第16章 函数及其图象（知识清单）-华东师大版八年级数学下册

第16章函数及其图象

思维导图

知识清单

1.变量：在某一变化过程中，可以取不同数值的量，叫做变量；常量：取值始终保持不变

的量.

2.如果在一个变化过程中，有两个变量如尤和片对于x的每一个值，y都有唯一的值与

之对应，则x是自变量，了是因变量，称y是入•的函数.

3.函数的表示方法：解析法、列表法、图象法.

4.平面中点的位置：可以用一对有序实数来确定.

5.建立平面直角坐标系：①画两条互相垂直且具有公共原点的数轴；②x轴或横轴：水平

的数轴；③y轴或纵轴：竖直的数轴；④原点：两条数轴的公共的原点.

6.点的坐标：形式（x,），）；横坐标：从该点向x轴作垂线，垂足在x轴上对应的数；纵坐

标：从该点向j，轴作垂线.垂足在y轴上对应的数.

7.四个象限：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限.

8.函数图象：函数的图象由平面直角坐标系中一系列的点组成的，图象上每一个点的坐标

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（x,y）表示函数的一对对应值.

9.描点法画图象：列表、描点、连线.

10.一次函数概念：形如尸质+6,其中上/）是常数，H0；

11.正比例函数概念：形如j尸如，A是常数且物（）.

12.一次函数的图象：一次函数的图象是一条直线，常找函数与坐标轴的交点，即可画

出.令x=0,则严岳令尸0,则尸-晟，即两点坐标为（°，可（一£°）；正比例函数图

象：正比例函数的图象是经过原点的一条直线，除了原点，再找一个点即可画出.

13.一次函数的性质：k>。,），随x的增大而增大，函数的图象从左到右上升；k<0,），随x

的增大而减小，函数的图象从左到右卜降：/）>0,图象与y轴交点在y轴的正半轴；b<0,图

象与y轴交点在y轴的负半轴；b=0,图象经过原点.

14.待定系数法求表达式：①设表达式片h+九②代入两点坐标：③解关干A,〃的方程

（组）.

15.反比例函数概念：形如y=±（〃是常数且后0）；自变量的范围是：.今（）,因此函数图象

X

不是一条连续的线.

16.反比例函数的图象：函数图象有两支，称为双曲线.

17.反比例函数的性质：若A0,则函数图象在一、三象限，在每个象限内，曲线从左到右

下降，y随x的增大而减小；若k<0,则函数图象在二、四象限，在每个象限内，曲线从左

到右上升，y随x的增大而增大.注意，对于反比例函数的性质，必须要区分所在象限，不

能说k>0时，y随x的增大而减小.

18.函数与方程：①直线）^=kx+b（Z^O）与x轴交点的横坐标，就是一元一次方程A.v+6=0

（原0）的解；②一次函数的解析式y=始力（存0）本身就是一个二元一次方程，直线歹=h+8

（原0）上有无数个点，每个点的横纵坐标都满足二元一次方程》=h+方（原0）,因此二元

一次方程的解也就有无数个；③两个一次函数图象交点的坐标即为联立两函数对应方程的

解.

19.函数与不等式：解一元一次不等式可以看作：当一次函数的值大于0（或小于0或大于

等于0或小于等于0）时求相应的自变显的取值范围.

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易错总结

一、变量与函数

1.混淆自变量与因变量

典型错误：学生在解决实际问题时，常常不能正确区分自变量和因变量，如"小明的身高与

年龄的关系”中，学生可能将身高作为自变量，年龄作为因变量.

原因分析：学生对"自变量是独立变化的量，因变量是随着自变量变化而变化的量”这一概念

理解不深.

2.忽略函数定义的“唯一性”条件

典型错误：学生认为只要是两个变量之间的关系就是函数，如”一个圆的周长与半径的关系”

是函数，但”一个圆的面积与直径的关系”不是函数.

原因分析：学生对函数定义”对于x的每一个值，y都有唯一的值与之对应”理解不透彻.

3.忽视自变量的取值范围

典型错误：在求函数关系式时，忽略实际问题中的自变量取值限制.如"矩形的长与宽的关

系，，中，学生可能认为x可取任意正数，而忽略了矩形长和宽都为正数的限制.

原因分析：学生没有养成，函数关系式必须符合实际意义”的思维习惯.

二、函数的图象

1.坐标表示错误

典型错误：学生在表示点的坐标时，常将横纵坐标顺序颠倒.如将点（2,3）写成（3,2）.

原因分析：学生对”坐标表示为（x,y）,x表示横坐标，y表示纵坐标”的理解不牢固.

2.图象与实际问题的对应关系理解错误

典型错误：学生无法从图象中正确读出实际问题的含义，如"气温变化图”中，无法正确理解

图象上升表示气温升高，下降表示气温降低.

原因分析：学生缺乏将抽象图象与具体实际问题联系起来的能力.

3.函数图象的“连续性”理解错误

典型错误：学生认为函数图象必须是连续的曲线，如”某学校每天的出勤人数”的图象是连续

的，而实际上应该是离散的点.

原因分析：学生对函数图象可以是连续的，也可以是离散的这一概念理解不全面.

三、一次函数

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1.混淆一次函数与正比例函数

典型错误：学生认为产心+力（原0）是正比例函数，或认为正比例函数不是一次函数.

原因分析：学生对一次函数和正比例函数的从属关系理解不清.

2.一次函数增减性理解错误

典型错误：学生认为Q0讨y随x的增大而减小，K0时），随x的增大而增大.

原因分析：学生对一次函数增减性的规律记忆错误.

3.求一次函数表达式时出错

典型错误：学生在使用待定系数法求函数表达式时，设错函数形式或解方程组出错.

原因分析：学生对”设函数形式一代入已知点一解方程组”的步骤掌握不牢固.

四、反比例函数

1.忽视反比例函数的定义域限制

典型错误：学牛在解题时，忽略#0的条件,导致结果错误.如“反比例函数尸质中,当

x=0时尸0".

原因分析：学生对反比例函数的定义理解不全面.

2.反比例函数图象位置理解错误

典型错误：学生认为反比洌函数产如（拉0）的图象在第一、三象限，而K0时在第二、四

象限.

原因分析：学生对k的正负与图象位置关系记忆错误.

3.反比例函数性质理解不全面

典型错误：学生认为“反比例函数中，歹随x的增大而减小”，而忽略了”在每个象限内”这一

重要前提.

原因分析：学生没有理解反比例函数的性质需要在”每个象限内”讨论.

五、实践与探索

1.一次函数与二元一次方程组的联系理解错误

典型错误：学生无法理解，两个一次函数图象的交点就是二元一次方程组的解”.

原因分析：学生对函数与方程的关系理解不深.

2.一次函数与一元一次不等式的关系理解错误

典型错误：学生无法正确理解｝>0时，x的取值范围”与“函数图象在x轴上方的区域”之间的

关系.

原因分析：学生对函数值与自变量取值范围的对应关系埋解不消.

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3.实际问题中函数关系的建立错误

典型错误：在解决实际问题时，学生不能正确建立函数关系式，如"匀速运动问题”中，将路

程与时间的函数关系写成尸必而忽略了s=w+/）（如果初始位置不是原点）.

原因分析：学生缺乏从实际问题中抽象出数学模型的能力.

易错训练

1.嘉嘉制作了一个简易的计时工具，通过观察，他将容器中水的高度和时间的相关数据记

录如下：

时间/min12356

水的高度/cm1.534.57.59

下列描述不正确的是（）

A.容器中水的高度是因变量，时间是自变量

B.当时间为7min时,容器中水的高度为12cm

C.当容器中水的高度为6cm时，对应的时间为4min

D.时间每增加Imin,容器中水的高度变化是均匀的

2.下列关系中，不能表示歹是x的函数的是（）

3.有下列式子：①y=3x—5；②/=③y+0.1x=50；④卜=衣万.其中歹是x的

函数的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

4.在函数），=二中，自变量x的取值范围是_.

x-3

5.函数y=2/中，自变量的取值范围选取正确的是（）

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A.x取全体实数B.x取xw-1的实数

C.x取xN2的实数D.x取a-3的实数

6.如图，小珍依据漏刻的基本原理做了•个底面积为2cn?,容积为20cn?的圆柱形漏刻（浮

子体积忽略不计），观测声记录了水位力（单位：cm）与时间/（单位：min）之间的数据

如下:

//min012345・.・

h/cm11.251.51.7522.25・・・

注水壶

标尺

浮子

受水壶

（I）请写出水位力与时间f之间的函数关系式，并确定自变量的取值范围.

（2）当〃=5时，求对应的时间/,并说明它表示的实际意义.

7.如图，在长方形48CZ）中，力（-3,1）,4（-3,-2）,C（2,-2）,则点。的坐标为（）

C.(2,-1)D.(3,-1)

8.小明匀速去离家1200米的图书馆，借书后匀速返回，共用时30分钟.已知返回的速度

快于去的速度，则他禽•家的距离V米随时间x分钟的函数图象可能是（）

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9.某人驾车从甲地驶往乙地，他以l（）Okm/h的速度行驶一段时间后休息lh,又继续行驶到

达乙地，他在整个行驶过程中距乙地的路程与时间x（h）之间的函数关系如图所示.则

C.lOOknVhD.120km/h

10.潮汐图能精准预判潮岛变化，帮助港口划定“安全通航时段下图是江苏一港口某日的

潮汐图，已知当潮水高度不低于300cm时，货轮能够安全进出该港口.若一艘货轮想在白•天•

进入该港口，那么安全通航的时长为小时.

江苏一港口某日的潮汐图

，,潮高（cm）

500w7r1Tr1r?TrT?"rTTr7~

400

300

200

100

一。二产凳。版」时初

11.下列说法错误的是（）

A.y=-24X是正比例函数，也是一次函数

B.歹=5兀是一次函数，也是正比例函数

C.商品单价一定，总金额与商品数最成正比

D.如果卜=（〃/一4卜+9是一次函数,那么用上+2

12.已知一次函数》=&+力（晨人为常数，且左力0）的图象由一次函数》=-2》+3的图象

向下平移4个单位长度得到，则下列关于一次函数》=去+方的说法正确的是（）

A.当时，y<0B.），随x的增大而增大

C.它的图象与y轴交于点（0，T）D.它的图象经过第一、二、四象限

13.已知y+2与4-x成正比例，且x=3时、y=l.

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（1）求），与X之间的函数表达式；

⑵当-2＜八1时，求X的取值范围.

14.下列各式中，y是X的反比例函数的是（）

55

A.y=—YB.y=—C.y-x~2D.y=2x+5

2'x

15.关于反比例函数丁=-9下列说法不正确的是（）

A.函数图象经过点（3,-2）B.函数图象关于原点成中心对称

C.函数图象分别位于第一、三象限D.当时，歹随x的增大而增大

k

16.若反比例函数y=£的图象经过点（2,3）,则该反比例函数的图象在（）

x

A.第一、三象限B.第二、四象限C.第二、三象限D.第三、四象限

17.如图，一次函数y=f+l与反比例函数尸与心0）的图象交于力㈠刈）,两

X

（1）求反比例函数的解析式和〃的值.

（2）直接写出关于x的不等式-x+l＞上的解集.

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1.B

【分析】本题主要考查了用表格表示变量之间的关系，根据表格数据发现时间每增加【min,

水的高度增加1.5cm,再逐项判断即可.

【详解】解：•••由表格数据，可知上表反映了容器中水的高度和时间两个变量之间的关系,

其中容器中水的高度是因变量，时间是自变量，时间每增加Imin,水的高度增加1.5cm,

时间f=7min时，水的高度〃=9+15=10.5（cm）；

当力=6cm=（4.5+1.5）cm时，r=3+1=4（min）；

•••选项A、C、D正确，选项B错误.

故选：B.

2.C

【分析】本题主要考查了函数的定义，对应两个变量小厂若对于变量x的每一个确定值,

变量y都有唯一的值与之对应，那么y是x的函数，据此可得答案.

【详解】解：由函数的定义可知，只有C选项不能表示V是x的函数，

故选：C.

3.C

【分析】本题考查函数的概念，熟练掌握其定义是解题的关键.

判断每个式子是否满足函数的定义，即对于每个自变量x,有唯一的因变量V对应.

【详解】解：•.・函数要求对于每个x,有唯一的歹对应，

①y=3x-5,对于每个x,y唯一，是函数；

②y2=G，对于x〉0,歹有两个值（正负根），不满足唯一性，不是函数；

③y+0.1x=50,即y=50-O.lx,对于每个x,歹唯一，是函数；

④=对于xZl,N唯一（算术平方根），是函数.

是函数的个数为=3.

故选：C.

4.工工3

【分析】本题考查求函数自变量取值范围，根据分式有意义的条件，分母不能为零列式求解

即可.

【详解】解：在函数），二二中，分母x-3工0,

x3

答案第1页，共7页

解得x*3.

故答案为：XH3.

5.A

【分析】本题考查了求函数自变最的取值范围.

无论x取何值，函数解析式均有意义，即％取全体实数.

【详解】解：•.・无论x取何值，函数解析式均有意义，

.•»取全体实数.

故选：A.

6.(l)/?=0.25/+i；0</<36

(2)当〃=5时，1=16.实际意义:当计时时长为16min时，漏刻的水位高度为5cm.

【分析】(1)观察表格数据，判断水位力与时间/的函数类型(一次函数)，利用待定系数法

求解析式，再结合漏刻容积确定白变量取俏范围：

(2)将〃=5代入函数解析式求解3并解释实际意义.

【详解】(1)解：由表格可知，〃与，是一次函数关系，设解析式为〃=%/+〃.

当1=0时，h=\,代入得6=1；

当，=1时，/?=1.25,代入得1.25=左+1,解得％=0.25='.

4

••・函数关系式为。=：+1.

4

漏刻容积为20”产，底面枳为2cm',则最大水位A_=y=10c加.

令〃=10,则10=L+l,

4

解得：/=36.

..•自变量的取值范围为04Y36.

(2)解：当〃=5时，5=1/+1,解得f=16.

4

实际意义：当计时时长为16min时，漏刻的水位高度为5cm.

【点睛】本题考查了一次函数的实际应用，解题关键是通过表格判断函数类型，利用待定系

数法求解析式，并结合实际场景确定自变量范围.

7.A

【分析】本题考查了点的坐标，由题意可得轴，AD//BC//x^从而得出

点。的纵坐标与点力相同，为1,点。的横坐标与点C的横坐标相同，为2,即可得出结果,

答案第2页，共7页

结合题意得出48〃CO〃y轴，4Q〃BC〃x轴，是解此题的关键.

【详解】解：•・•在长方形"CQ中,4―3,1),5(-3,-2),0(2,-2),

.•.48〃CD〃y轴，4Q〃3C〃x轴，

•••点。的纵坐标与点力相同，为1,点。的横坐标与点。的横坐标相同，为2,

故点。的坐标为(2,1),

故选：A.

8.A

【分析】本题主要考查函数的图象，理解函数图象每个时间段图象的变化意义是解题关

键.根据离家的距离先增大，中间停留一段时间，再慢慢减小，其中返回时由于速度更快变

化的更明显，据此求解即可.

【详解】解：•.•小明匀速去离家1200米的图书馆，借书后匀速返回，共用时30分钟，

二离家的距离先增大，中间停留一段时间，再慢慢减小，故排除B、C选项：

•••返回的速度快于去的速度，

•••返回时变化的更明显，

故选：A.

9.A

【分析】本题考查用函数图象表示变量之间的关系，根据图象求出休息以后的总路程和总时

间，利用速度等于路程除以时间进行求解即可.

【详解】解：由图可知，休息后的总路程为：520-100x2=320(km),

休息后到达乙地所用的时间为:7-(2+l)=4(h),

・•・休息以后该车行驶的速度是320+4=80(km/h).

故选：A.

10.6

【分析】本题考查了从函数的图象中获取信息，根据图象得出在白天时段，潮水高度不低于

300cm的时间段为9:00~15:00,即可求解.

【详解】解：根据题意可得：在白天时段，潮水高度不低于300cm的时间段为

9:00〜15:00,

15-9=6(小时)

答案第3页，共7页

故安全通航的时长为6小时.

故答案为：6.

11.B

【分析】本题考查一次函数的定义，熟练掌握一次函数的定义，正比例函数的定义是解题的

关键.

一般地，形如》=去+/>（攵工0,k、力是常数）的函数，叫做一次函数，当6=0时，

），二去（女工0）叫正比例函数；根据定义进行判断即可.

【详解】解：A、J，=-24I中，攵=-24工0,b=0,是正比例函数，也是一次函数，说法

正确，不符合题意：

B、》=5不无变量x,BPA=0,不满足火工0,，不是一次函数或正比例函数，说法错误，

符合题意：

C、总金额=单价x数量，单价一定时，关系为歹=依（左为单价），.•.总金额与商品数量成止

比，说法正确，不符合题意；

D、，=（/-4卜+9是一次函数时，需"/一400,即/"±2,说法正确，不符合题意；

故选：B.

12.C

【分析】本题主要考查了一次函数的平移、一次函数图象与性质，求出平移后的解析式是解

题的关键.

根据一次函数图象平移规则"上加下减”，向下平移4个单位，力值减少4,得出新函数解析

式，再逐一判断选项即可.

【详解】解：•・•函数y=-2X+3向下平移4个单位，

二新函数为尸=-2.*+3-4=-21,

A：当），=。时，一2工一1二0

-2x=l

解得x=-万,

又•••％=—2<0,

号随x的增大而减小，

二当x<-；时，）〉（），该选项错误，不符合题意；

答案第4页，共7页

B：•••%=-2<0,

引随x的增大而减小，该选项错误，不符合题意：

C：当x=0时，y=-2x0-l=-l,

•••图象与y轴交于点(。，一)，该选项正确，符合题意；

D：v=-2<0,6=-1<0,

・••图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限，该选项错误，不符合题意.

故选C.

13.(l)y=-3x+10

(2)3<x<4

【分析】此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的性质，关键是将点的坐

标代入解析式，利用方程解决问题.

(1)已知y卜2与4-x成正比例，即可以设y卜2=乂4-耳，把x=3,y=l代入即可求得左

的值，从而求得函数解析式；

(2)求得y=-2和J，=l时所对应的函数值，然后根据一次函数的增减性即可求得X的取值

范围.

【详解】(1)解:设尸2=k(4-x)(ArO),

把x=3,N=1代入得：(4-3*=1+2,

解得：k=3,

则该函数关系式为：y+2=3(4-x),

/.y=-3x+10；

(2)解：把y=-2代入y=-3x+10,得x=4,

把y=l代入y=-3x+10,得x=3,

因为-3<0,所以V随X的增大而减小，

所以当一2vyvl时，3Vx<4.

14.B

【分析】本题主要考查了反比例函数的定义，一般地，形如y=&或丁=去7(其中上为常数,

x

且人工0)的函数叫做反比例函数，据此可得答案.

【详解】解：由反比例函数的定义可知，四个选项中，只有B选项中的式子中y是x的反比

答案第5页，共7页

例函数，

故选：B.

15.C

【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，熟练掌握这些知识点是解题关键.

根据反比例函数性质，k=-6<o,图象在第二、四象限，关于原点对称，且在每个象限内y

随工增大而增大，依次对各选项进行判断.

【详解】C3选项A