2026年高考数学复习高效演练：离散型随机变量及其分布列

第5讲离散型随机变量及其分布列

昌曲知识▼⑥❾回顾理教材•夯实必备知识.

一、知识梳理

1.离散型随机变量

(1)随机变量

特点：随着试验结果的变化而变化的变量.

表示：常用字母X,匕或小…表示.

(2)离散型随机变量的特点

所有取值可以一一列举出来.

2.离散型随机变量的分布列

(1)定义：若离散型随机变量X可能取的不同值为X,M，…，.卬…，&，X取每•一个

值为《=1,2,…，〃)的概率P(X=.%)=pi，则下表

Xx\Xi•••Xi•••

••••••

pP\P2PiPn

称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列，有时也用等式P(X=a)=%

7=1,2,…，〃表示X的分布列.

(2)性质:

①〃,20(1=1,2,…，〃)；p,=l.

3.常见的两类特殊分布列

(1)两点分布

若随机变量X服从两点分布，则其分布列为

X0i

Pp

其中〃=P(X=1)称为成功概率.

(2)超几何分布

一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取〃件，其中恰有X件次品，则尸(X=Q

「kr^n~k

~7^—,左=0,I,2,…，m,即：

5

X0i•••m

•••cog，/

pc%c%

其中机=min{M,/?},且〃WN,MWN,〃，M,NWN”.

如果随机变量X的分布列具有上表的形式，则称随机变量X服从超几何分布.

常用结论

I.随机变量的线性关系

若X是随机变量，Y=aX+b,a,。是常数，则V也是随机变量.

2.分布列性质的两个作用

(1)利用分布列中各事件概率之和为1可求参数的值.

(2)随机变量。所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求相关事件的

概率.

二、教材衍化

1.设随机变量X的分布列如下：

X12345

11_[

P

1263P

则p=.

解析：由分布列的性质知，=+：+；+：+〃=1，

31

-=-

所以p=144

答案：J

2.有一批产品共12件，其中次品3件，每次从中任取一件，在取到合格品之前取出的

次品数X的所有可能取值是

解析：因为次品共有3件，所以在取到合格品之前取到次品数为0,1,2,3.

答案：0,1,2,3

3.设随机变量X的分布列为

X1234

_!__[

m

P36

则P(|X-3|=1)=

解析：由;+〃?+；+9=1,解得〃?=；,尸(|X—3|=l)=P(X=2)+P(X=4)=(+t=卷.

答案：

一、思考辨析

判断正误(正确的打“J”，错误的打“X”)

⑴抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数是随机变量.()

(2)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的.()

(3)离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之

和.()

(4)从4名男演员和3名女演员中选出4人，其中女演员的人数X服从超几何分布.()

(5)由下表给出的随机变量X的分布列服从两点分布.()

X25

P0.30.7

答案：⑴J(2)V⑶J(4)7(5)X

二、易错纠偏

常见误区|(1)随机变量的概念不清；

(2)超几何分布类型掌握不准；

(3)分布列的性质不清致误.

1.袋中有3个白球、5个黑球，从中任取两个，可以作为随机变量的是()

A.至少取到1个白球B.至多取到1个白球

C.取到白球的个数D.取到的球的个数

解析：选C.A,B两项表述的都是随机事件，D项是确定的值2,并不随机；C项是

随机变量，可能取值为0,1,2.故选C.

2.一盒中有12个乒乓球，其中9个新的、3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后

装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，则尸(X=4)=.

解析：｛X=4｝表示从盒中取了2个旧球，1个新球，故RX=4)=含2=后,

答案送

3.设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X去描述1次试验的成功次数，

则P(X=0)=.

解析：由已知得X的所有可能取值为0,1,且尸(X=l)=2P(X=0),由P(X=1)+P(X

=0)=1,得P(X=0)=；.

答案：J

养▼依器提升明考向•直击考例考法♦

考点一离散型随机变量的分布列的性质(基础型)

好习指导I在对具体问题的分析中，理解取有限值的离散型随机变量及其分布列的概

核心素养：数学抽象

屈m设离散型随机变量x的分布列为

X01234

P0.20.10.10.3in

求：(D2X+1的分布列;

(2)P(1VXW4).

【解】由分布列的性质知:

0.2+0.1+0.1+0.3+m=1,

解得m=0.3.

(D2X+1的分布列:

2X4-113579

P0.20.10.10.3()3

(2)P(lVXW4)=P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)=0.1+0.3+0.3=07

【迁移探究】(变问法)在本例条件下，求IX-1|的分布列.

解：|X-1|的分布列:

IX-1|0123

P().10.30.30.3

离散型随机变量分布列的性质的应用

(1)利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值

均为非负值.

(2)若X为随机变量，则2X+1仍然为随机变量，求其分布列时可先求出相应的随机变

量的值，再根据对应的概率写出分布列.

考法全练;

I.设X是一个离散型随机变量，其分布列为

X-101

1

P2-3qq2

3

则q的值为(

A.1B.

cP?-弃噂

2—3</20,

/20,

{g+2-3g+炉=1，

近

3

解得-

=

g

-

6

2

是

中。

4),其

2,3,

〃)=拓

P(X=

律为

布规

率分

X的概

变量

随机

散型

2.离

.

为

值

的

X苟

PgV

，则

常数

5

4

解析得-

=

4

1

x^=

j+|

=1x

=2)

P(X

)4-

X=l

=P(

X<£

(1<

故P

:看

答案

础型)

布［基

几何分

二超

考点

用.

的应

简单

进行

并能

程，

导出过

布及其

几何分

理解超

过实例

|通

指导

复习

模

学建

：数

素养

核心

体方

响，具

人的影

暗示对

同心理

评价不

的方法

比试验

采用对

中，常

学研究

在心理

®2.|

理

种心

受乙

组接

，另一

理暗示

甲种心

组接受

组，一

分成两

者随机

的志愿

加试验

：将参

法如下

有6

用.现

的作

暗示

心理

两种

评价

果来

的结

示后

理暗

受心