山西忻州部分学校2025-2026学年高一年级上册2月质量检测数学试题（人教B版）试卷+解析

高一数学

考生注意：

1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.

2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.

3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上

对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0・5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答

题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.

4.本卷命题范围：人教3版必修第一册，必修第二册.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分,在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.设命题3x>0,丁>1-3,则〃的否定为（）

A.Vx>0,X3>X2-3B.VX>0,X3<X2-3

C.Vx>0,X3<X2-3D.3X>0,X3<X2-3

2.已知集合4={xwZ|-1«冗49},4=b|y=贝J中的元素个数为（）

A.2B.3C.4D.5

3.某高中高一、高二、高三年级的学生人数分别为400,400,600,为了解各年级学生每天阅读的时间，用

分层随机抽样的方法从中抽取样本，若样本中高一年级的学生有14人，则样本容量为（）

A.42B.45C.49D.50

4.已知暴函数/（另=（〃22一3加一3卜”'在（0,+8）上单调递减，则〃2）=（）

A.-B.：C.72D.4

42

___1______2___________

5.如图，在VABC中，AN=-AC,NM=-NB,若已而二4只月+〃4。.，则％+〃=（）

6.己知。=log23，b=log34,c=log48,则下列关系正确的是（）

Aa>b>cB.a>c>b

C.b>a>cD.c>a>b

1+V-

7.已知函数/（"=丁+怆—+2,则关于x的不等式〃x）+/（2xT）<4的解集为（)

\—x

D.-8,；)

C.

\J/

8.已知4〃—4“=l，则々一功的最大值为（）

A.IB.OC.-1D.-2

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.某城市连续7天的最低温度（单位：°C）为0,2,5,5,6,7,3,则这组数据的（）

A.极差7B.40%分位数为4

C.平均数为4D.方差为5

10.己知定义在R上的函数满足/（大+1）=2/（戈），且当x«0,l）时，/{x）=l-|2x-l|,若

〃6<3在（一。,向上恒成立，则，〃的值可以是（）

21

D.

T

/13r

11.已知函数/（同=2干+于右•+1，则下列结论正确的是（）

A.f（x）偶函数

B.f（x）（0,+8）上单调递增

C.“X）的值域为［3,+8）

D.若N>0,X/工2，且〃百）=/（&），则3X一■->243

工2

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.设向量己二（2X,1）,B=（X+3,-1）,若可亚，则实数工=.

13.从10,11,12,13,14,15这6个正整数中任取两个数，其中恰有1个质数的概率为

14.已知正实数满足4〃+3ab=l+",则10〃2+3"-62的最小值为.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知集合4=k|f-（a+iy工+2〃（/+1）<0卜B=1x|x2-7x4-6<01.

（1）若力口5工0,求实数。的取值范围；

（2）若“xcA”是“XE8”的必要不充分条件，求实数〃的取值范围.

16.甲、乙两人进行4场投篮比赛，规定若有一人连续获胜2场，则比赛提前结束.根据以往的经验，在每

32

场比赛中甲获胜的概率为M，乙获胜的概率为不，假设每场比赛没有平局，且各场比赛结果相互独立.

（1）求打完两场比赛结束的概率：

（2）求比赛结束时，甲获胜的次数大于乙的概率.

17.某AI公司为提高经济效益，大力进行新产品研发，现计划投入100万元，全部用于甲、乙两种产品的

研发，每种产品至少要投入10万元，对市场进行调研分析后发现，甲产品的利润P,乙产品的利润。与研

105/a^T4-45,10<«<27

发投入。（单位：万元）分别满足P800,G=f/+35.10<6/<90,设甲产品的投

-----+130,27<6/<90

4+1

入为X（单位：万元），两种产品的总利润为/（%）（单位：万元）.

（1）求/（力的表达式；

（2）试问如何安排甲、乙两种产品的研发投入，才能使总利润最大，最大利润是多少万元？

18.某中学举行了一次环保知识竞赛，为了了解本次竞赛的情况，从中抽取了100名学生的成绩作为样本进

行统计，将其成绩（满分：100分）分成［40,50）、［50,60）、L、［90,100］六组，得到如图所示频率分布

直方图.

（1）求图中。的值，并估计样本数据的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）：

（2）若根据这次成绩，学校准备给成绩较高的前20%的学生颁发“环保小达人”荣誉证书，估计获得该

荣誉证书的最低分数；

（3）若落在［50,60）中的样本数羽的平均数是54,方差是6,落在［60,70）中的样本数据的平均数是

66,方差是3,求这两组数据的总平均数1和方差

19.定义一种新的运算“㊉”：Vx,yeR,都有x㊉y=ln（e'+/）,©k2.71828….

（1）对于任意实数。,4％试判断（。㊉。）-c•与（。一。）㊉。一c）大小关系；

（2）若关于x的不等式（工-1）2>［卜/丁）㊉［/丁）］-1。2的解集中恰有5个整数，求实数。的取值范

围；

（3）已知函数/（X）=1［1］］（八十6）㊉（人十6）］-2j7T5-hi2},g（x）=（%e>l）㊉（一x）,若对任意的

%wR,总存在天«-3,y），使得g（%）=ln|2m-l|+/（x2）,求实数〃?的取值范围.

高一数学

考生注意：

1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.

2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.

3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上

对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0・5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答

题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.

4.本卷命题范围：人教3版必修第一册，必修第二册.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分,在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.设命题3x>0,丁>1-3,则〃的否定为（）

A.Vx>0,X3>X2-3B.VX>0,X3<X2-3

C.Vx>0,X3<X2-3D.3X>0,X3<X2-3

【答案】B

【解析】

【分析】先修改量词，再否定原来结论可求解.

【详解】命题〃的否定为：Vx>0,X3<X2-3.

故选B.

2.已知集合人二卜£2|-1WxW9},8={），|y=A},贝]AcA中的元素个数为（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【解析】

【分析】分别用列举法表示集合A,5,再求取交集，即可求解；

【详解】集合A={X£Z|-1«X09}={-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},

8={），|y=_?,x£4}={o,],4,9/6,25,36,49,64,81},

则Ac8={0J4,9},其中的元素个数为4个：

故选：C.

3.某高中高一、高二、高三年级的学生人数分别为4(X),400,600,为了解各年级学生每天阅读的时间，用

分层随机抽样的方法从中抽取样本，若样本中高一年级的学生有14人，则样本容量为()

A42B.45C.49D.50

【答案】C

【解析】

【分析】设样本容量为〃，由抽取的高一年级人数为14人，利用分层抽样的性质能求出抽取的样本容量.

【详解】某校高一、高二、高三年级的学生人数分别为400,400,600,为调查该校学生每天用于课外阅读

的时间，

现按照分层抽样的方法取若干人，设样本容量为

•・•抽取的高一年级人数为14人，

400+400+600.

・•・〃=14x-----------------------=49.

400

故选：C.

4.已知暴函数/("=(〃22-3〃?一3卜'"在(0,+8)上单调递减，则〃2)=()

A.-B.!C.V2D.4

42

【答案】B

【解析】

【分析】根据幕函数的定义和单调性确定参数数值，求得解析式，再求函数值即可；

【详解】因为/(力=(疗-3"-3)廿为幕函数,

则〃?2一3加一3二1,

解得m=4或〃?=一1,

又因为/(力在(0,+8)上单调递减，

所以m<(),则6=一1;

所以〃力二尸=L

X

故/⑵=1，

故选：B.

5.如图，在VA3C中，丽=；/，而W=g而，若面‘而+〃/，则义+〃=()

A

N

B

222

A.-B.-cD.——

93-49

【答案】D

【解析】

【分析】根据题意，结合向量的线性运算法则，准确化简、运算，即可求解.

【详解】•・•在VA3C中，丽=1/，

3

________1______9___

.•,GV=A/V-AC=-AC-AC=——AC,

33

____2_______________________i___________91

又两=一极:.1^B=AB-AN=AB——AC,.•.而=二=沁|/,

3333

___2___o___2___7___x_____,___

z.CM=GV+W=——AC-^-AB一一AC=-AB——AC=AAB+uAC,

33939

„28i282

..A-LI——―,・・%+LI=——

3y9399

故选：D.

6.已知a=log23,b=log34,c=log48,则下列关系正确的是()

A.B.a>c>b

C.b>a>cD.c>a>b

【答案】B

【解析】

【分析】应用对数函数的单调性得出的大小关系.

4<133

【详解】因为〃=1。823>1。822夜=；，^=log3^3^3=|»c=log48=lug2；2=1,

NN.

^\a>c>b

故选:B.

1+Y

7.已知函数/（尤卜/+电^；-+2,则关于x的不等式〃x）+/（2x-l）＜4的解集为（）

}—x

A.B.

C.(%)D.

【答案】A

【《耕斤】

【分析】令g(x)=/(x)-2,再判断该函数的奇偶性和单调性，最后列不等式求解即可.

1IV

【详解】令g(x)=/(x)-2=r'+lg——,该函数的定义域

1-x

1V,

--->0=>(1+X)(1-X)>0=>-1<x<1,

又g(-x)=(-x)3+1g三=-x3-1g告=-g(x),g(x)为奇函数，

又y=V在(T,I)上单调递增，

1+xI2

根据复合函数的单调性>=1g叫t+K在(一1,1)上单调递增,

.•.g(x)在上单调递增，

不等式〃x)+/(2x—l)<4可化为

g(x)+2+g(2x—l)+2<4=>g(x)+g(2x—l)<0ng(x)<—g(2x—l)=g(l—2x),

-1<x<1

则—,解得Ovx<‘.

3

A<1-2x

故关于X的不等式〃x)+〃2x—l)<4的解集为.

故选：A.

8.已知4"-4"=1，则々一%的最大值为()

A.1B.0C.-1D.-2

【答案】C

【解析】

【分析】设，=。-北，将原方程转化为关于"=4〃一元二次方程，利用判别式和韦达定理分析正根存

在条件求解.

【详解】令/=。一勿?，则。=/+必，所以型-4"=4'一4'+处=4'一4‘铲，

所以由4"-4"=1可得4'一*?2&h,令〃=4">0,则方程即4,“2一〃+i=o.

A=4—4。'>

则该方程必有正根，所以+w2=—>0,解得，工一1,

w.w,=—>0

-4,

所以以一2〃的最大值为—1.

故选：C.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分,在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.某城市连续7天的最低温度（单位：°C）为0,2,5,5,6,7,3,则这组数据的（）

A.极差为7B.40%分仅数为4

C.平均数为4D.方差为5

【「：】AC

【解析】

【分析】对该数据进行排序，分别求出极差,百分位数，平均数，和方差，再与选项对比进行判断;

【详解】某城市连续7天的最低温度（单位：℃）为0,2,5,5,6,7,3,

将这组数据从小到大依次排列为：0,2,3,5,5,6,7：

对于A选项：极差为7-0=7,故选项A正确；

对于B选项：由于7x40%=2.8，故40%分位数为从小到大排列的第二位“3”，故选项B错误；

对干C选项：平均数为T（0+2+3+5+5+6+7）=gx28=4,故选项C正确；

对于D选项：方差为

2222222

5=lr（0-4）+（2-4）+（3-4）+（5-4『+（5_4）+（6-4）+（7-4）]=—,故选项D错误；

故选：AC.

10.己知定义在R上的函数/6）满足/（x+l）=2/（人），且当人式0,1）时，/（A）=1-|2A-1|,若

/（工）43在（一双向上恒成立，则〃，的值可以是（）

151721

A.——B.——C.—D.—

8888

【答案】ABC

【解析】

【分析】已知递推关系/（x+l）=2/（x）,分区间推导函数表达式，再通过解方程找到.f（x）=3的对应点,

最后结合图象确定的取值范围即可得解.

详解】根据已知条件，xe[O,l）,/（x）=l-|2x-l|e[0,l],

当xw[l,2）时,有/（力=2/（工一1）=2（l—|2（x—1）—1|）=2（1—白—3|闫0,2],

当问2,3）时,有/（力=2/"-1）=4（1一|2"-2）-1|）二40-|2九一5|闫0,4].

令/（1）=4（1一|2X一5|）=3,解得x=?或户名，

88

19

结合图象，/”的最大值为

故选:ABC.

,、32t+1V

11.已知函数/（1）=中二+手、＞+1,则下列结论正确的是（）

A.〃冗）是偶函数

B./（X）在（0,+8）上单调递增

C./（x）的值域为[3,+8）

D.若内＞0，玉工々，且/（内）=/（勺），贝U3M--工之

，2

【答案】ABD

【解析】

【分析】利用偶函数恒等式可判断A,利用复合函数单调性可判断B,利用偶函数和单调性可判断C,利用

偶函数和基本不等式可判断D.

/Iia\

【详解】由函数/（力一牙」十手、+1的定义域为R，

口，/、3-2，+13-,1+32A3X-/\

目.f（-X）=---------F-z----F1=------4----r-+1=f\X）»

'3T3一2、+l3V1+32X

所以/（x）是偶函数，故A正确；

，/、32t+13”一，1I,

,f（x）=-----+—----+1=3+——+------4-1

由、-3*32、+13rI，

D十--

3X

令，=3'+",则上式可化为y=r+；+l,

当工£（0,+8）时，3AG（l,+oo）,则，=3、+'■在X£（0,+8）上是单调递增，

此时f£（2,-KO），则y=/+；+1在f£（2,-W）上也是单调递增，

所以函数""）=3'+豕’点一一|-+1在x<u,+8）上是单调递增，故B正确；

3+—

3'

7

因为/（X）是偶函数且在［0,+8）上是单调递增，所以/（X）的最小值为"0）=5，

7

即f（x）的值域为［于+8）,故C错误；

因为〃久）是偶函数且在［0，+8）上是单调递增，〃5）=/（玉），芭>0,大产W，

所以々二一内，即3玉一」-=3斗+，226,当且仅当玉=£时取等号，故D正确;

X2X\3

故选：ABD.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.设向量力=（2乂1）3=（戈+3,-1）,若可防，则实数x=.

【答案】T

【解析】

【分析】根据“若町防，则百为一/乂=0"，解出x的值；

【详解】4=（2X,1）,6=（X+3,—1）,a\\b,

则实数—2x—（x+3）=0,

解得x=-1,

故答案为：—1.

13.从10,11,12,13,14,15这6个正整数中任取两个数，其中恰有1个质数的概率为.

Q

【答案】—

15

【解析】

【分析】先区分质数与合数个数，再分别计算总取法数和恰有1个质数的取法数，最后用古典概型公式求概

率.

t详解】从10,11,12,13,14,154s质数为11,13共2个；合数为10,12,14,15,共4个.

1.总基本事件数：从6个数中任取2个，戏=15；

2.恰有1个质数的事件数：选1个质数+1个合数，=2x4=8；

Q

3.所求概率：P=—.

15

Q

故答案：—.

14.已知正实数。/满足4/+3血=1+6，则1042+3。〃—片的最小值为.

49

【答案】—##1.96

25

【解析】

【分析】对原式进行化简代入，得到关于。的函数，再利用基本不等式，求出。的范围，即可求出代数式

的最小值；

【详解】4"+3时=1+。2,可得〃2一3仍=4/一1,

2222

则10a+3ah—=1Oa2一（〃2_3（曲）=1o«-（4a-1）=6«+1.

又因为4a2+3ab=1+/，即4a2+3ab-/?2=1>

所以（4tz-b）（〃+/）=l,

故5a=（4〃一］）十（4十力）之2J（4a—〃）e十〃）=2,

即“2-（当且仅当4〃一人=。+。，即4=上时取等），

53

49

所以10。2+3。〃一/=6/+12——，

25

49

故答案：—.

25

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知集合A=W工2一(。+1)2工+2“(〃2+])<()},B=x2-7x+6<o}.

(1)若An^w。，求实数。的取值范围；

(2)若“XEA”是“XEZF的必要不充分条件，求实数。的取值范围.

【答案】(1)(一。,3]

(2)--石]

【解析】

【分析】(1)利用集合间的基本关系计算即可；

⑵利用集合间的基本关系及必要不充分条件的定义计算即可.

【小问1详解】

因为2。(々2+[恒成立，

所以可得A={乂/一(〃+])2X+2。(〃2+])<o}=[2。,/+1],

8={Hx2-7x+6<0|=|X|(X-1)(^-6)<0|=[t6],

由AcBw0可知，区间[2a,/+i]与[i,6]有公共部分，

a2+l>1恒成立，则需满足2a<6；

解得

所以实数。的取值范围为(-8,3].

【小问2详解】

•・•K£A是X£3的必要不充分条件,

・・・8是A的真子集.

2a<a2+l

所以A#0,且满足，2。m1,解得〃工-不，

a2+1>6

・♦・实数。的取值范围为

16.甲、乙两人进行4场投篮比赛，规定若有一人连续获胜2场，则比赛提前结束.根据以往的经验，在每

32

场比赛中甲获胜的概率为不，乙获胜的概率为不，假设每场比赛没有平局，且各场比赛结果相互独立.

JJ

(1)求打完两场比赛结束的概率；

(2)求比赛结束时，甲获胜的次数大于乙的概率.

13

【答案】（1）

25

⑵空

625

【解析】

【分析】（1）用4表示“第i场比赛甲获胜”（i=l,2,3,4）,用C表示“打完两场比赛结束”，则

P（C）=P（A4）+P（A4）,应用独立事件和互斥事件的概率运算公式求解;

（2）用。表示“比赛结束时，甲获胜的次数大于乙”，则尸（。）=尸（AA?十十应用独

立事件和互斥事件的概率运算公式求解.

【小问1详解】

用4表示“第，场比赛甲获胜”（i=1,2,3,4）,

则用。表示“打完两场比赛结束”,

则P(C)=0(AA)+『(44)=]X1+£X«|=M

JJJJ

【小问2详解】

若“比赛结束时，甲获胜的次数大于乙”为事件。，则O=4A2+A&A+A&AA，

所以p（o）=p（A4+A4A+a&44）=P（A4）+P（4A24）+P（AaA4）

332333233369

=—X—+—X—X—+—X—X—x-=.

555555555625

17.果Al公司为提高经济效益，大力进行新产品研发，现计划投入100万元，全部用于甲、乙两种产品的

研发，每种产品至少要投入10万元，对市场进行调研分析后发现，甲产品的利润P,乙产品的利润。与研

10V^T+45J0<67<27

发投入。（单位：万元）分别满足。=80（）,Q=a+35A0<a<90,设甲产品的投

-----+130,27<。<90

、。+1

入为X（单位：万元），两种产品的总利润为/（X）（单位：万元）.

（1）求“X）的表达式；

（2）试问如何安排甲、乙两种产品的研发投入，才能使总利润最大，最大利润是多少万元?

10VX^T-X+180,10<X<27

【答案】（1）小）=800

x+265,27<^<90

（2）甲产品投入200—1万元，乙产品投入101—20五万元；最大利润是266-40及万元

【解析】

【分析】(1)根据题意，分情况列出关系式，写成分段函数形式即可；

(2)分情况求出各段的最大值，结合换元，基本不等式，二次函数知识求解即可.

【小问1详解】

甲产品的投入为x万元，则乙产品的投入为100—x万元，

当10WXW27时，/(x)=10Vrd4-45+100-x+35=10>/x^T-x+180,

QAf)QAA

当27cxs90时，/(x)=—^-4-130+100-x-t-35=265,

x+1X+1

10VX^T-X+180,10<X<27

则f(x)=1800；

------x+265,27<x<90

,x+1

【小问2详解】

当104xW27时，令「=尸1£[3,后],

则〃"二履/)=——+io/+i79=—(-5)2+204,

则小)2=45)=204；

QAAQHA

当27cx(90时，/(%)=-------(x+l)+266=------+J+1+266

x+1\_x+\_

<-2J咨.(x+1)+266=266-40人，

等号成立时，%=20>/2-1，

因为204V266-408

所以当甲产品的投入为20夜一1万元，乙产品的投入为101-20及万元时，总利润最大，最大为

266-4()及万元.

18.某中学举行了一次环保知识竞赛，为了了解木次竞赛的情况，从中抽取了100名学生的成绩作为样木进

行统计，将其成绩(满分：100分)分成［40,50)、［50,60)、L、［90,100］六组，得到如图所示频率分布

直方图.

举频率

「组距

0.025.....................\\

0.020^..............Z

O.Olol--I---------L-J-------

oooa；rlII__.

405060708090100分数

（1）求图中。的值，并估计样本数据的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；

（2）若根据这次成绩，学校准备给成绩较高的前20%的学生颁发“环保小达人”荣誉证书，估计获得该

荣誉证书的最低分数：

（3）若落在［50,60）中的样本数据的平均数是54,方差是6,落在［60,70）中的样本数据的平均数是

66,方差是3,求这两组数据的总平均数7和方差小.

【答案】（1）。=0.030,平均数为74

（2）86

（3）1=62，s2=36

【解析】

【分析】（1）根据频率之和为I,求图中〃的值，用该组区间的中点值代表同组数据计算样本数据的平均

数；

（2）求出第80百分位数可得结果；

（3）利用分层抽样的平均数公式和方差公式可求得结果.

【小问I详解】

由题意可得（0.005+0.010+0.020+。+0.025+0.010）x10=1,解得。=0.030,

平均数为0.05x45+0.10x55+0.20x65+0.30x75+0.25x85+0.10x95=74.

举频率

,颠

0.025...................J--J—

°-020|.....M［小问2详解】

0o0.^oio：lr--l-I—IL-JI—__.

405060708090100分数

设“获得该荣誉证书的最低分数”为《,

由于分数介于［90,100］的频率为0.10、分数介于［80,90］的频行为0.25,

故获得该荣誉证书的最低分数介于［80,90］之间，

则有0.025x（90—x）+0.10=0.20,解得犬=86.

【小问3详解】

成绩位于［50,60）的学生人数为100x0.1=10,

成绩位于［60,70）的学生人数为100x0.2=20,

因为落在［50,60）中的样本数据的平均数是54,方差是6,

落在［60,70）中的样本数据的平均数是66,方差是3,

所以两组数据的总平均数1=3x54+^x66=62,

3030

总方差为S2=/［6+（54—62）1+|^3+（66-62）［=36.

19.定义一种新的运算“㊉”:Vx,yeK,都有x㊉y=ln（e*+e＞）,e-2.71828….

（1）对于任意实数。，4c,试判断（。㊉〃）一c与（。一。）㊉（〃-c）的大小关系；

（2）若关于X的不等式（了一1）2〉［,、2）㊉（/巧卜］口2的解集中恰有5个整数，求实数。的取值范

围；

（3）已知函数〃x）=ln{［（x+6）㊉（x+6）］—2j7，i—ln2},g（x）=（x㊉1）㊉（一x）,若对任意的

玉eR,总存在/«—3,+8）,使得g（xj=ln|2加一1|+/（毛），求实数”的取值范围.

［答案］(1)㊉〃)_c=(a—c)㊉(〃_c)

r_56..6655

<-4

「二u"5