向量的加法运算 - 学生版

囹第六章平面向量及其应用

6.2平面向量的运算

6.2.1向量的加法运算

【课程标准要求】1.理解并掌握向量加法的概念.2.掌握向量加法的三角形法则和平行

四边形法则，并能熟练地运用这两个法则作两个向量的加法运算.3.了解向量加法的交换

律和结合律,并能作图解释向量加法运算律的合理性.

必备知识•归纳落实

知识点一向量加法的定义及其运算法则

1.向量加法的定义

求两个向量和的运算，叫做向量的加法.

2.向量求和的法则

项物理

内容

目模型

已知非零向量儿在平面内取任意一点A,作族.立="贝1」向量后叫

做a与万的和，记作a+瓦即a+b=AB+BC=AC.

角位移

这种求向量和的方法，称为向量加法的三角国法则.对于零向量与任意

形的

向量a,规定a+O=O±a=a

法合成

则上4

平

行以同一点O为起点的两个已知向量ah以04,08为邻边作cOAC民则

四1以O为起点的向量位（OC是。OAC4的对角线）就是向量。与b的和.

力的

边把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则

合成

形

法

则

•疑难解惑•

|a+b|与⑷加I之间的关系

(1)当向量。与b不共线时.a+万的方向与a、b不同，目Ja+A|v|a|+g|.

⑵当a与b同向时,a+b,a,b同向，且|。+力|=|。|+|例.

(3)当a与b反向时，若|。|＞网,则a+b的方向与a相同，且当+目=同一|如若|a|v|b|厕a+b的方向

与h相同，且|a+"=|〃卜⑷.

知识点二向量加法的运算律

交换律a+h=h+a

结合律(a+b)+c=a+(b+c)

・温馨提示，

向量加法运算律的意义

向量加法的运算律为向量加法提供了变形的依据，实现了恰当利用向量加法法则运算的

目的.实际上，由于向量的加法满足交换律和结合律，故多个向量的加法运算可以按照任意

的次序、任意的组合来送行.

基础自测

1.化简后+G+易等于()

[A]DB[B]CA[C]CD[D]DC

2.下列等式不正确的是()

①。+(b+c)=(〃+c)+b;

@AB+BA=O;

③京辰+Q+品.

[A]②③[B]②

[C]①(D]③

3.如图，四边形A3CO是榜形/。〃3c对角线AC与30相交于点O,则易+盛+G+丽等

于()

4____-D

R

[A]CD[B]DC

[CJDA[D]DO

4.(人教A版必修第二册PIO练习T5改编)某人在静水中游泳,速度的大小为4VJkm/h.

如果此人沿垂直于水流的方向游向河对岸，水的流速为4km/h,则此人实际沿.

的方向前进，速度的大小为km/h.

关键能力•素养培优

题型一求作向量的和

1例11如图，按下列要求伦答.

⑴以A为起点，作出a+5；

⑵以4为起点，作出c+d+e;

(3)若图表中小正方形边长为I,求|a+6|,|c+0.

(2)先将共线向量cd的起点同时平移到3点,计算出c+d,再平移向量c与之首尾相接，利用

三角形法则即可作出c+4+e,如图②所示.

(3)由〃是单位向量可知根据作出的向量利用勾股定理可知,

|n+Z>|=Vl2+22=V5;

由共线向量的加法运笄可知|c+"|=|-c|=|c|=1.

•解题策略•

向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别和联系

向量加

区别联系

法法则

三角形(1)首尾相接；

法则(2)适用于任何句量求和

三角形法则俏出的图形是平行四边形法则蚱出

平行四(1)共起点；

图形的一半

边(2)仅适用于不共线的两个向

形法则量求和

［变式训练］如图所示，已知向量ahc不共线，作向量a+b+c.

如图①，在平面内作。力=a,48=6,则。8=°+8;再作8C=c,则OC=a+b+c.

法二(平行四边形法则)

如图②，在平面内作易二«办斗，以OA与OB为邻边作平行四边形OAQ丛则。3=g+大再作

品二G以OD与OC为邻边作平行四边形OQEC,则辰'"+6+。.

题型二向量加法运算律的应用

［例2］(人教B版必修第二册P145例2)化简下列各式：

(l)AB+CD+BC;

(2)AB+FA+BD+DE+EF.

(2)AB+FA+BD+DE+EF

TT

=AB+FA+(BD+DE+EF)

=AB+FA+BF

=(AB+BF)+FA

=AF+FA=AA=O.

・解题策略,

向量加法运算律的应用原则

通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相连”，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺

序.

［变式训练］如图，在正六边形ABCDEF中。是其中心.则

(\)AB+CD=;

(2)AB+AF+BC=:

(3)0C+0D+EF=.

⑵/+第+而二筋+届

⑶6b+ob+外=6b+Jb+靛公.

题型三向量加法的实际应用

［例引一架直升机从A地沿北偏东60。方向飞行了40km到达B地，再由B地沿正北方向

飞行40km到达C地，求此时直升机与A地的相对位置.

在RtAABD中,

|询=20km,

|AD|=20V3km.

在RtAACD中,

\AC\=^\AD\2+而2=40百km,

ZCAO=60。,即此时直升机位于A地北偏东30。方向,且距离A地406km处.

•解题策略•

应用向量解决实际问题的基本步骤

(1)表示:用向量表示有关量，将所要解答的问题转化为向量问题.

(2)运算:应用向量加法的平行四边形法则和三角形法则，将有关向量进行运算，解答向量问

题.

(3)还原:根据向量的运算结果，结合向量共线、相等等概念回答原问题.

［变式训练］如图，用两根绳子把重I0N的物体W吊在水平杆子

上"4CW=150。,/8CW=120。,求A和8处所受力的大小.(绳子的质量忽略不计)

由题意可得/ECG-l800-150。-30。，

ZFCG=180°-120°=60°.

ZFCE=Z4CB=360°-l50°-120°=90°,

贝”/CFG=NCEG=90°,

所E4|CF|=|CG|cos30°=10x^=5V3(N),

\CF\=\CG\cos60°=10x1=5(N).

所以4处所受的力的大小为5A/3N,8处所受的力的大小为5N.

课时作业

(分值:95分)

单选每题5分，多选每题6分.

团A级一基础巩固练

1.在矩形ABCD中,4C等于（）

[A]BC+BA[B]AD+CD

[ClAB+DA[DIAD+DC

2.A0+0B+0C+CA+B0^=f-()

[AlAB[Bl0[ClBC[DIAC

3.若向量a表示“向东航行1km”,向量b表示“向北航行V5km”,则向量a+b表示（）

[A]向东北方向航行2km

IB]向北偏东30。方向航行2km

IC]向北偏东60。方向航行2km

ID]向东北方向航行（1+V5）km

又|a+b|=2.故选B.

4.加图所示的方格纸中有定点G凡则成+法等于（）

故由平行四边彩法则可知O户对应的向量。卜即所求向量.故选B.

5.若在AA/3C中,A8=a,8C»,且⑷=网=1,|°+〃|=71则4人4c的形状是（）

IAJ正三角形IB]锐角三角形

rci钝角三角形[DI等腰直角三角形

z

所以|61=1辰i,|/ici=V2；

所以|疝?|2-”族|2=|命|2,所以为等腰直角三角形.

故选D.

6.（多选题）下列说法错误的是（）

[A1如果非零向量。与b的方向相同或相反，那么a+b的方向必与。或〃的方向相同

[B1在AABC中，必有几十五+2=0

[C]若6+8"+2=0,贝IJ儿反C一定为一个三角形的三个顶点

|D]若a、b均为非零向量，则|。+〃|=|。|+步|

7.（5分）如图所示,若夕为AABC的外心，且曲+而=而，则N4CB=.

C_____,D

区x

4P

8.（5分）如图所示，已知电线AO与天花板的夹角为60。,电线AO所受拉力的大小为|尸产

24N,绳BO与墙壁垂直，所受拉力的大小为|BI=12N.则人和尸2的合力大小为N.

在AOCA中,|&|=24,|启|二122OAC=6（）。，

所以/06=900,

所以|。"|=12，1

所以Fi与乃的合力大小为1273N,方向为与6成9。＞角，竖直向上.

9.（13分）设O是等边三角形ABC的中心，求0。0石+47.

如图所示，将等边三南形绕点O逆时针旋转120。,使顶点A.8,C分别转到点B.C.A的位置,

则s跟着旋转120。,变成了办+流•+儿.

A

由向量加法的交换律可知，向量S旋转120。之后仍是其自身.

由于只有零向量在旋转120。后仍是其自身，于是ol+O%+o"=0.

1().(14分)如图^7jk,OA=a,OB=b,CO=c,DO=d,DC=e,BA=f.

De,

B

求:(1)a+d;(2)c+b;(3)e+c