平行四边形的性质和判定（知识解读+例题讲义+随堂检测）解析版-2024人教版八年级数学下册

第02讲平行四边形的性质和判定

知识导航

需导航1考点清单

考点1：平行四边形的定义

考点2：平行四边形的性质

考点3：平行四边形的判定定理

考点4：平行线的间的距离

考点5：三角形的中位线定理

品导航2重难点

重点：

（1）平行四边形性质的应用

（2）平行四边形的判定

（3）三角形中位线定理的灵活运用

难点：

（1）平行四边形性质与判定的综合证明

（2）动态几何中的平行四边形存在性问题

（3）遇中点连中位线，转化线段关系或平行关系。

知识梳理

知识点1：平行四边形的性质

1.边的性质：两组对边分别平行且相等,如下图:AD/7BC,AD=BC,AB/7CD,AB=CD；

2.角的性质：两组对角分别相等，如图：ZA=ZC,NB=ND

3.对角线的性质:对角线互相平分。如图：AO=CO,B0=D0

题型精讲

【题型1根据平行四边形的性质求边长/周长】

【典例1］如图，在平行四边形力BCO中，对角线4。与8。相交于点0,若力。=6,则40的值是（）

A.2B.3

【答案】B

【分析】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的对角线互相平分是解题的关键.

根据平行四边形的性质求解即可.

【详解】解：国四边形是平行四边形，对角线AC与80交丁点O,

vAC=

:.AO=3,

故选：B.

【答案】A

【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，根据平行四边形对边相等得到8C的长，再根据线段的和差

关系即可得到答案.

【详解】解：•.•四边形ABCD是平行四边形，

:.BC=AD,

-AD=5,BE=3,

BC=5,

:.CE=BC-BE=5-3=2,

故选:A.

【变式2】在用ABCD中，48=6,则。。的长为（)

A.2B.4C.6D.12

【答案】C

【分析】本题考查了平行四边的性质，掌握平行四边形的对必相等是解题的关键.

根据平行四边形的对边相等即可求解.

【详解】解：国四边形力8。。是平行四边形，48=6,

060=AB=6,

故选：C.

【变式3］已知在a1BC。中，48=4cm,BC=7cm,则胤的周长为（）

A.11cmB.28cmC.22cmD.44cm

【答案】C

【分析】本题考查平行四边形的性质，掌握对边相等是解题的关键.

根据平行四边形对边相等的性质，直接计算周长即可.

【详解】解：团四边形48co是平行四边形，

伺AB=CD=4cm,BC=AD=7cm,

团周长=AB+BC+CD+AD=4+7+4+7=22cm.

故团ABC。的周长为22cm.

故选：C.

【题型2根据平行四边形的性质求角度】

【典例2】如图，在平行四边形4BCD中，£.8=50°,则ND的度数是（）

【答案】C

【分析】本题考查了平行四边形的性质.

根据平行四边形对角相等作答即可.

【详解】解：在平行四边形48CD中，48=50。,

则乙。=LB=50°.

故选：C.

【变式1】如图，在团力BCD中，41=32。，则乙B的度数是（）

DC

A.32°B.148°C.158°D.168°

【答案】B

【分析】本题主要考查平行四边形的性质，熟知乙4+=180。是解题的关键.

根据NA+ZB=180。求解即可.

【详解】由题知，Z-A+LB=180°,

乙B=180°-32°=148°.

故选：B.

【变式2】如图，在团力BCD中，若4A+4c=130。，则的度数是()

A.65。B.130°115°

【答案】D

【分析】本题考查了平行四边形的性质.熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键.

平行四边形的性质有：平行四边形的邻角互补，即乙4+=180°,平行四边的对角相等，即乙4=ZC.根

据乙力=4C求;1/力的度数，再根据邻角互补求出匕8的度数即可.

【详解】解：；四边形45co是平行四边形,

二Z.71=乙C,

vZ/14-ZC=130°,

：,2/4=130°,

44=65°,

•:乙4+乙8=180°,

•••乙B=115°.

故选D.

【变式3】如图，在团48CD中，的平分线交AD于E,若=30。，则NC的大小为()

D

A.150°B.135°C.130°D.120°

【答案】D

【分析】本题考查了平行四边形的性质以及角平分线的性质.熟练掌握平行四边形的性质以及角平分线

的性质是解题的关键.平行四边形的对边平行，即4DII8C,由此可得内错角相等；角平分线会将一个

角分成两个相等的角.我们可以利用这些性质求出4BC的度数，再根据平行四边形邻角互补求出”的

大小.

【详解】解：•••四边形48CD是平行四边形，

AD||BC,

...LAEB=LEBC=30°,

•••5E是/ABC的平分线，

•••/,ABC=2乙EBC=2X30°=60°,

vZ.ABC+ZC=180°,

ZC=180°-Z-ABC=180°-60°=120°.

故选：D.

【题型3根据平行四边形的性质求点坐标】

【典例3】如图，将回力BC。放置在平面直角坐标系xOy中，。为坐标原点.若点A的坐标是(6,0),点C的坐

标是(1,4),则点8的坐标是(

A.(6,4)B.(4,6)

【答案】C

【分析】本题考查了平行四边形的性质，点的坐标；由平行用边形的性质得CB=。4=6,CBIIOA.从

而可得点8的坐标.

【详解】解：^ABCO,4(6,0)

MB=OA=6,CBWOA；

团点C的坐标是(1,4),

团点B的横坐标为1+6=7,纵坐标为4,

即点8的坐标为(7,4)；

故选：C.

【变式1】如图，在平面直角坐标系中，已知点A(3,l),C(0,5),若四边形045c是平行四边形，则点3的

坐标为()

A.(3,2)B.(3,4)

【答案】C

【分析】本题考查了平行四边形的性质、坐标与图形，熟知平行四边形的性质是解题的关键;

根据四边形CM8C是平行四边形可得"=0C,力8II0C,再由儿C的坐标即可得解.

【详解】解：团四边形048c是平行四边形，

(L4B=0C,AB||0C,

M(3,l),C(0,5),0C=5,

田点B的坐标为(3,6)；

故选：C.

【变式2】如图，四边形力BCD为平行四边形，则点8的坐标为()

A.(—2,-1)B.(-1,—2)C.(-1,-1)D.(—2,—2)

【答案】A

【分析】本题考查平行四边形的性质、坐标与图形，先根据坐标与图形性质得到4。=4,再根据平行

四边形的性质得到80=40=4,力。|出。口轴，再利用坐标与图形求解即可.

【详解】解：由图可知，4(-1,2),D(3,2),

财。=3—(-1)=4,AD眈轴,

团四边形48CD为平行四边形，

谢=4。=4,ADIIBCIIx轴,

团C(2,-1),

团3(2—4,-1),即8(—2,—1),

故选：A.

【变式3】如图，在平面直角坐标系中,国ABC。的顶点A,B,C的坐标分别是(2,0),(-2,0),(0,3),则顶

点。的坐标为()

A.(2,2)B.(2,3)

【答案】D

【分析】本题考查平行四边形的基本性质和坐标，数形结合是解题的关键.

根据CDIIAB可得C点纵坐标与。点相同为3,由AB=CD,顶点A,B,。的坐标，结合图形可得C点横

坐标为4,继而得出结论.

【详解】解：回四边形力BCD是平行四边形，

0CDIIA3，AB=CD,

0CDIIAB,C(0,3),

(3C点纵坐标与。点相同为3,

(3顶点A,B,C的坐标分别是(2,0),(-2,0),(0,3),

国AB=8=4,

国。点横坐标为0+4=4.

M点的坐标是(4,3),

故选：D.

知识梳理

知识点2：平行线之间的距离与平行四边形的综合

定义：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之

间的距离.

性质：平行线之间距离处处相等

守题型精讲

【题型4利用平行线间距离的性质求解】

【典例］如图，%||则点。到力的距离为（）

4l2,AB=4,SADAB=4,8

CD

AB

C.10D.12

【答案】A

【分析】本题主要考查平行线的性质，运用平行线之间三角形面积相等是解题的关键.

首先利用平行线之间三角形面积相等，得到△4cB的面积，再根据面积公式求解点C到4B的距离即可.

【详解】解：叫

IIHShDAB=4,

工S^DAB-SMAB=%

回点C到48的距离为竽，

故选:A.

【变式1】如图，已知直线allbll。，直线d与它们分别垂直且相交于A,B,C三点.若AB=4,AC=10,则

平行线b,c之间的距离是（）

【答案】C

【分析】本题考查线段的和与差，平行线间的距离.利用数形结合的思想是解题关键.

根据题意可求出BC=AC-AB=6,再根据平行线间的距离的定义即可解答.

【详解】解：^\AB=4,AC=10,

WC=AC-48=6.

0a||b||c,直线d与它们分别垂直且相交于A,B,C三点，

回平行线〃，c之间的距离是6.

故选：C.

【变式2］如图，Q|g,点A在直线〃上，点B,C在直线〃上，ACLb,如果4B=5cm,AC=4cm,那么

点A到直线》的距离为（）

【答案】B

【分析】本题考查了平行线之间的距离，从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的

长度叫两条平行线之间的距离，由此可得出答案.

【详解】解：平行线队方之词的距离=AC=4cm.

故选：B.

【变式3】如图，在平行四边形48co中，力8=3,BC=4,过点A作4E垂足为E,AE=2,则48与

CD之间的距离为（）

A.-B.6C.V7D.-

33

【答案】A

【分析】本题考查平行四边形的性质，平行线间的距离，解题的关键是由平行四边形的面积公式得到

AB-h=BCAE；

本题根据平行四边形的性质，可得ABIIC。，设力8与。。之间的距离为比可得：ABh=BC^AE,然

后代入即可求解；

【详解】解：国四边形48CD是平行四边形，

区48||CD，

设AB与CD之间的距离为伍

团AE1BC,

回平行四边形A8C0的面积=AB•h=BC•AE,

回3x九=4x2,

西8与CD之间的距离为£

故选：A.

:彳知识梳理

知识点3：平行四边形的判定

1.与边有关的判定:

（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形

（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形

2.与角有关的判定：两组对角分别相等的四边形是平行四边形

3.与对角线有关的判定：对角线互相平分的四边形是平行四边形

题型精讲

【题型5添一个条件成为平行四边形】

【典例5】如图，在四边形48。中，AD||BC,对角线"和8。交于点。，要使四边形ABC。成为平行四边

形，则应添加的条件是（）

A.AB=CDB.AC=BDC.AO=DOD.AO=CO

【答案】D

【分析】本题考查平行四边形的判定定理」三角形全等的判定，平行线的性质，掌握平行四边形的判

定条件是解题关键.

根据平行四边形的判定定理对选项依次判断即可.

【详解】解：已知4DIIBC,要使四边形ABCD为平行四边形，

选项A：仅ADII8C且A8=CD,四边形可能是等腰梯形，无法判定为平行四边形，故A错误;

选项B：AD||BC^.AC=BD，四边形可能是等腰梯形，无法判定为平行四边形，故B错误：

选项C：平行四边形要求对角线互相平分，仅4。=。。不满足，故C错误；

选项D：vAD||BC,

:.Z.DAO=乙BCO,

在△ZX40和ABCO中，

ZDAO=Z-BCO

AO=CO,

Z.AOD=乙COB

・•.Zk/M。三△BCO(ASA),

:.AD=BC,

・•・四边形4BCD为平行四边形.

故D正确.

故选：D.

【变式1】如图，要使四边形48C0为平行四边形，则需要添加的条件是（）

【答案】C

【分析】本题主要考查平行四边形的判定，根据已知条件可•得ABIICD,再根据平行四边形的判定方法

逐项判断即可.

【详解】解：由图可得24+乙D=105°+75°=180。，

•••ABWCD,

A、添加/3=乙4可得/4+28=75。+75。=150。,推HZD与BC不平行,四边形ABCD不是平行四

边形；

B、添加4D=BC,四边形ABCD中一组对边平行，另一组对边相等，不能判定四边形力BCD为平行四边

形；

C、添加48=DC,四边形ABC。中一组对边平行且相等,能判定四边形48CD为平行四边形;

D、添加48+a=180。，可得ABIICD,四边形ABC。中仅一组对边平行，不能判定四边形ABCD为平

行四边形：

故选：C.

【变式2】如图，在四边形48。。中,对角线相交于点。，且BO=O。，请你添加的一个条件是

使四边形48。。是平行四边形.

【答案】ADWBC（答案不唯一）

【分析】本题考查了平行四边形的判定，平行四边形的判定方法有：①两组对边分别平行的四边形是

平行四边形：②一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；③两组对边分别相等的四边形是平行四

边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑤.两组对角分别相等的四边形是平行四边形.

根据平行四边形的判定方法作答即可.

【详解】解：添加条件：ADWC,

证明：出1DIIBC,

团NDA。=乙BCO,

在AAOD和AC08中，

NDAO=Z-BCO

乙400=乙COB,

DO=BO

0ADAOBCO（AAS）

（340=BC,

团四边形力BCD是平行四边形.

故答案为：ADWBC（答案不唯一）.

【变式3】如图，在四边形力BCD中，DELAC,BFLAC,垂足分别为点E,F,连接8E,FD,请你只添加一

个条件（不另加辅助线），使得四边形。FBE为平行四边形，你添加的条件是

D

【答案】DE=BF（答案不唯一）

【分析】本题考查添加条件使四边形成为平行四边形，根据平行四边形的判定方法，添加条件即可.

【详解】解：添加条件为：DE=BF,

团0E14CBF1力C,

团0E||BF,

团0E=BF,

(3四边形DF8E为平行四边形；

故答案为：DE=BF.

【题型6平行四边形的判定】

【典例6】已知如图，ABJ.BD,CD1BD,力。=8C求证：四边形力8C。是平行四边形.

【答案】见解析

【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键.利用两组对边相等的四边

形是平行四边形证明即可.

【详解】证明：团48_L8D,CD1BD,

团乙48D=乙CDB=90°,

在RtA/lBO和RtaCDB中

(BC=AD

[BO=BD

[?lRtABD三RtACDF(HL),

团48=C。，又力。=8C,

团四边形力BCD是平行四边形.

【变式1】如图，团ABCD中，E,"分别是边4B,CD的中点.求证：DE=BF.

【答案】见解析

【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的性质与判定是解题的关键；

先利用平行四边形的性质，推出力3=CD.ABWCD,再结合题中条件证明四边形0E8尸是平行四边形,

可得DE=BF.

【详解】•.•四边形ABCD是平行四边形，

AAB=CDtAB\\CD,即B£W，

又•••瓦尸分别是边力8,CD的中点，

:.BE=DF,

•••四边形DEB户是平行四边形，

:.DE=BF.

【变式2】如图，点B、尸、C、E在一条直线上，FB=CE,AB\\DE,ACIIDF.求证：BD=AE.

【答案】见解析

【分析】本题考杳了全等三角形的证明以及平行线的性质，由角边角的证明三角形全等并得到四边形

是平行四边形解决本题的关键.

首先由角边角的方法证明△/BC与全等，则可得到力B=DE,再由平行四边形的判定，即“一组

对边平行且相等的四边形为平行四边形”即可证明.

【详解】证明：•.•F8=CE,

•••FB+CF=CE+CF,

:.BC=EF,

•••AB||DE,AC||DF.

:.乙ABC=Z.DEF,Z.ACB=LDFE.

*'•△ABC—△DEF.

•••AB=DE.

XvAB||DE.

.・.四边形ABDE是平行四边形.

•••BD=AE.

【变式3】已知：如图，在平行匹边形48CD中，点£厂分别在边力B,CD上,且AE=CF.

DF

⑴若乙1=70。，求，C的度数；

（2）求证：四边形DE8F是平行四边形.

【答案】（1）70。

⑵见解析

【分析】此题考查了平行四边形的性质和判定，

（1）根据平行四边形的性质求解即可；

（2）首先得到AB=CD,AB||CD,然后由AE=CF,得到BE=DF,即可得到四边形DEBF是平行四

边形.

【详解】（1）回四边形力8CO为平行四边形，

:.Z.A=Z.C.

•••Z.A=70°,

•••ZC=70°；

（2）♦.•四边形力BCD为平行四边形，

AB=CD,ABIICD,

vAE=CF,

AB-AE=CD-CF,

即BE=DF,

•••四边形0E8F是平行四边形.

【题型7求与已知三点组成平行四边形的点的个数】

【典例7】在下面的网格图中有4B,。三个点，其中点4和点。在网格线的交点处，点B在网格线上.请在

本网格图中找出点C,使得以A,B,C,。为顶点的四边形是平行四边形，符合要求的点。有（）

.—―r—―».一一,一一r一一一l一一.

IIIII|I|

1-.----L..J----L...

III।。一■I：I：I：

r--n--T"

H丁

A.0个B.I个C.2个D.3个

【答案】C

【分析】本题考查了平行四边形的判定，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形解答即可求解,

掌握平行四边形的判定是解题的关键.

【详解】解：当8D为平行四边形的对角线时，点。的位置如图所示：

当为平行四边形的对角线时，点。的位置如图所示:

用符合要求的点C有2个,

故选：C.

【变式1】在平面直角坐标系中，已知点4(一1,0)、B(2,2)、C(0,3),在坐标平面内找一点D,使得以A,B,

C,。四点组成的四边形为平行四边形，请写出。点坐标.

【答案】(3,5),(-3,1),(1,-1)

【分析】需要分类讨论：以为边的平行四边形和以48为对角线的平行四边形.

【详解】解：①当4B为边比4B、AC为邻边时:如图

因为点皿一1,0)、8(2,2),

所以点力先向右平移3个单位，再向上平移2个单位得点8,

相应的点C先向右平移3个单位，再向上平移2个单位得点D,

•••C(0,3),

0(3,5)；

②当为边且4B、4。为邻边时：如图

因为点B(2,2)、C(0,3),

所以点B先向左平移2个单位，再向上平移1个单位得点C,

相应的点A先向左平移2个单位，再向上平移1个单位得点D，

•••«1,0)，

:*。(-3,1)；

③当48为对角线时：如图

因为点8(2,2)、C(0,3),

所以点C光向右平移2个单位，再向下平移1个单位得点8,

相应的点A光向右平移2个单位，再向下平移1个单位得点

•••力(-1,0),

•••D(l,-1);

故答案为:(3,5),(-34),(1,-1).

【点睛】本题考查平行四边形的判定及点的平移问题，解题关键是准确作出对应图形，礼用数形结合

思想解决.

【变式2】小区有一块空地要栽树，为了美观想栽成平行四边形的形状.已知其中三棵树的位置如图所示,

请根据这三棵树的位置确定出第四棵树的位置，共有几种情况？请在图中画出.

A.

【答案】3种情况，画图见解析

【分析】先连接4B,BC,AC,再分别以4c为圆心，BC,4B为半径画圆，得到交点E,同法可得D,

再延长瓦4,DB交于点F,从而可得答案.

【详解】解：如图，第四棵树的位置有3个位置，

E

A

/

方

【点睛】本题考查的是平行四边形的作图，掌握利用尺规画平行四边形是解本题的关键.

【变式3】ZVIBC在平面直角坐标系中的位置如图所示（坐标系内正方形网格的单位长度为1）：

⑴在网格内画出△48。关于y轴对称的图形△&&G；

⑵平面内有一点。，使得以点A，B,C,。构成平行四边形，请直接写出点。的坐标.

【答案】⑴见解析；

⑵（5,4）,（・1,4）或（3,・2）.

【分析】（1）先找到A、B、C点关于y轴的对称点，顺次连接即可；

（2）将点A向右平移3个单位长度得到点D],将点A向左平移3个单位长度得到点Q，将点8向下移

动3个单位，再向右移动2个单位得到点。3.

【详解】（1）△A/iG如图所示：

y

（2）回一组对边平行且相等的四边形是平行四边形,

由将点A向右平移3个单位长度得到点D］（5,4）,将点A向左平移3个单位长度得到点Q（-1,4）,将

点8向下移动3个单位，再向右移动2个单位得到点必（3:2）.

所以，点。的坐标为：（5,4）,（-1,4）或（3,-2）.

【点睛】本题考杳画轴对称图形，平行四边形的判定，有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.

【题型8利用平行四边形的判定与性质求解】

【典例8］如图，在平行四边形中，点M,N分别在边4B,C0上，且=CN,连接DM,BN.

(1)求证：四边形DM8N为平行四边形.

(2)若已知乙A=50°,CN=CB,求4A8N的度数

【答案】(1)见解析

(2)65°

【分析】本题主要考查平行四边形的判定和性质，等边对等角，熟练掌握相关的判定和性质，是解题

的关键.

(1)根据平行四边形的性质，得到DN||8M,DN=BM,即可得出结论；

(2)根据平行线的性质得出AB||DC,Z/l=zr=50。,根据等边对等角,求;l"CN8==

3180。-50°)=65。，根据平行线的性质求出乙4BN的度数即可.

【详解】(1)证明：回四边形ABC。是平行四边形，

团4B||DC,AB=CD,

团4M=CN,

^AB-AM=CD-CN,

WN=BM,

国DNIIBM,DN=BM,

但四边形DMBN是平行四边形：

(2)解：回四边形力8C0是平行四边形，

^AB||DC,/-A=ZC=50°,

用CN=CB,

&乙CNB=zC^/V=^(180°-50°)=65。，

团48IICD，

2乙4BN=乙CNB=65°.

【变式1】如图，在四边形48CD中，ABWCD,z/1=ZC.

8

⑴求证：AD=BCx

（2）若4A=40。，求的度数.

【答案】（1）证明见解析

（2）140°

【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，平行线的判定和性质，

（1）证明四边形48C。是平行四边形，然后根据平行四边形的性质即可得证;

（2）根据平行线的性质可得答案；

掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键.

【详解】（1）证明：如图，连接BD,

^ABWCD,LA=zC,

国土ABD=Z.CDB,

^ADB=1800-Z.ABD-Z.A,"BD=180°-ZCDF-ZC,

团NADB=乙CBD,

团ADIIBC,

回四边形力BCD是平行四边形，

团40=BC；

(2)解：由(1)知：ADWBC,

乂团乙4=40°,

^/-ABC=180°-AA=180°-40°=140°,

即418c的度数为140°.

【变式2】如图，在距48CD中，辽点8作BM14C,交AC于点E,交。于点M,过点。作。N14C,交4C于

点、F,交AB于点、N.

(1)求证：四边形8MDN是平行四边形；

(2)已知AF=12,EM=5,求AN的长.

【答案】(1)见解析

(2)13

【分析】本题考查平行四边形的性质和判定、全等三角形的判定和性质、勾股定理；

(1)证明DNIIBM,0M||BN即可证明四边形BMDN是平夕亍四边形；

(2)证明aCEM三△4FN,可得FN=EM=5,在Rt△力用V中，根据勾股定理4N=返产+尸砂即可

解决问题.

【详解】(1)解：团四边形力BCD是平行四边形，

CD||AB,

•：BM1AC,DNLAC,

:.DN||BM,

四边形BMDN及平行四边形；

(2)♦.•四边形BMDN是平行四边形，

DM=BN,

-CD=AB,CD||AB,

ACM=AN,乙MCE=^NAF,

•••“EM=AAFN=90°.

CEM三△4/7N(AAS),

/.FN=EM=5,

在Rt△AFN中，AN=y/AF2+FN2=V52+122=13.

【变式3】如图，在图力BCD中，E,尸分别是4D,8c边上的点，且AE=6.

⑴求证：四边形BED尸是平行四边形；

(2)连接CE,若CE平分心DCB,CF=2,DE=3,求机4BCD的周长.

【答案】(1)见解析

(2)16

【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，角平分线的定义、等角对等边，熟练掌握以上知识点

并灵活运用是解此题的关键.

(1)通过证明"。=户8,EDIIFB〃即可证得四边形BEDF是平行四边形;

(2)证明匕OCE=乙DEC,得出0C=0E=3,从而得出48=DC=3,再求出4。=4E+DE=2+3=

5,最后结合平行四边形的性质即可得出答案.

【详解】(1)证明：团四边形《BCD是平行四边形，

团4DIICB,AD=CB.

[ME=CF,

^AD-AE=CB-CF,

^ED=FB.

^\ED\\FB,

团四边形8EDF是平行四边形；

(2)解：(MDIICB,

0ZDFC=乙BCE,

团CE平分ZDC8,

0ZDCE=乙BCE,

^DCE=乙DEC,

0DC=DE=3.

团4B=DC=3»

团4E=CF=2,

(3A。=AE+DE=2+3=5.

团48+DC+CB+力。=3+3+5+5=16,

回平行四边形力8。。的周长是16.

卜知识梳理

知识点4：三角形的中位线定理

1.定义：连接三角形两边中点的线段，叫做三角形的中位线(一个三角形有3条中位线)。

2.核心定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。

3.推论：三条中位线围成的三角形，周长是原三角形的,，面积是原三角形的,

24

.十

3"题型精讲7t

【题型9与三角形中位线有关的求解问题】

【典例9】如图，点D,E,尸分别为△ABC三边的中点，若ADE尸的周长为5,则AABC的周长为（）

【答案】B

【分析】本题考交了三角形的中位线的性质的应用，能根据三角形的中位线性质得出8C=AC=

2DE、AB=2EF是解此题的关键.根据三角形的中位线性质得出8c=20F,AC=2DE,AB=2EF,

即可求出答案.

【详解】解：•.•点。、E、尸分别为△48C三边4B、BC、4c的中点，

BC=2DF,AC=2DE,AB=2EF,

♦••△DE"的周长为5,

.-.DF+DE+EF=5,

AAB+BC+AC=10,

即△ABC的周长为10.

故选:B.

【变式1】如图，为测量池塘两端九B的距离，小明在池塘外选取了一个点C,使得点C可以直接到达A、B,

他分别找到小。、8C的中点。、E,并且测得OE的长为16米，则池塘两端力、8的距离为（）

A.8米B.20米C.25米D.32米

【答案】D

【分析】本题考查三角形中位线的定义，三角形中位线定理，掌握三角形中位线定理是解题关键.

根据题意判定DE是△48C的中位线，再利用三角形中位线定理，得出"AB=2DE”然后代入DE的长度

计算出力B的距离.

【详解】解：••・。、E分别为AC、BC的中点，

0E是△71BC的中位线，

：♦AB=20E,

•••DE=16米，

48=2x16=32（米）.

故选：D.

【变式2】如图，。是△ABC内一点，连接。A,DB,DC,E,F,G,”分别为4B,BD,CD,AC的中点.若

8c=10,AD=6,则四边形E/GH的周长是（）

A.8B.12

【答案】C

【分析】本题主要考查了三角形中位线定理,根据三角形中位线定理可求出£入EH,GH,FG的长,

再根据四边形周长计算公式可得答案.

【详解】解；0E,F,G,，分别为力以BD,CD,AC的中点,

倒£尸，EH,GH,rG分别是A/18。，AABC,△AC。，△BCD的中位线,

9=加=3,EH=”C=5,GH=^AD=3,FG=^C=5,

团四边形E尸的周长=EF+FG+GH+EH=3+3+5+5=16,

故选：C.

【变式3】如图，9是448c的中位线，/ABC的角平分线交DE于点=6,BC=9,则EF的长为（）

B

A.0.5B.1C.1.5D.2

【答案】C

【分析】本题考查的是三角形中位线定理、平行线的性质，解题的关键是掌握三角形的中位线平行于

第三边，且等于第三边的一半.

根据三角形中位线定理得到DE||BC,DE=\BC=4.5,BD=AD=^AB=3,根据等腰三角形的判定

定理求出。F,计算即可.

【详解】解：:0E是△力的中位线，

DE||BC,DE=^BC=4.5,BD=AD=\AB=3,

:.乙DFB=Z.FBC,

•••8F•平分44BC,

乙DBF=Z.FBC,

•••乙DFB=乙DBF,

:.DF=BD=3,

AEF=DE-DF=4.5-3=1.5,

故选C.

3随堂检测

【答案】B

【分析】本题考查了平行四边形的性质，根据平行四边形的对边相等即可求解•，掌握平行四边形的性

质是解题的关键.

【详解】解：团在团/BCD中，AB=4,BC=5,

071D=BC=5,

故选：B.

2.如图，在和WCD中，若〃=138。，则”的度数为（）

A.148°B.42°C.120°D.138°

【答案】D

【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，根据平行四边形的对角相等，进行解答即可.

【详解】解：回四边形ABCD为平行四边形，

用乙C=NA,

Ez/1=138。，

QZ.C=138°.

故选：D.

3.如图，在见488中，点。是对角线4C,80的交点，下列结论第氓的是（）

A.AC=BDB.AD||BCC.OB=ODD.AD=BC

【答案】A

【分析】本题考直了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解答本题的关键.平行四边形

的性质有：平行四边形对边平行且相等；平行四边形对角相等，邻先互补；平行四边形的对角线互相

平分：平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点.根据平行四边形的性质判断即可.

【详解】解：团瓯4BCD,

^AD||BC,OB=OD,AD=BC,

4c=8。不一定成立，结论A错误，符合题意.

故选：A.

4.以下条件不能判断四边形/BCD是平行四边形的是（）

A.AB=CD,BC=ADB.AB=CD,AB\\CD

C.Z.A=Z-C,Z.B=ZDD.AB=CD,AD\\BC

【答案】D

【分析】本题考查了平行四边形的判定，解题的关键是掌握平行四边形的判定方法.

根据平行四边形的判定方法一一判断即可.

【详解】解：A：由力B=CD,BC=AD,可以推出四边形ABC。是平行四边形，故该选项不符合题意：

B：由AB=CD,一||CD,可以推出四边形4BCD是平行四边形,故该选项不符合题意;

C：由=乙B=iD,可以推出四边形48co是平行四边形，故该选项不符合题意：

D：由4B=C0,AD||BC,不可以推出四边形48CD是平行四边形，可能是等腰梯形，故该选项符介题

意.

故选：D.

5.如图，在即48。。中，对角线AC,8。相交于点0,AC1BC.若8。=8,AC=4,则45的长为（）

A.V22B.2夕C.V30D.2713

【答案】B

【分析】本题考查平行四边形的性质，勾股定理，先根据平行四边形的性质得出A。=0C=1AC=2,

B0=0D=\BD=4,再根据勾股定理得出BC=y/B02-0C2=2百，最后根据勾股定理即可得出答

案.

【详解】解：团在团4BCD中，8D=8,AC=4.

^AO=0C=-AC=-x4=2,B0=0D=-BD=-x8=4,

2222

MC=>]B02-OC2=V42-22=2V3,

^AB=\/AC2+BC2=J42+（2A/3）2=2夕，

故选：B.

6.如图，在固48CD中，AB=7,AD=5,则胤4BCD的周长为.

【答案】24

【分析】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题关键.根据平行四边形的

性质可得CD=48=7,BC=AD=5,由此即可得.

【详解】解：团在团ABCD中，AB=7,AD=5,

^CD=AB=7,BC=AD=5,

团团力BCO的周长为48+4D+CO+BC=7+5+7+5=24,

故答案为:24.

7.如图，在平面直角坐标系中，平行四边形4BCD的顶点力(-3,2),7(-1,-2),C(