【A卷】第三章 圆-北师大版九年级数学下册单元测试（解析版）

【A卷】第三章圆一北师大版九年级下册单元测试

一、选择题（每题3分，共30分）

1.下列结论不正确的是（）

A.圆心也是圆的一部分

B.一个圆中最长的弦是直径

C.圆是轴对称图形

D.等弧所在的圆一定是等圆或同圆

【答案】A

【解析】【解答】解：A圆心不是圆的一部分，圆是指圆周，结论不正确，符合题意；

B.一个圆中最长的弦是直径，结论正确，不符合题意；

C.圆是轴对称图形，结论正确，不符合题意；

D.等弧所在的圆一定是等圆或同圆，结论正确，不符合题意；

故答案为：A.

【分析】根据圆的相关定义对每个选项逐一判断求解即可。

2.如图，4B为。。的切线，8为切点，力。交。。于点C,点。在优弧比”1上，若，0=24。，贝”4的度数为

（）

A.48°B.42°C.58°D.52°

【答案】B

【解析】【解答】解：•・•AB为。。的切线，

・•・ZOBA=90°

VZD=24°

・•・ZAOBM8°

・•・ZA=42°

故答案为：B

【分析】本题考查圆的切线性质、圆周角与圆心角的数量关系。同圆中，同弧或等弧所对的圆周角是圆心角

的2倍，可得/AOB,根据切线可得/OBA=90。，即可得结论八

3.如图，在。O中，直径AB_LCD,若NCOB=65。，则NBAD的度数是（）

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A.25°B.65°C.32.5°D.50°

【答案】C

【解析】【解答】解：连接OD,如图所示:

•・•直径AB_LCD,

:・CB=DB

.\ZBOD=ZAOB=65°,

,BD-BDf

.\ZBAD=1ZBOD=32.5°,

故答案为：c.

【分析】先利用垂径定理的性质可得NBOD=NAOB=65。，再利用圆周角的性质可得NBADJ/BOD=32.5。.

4.如图，四边形ABCD为。。的内接四边形，已知^BCD=140°,贝4/-BOD的度数为（）

A.40°B.50°C.80°D.100°

【答案】C

【解析】【解答】解：•・•四边形ABCD是。。的内接四边形，

ZA=180°-ZBCD=180°-140°=40°,

.\ZBOD=2ZA=80°,

第2页

故答案为：C.

【分析】根据圆内接四边形的性质以及圆周角定理即可得出答案。

5.若一个三角形的三边长为6,8,10,则这个三角形外接圆的半径是()

A.3B.4C.5D.6

【答案】C

【解析】【解答】解：•・・62+82=102,

・••三角形为直角三角形,

・•・这个三角形外接圆是以斜边为直径，

・•・半径为5.

故答案为：C.

【分析】根据勾股定理的逆定理得这个三角形为直角三角形，根据圆周角定理得斜边为直径，半径即可求得.

6.如图，PA.P8分别与。。相切于A、B两点,=56°,若点C是。。上异于点A,B的一点,则

的大小为()

当点C在优弧AB上时

•・"、PB分别与0。相切于A、B两点

：.^PAO=PBO=90°

*：^APB=56°

：.Z-AOB=360°-90°-90°-56°=124°

4cB=^AOB=62°

当C在劣弧AB上时，即为C'

•・•四边形ACBC是圆内角四边形

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：./-AC'B=180°-^ACB=118°

故答案为：D

【分析】当点C在优弧AB上时，根据切线性质可得ZPAO=PB。=90。，再根据四边形内角和可得乙4。9=

124°,再根据圆周角定理可得乙ACB=劣44。8=62。，当C在劣弧AB上时，即为C',根据圆内接四边形性

质可得44。缶=180°一^ACB=118°,即可求出答案.

7.如图，PA.PB切。于点A、B,点C是。0上一点，且ZP=40°,则^ACB的大小是

【答案】B

【解析】【解答】解：如图，连接。4OB,

...LPAO="8。=901

乙p=40°,

£AOB=360°-90°-90°-40°=140%

11

Z.ACB=2408=5x140°=70°.

乙乙

故答案为：B

【分析】如图，连接04,OB,PA>PB切。于点A.B,可得出NP40=zPB。=90。，再利用四边

形的内角和定理可得乙4OB的度数，再利用乙4。8=24力。8,即可得出答案。

8.如图，正五边形48CDE内接于O。，其半径为1,作。尸_L8C交。。于点F,则用的长为（）

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D

3

B.CrnD,

-5◊

【答案】C

【解析】【解答】解：丁多边形A8C0E为正五边形,

历1,品1的度数相等=噌^=72。,

vOF1BC,

的度数=竽=36。,

•••为1的度数=108°,

石n108°XTTX13

•••科的长度=180。=57r.

故答案为：C.

【分析】根据正多边形的性质可得：历1,阮1的度数相等，均为72。，则所的度数为36。，冏的度数为

108。，接下来利用弧长公式进行计算.

9.如图，。。的半径为5,是△ABC的外接圆.若NABO25。，则劣弧AC的长为（）.

口125TT「257rDSn

-36"J~18U，18

【答案】C

【解析】【解答】解：:ZABC=25°,

.\ZAOC=2ZABC=50°,

・・・劣弧AC的长为桨第二裳

loUlo

故答案为：C.

【分析】根据圆周角定理求出/AOC的度数，再利用弧长公式计算即可.

10.如图，0。的半径是1,点2是直线,=一X+2上一动点，过点尸作。。的切线，切点为4连接。4

0P,则AP的最小值为（）

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【答案】B

【解析】【解答】解：VAP为。。的切线，

：.OA-AP,且OA=1,

・••当OP最小时，AP最小，

・・・0P垂直直线y=-％+2时，0P最小，

当x=0时，y=2；当y=0时,有-x+2=0,解得：x=2,

・•・直线y=-％+2与坐标轴的交点坐标为M(0,2)、N(2,0)；

.\OM=ON=2,MN=\/20M=2或，

TOP_MN,

：・0PyMN=&，

-'-AP=yJOP2-OA2=I.

故答案为：B.

【分析】根据切线的性质可得^AOP是直角三角形，当OP最小时，AP最小，抓住OP垂直直线y=-工+2

时，OP最小，通过求一次函数与坐标轴交点坐标，结合等腰直角三角形的性质计算。

二、填空题(每题3分，共15分)

11.已知。O的半径为4cm,OP=2cm,则点P在。O(填“内”、"外”或，上。

【答案】内

【解析】【解答】解：：。O的半径r为4cm,OP=2cm,

.%r>2,

.•.P在。O内，

故答案为：内.

【分析】根据。。的半径为4cm,OP=2cm,即可得出结论.

12.《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，其中第九卷《勾股》中记载了一个“圆材埋壁''的问题：

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“今有圆材，埋在壁中，不知大小.以锯锯之、深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用几何语言表达为：如

图，A3足OO的直径，弦CO_L/W于点&8=1寸，CO=10寸，则直径A〃长为寸.

【解析】【解答】•••弦CD1AB,AB为。O的直径，

・•.E为CD的中点，

又•••CD=10寸，

.-.CE=DE=1CD=5寸，

乙

设OC=OA=m寸，贝i]AB=2m寸，0E=(m-1)寸,

由勾股定理得：。/2+。/2=0。2,

2

(m-1)+52=7*,

解得m=13,

.-.AB=26寸.

【分析】根据弦CO_LA8于点E,利用垂径定理得到E为CD的中点，由CD的长求出DE的长，设

OC=OA=m寸，则AB=2m寸，OE=(m-1)寸，利用勾股定理求解m的值进而得出结论.

13.如图，点A,B,C在。。上，ZACB=30°,则NA8O的度数是.

【解析】【解答】解：VZACB=30°,

・・・NAOB=2NACB=6()°,

VOA=OB,

・•・Z0AB=Z0BA,

••・ZOBA=ZOAB=i(l80o-ZAOB)=60°.

故答案为:60°.

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【分析】利用圆周角定理可得NAOB=2NACB=60。，再利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理可得

ZOBA=ZOAB=1(180°-ZAOB),继而得解.

14.已知。。的半径是一元二次方程好一2工一3=0的一个根，圆心。到直线/的距离为4,则直线/与。

。有个交点.

【答案】0

【解析】【解答】解：X2-2X-3=0

(x-3)(%+1)=0

解得：x=3或x=・l(舍去)

则0。的半径r=3

・・•圆心0到直线/的距离为4,且r=3<4

.・・直线与圆不相交，无交点

故答案为：0

【分析】根据因式分解法求出一元二次方程的根，则00的半径-3,再根据直线与圆的位置关系即可求出

答案.

15.如图所示,在△ABC中，ZACB=90°,AC=BC=2.将△ABC绕着点A顺时针旋转90度到△ABQ的位

置,则边BC扫过区域(阴影部分)的面积为(结果用含n的式子表示).

【答案】兀

【解析】【解答】在△ABC中，ZACB=90°,AC=BC=2,

.,.AB=V71C2+5C2=V22+22=2扬

•・,将△ABC绕着点A顺时针旋转90度到△ABiCi的位置,

・•・ZCiAC=90°,

AS阴影=S扇形BIAB+SABIACI-SAACB-S扇形C.AC

二S扇形B1AB-S扇形C1AC

_2

=9OXTTX(2V090xirx22

360360

故答案为：兀

【分析】先利用勾股定理求出AR的长，再利用扇形面积公式,二角形的面积公式及割补法求出阴影部分的

面积即可.

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三、解答题（共8题，共55分）

16.加图,F方形网格中的每个小F方形的边长都是1,AZlFr1的二个顶点4,B,C都在格点上，将人4“绕

点A按顺时针方向旋转90。得到△A'B'C'.

（1）在正方形网格中，画出△ABC

（2）求出点C经过的路线长度：

（3）计算线段在变换到4夕的过程中扫过区域的面积.

【答案】（1）解：作图如下：△力夕B即为所求；

（2）解：由图可知：AC=AC=4,Z-CAC=90%

点C经过的路线为：CC=^^江*4=2兀；

（3）解：由图可知：AB=>JAC2+BC2=V32+42=5,^BAB1=90%

线段力B在变换到他的过程中扫过区域的面积为扇形面积=嘉兀x52=竽m

【解析】【分析】（1）根据旋转的性质，找出点R、C绕点A顺时针旋转9（）。的对应点中、U,然后顺次连接

即可；

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(2)由图可知AC=AC，=4,NCAC=90。，易得点C经过的路径为半径为4,圆心角为90。的扇形的弧长，然

后结合弧长公式进行计算；

(3)利用勾股定理可得AB的值，易得线段AB在变换到AB，的过程中扫过的面积为以5为圆心，圆心角为

90。的扇形的面积，据此计算.

17.如图，四边形ABCD内接于。0,E为BC延长线上的一点，点C为勖的中点.若/DCE=U0。，求

NBAC的度数.

【答案】解：•・•四边形ABCD内接于。O,

:,乙DCE=乙BAD

•・"OCE=110°

：,Z-BAD=110°

•・•点C为9的中点

:•时=ETC

84c=Z-DAC=g乙BAD=1x110°=55°

【解析】【分析】利用圆内接四边形为性质可得乙8Ao=乙DCE=110°,再利用器=亦可得=

|z5i4D=1xllO°=55°o

18.有一辆载有集装箱的卡车，高2.5米，宽L6米，要开进如图所示的上边是半圆，下边是长方形的桥

洞，已知半圆的直径为2米，长方形的另一条边长是2.3米，这辆卡车能否通过此桥洞？通过计算说明理由.

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设M,N为卡车的宽度，

过M,N作AB的垂线交半圆于点C,D,过O作OE_LCD,E为垂足,

则CD=MN=1.6,AB=2,

ACE=DE=0.8,

VOC=OA=1,

在RtAOCE中，OE70c2_CE2=Vl2-0.82=0.6,

・・・CM=2.3+0.6=2.9>2.5,

，这辆卡车能通过.

【解析】【分析】首先根据题意画出图形，根据勾股定理求出OE的长度，从而求出CM的长度，判断CM的

长度与2.5的大小关系，如果CM大于2.5可以通过，否则不能通过，即可求解.

19.如图，正六边形ABCDEF为。O的内接正六边形，连结AE,。。的半径为2cm.

(1)求/AED的度数和弧AB的长.

(2)求正六边形ABCDEF与。0的面积之比.

【答案】(1)解：•・•正六边形ABCDEF为。。的内接正六边形，

r.ZF=ZFED=1(6-2)X180°=120°,AF=FE,

o

AZAEF=ZFAE=lx(180°-120°)=30°,

・•・ZAED=ZFED-ZAEF=120°-30°=90°,

连接OA,OB,

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・•・ZA0B=360°^6=60o,

・•・弧AB的长为粤霖=鼠5.

loU3

(2)脩正六边形ABCDEF的面积为6SAAOB=6X0x22=6百cm-

4

0O的面积为7r><22=47icm2,

正六边形ABCDEF与。0的面积之比6百：4k373：27r.

【解析】【分析】⑴由正六边形的性质可得NF=NFED=12()。，AF=FE,利用等腰三角形的性质求出

ZAEF=ZFAE=30°,从而求出NAED二NFED-NAEF的度数；连接OA,OB,求出NAOB的度数，再利用

弧长公式计算即可；

(2)分别求出正六边形ABCDEF和。0的的面积，继而求出比值即可.

20.如图，。。是△ABC的外接圆，连接OA,过点C作一条射线CD.

(1)请从以下条件中：①CD〃AO,ZABC=45°；@ZBCD=ZBAC；③CB平分/ACD.选择一组能

证明CD是。。的切线的条件，并写出证明过程；

(2)若OA=2,ZOAB=22.5°,AB=CB,求而的长度.(结果保留兀)

【答案】(1)证明：选择①CD〃A0,NABC=45。，

连接0C,则NAOC=2NABC=90。，即OCJ_OA,

YCDaAO,

AOC1CD,

VOC是半径，

・・・CD是。O的切线；

(2)解：连接OB,

VAB=CB,OB=OB,OA=OC,

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.*.△AOB^ACOB(SSS),

AZADO=ZCBO=ZOAD=22.5°,ZDOC=ZAOD=180°-22.5o-22.5°=135°,

【解析】【解答】(1)证明：选择①CD〃AO,ZABC=45°,

连接OC,则NAOC=2NABC=90。,即OC_LOA,

VCD//AO,

AOC1CD,

VOC是半径，

・・・CD是。。的切线；

(2)解：连接OB,

VAB=CB,OB=OB,OA=OC,

；・△AOB^ACOB(SSS),

・•・ZABO=ZCBO=ZOAB=22.5°,ZBOC=ZAOB=180o-22.5°-22.5°=135°,

135nx2_3

・•・江的长度:180-2n

【分析】（1）选择①，利用圆周角定理，平行线的性质得出OCJ_CD即可;

（2）求出弧BC所对圆心角的度数，利用弧长公式进行计算即可.

21.如图，AB是圆O的直径，PB,PC是圆。的两条切线，切点分别为B,C.延长BA,PC相交于点D.

(1)求证：ZCPB=2ZABC.

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(2)设圆O的半径为2,sinNPBOg,求PC的长.

【答案】(1)证明：如图，连接0C

VPB,PC是OO的两条切线JPOPB,ZPCO=ZPBO=9()°,AZCPB+Z.BOC=18()°

•・•ZDOC+ZBOC=180°ZCPB=ZCODVOC=OB,ZOCB=ZOBCZCOD=2ZABC

AZCPB=2ZABC.

(2)解：:PC是圆。的切线，

A0C1CD,

・•・ZOCD=90°,

•・•圆0的半径为2,sinZPDB=|,

•••sinNCDO啸器，

Czx_zO

A0D=3,

，DC:VDO2-OC2=旧一22=V5

设PC=x,

.\BD2+PB2=PD2

(x+V5)2=x2+52,

解得x=2A/5,

：.PC=2通.

【解析】【分析】(1)根据切线性质可得PC=PB,NPCO=NPBO=90。，再结合/DOC+NBOC=180。，从而

得到NCPB=ZCOD,再通过NCOD=2NABC等量代换即可求证NCPB=2NABC成立；

(2)由切线性质及sinNPDB二言可得出sinNCDO=黑，求白OD=3,设PC=x,利用勾股定理列出关

O\.JL/

于X的一元二次方程，解得X即可求出PC.

22.如图，。。与等边448。的边山；、A8分别交于点0、E,4E是。。的直径，过点。作0"18c于点F.

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c

(1)求证：。尸是oo的切线：

(2)已知。。的半径为3,连接EF,当等边△A8C的边长为多少时，EF与。。相切？

【答案】(1)证明：:△ABC是等边三角形，

/.zfi=Z-A=60°,

'：OA=OB,

：.^AOD是等边三角形,

：./-AOD=60°,

Z.AOD=乙B,

:・OD||BC,

VDF1BC,

：.DF1OD,

又・・・OD为O。的半径，

:,DF是。。的切线

(2)解：FE都是。。的切线,

:・FD=FE,Z.CFD