相似多边形、平行线分线段成比例（7大题型）-人教版（五四制）九年级数学下册【含答案】

专题01相似多边形、平行线分线段成比例

目录A题型建模.专项突破

题型一、利用比例的性质进行求解

题型二、利用比例中的等比性质进行求解

题型三、相似多边形的性质

题型四、黄金分割

题型五、由平行判断成比例的线段

题型六、由平行截线求相关线段的长

题型七、由平行截线求相关线段的比值

B综合攻坚•能力跃升

题型建模•专项突破

题型一、利用比例的性质进行求解

（25-26九年级上•上海•阶段练习）

1.若g=5=［（其中力+则詈］=_____

bd5b+d

（25-26九年级上•上海•阶段练习）

c廿。bca^,.a+b-c

2.若m=°，则一r—=__.

234a-b+c

（25-26九年级上•陕西西安•阶段练习）

4ce4

3.已知工=「=7=w，若°+c+e=20,且b+d+/H0,则b+d+/=___

ba/3

（24-25九年级下•江苏南京•开学考试）

4.（1）若:=］，贝U牛2=_.

b4b

（2）若,=十=彳（%，y,z均不为0）,则；+：=一.

643'3y-2z

题型二、利用比例中的等比性质进行求解

5.已知'=4=9=2,且:+"/声0.

baJ

..a+c+e,,

⑴求力+d+/的值;

试卷第1页，共16页

(2)若匕-5d+6/=3,求a-5c+6e的值.

6.己知a,b,c,d,e,/六个数，如果H=1=M6+d+/H0),那么

.理由如下：*=：=亍=k(b+d+f*O),:.a=bk,c=dk，e=/&(第一步),

»、

.二a+际c+7e=许bk+六dk+=fk"第.zA二.处

（i）解题过程中第一步应用了的基本性质；在第二步解题过程中

君片应用了

基本性质;

（2）应用此解题过程中的思路和方法解决问题:己知:=?/，（），求:匚：的值.

7.阅读下面的一段文字:

]§：—=—=—=k则有“=欣,0=外,…,〃7=■,当b+d+...+〃工0时,

bdnf

a+c+...+m_bk+dk+...+nk_(b+d+...+〃)及b

b+d+…+〃b+d+...+//b+d+...+//a

从上面的推导过程可得,若冷当""...+〃工。时,

氏T啧把它称为等比性质.

利用等比性质完成下题：

ABBCCA3

⑴在和JEC中,jaH"+"C+CW=20厘米，求

A'B'B'C'C'Ar

△片8C的周长.

⑵若A3且2人”小0,求处渭的值•

8.已知b,c,d,“六个数，如果广台八°），那么

a+c+e.

^7

理由如下：

*=j=]=k(b+d+ffG)

：.a=bk,c=dk,e=#(第一步)

a+c+e_bk+dk+Jk_k(h+d+/)

=k（第二步）

b+d+fb+d+fb+d+f

（1）解题过程中第一步应用了—的基本性质；在第二步解题过程中,

试卷第2页，共16页

=k应用了的基本性质；

h+d丁+？f----------

（2）应用此解题过程中的思路和方法解决问题：

工「中2。bc、2a+b+c

①如果T=片厂2,则milF一二——；

②已知冷母。，求E的值•

题型三、相似多边形的性质

（25-26九年级上•浙江宁波•阶段练习）

9.如图，四边形,48CZ）和四边形相似，已知4=120。，N8=87。,

ZC=75°,/〃=

（25-26九年级上・甘肃张掖•阶段练习）

10.如图，五边形48CQ£s五边形它们的相似比为3:4.己知

（25-26九年级上•全国•课后作业）

11.如图，矩形48CQ的长48=30,宽8C=20.

（1）如图（1）若沿矩形48CO四周有宽为1的环形区域，图中所形成的两个矩

形44co与40C7T相似吗？请说明理由；

（2）如图（2）,工为多少时，图中的两个矩形力BC。与49CZT相似？

试卷第3页，共16页

（25-26九年级上•全国•课后作业）

12.（1）如图①，把矩形48CO对折，折痕为MN,矩形QMMC与矩形月8co相似,

已知NB=4.

AMD

1।c

图①

①求4。的长；

②矩形DMNC与矩形ABCD的相似比为.

（2）如图②，把矩形分割成五个全等的小矩形，每一个小矩形均与原矩形相

似.己知原矩形的长为25,宽为x（x<25）,求戈的值.

题型四、黄金分割

（25-26九年级上•上海虹11•阶段练习）

13.黄金分割是汉字结构最基本的规律.已知一条分割线的端点48分别在习

字格的边MN,久?上，且力〃〃NP,“晋”字的笔画“、”的位置在川的黄金分割点

。处，且ACyBC,若N尸=2cm,则6c的长为cm（结果保留根弓）.

（24-25九年级上•河南周=1•期末）

试卷第4页，共16页

14.2024年6月30日，中国音乐小金钟全国二胡展演河南选拔活动在郑州市虹

韵音乐厅成功举行.音乐家发现，二胡的千斤线绑在琴弦的黄金分割点处（黄金

分割：短段与长段的长度之比等于长段的长度与全长的比，该比值为回）时,

2

奏出来的音调最和谐、悦耳.如图，一把二胡的琴弦力。的长为78cm,千斤线绑

在点4处（点4为线段力。上靠近点力的黄金分割点），则4。的长为.

（25-26九年级上•福建龙岩,阶段练习）

15.关于x的一元一次方程当加=1时，该方程的正根称为黄金分割

数，宽与长的比是黄金分割数的矩形叫做黄金矩形.

（1）求黄金分割数；

（2）如图1,在黄金矩形片8C。中，长力。=2,贝IJ矩形力88的面积=_；

（3）如图2,在正方形4BCQ中，E是边8c的中点，以E为圆心，线段。E长为半

径作弧，交3C的延长线于点尸，作矩形48/七，试说明矩形48/七是黄金矩形.

（24-25八年级下•福建福州•阶段练习）

16.阅读理解：

二次根式的除法，要化去分母中的根号，需将分子、分母同乘以一个恰当的二次

根式.

例如：化简Mr

解：将分子、分母同乘以行+上得：

试卷第5页，共16页

]_6+血_rrrr

V3-V2—(8-&)(石+啦)-7°

类比运用：

（1）-=

拓展延伸：

力FD

CD

BEC

图1图2

宽叮长的比是空的矩形叫黄金矩形.如图2知黄金矩形小的宽而反

（2）求黄金矩形48CZ）中8c边的长；

（?）如图2,将图I中的黄金矩形裁剪掉一个以一为边的正方形力8£尸，得到新

的矩形。以产，猜想矩形QCE9是否为黄金矩形，并证明你的结论.

题型五、由平行判断成比例的线段

（25-26九年级上•河南南阳•阶段练习）

17.如图，若4人人，则下歹恪式错误的是（）

cABDEAB_BC_

I/--------=---------=

*BCEF~AD~~BE

（24-25九年级上•甘肃兰州•阶段练习）

18.如图，在平行四边形488中，E是4D上一点,连接CE并延长交助的延长

线于点凡则下列结论错误的是（）

AFAEAFEF

C.D.

~CD~~BCABCE

试卷第6页，共16页

（25-26九年级上•全国•课后作业）

19.如图，在△川5C中，D,E分别为边力8,4。上的点，DE"BC,BE与CD

相交于点R则下列结论一定正确的是（）

cABDEDFEF

I/--------=---------

DBBC~BF~~FC

（24-25九年级下•黑龙江哈尔滨•阶段练习）

20.如图，点。、E、F分别在MBC的边力8、AC.BC上,连接。石、EF、

"，"交。七于点G,四边形9M为平行四边形，则下列式子一定正确的是（）

ADDE-AEBC-ADDG一AGDE

A-----=-----R-----=------C-----=------D-----=------

*BDCF•ACDE'AEEGFGBC

题型六、由平行截线求相关线段的长

（25-26九年级上•重庆万州•阶段练习）

A^'|

21.如图，在矩形"CO中，g^=3,JC=5,—=-,则4E的长为____

FC4

（25-26九年级上•山东济南•阶段练习）

22.如图，五线谱是由等距离的五条平行直线组成的，一条直线交这组平行线于

点力，B,C.若力。《则的长是

cm,cm.

试卷第7页，共16页

A

（25-26九年级卜・・吉林长春•阶段练习）

23.已知:如图4北际，若AB=3,DE=2,EF=4,求』C.

（2025九年级•陕西西安・专题练习）

24.如图，E粕DE〃BC,FE〃CD,AF=3,AD=5,AE=4,求CE,〃。长.

题型七、由平行截线求相关线段的比值

25.如图，/1〃。〃6加=3比*=5.

柒的值为

卜L）

（2）若。产=12,求力E和石厂的长.

（25-26九年级上•吉林长春•开学考试）

26.如图，在△IBC中，DE//BCtG为8c上一点，连接力G交OE于点八

AF_2

~AG~~5

试卷第8页，共16页

A

(1)求云的值；

(2)当Q“=6时，求BC的长度.

(2025九年级上,全国,专题练习)

27.如图，已知ZU8C,△QCE,△正G是三个全等的等腰三角形，底边4C,

CE,EG在同一条直线上，且”=3,BC=6,"分别交4C,DC,DE于点、

",N,〃.解答下列问题:

⑵求正枭落季

(3)求：的值.

(24-25七年级下•河北沧州•阶段练习)

28.如图，已知△/18C,点。在8C上，点E在力C上，连接就＞,与8£相

交于点

⑴问题1:若8七是△W8C的中线，BF=3FE,则不=_.

ApI/F

⑵问题2：若力。是△相。的中线，笠=1则嘤的值是

AD4AC

(3)问题3：若力。是MBC的中线,尸的面积与ADM的面积之比是1:3，且始=2,

试卷第9页，共16页

则EC，=.

（4）问题4：若力。是△月"?的中线，且/E=FE,求证：AC=BF.

B综合攻坚•能力跃升一、单选题

（25-26九年级上•河北•阶段练习）

29.下列各组线段中，能成比例的是（）

A.1cm,2cm,3cm,4cmB.12cm,16cm,45cm,60cm

C.11cm,22cm,33cm,44cmD.30cm,12cm,0.8cm,0.2cm

（25-26九年级上•上海•阶段练习）

30.已知人是不等于。的实数,2a=3b,则下列等式正确的是（）

A。2a+b_52a-b3

C.D.

A・厂§~W~4a-4

（25-26九年级上•辽宁铁岭•阶段练习）

31.如图，"八"3,45=4,DE=5,8c=3,则DF的长为()

c351220

B

-TC.TD.T

（25-26九年级上•河南南阳•阶段练习）

32.如图，若则下列各式错误的是（)

「ABDE》ABDEARBC

B.-----=------(------=--------D.

ACDFBCEF~AD~~BE

（25-26九年级上•广东深圳•阶段练习）

33.如图所示是小深的一张书法练习纸，练习纸中的竖格线都平行，且相邻两条

I出格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点力，B,C都在将格线巳若线

试卷第10页，共16页

段"=3.3cm,则线段4c的长为（）cm

（25-26九年级上•河南南阳•阶段练习）

34.如图，小明准备制作一个木头相框用来摆放相片，相框外框的长为20cm,

宽为12cm,若图中。的长度为3cm,为了保证美观，需使相框外框所在的矩形与

内框所在的矩形相似，则图中。的长度应为（）

A.女mB.3.5cmC.4cmD.5cm

二、填空题

（2025・上海崇明•模拟预测）

35.如果±那么口=________.

y3y

（2025九年级上•全国•专题练习）

36.如图，四边形力8a>8四边形力EC'。'，若々=50。，ZC=80°,4=100。，则

/D=一度.

（25-26九年级上•山东济南•阶段练习）

“bdfh2"\八c、b_d+2f_3h

37.己知：_=_=_=_=[,若〃_c+2e_3gw0,则----——=

aceg3a-c+2e-3g

试卷第11页，共16页

（25-26九年级上•河北石家庄•阶段练习）

38.如图，BD=CD,AE-.DE=\-.2f延长即交力C于八且m=4cm,则力。的长

cm

（北京市2023年九年级年级数学适应性练习）

39.黄金分割被视为最美丽的几何学比例，并广泛地用于建造和雕刻中，令人惊

奇的是许多植物的叶片从上往下看时，上下两层中相邻两片叶子错开的角度满足

图①所示的黄金比.图②为符合上述规律的某种植物，。力和表示上下两层

中相邻两片叶子主叶脉的长度，若。彳=。8,且以点。为圆心，。＜长为半径的前

.（结果保留整数）

（25-26九年级上•河南南阳•阶段练习）

40.定义：顶角为36。的等腰三角形叫做“黄金三角形”，它的一个底角的平分线

与腰的交点即为这条腰的黄金分割点.如图，在中，ZB=9O°,

4=18。，NC=2,点M是边片。上一点，若是“黄金三角形”，贝lj的长

为

试卷第12页，共16页

A

三、解答题

（25-26九年级上•江苏泰州•阶段练习）

41.己知线段〃，h,c满足a:〃:c=2:3:5,且3a+2%-c=14.

（1）求mb,c的值；

⑵若线段x是线段Ac的比例中项，求x的值.

（25-26九年级上•江苏无锡•阶段练习）

42.（1）如果———=-2,求一；

a-ba

/—、j.r.ffla+b-ca-b+c-a+b+c,_p.,,,,-

（2）如果------=一;—=--------=k,求k的值.

cba

（24-25九年级上•贵州铜仁•期末）

43.如图，/1〃。〃6加=3/=5.

（1）直接填空；告的值为，柒的值为

（2）若。产=12,求力月和"'的长.

（25-26九年级上•山西晋中•阶段练习）

44.如图，DE//BC,EF//CG,%=；,AE=3.

试卷第13页，共16页

A

F

G

BL------c

（1）求EC的值;

ADAB

（2）求证:

~AF~^4G

（25-26九年级上•全国•课后作业）

45.如图，矩形纸片片8C。的边48长为2cm,动直线/分别交BC于E,F

两点，且EF〃4B.

⑴若直线/是矩形48CD的对称轴，且沿着直线/剪开后得到的矩形EFC。与原矩

形相似，求力。的长.

⑵若力。为（石+l）cm,试探究在力。边上是否存在点E,使剪刀沿着直线/剪开后，

所得到的小矩形纸片中存在与原矩形纸片48co相似的情况.若存在，请求出AE

的值；若不存在，请说明理由.

（23-24八年级下•陕西安康•期末）

46.宽与长的比是且（约为0.618）的矩形叫黄金矩形.黄金矩形协调、匀称、

2

美观，应用广泛.下面我们折叠出一个黄金矩形：

第一步，在一张矩形纸片的一端，利用图1的方法折出一个正方形，展平纸片；

第二步，如图2,把这个正方形折成两个相同的矩形，再展平纸片；

第三步，折出内侧矩形的对角线为，并把4折到图3中所示的PC处；

第四步，展平纸片，按照所得的点。折出CO（COJLBC）（图4）.

试卷第14页，共16页

(25-26九年级上•黑龙江哈尔滨•阶段练习)

47.角平分线定理指出：在三角形中，角平分线分对边所成的两条线段与夹这个

角的两边对应成比例.

⑴【探索发现】如图1，在中，力D平分NB力C交BC于Q,求证：

ABBD

~AC~~CD

解题思路：悦悦的想法是过。作CE〃力。交必1延长线于点E,将相关边转化解决

了问题.请按此思路完成证明.

(2)【类比迁移】桐桐根据上面的思路，在探究外角平分线时，也发现了相关线

段长成比例.

如图2,在8C中，点。和点E分别是8c和A4延长线上的点，连接4。，若AD

平分NOE,求证：笔=祭；

ACCD

(3)【综合运用】如图3,在中，BD平分NABC交AC于点D,过。作。臼148

27

交BC于点E,过。作£户_1。£于尸，ZDBC=-ZCDF,BE：CE=3：5,fF=-,求力。

的长.

(24-25九年级上•重庆江北•期末)

48.阅读材料，并解决问题.

角平分线分线段成比例定理：如图1,在中，4。平分/历IC,则

黄盗下面是这个定理的部分证明过程.

试卷第15页，共16页

【证明】如图②，过点。作C£〃。/1,交84的延长线于点E.

【任务】

(1)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分：

(2)填空：如图③，在中，AB=3fBC=4,ZJBC=90°,力。平分

/BAC,则5。的长是；

(3)如图④，在△力8。中，£是8。的中点，力。足/84C的平分线，EF〃A。交

4c于点F,^=7,JC=15,求3的长.

试卷第16页，共16页

【分析】本题考查了比例的性质，解题的关键是利用比例的基本性质.

根据合比的性质即可求解.

【详解】V7=4=7（其中d+MO）,

bd5

a+c3

•••----=—.

h+d5

3

故答案为：—.

2-1

【分析】本题考查比例的运算，分式的化简求值，正确掌握设参数表示比值是解题的关键.

先根据比例关系设参数表示变量，再代入分式化简，即可求解.

【详解】解：设；=3=（=&（kHO）,

贝ija=2k,b=3k,c-Lk,

.a+b-c_2k+3k-4k_k_1

a-b+c2k-3k+4k3k3

故答案为

J

3.15

〃+c+。4

【分析】本题考查了比例的性质，由题意得:^彳7=5即可求解；

4ce4

【详解】解：.••工===7=7，

bdj3

a+c+e_4

''b+（l+f=3'

va+c+e=20,

..）+d+/=】5；

故答案为：15

4.1##0.53

2

【分析】本题考查了比例的性质，能选择适当的方法求解和能根据比例的性质进行计算是解

此题的关键，注意：如果?二二，那么"=从，反之亦然.

bd

（1）根据已知等式设。=3★力=4々，再代入求出答案即可；

（2）设J=根据比例的性质求出x=6kj=4%=3%,再代入求出答案即可.

643

答案第1页，共31页

【详解】解：⑴A?

设。=3A,6=4A,

2a-h

所以~b~

2x3"必

=4k

6k-4k

=4k

2k

=4k

2

故答案为：y;

⑵设TFW"

则x=6k、y=4k,z=34,

x+3y

所以

3y-2z

6〃+3x4A

3x4R—2x34

「6%+12%

-124-6%

侬

~~6k

=3.

故答案为：3.

5.(1)2

(2)6

【分析】此题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是本题的关键.

(1)根据等比性质求解即可：

(2)根据给出的条件将a-5c+6。整理，再代入8-54+6/=3即可得出答案.

【详解】⑴解：d=U=2,

baf

a=2b,c=2d,e=2/,

.a+c+e_2b+2d+2f_2(b+d+f)_2

b+d+f~b+d+f~b+d+f~*

答案第2页，共31页

（2）解：由工=:=:=2得。=2"c=2d,e=2/,

bdj

•"-5d+6/=3,

-5c+6e=2/>-1Oc+12/=2（/>-5c+6/）=2x3=6.

6.（1）等式；分式.

尾

【分析】（1）根据题意，利用等式和分式基本性质解答即可；

（2）由题意可设;=4=：=仪〃/0）,由此得出“孙产心，%所以得出

345

x-y-z=3k-4y-5k=-6k,x+2y-3z=3%+8%—15k=-4A,进而得出答案.

本题考查了比例的基本性质，熟练掌握比例的基本性质是解题的关键.

【详解】（1）解：依题意，根据题意可知，解题过程在第•步中应用了等式的基本性质，在

第二步解题过程中应用了分式的基本性质；

故答案为：等式：分式.

（2）解：依题意，设;=4=5=〃（火工0），

345

则x=3«,y=4*,r=«,

x-y-z_3k-4k-5k_-6k_3

x+2y-3z3Z+2x4k-3x5k-4k2,

7.（1）15厘米

⑵g

【分析】本题考查了比例的基本性质.

（1）根据题意得到，公+=累7=,,由H8'+8'C+CW=20,代入计算即可求

AB+8C+CAAB4

解；

a2a—c—5e2a—c—5ea

（2）根据题意得到二二方=—^==7,进而得到”/«=工・结合26-1一5/工0.即

bZb-a-5j20-d-b

可得出结果.

【详解】（I）解：.•.霁7=需=会=］，且4E+BC+CWHO，

,AB+BC+CAAB3

-AE+BC+CH一•一

33

△ZBC的周长=44+4C+C4=W（4"+"C'+CW）=1X20=15（厘米）.

故△力4c的周长为15厘米.

答案第3页，共31页

…ace2

（2）解：=-=-=

bdf3

a_2a_-c_-5e

一厂五一二一天’

•••2b-d-5fM,

2a-c-5e_a_2

"2b-d-5f~~b~3,

8.（1）比例，比例

⑵①2,②7

【分析】此题考查了比例的性质，仿照例题方法用同一个字母表示所有未知数是解题的关键:

（1）根据比例的基本性质解答；

（2）①根据比例的性质得到2a=10J）=12,e=14,代入计算即可；

②设="则x=3A"=4k,z=5A,代入化简可得答案

【详解】（1）解：解题过程中第一步应用了比例的基本性质；在第二步解题过程中，

y+?=%应用了比例的基本性质

b+d+f

⑵①丹=2=2,

Jo/

:.2a=10,6=12,c=14,

2a+b+c10+12+14、

1818

故答案为2；

②设则x=3k/=4k,z=5A,

3k-4k+5k]

''3k+2x4k-3x5k~~

9.78

【分析】本题考查了相似图形的性质，解题的关键是掌握相似图形对应角相等.

根据四边形的内角和定理可得一。的度数，再由相似图形的性质解答即可.

【详解】解：=120°,Z5=87°,ZC=75°,

:"D=360°-Z/l-AB-ZC=78°,

•.•四边形川宛•。和四边形44cB相似，

.♦口=NO=78。.

故答案为：78

答案第4页，共31页

10.8

【分析】本题主要考查了相似多边形的性质，

根据相似多边形的相似比等于对应边的比解答即可.

【详解】解：•.•五边形4BCDEs五边形A'B'C'D'E',且相似比为3:4,

BC3

••就一『

vBC=6cm,

.•.8'C'=8cm.

故答案为：8.

11.<i）不相似，理由见解析；（2）x=1.5或尸9.

【分析】（1）要说明相似只要说明对应边的比相等，对应角相等；

（2）如果两个矩形48CD与45C。相似，对应边的比相等.就可以求出x的值.

【详解】（1）不相似，

AB=30,力'8'=28,BC=20,BC=18,

,2818

而--。---;

3020

所以不相似；

（2）矩形/8C。与力®。。相似，则不=/，

Anr?C

rlll30-2.t20-2

73020

解得x=1.5,

..30-2x20-2

或下二=F'

解得k9.

【点睛】本题考查了相似多边形的性质，对应边的比相等，对应角的比相等，两个条件必须

同时成立.

12.[小题1]力。=4后；

—：【小题2]X=5y[5

2

【分析】⑴矩形力3。与矩形DMNC相似则对应边成比例，则可求出边力。的长，第二空

相似比即为对应边的比；

（2）利用相似图形的性质对应边的比相等即可进行求解.

【详解】【小问1详解】

答案第5页，共31页

解：①..•矩形O"CQSOQMVC,

.MN_NC

一而一布’

是对折，

:.NC=-BC=-AD

22f

已知力8=4,

：.MN=AB=4,

-An

••.两矩形时应边比例关系式可以写做4二2,

AD~4

去分母得力加=32,

解得AD=4也,

⑷AD-E2,

【小问2详解】

解：由题可知五个小矩形的宽为25+5=5,长为巴

大矩形的长为25,宽为x,

则可列关系式为"=3，

x5

去分母得V-25x5,

解得》=5后.

【点睛】本题考查了相似图形的相关知识和解一元二次方程，熟练掌握相似图形的性质以及

解一元二次方程的方法是解答本题的关键.

13.（布一1）##（-1+行）

【分析】本题考杳了黄金分割的定义，正方形的性质及矩形的判定与性质，先证明四边形

4BPN是矩形,根据黄金分割的定义可得生=正二1,据此求解即可，熟记黄金比是解题

AB2

的关键.

【详解】•••四边形MNP0是正方形，

2N=2P=90。，

又AB〃NP,

•••N”4N+N/V=180°,

答案第6页，共31页

：.NBAN=9。0,

•••四边形44PN是矩形，

:.AB=NP=2cm.

又•产晋”字的笔画，、”的位置在AB的黄金分割点C处，且AC<BC,

.BCV5-1

•-=--------9

AB2

...5C=(V5-l)(cm),

故答案为：(逐T).

14.(39石-39卜〃?粕卜39+39⑥cm

【分析】本题主要考查了黄金分割的定义，熟练掌握黄金分割中线段的比例关系是解题的关

键.

根据黄金分割的定义，已知点8为线段/C上靠近点力的黄金分割点，即8c为长段，利用

黄金分割比例关系求出8c的长度.

【详解】解：•.•点8是线段4c上靠近点力的黄金分割点，

.BC_4s-\

••=-----.

AC2

vAC=78cm,

•••BC=^^-x78=39(V5-1)=(396-39)cm.

故答案为：(39^-39^6

15.1

2

⑵26-2

(3)见解析

【分析】本题考有了一元二次方程的解法，矩形的性质，正方形的性质，勾股定理，黄金分

割数，解题的关键是根据题意理解黄金分割数和黄金矩形的定义.

(1)将，〃=1代入戈21=0,解方程即可得解:

(2)根据黄金矩形的定义列式求得矩形的宽力8的长，再根据矩形面积公式计算即可；

(3)设正方形48CD的边长为2”，根据中点的性质可得CE=8E=〃，利用勾股定理可表

示出所的长，进而得到B厂的长，从而表示出丝，根据黄金矩形的定义即可得证.

答案第7页，共31页

【详解】（1）解：将"7=1代入.丫2+〃*-1=0，得洋+%-1=0,

解得x=T±Q4x（f=T士反

22

••该方程的正根称为黄金分割数，

「•黄金分割数为苴」:

2

（2）解：•••宽与长的比是黄金分割数的矩形叫做黄金矩形，长力。=2,

,ABV5-1KnAB75-1

AD222

AB—y/5—1>

矩形ABCD的面积为ADAB=2x（右-1）=2后-2；

故答案为：2后-2;

（3）证明：设正方形力4C。的边长为2a,

•••四边形48CO是正方形.

:.AB=BC=CD=AD=2a,NECD=90°,

•••E是边8c的中点，

CE=BE=a,

:.EF=DE=VcF+CD7=J/+（2a『=®,

：.BF=BE+EF=a+y5a=（T+y^）a,

.AB2aV5-1

•.赤1I+碎—2，

•••四边形4?FG是矩形，

矩形48PG是黄金矩形.

16.（I）V2+1（2）4"+,2（3）矩形。CM是黄金矩形，理由见解析

2

【分析】本题考查了二次根式的性质，平方差公式，矩形的性质，此类问题要认真阅读材料,

理解材料中的知识.

（1）将分子、分母同乘以0-1，再根据平方差公式计算即可；

（2）根据黄金矩形的定义结合;行，进行计算即可解答；

答案第8页，共31页

(3)根据题意算出力。的长，从而得出力尸，证明。尸和勿'的比值为止二1即可.

2

【详解】解：(1)-jj—二次向上—=&+1•

V2-1(>/2-1)(72+1)

故答案为：V2+1.

(2)•••宽与长的比是或二1的矩形叫黄金矩形，

2

•••黄金矩形ABCD的宽AB=®，

Rr_0_2&_V10+V2

则黄金矩形4BCD的长47-二I—-2一；

2

(3)矩形。C£户为黄金矩形，理由是:

由裁剪可知：AB=AF=BE=EF=CD=6，

⑺«r五272V10+V2

根据黄金矩形的性质可得：AD-7H-7r―—―

2

.eM,八什V10+V2片Vio-V2

:,卜D=EC=AD-AF=---------72=---------，

22

.DF『亚-1

,~EF~2一丁2

故矩形QCEF为黄金矩形.

17.D

【分析】本题考查了由平行判断成比例的线段，解题关键是正确列出比例式.

根据由平行判断成比例的线段，正确列出比例式，再对四个式子逐一作出判断.

【详解】解：NW

BCEFABDEABDE

‘‘就一而‘'AC~~DFf~BC~~EF'

ARR(、

不能推得K二三7,故A、B、C正确，D错误，

ADBE

故选：D.

18.C

【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理，解题的关键是灵活

运用平行线分线段成比例定理.

根据平行四边形的性质得出CO〃48,AD〃BC,AD=BC,AB=CD,利用平行线分线

段成比例定理逐项进行判断即可.

答案第9页，共31页

【详解】解：A.•••四边形/14C。为平行四边形,

.'.CD//AB,AD//BC,AD=BC,AB=CD,

CD//AB,

CDDE

~AF~~EA'

AB=CD,

ARr\p

.••筹=告，故A正确，不符合题意;

B.-AE//BC,

AEAF

"~BC=~FB，

•••AD=BC,

二冬二/，故B正确，不符合题意;

ADB卜

C.•:AE〃BC,

FAAE

••丽一正‘

FAAE

即-----------=-----

FA+ABBC

•••AB=CD,

FAAE

FA+CD~~BC

FAAE

------0-------故C错误，符合题意.

CDBC

D.vAE//BC,

FAFE

故正确，不符合题意

~AB~~ECD;

故选：C.

19.A

【分析】根据平行推相似三角形，再结合相似三角形的性质进行判断即可.

【详解】•••DE//BC.

/.2DEFs△CBF4DEs△48C,

•_D_F_—_D_E_—_E_F__D_E_—_A_E_—_A_D_

"~CF~~CB~~BF'~BC~7c~^4B9

DFAE

-----=-----,

CFAC

故选:A.

答案第10页，共31页

【点睛】本题考查的是由平行得相似三角形，相似三角形的性质与判定，灵活运用定理、找

准对应关系是解题的关犍.

20.A

【分析】本题考查了平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理，由平行四边形的性质可

得DE=BF,EF〃AB,再根据平行线分线段成比例定理逐项分析即可得解.

【详解】解：•.•四边形8江。为平行四边形,

：.DE=BF,EF//AB,DE//BC,

ADAG_AE_BF_DE

故A选项正确，符合题意;

~BD~~FG~~CE~~CF~~CF

因为WHAC,故D选项不正确，不符合题意;

APDF

—=故B选项不正确，不符合题意:

ACBC

DGBFDEAD一寸…此八但行丁丁*丁5人**

而二苻=W=而'nn“Q不一定等于“八故c选项不正确‘不符合题息;

故选：A.

21.1

【分析［根据勾股定理求出8C,以及平行线分线段成比例进行解答即可.

【详解】解：在矩形"CO中，AD//BC,ZABC=90°,

AEAF\_____________

二会二万=7，BC=^AC1-AB1=V52-32=4，

z>CrC4

AE\

:.---=—,

44

•••AE-1»

故答案为：1.

【点睛】此题考查了勾股定理以及平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例是解题的

关键.

22.

33

【分析】此题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握该定理，找准对应线段，是解答此

题的关键.

过点力作平行横线的垂线，交点4所在的平行横线于。，交点。所在平行横线于E,根据

平行线分线段成比例定理.，列出比例式，计算即可得解.

【详解】过点4作平行横线的垂线，交点8所在的平行横线于。，交点C所在平行横线于

答案第11页，共31页

•••五线谱是由等距离的五条平行横线组成的,

ABAD

~AC~~AE

AB_2

53,

2

23.6

【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握该定理并正确应用.

利用平行线分线段成比例定理，找出对应线段的比例关系，进而求解8c的长度.

【详解】解：・.・1〃/2〃4,

ABDE32

/.——=——，即nrl——=-,

BCEFBC4

BC=6.

24.CE=-BD=—

3f3

【分析】本题考杳的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关

键.

根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入计算即可.

【详解】解："E〃CO,

AFAE

,,布一就‘

34

:.—=-----,

5AC

解得力。二2三0，

.'.CE=AC-AE=--4=-

33t

•:DE〃BC,

答案第12页，共31页

ADAE

:.---=---,

BDEC

5_4

•••BD§，

3

512

而一

12BD=40,

解得BD=y.

915

Q)DE=Q、EF=5

【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例：

(1)根据平行线分线段成比例即可求解；

(2)根据(1)中的结论，即可求解.

【详解】(1)解：・.(〃/2〃%加=3比=5,

DEAB3

,

EFBC5

EF_EF5^5

''~FD~EF+DE~5+3-8；

5

X

=8-12-125

39

X

-5-125-2-

2

26.(l)y

(2)15

【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例：

(1)根据平行线分线段成比例，即可得出结论；

(2)利用。得到A/OEs△48C,再利用对应边成比例，即可得出结果.

答案第13页，共31页

Ap7

【详解】(1)解：—=

AG5

AD_AF_2

•,下一前一S；

(2)解：、：DE〃BC,

.••△ADEsRABC,

DEAD2

•,*==,

BCAB5

,:DE=6,

.-.Z?C=15.

(2)证明见解析

(3)BM:MN:NF=2:1:3

【分析】(1)由题意可得彳8=力。=/)。=。6=所=网=3,BC=CE=EG=6,从而可

得8G=38。=36，即可得解；

(2)由题意可得8C=C£=EG=G，GF=EF=DE=DC=AC=4B=3,即可得证；

(3)由题意可得N48C=NQC£=N£EG,ZACB=ZDEC=ZFGE,从而可得

AB//CD//EF,AC//DE//FG,再由平行线分线段成比例定理可得变=噌=1,

NFV3

BM:MH:HF=6：6：超=kl:T,求出8M=2A/N,NF=3MN,即可得解.

【详解】(1)解：•.•△48C,ADCF,△EEG是三个全等的等腰三角形，/8=3,BC=0

二AB=AC=DC=DE=FE=FG=3♦BC=CE=EG=后，

•••8G=38C=35

产G3百

：■=~F==，

BG3石3

故答案为：立；

3

(2)解：△OCE,△五EG是三个全等的等腰三角形，

BC=CE=EG=G，GF=EF=DE=DC=AC=AB=3,

答案第14页，共31页

FGEG百

••==,

BGFG3

(3)解：ADCE,AFKG是三个全等的等腰三角形,

:.NABC=NDCE=NFEG,/ACB=/DEC=NFGE,

AB//CD//EF,AC//DE//FG,

RNR(、

：•—=—,BM:MH:HF=BC:CE:EG,

NFCE

VBC=CE=EG=0

BNV3.rrr

-.—=-^=1,BM;MH:HF=粗=,

NFV3

BN=NF,RM=MH=HF,

:.BN—BM=NF—HF,即=