。是共线向量；反之，如果力与。(。工0)是共线向量,

那么有且只有一个实数九使力=〃.

2、平面向量基本定理

(1)平面向量基本定理的木质是运用向量加法的平行四边形法则，将向量进行分解.

向量的坐标表示的本质是向量的代数表示，其中坐标运算法则是运算的关键.

(2)平面向量共线的坐标表示

两向量平行的充要条件

若a=(xi,yi),b=(如W,则a〃方的充要条件是a=这与汨%一题乂=0在本质上是没有

差异的，只是形式上不同.

3、平面向量基本定理：若向量4,W为两个不共线的向量，那么对于平面上任意的一个向量，，均

存在唯一一对实数44，使得其中成为平面向量的一组基底。(简而言之,

不共线的两个向量可以表示所有向量)

4、向量数量积运算Z•分二£•Bcos。，其中。为向量[出的夹角

5、向品夹角的确定：向晨31；的夹角，指的是将3/的起点重合所成的角，2c[0,司

兀--

其中夕=0：同向8=兀：反向6>=-：aVb

2

6、数量枳运算法则：

(1)交换律：ab=ba

(2)系数结合律：20•可=(痛)％=7(4)(4£/?)

(3)分配律：(Q+〃)・C=4C+〃*C

7、平面向量数量积的重要性质

(1)e-a=a-e=|a|cos。；

(2)非零向量°,b,Mb0ab=O；

(3)当三与b同向时，a-b=\a\\b\；

当〃与b反向时，a'h=—\a\\b\,a-a=a2,|a|=，G5：

a,b

(4)cos好硒；

(5)|。到WkdlH

8、平面向量数量积有关性质的坐标表示

设向量。=(»,yi),b=gJ2)»则。6=Q：2+”y2,由此得到

(I)若。=(x,y),则⑷2=，-y2或|a|=，f+).

(2)设A(xi，a),B(X2,M，则4、B两点间的距离IAB|=|丽|=N(X2—中产+-yi)?.

(3)设两个斗F零向量a,b,a=(xi，y),b=(x2,竺)，贝U

,及法"'街

1、判断三点是否共线，先求由三点组成的任两个向量，然后再按两向量共线进行判定.

失误与防范

要区分点的坐标和向量的坐标，向量坐标中包含向量大小和方向两种信息；两个向量共线有方向相

同、相反两种情况.

若a=(为，R，b=(x-2,%),则a〃力的充要条件不能表示成士=上，因为电刑有可能等于0,所

X2yi

以应表示为刘％—X2M=0.

2、运用向量解决数量积的问题常用的方法有：1、基底法：2、向量法；

真题回顾

1、【2020年高考全国III卷理数】6.已知向量。，力满足I。1=5,|。|=6,ab=-6,贝ijcosq,。+力)二

【答案】D

【解析】•/1«=5,b=6,[i=一6，「•々•(4+5)=。+«-^=52-6=19.

a+B=J(o+B)=\!a^-la-b-^b=,25-2x6+36=7，

___a-(a+b\1919

因此，COS<4,。+〃>=^7^7：-4=----=—.

a-a+5x735

故选：D.

2、【2020年新高考全国I卷】已知尸是边长为2的正六边形A8COE/内的一点，则行•福的取值

范围是

A.(—2,6)B.(-6,2)

C.(-2,4)D.(-4,6)

【答案】A

【解析】如图,

PB

Ag的模为2,根据正六边形的特征,

可以得到府在4月方向上的投影的取值范围是(-1,3),

结合向量数量积的定义式，

可知AP-丽等于A月模与AP在南方向上的投影的乘枳，

所以而•而的取值范围是(—2,6),

故选：A.

3、【2019年高考全国I卷理数】已知非零向量用力满足|。|=2出|,且则。与力的夹

角为

71-兀

A.-B.一

63

一2兀一5兀

C.—D.—

36

【答案】B

【解析】因为(a-b)1b,所以(a-b)b=ab-b?=0,所以ab=b?，所以

cos。=鼻:=黑石=:，所以”与。的夹角为故选B

口卜回2\b\~23

4、【2019年高考全国H卷理数】已知丽=(2,3),近=(3,/),BC=1,则血.竟二

A.-3B.-2

C.2D.3

【答案】C

【解析】由阮=/一通=(1/-3),|BC|=V12+G-3)2=1,得1=3,则觉=(1,0),

AB・BC=(2,3)<l,0)=2xl+3x0=2.故选C.

5、【2018年高考全国I卷理数】在△A8C中，AO为8c逅上的中线，E为AO的中点，则丽=

A.—AB—ACB.—AB—AC

4444

3一1一1一3—

C.—ABH—ACD.—AB4—AC

4444

【答案】A

【解析】根据向量的运算法则，可得8巨=g84+g8Z5=gB4+；阮

=-1B―A.+-1B一A+-1A一C=-3B一A+-1A一C,所以一=23—<8---1A—C..

2444444

故选A.

6、【2020年高考全国I卷理数】设为单位向量，且10+"=1,则1。一“=.

【答案】73

【解析】因为。，力为单位向最，所以|。|=|臼=1

所以+臼=J(a+b)2=7l«|2+2«-W|2=J2+2〃I=1，

解得：2ab=-\,

所以一臼=JgbJ=血2-2°—+|圻=G，

故答案为：.

7、【2020年高考全国II卷理数】已知单位向量)。勺夹角为45°,左二_1与之垂直，则

k=.

【答案】立

2

T—

【解析】由题意可得：«/)=lxlxcos45^=—，

2

/->r、r

由向量垂直的充分必要条件可得：\^ka-b^a=0f

即：kxa-^/?=Zr--=0»解得：k=^-.

22

故答案为：旦.

2

8、【2020年高考天津】如图，在四边形A8CO中，ZB=60°MB=3,BC=6,且

____________3

而=/1阮，而•通二一一，则实数4的值为_________,若M,N是线段8C上的动点，且

2

IM/V|=1,则丽•丽的最小值为.

…,…113

【答案】（1）.—；（2）.—

62

【解析】・.・AZ5=；l8d，「.人"/①。，../胡。=180—/8=120，

ABAD=ABCAB=2|5C||AB|COS1200

=2x6x3x|——=—9Z=——,

解得V，

以点4为坐标原点，BC所在直线为x轴建立如下图所示的平面直角坐标系工四），，

MN

•・•BC=6,.*^（6,0）,

•・・MM=3,ZA8C=60。，・・・A的坐标为A

•・・又•・•布=一肥，则。,设M（x,0）,则N（x+l,0）（其中0Wx（5）,

所以，当x=2时，丽・丽取得最小值一.

2

113

故答案为：-；—.

62

一1一—

9、【2020年高考北京】已知正方形A8CO的边长为2,点P满足AP=-(A8+AC),则

2

1^1=；PBPD=________-

【答案石；-1

【解析】以点A为坐标原点，AB>A3所在直线分别为X、)'轴建立如下图所示的平面直角

坐标系，

则点4(0,0)、8(2,0)、。(2,2)、0(0,2),

而［(而+而)=；(2,0)+；(2,2)=(21)，

则点尸(2,1),.•.而=(-2,1),丽=(0,-1),

因此，西=J(-2)。/=5PfiPD=0x(-2)+1x(-1)=-1.

故答案为：>/5：-1.

10、【2020年高考浙江】已知平面单位向量勺，牝满足12.-牝区&♦设。=竹+62，b=3e1+e2,

向量。，b的夹角为。，贝」cos?8的最小值是-

■z,28

【答案】—

29

□U_U11

【解析】Q2e,-e2|<V2..\4-4e,-e2+1<2.

irir3

2用，

rruuiru

(a,bf(4+4,《了4(l+sc)

!

/.COS-0=12「2=----------«^-H=­---ifIF=证IT

a：6(2+2^-e2)(104-6^-e2)5+3^-e2

4242、28

=(1------tf-tF)>-(l------^)=29

35+3,•/35+3x-沙

4

故答案为：—••

29

11、【2019年高考全国HI卷理数】已知m8为单位向量，且〃功=0,若。=2«->/56，则

【答案】|

3

【解析】因为c=2a—小b,ab=0,

所以a•c=2/—\[5a-=2»

\c|2=4|a|2-4扇/+5|。|2=9,所以|c|二3,

ac22

所以cos〈a,c)=

|a|*|c|1x33,

12、【2019年高考天津卷理数】在四边形ABC。中，AD//BC,AB=2JIAD=5,ZA=30°,

点上在线段C8的延长线上，且AE-BE,则彷•而=.

【答案】-1

【解析】建立如图所示的直角坐标系，/DA/3=3O°,AB=25AO=5,则3(26,0),

盛1)

因为A3〃5C,N24。=30。，所以Z48E=30。,

因为石，所以N6AE=30",

所以直线BE的斜率为正，其方程为）,=立（］—26），

33

直线AE的斜率为一乎’其方程为y:一理x.

所以E(G,-1).

所以瓦5•瓶二（£,|）MJ5,-I）=-I.

13、【2019年高考江苏卷】如图，在A4BC中，。是8c的中点，E在边A3上，BE=2EA,A。与

CE交于点。.若相在6柘M贝唠的值是------------.

【答案】x/3.

【解析】如图，过点。作DFHCE,交AB于点F,由BE=2EA,D为BC的中点，知

BF=FE=EAAO=OD.

A

E

BDC

7

6A口EC=3A》AC：—=](A*+AC-

=斗而+蔗J*」而]二环AB.AC_LAB\AC2--AB.AC]

2、23J2(33)

2222

^[-^.^--AB^]=AB.AC--AB^AC=AB.ACf

2(33)22

得3A天=|AC：即|福卜眼，故m=6

14、【2019年高考浙江卷】已知正方形A8C。的边长为1,当每个4a=1，2,3,4,5,6）取遍±1时,

14通+为反+4②+儿丽+4抚+4,而I的最小值是：最大值是

【答案】0；2石.

【解析】以47,4）分别为A轴、尸轴建立平面直角坐标系，如图.

y

mi)

-4(oso)8(1。

则AA=(1,0),BC=(0,l),CD=(-l,0),DA=(0,-1),AC=(1,1),BD=(-1,1),

令

y=1^4-A,BC+CO+A.4DA4-A5/AC+fi£）|=J（4-4+4-儿）~+（4-4+4+4）~—（

0.

又因为4a=1,2,3,4,5,6）可取遍±1，

所以当4=4=4=4=4=1，4=-l时，有最小值Vmin=0,

因为（4—4+4）和（4一4+4）的取值不相关，4）=1或4二一1，

所以当（4—4+小）和（4一4+4）分别取得最大值时，y有最大值，

故答案为0；26.

名校预测

一、单选题

1、（2021.山东威海市.高三期末）已知向量满足。=l，M|=2,<a,B>=q,则。一日=（）

A.3B.7C.不D.V3

【答案】D

【解析】

:|。|=1,21=2,且<〃,B>=工，

3

一一——71

/.ci'b=abcos-=1,

3

*t\a-b\=\ja~-2ab+b=Jl-2+4=x/3.

故选：D.

2、（2020•河北邯郸市•高三期末）已知向量£=（乂2）石=（3,戈2）,若％_!.（£一力，贝ijx二（）

A.1或4B.I或-4C.-1或4D.-1或Y

【答案】B

【解析】

由题意，向量Z=（x,2）石=（3,/），可得:一%二卜一3,2-巧，

因为£_!.（£—〃），则Mx-3）+2（2-d）=o,解得X二1或4

故选：B.

3、（2020•湖北高三月考）已知向量满足忖一q二3,。+2q=6,|2|二&,贝()

A.旧B.&C.272D.2G

【答案】C

【解析】

a-b=3=>a-2a-bb=9,①

。+2q=6=a+4〃•6+4b=36,②

①x2+②,可得3a2+6江=54，解得）~=8,

所以|5|=2亚.

故选：C

4、（2020•湖北高三月考）已知向量满足=3,Z+2©=6,|«|=V2,则|5|二()

A.75B.V6C.2cD.2g

【答案】C

【解析】

将2-丐=3,tz+25|=6,两边同时平方，求出7万进而可求出结果.

【详解】

a-b=3^>a2-2a-b+b=9,①

a+2石=6=a+4G-B+4B=36,②

①x2+②，可得37+6片=54,解得//=8，

所以|B|=2V2.

故选：C

5、（2020•河南高三期末（文））如图，在等腰直角A48C中，D,E分别为斜边3c的三等分点（。

靠近点A）,过£作八。的垂线，垂足为尸，则人户=（）

A

2—1—

B.-AB+-AC

55

8—4—

D.—AB+—AC

1515

【答案】D

【解析】

设3c=6,则A3=AC=37^,3O=OE=EC=2,

Ini—„10+10-44

AD=AE=ABD2+BA2-2BDBAcos-=如，cosNDAE=-------=一,

V42x105

.AFAF4所以而=±而.

所以一=—=-

ADAE55

I1i

因为X力=A后+§33=A分+=-AB+-ACt

一4<2一1—、8一4

所以A/二—x-AB+-AC\=—AB+—AC.

5(33J1515

故选：D

6、（2021•江苏徐州市•高三期末）如图,AB是单位圆。的直径，点C，。是半圆弧AB上的两个

三等分点，则尼.而二（）

D.G

【答案】C

【解析】

B

连接OD,OC,则ZAOD=—,乙CAD=一，AC=1,

36

在八40。中，由余弦定理得：AD2=I2+12-2x1x1x(-i)=3,AD=V3.

2

所以ACAD=lx>/3xcos—=—.

62

故选：C

7、（2021•全国高三专题练习（理））已知向量血=（1,2）,/=（cos。,sin。），则△A3C面积的

最大值为()

A.BB.—C.好D.1

222

【答案】C

【解析】

,/AB=(1,2)»AC=(cossin0)

AB|=#+2?=V5,|AC|=Jcos?夕+si/e=1,

ABACy/525y

xcos9+—sin0=sin(^+cp),其中【ano=4，

8"二同悯一532

故sinA=cos(，+0),

-sinA=---cos(^0+(p)，

故当cos（J+e）=l时，即0+0=2攵凡时，S&ABC取最大值为

故选：C.

8、（202（）.山东济南市.高三月考）已知点P是边长为2的菱形ABCO内的一点（包含边界），.且

ZBAD=120°,而•丽的取值范围是（）

A.[-2,4]B.(-2,4)C.1-2,2JD.(一2,2)

【答案】A

【解析】

如图，建立平面直角坐标系,则A(0,0),3(2,0),C(L百),。(-1,有).

设尸(x,y),则-1W2,-AB=(x,y)•(2,0)=2xe[-2,4],

即而•而的取值范围是[-2,4]•

故选：A

9、(2021•江苏南通市.高三期天)如图，在梯形A3CO中，已知AB〃CO,AB上BD，〃为AO

的中点，MB上BC,AD=2BD=2,则而质=()

53

A.1B.-C.3D.-

22

【答案】B

【解析】

因为ABtBD，M为AO的中点，AD=2BD=2^

所以AB=7AD2-BD?=5=；AO=1,则为等边三角形,

所以=

3

又MB上BC，所以NC8/）=M，则NABC=三十三二一几,

6263

因为AB〃CD，AB±BDf所以CO_L47）,即/XBCO为直角三角形,

所以7C

cos—

6

因此

而•限=丽.回一的［而（沅—g丽一（

35

=ABBC+-AB--ABBD=->/3x-y[3xcos-^+

22335=5

故选：B.

10、（2021.江苏苏州市•高三期末）已知5c为等边三角形，A8=2,6c所在平面内的点P

满足|而一而一狗二1,|而|的最小值为（）

A.V3-IB.2^2-1C.2A/3-1D.V7-1

【答案】c

【解析】

•・•卜与+AC1=AB+AC+2ABAC=|网？+|AC1+2|ABj-|AC^cosy=12,

所以，,8+4。=2\/5,

由平面向量模的三角不等式可得

|羽=|（Q-通-/）+（而+北卜|福-丽-近卜|布+前卜26-1.

当且仅当衣-A月-/与丽+抚方向相反时，等号成立.

因此，网的最小值为26-1.

故选；C.

二、多选题

11、（2020.山东济南市•高三月考）已知向量2=（1,3）,万=（-2,1）忑=（3,-5）,则（）

A.(a+2b)//cB.(a+2b)lc

C.\a+c\=4io+434D.|2+?|=2|B|

【答案】AD

【解析】

由题意可得2+25=(-3,5),1+?=(4,-2).因为4+2〃=一^，所以(M+2^)〃二，则从正确，B

错误；

对于C,D,因为|万+4="2+(—2)2=26,5=J(—2)?+1=右,所以不+”2忖，则C错

误，。正确.

故选：AD.

12、(2021•山东青岛市•高三期末)已知向量2.万二],|£|=1，,一q=也，设2,万所成的角为。，

则()

A.|向=2B.al(b-a)C.allbD.夕=60"

【答案】ABD

【解析】

向量〃石=1，1〃1=1

由a-t\=\/3,可得7—52=£2+日2—2£3=3

即1+万2—2=3,解得B=2,所以A正确.

«-^=|tz|-|^|cos^=Ix2xcos6?=1,所以cos0=g

X(9G[0,180],所以6=60。,所以D正确,C不正确.

ci'(b—a)=crb—a=1—1=0,则a_L(B—。)，故B1E确.

故选：ABD

13、(2020届山东省九校高三上学期联考)己知A45c是边长为2的等边三角形，。，E分别是AC、

一___UllIUllllll

八3上的两点，且AE=EB，AD=2DC»33与C'“交于点O,则卜列说法止确的是()

A.ABCE=-\B.OE+OC=6

C.防+赤+网二日7

D.而在阮方向上的投影为二

6

【答案】BCD

【解析】

由题E为48中点，则CEJ_A5，

以E为原点,EA,FC分别为x轴，y轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示:

所以，E(0,0),A(1,0),5(T,0),C(0,G),吗，手)，

设0(0,y),y£(0,6),丽=。,y),前二(一；,y-手)，而〃丽，

所以)，-宜l=-_Ly,解得：)，=正，

-332

即。是CE中点，OE-^OC=0>所以选项B正确;

^+0B+0C\=\20E+0C\=\0E\=^-r所以选项C正确;

因为CE_LA8,AB.CE=0,所以选项A错误;

~ED=，而=(1,®

而在阮方向.上的投影为EDjBC=311=2,所以选项D正确.

BC|26

故选：BCD

14、(2020届山东省泰安市高三上期末)如图，在四边形ABCZ)中，4B〃CD,A8_L4Z),AB=24r>=2QC,

E为BC边上一点、,且Bd=3E。，/为人后的中点，则()

c

A.BC=--AB+AD

2

B.Ab=-AB+-AD

33

C.BF=--AB+-AD

33

D.CF=-AB--AI5

63

【答案】ABC

【解析】

,/ABaCD,AB_LAD,AB=2AD=2DCt

由向量加法的三角形法则得

阮二丽+而+反=一八月+而+g丽=一34月+A力,A对；

___9___1___2__.

^BC=3EC^：.BE=-BC=--AB+-AD,

JJJ

__(i2、99

・♦・荏二丽+丽二丽+AB^-AD\=-AB+-Ab.

\JJ，33

又产为4E的中点，・,.Ay='A^='A月+'4万，B对；

233

一1一1―,2一1一

BF=BA+AF=-AB+-AB+-AD=--AB+-AD,C对；

2——1(1_)]一2

^CF=CB+W=W-BC=--^+-AD-\--AB+AD\=--AB--AD,D错；

3312J63

故选:ABC.

15、(2021•兴宁市第一中学高三期末)已知向量〉(sina,cosa),1=(1,2)，则下列命题正确的是

()

A.若£,则tana=g

B.若，则tana二大

2

C.若/(a)=a.。取得最大值时，则lana=5

D.〃一H的最大值为6+1

【答案】ACD

【解析】

A选项，若£||〃，则2sina-cosa=0，即tana=g,故A正确.

B选项，若，J_B，则sina+2cosa=0,则tana=-2,故B不正确.

C选项，/(a)=〃a=sina+2cosa=6sin(a+0)，其中tang=2.

JT

当/(。)取得最大值时，sin(a+e)=l,即a+w=—+2攵乃，

.71__7111

tan。=tan(——(p+2k/r)=tan(——^9)=------=—,故C正确.

22tan①2

rrr2r、rr

D选项，(。一人尸=a+b-24/gh=l+5-2(sincz+2cosa)=6-2\/5sin(a+^)»

11_

当sin(a+e)=-l时，(Q一切2取得最大值为6+26，

所以的最大值为逐+1,故D正确.

故答案为：ACD

16、(2021•山东德州市•高三期末)已知向量3=(2』)出=(-3,1),则()

A.(a+b)±aB.|«+2/?|=5

C.向量〃在向量B上的投影是也D.向量3的单位向量是(士电，夸

2I55)

【答案】AB

【解析】

・.i=(2,l)Z=(-3,l)

对于A：=(-l,2)/r(a+^)-a=(-l)x2+2xl=0,/.{a+b)La,故A正确：

对于氏•・•Z+21=(2,1)+2(-3』)=(-4,3),「.|£+2年J(+3?=5，故B正确;

ab2x(-3)+1x1V10

对于C：向量〃在向量力上的投影是777=i、=一一1,故C错误;

函7(-3)2+122

故D错误.

故选：AB.

17、(2021.湖北高三期末)对于给定的△A/C,其外心为0,重心为G,垂心为“，则下列结论

正确的是()

A.AO-AB=—AB

2

B.WiOB=OAOC=OBOC

_,_一一1I

C.过点G的直线/交A&AC于E、F,若AE=2AB，Ab=〃AC,则：+—=3o

__ABAC

D.AH+共线

-ATBQIcosBQLITATCIcosC

【答案】ACD

【解析】

如图，设AB中点为MjijOM_LAB,：.\AO\cosZOAM=\AM\

德丽=|荷“而卜osNOA5=B@(|正kos/QAB)=|画=同2，故A正曲;

OAOB=OAOC等价于OA\OB-OC)=0等价J-OA，CB=()、即04_L8C，

对于一般三角形而言，。是外心，不一定与BC垂百，比如直角三角形4BC中，

若8为直角顶点，则。为斜边AC的中点，Q4与8c不垂直.故B错误；

设5c的中点为

A

则而=2而=，(而+硝=

L(1AE+LAF]=±AE^—AF,

3312〃)3A3〃

皿。三点共线'4即3*,故C正确;

AC辰

•配=XS

AB\cosBAc|cosC|AB|COSZ?Ac|cosC

AB[\BC|cos(^--B)|AC|-|BC|COSC

|AB|CcOoSsB|AC|COSC

=-|^C|+|BC|=O,

A"ACABAC

「•iTol»+77与8c垂白，又,/AH_LBC，**|-Tp|Z+\~Tr\G与Ali共线‘故

cosBACcosC