2026高二数学复习训练 重难点13 圆锥曲线易错题十五大题型（原卷版）

重难点13圆推曲线易错题十五大题型汇总

EB题型解读；

题型9轨迹方程忽视限制条件

题型10直线与圆锥曲线的位置关系忽视判别式

题型11弦长公式选择不恰当

重难点13圆锥曲线易错题十五大题型汇总-修型12直线与圆锥曲线有一个交点误认为是相

题型13定点问题理解不透彻

题型14忽略数形结合的重要性

题型15混淆焦点弦与非焦点弦

ESI满分技巧/

易错一.忽略椭圆定义中的限制条件

椭圆是在平面内定义的，所以“平面内”这一条件不能忽视.

定义中到两定点的距离之和是常数，而不能是变量.

常数(2a)必须大于两定点间的距离，否则轨迹不是椭圆，这是判断曲线是否为椭圆的限制条件.

易错二.忽略椭圆焦点位置的讨论

椭圆的标准方程有两个，焦点分别在两个坐标轴上；求椭圆方程时，如果无法确定焦点位置时，常常要进

行分类讨论.此类问题也可设椭圆方程为mx2+ny2=l(m，n,m>0,n>0)因为它包括焦点在x轴上(m<n)或焦

点在y轴上(m>n)两类情况，所以可以避免分类讨论，从而简化了运算.

易错三.忽略双曲线定义的限制条件

1.定义：在乎面内，到两个定点尸、鸟的距离之差的绝对值等三常数2a(。大于0且2av衍用)的动点

尸的轨迹叫作双曲线.

2.焦距：这两个定点F,、F2叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距.

注意:1.若去掉定义中的“绝对值"，常数。满足约束条件:|尸制一|尸闾=2"忻段（a＞0）,则动

点轨迹仅表示双曲线中靠焦点6的一支；若归用一|历|=2〃＜忻周（）,则动点轨迹仅表示双曲

线中靠焦点6的一支；

2.若常数〃满足约束条件：归制-归川二2。二恒用，则动点轨迹是以Fi、F2为端点的两条射线（包括

端点）；

3.若常数4满足约束条件：归用--图|=2〃＞花用，则动点轨迹不存在；

4.若常数〃=0，则动点轨迹为线段FR的垂直平分线.

易错四忽略双曲线位置的讨论

双曲线的标准方程有两种形式，其焦点分别在x,y轴上，焦点位置不同求出的解是不一样的，在解题时要注

意分类讨论.

易错五.忽略抛物线定义的限制条件

抛物线的定义是到定点距离等于到定直线距离相等的点的轨迹，注意定点不在定直线上，在解方程时注意

点的坐标范围。

易错六.忽略抛物线的焦点所在位置的讨论

抛物线的焦点位置有四种不同的位置，在解题时要注意避免因焦点位置不同而出错.

易错七.忽略抛物线需要转化为标准形式

抛物线方程如果是y=ax?类型，需要转化为焦点在x轴抛物线的标准形式x2=y,然后在进行求解其他的量。

易错八.求轨迹方程忽略取值范围

在求轨迹方程时，要注意题设条件对变量的限制，这一点易被忽视.

易错九.忽略判别式大于零

在用圆锥曲线与直线联立求解时，消元后得到的方程中要注意；二次项的系数是否为零?判别式△20的限制

（求交点，弦长，中点，斜率，对称存在性问题都在△＞（）下进行）.

易错十.弦长公式需要合理选择

弦长公式：若直线y=kx+b与国锥曲线相交于两点A,B.且x1,X2分别为A,B的横坐标,

z

|AB=V1+/c|%i-x2\,

若％,y?为分别为A,B的纵坐标，则ABI=Jl+专仪1-为1，

若弦AB所在直线方程设为x=ky+b,则|AB|二VTTP|%-y2|.

易错十一.混淆相切与有一个公共点

当联立直线与圆锥曲线方程构成方程组有唯一解时，在椭圆中相切，在双曲线中需注意直线与渐近线的关

系；在抛物线中需注意直线与对称轴的关系，而后判断是否相切.在解题过程中要注意如下细节：①设直线

方程时，要注意直线斜率是否存在，如果不确定需讨论；②联立方程组，消元得到关于x或y的方程后，

要注意二次项系数是否为0情况的讨论；③直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情

形：相切和相交如果直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双由线相交，但只有一个交点；如果直线与抛

物线的轴平行时，直线与抛物线相交，也只有一个交点.

易错十二.忽视数形结合的使用

解析几何中解题的关键就是把题目中的几何条件代数化，特别是一些很不起眼的条件，有时起着关键的作

用，如：点在曲线上、相交、共线、以某线段为直径的圆、经过某点、夹角、垂直、平行、口点、角平分

线、中点弦问题等.圆和椭圆参数方程不要忘，有时在解决问题时很方便.数形结合是解决解析几何问题的重

要思想方法，要记得画图分析！

易借十三.忽视焦点弦与非焦点弦

求抛物线弦长的时候，应该首先确认直线是否通过抛物线的焦点，如果通过焦点就用焦点

弦公式，否则只能用一般弦长公式

（1）一般弦长公式：ABI=VlTP|r1-x2|=Jl+J|yi-y2|.

（2）焦点弦长：设AB是抛物线y2=2px（p>0）的一条过焦点F的弦，AMyJBd%）,则弦长

|AB|=|AF|+|BF|=Xi+Xz+p.

EM题型提分练/

题型1椭圆定义忽略限制条件

【例题1]（2023上•浙江金华•高二浙江师范大学附属中学校考阶段练习）设2（乙丫）满足：JX2+（y+2）2+

五+（y_2尸=5,则P的轨迹为（）

A.圆B.椭圆C.双曲线D.不存在

【变式1・1】1.（多选）（2023上•吉林松原•高二校考期中）下列说法正确的是（）

A.已知点F】（一1,0）,6（1,0）,动点P满足|PF】I+\PF2\=4,则点户的轨迹是椭圆

B.已知点吊（-1,0）,尸2（1,0）,动点P满足IPFil4-\PF2\=2,则点P的轨迹是椭圆

C.已知点用（-1,0）,尸2（1已）,动点P满足|PFi|+\PF2\=1,则点P的轨迹是椭圆

D.已知点&（-1,0）,尸2（1,0）,动点P满足|PF】|+\PF2\=3,见点P的轨迹是椭圆

【变式1-1]2.（多选）（2023上河南•高二校联考期中）0。WaW180。变化时，方程叉2+y2C0Sa=i表

示的曲线的形状可以是（）

A.两条平行直线B.圆

C.焦点在x轴上的椭圆D.焦点在x轴上的双曲线

【变式1-1]3.（多选）（2023上•江苏扬州•高二仪征市第二中学校考阶段练习）下列命题错误的是（）

A.若定点己,尸2，满足IKF2I=8,动点P满足IPm+|P-21=8,则动点P的轨迹是椭圆

B.若定点居产2,满足IF/2I=8,动点M满足|MF1|+\MF2\=10,则M的轨迹是椭圆

C.当1<kV4时，曲线。：三+3=1表示椭圆

D.若动点M的坐标满足方程?+9=1,则点M的轨迹是椭圆，且焦点坐标为（土加,0）

【变式1-1]4.（多选）（2023上•江西南昌•高三南昌市第三中学校考阶段练习）下列结论正确的是（）

A.平面内与两个定点Fl,F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆.

B.椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆.

C.方程+ny2=i（rn>o,n>O,7n*n）表示的曲线是椭圆.

D.5+5=1与5+^=1（Q>b>0）的焦距相同.

【变式1-1]5.（多选）（2023下•河南漂河・高二统考期末）下列命题中正确的是（）

A.若平面内两定点4B,则满足|P川+\PB\=2a（a>0）的动点P的轨迹为椭圆

B.双曲线/一V=1与直线x-y-2=0有且只有一个公共点

C.若方程5-各=1表示焦点在V轴上的双曲线，则t>4

4—cc-1

D.过椭圆一焦点F作椭圆的动弦PQ,则弦PQ的中点M的轨迹为椭圆

【变式1-1]6.（多选）（2022上•新强克拉玛依・高二克拉玛依市高级中学校考期中）若方程<+左=1所

3—CC—1

表示的曲线为C,则下面四个命题中正确的是（）

A.曲线。可能是圆

B.若C为椭圆，则1<£<3

C.当t>2时曲线。是焦点在y轴上的椭圆

D.当「=0时曲线。不是椭圆

题型2椭圆方程忽略焦点位置的讨论

【例题2]（2023上湖北武汉•高二华中师大一附中校考期中）已知椭圆C：[+占=1的离心率为§,则实

rCT1/

数A的值为（）

A.2B.2或7C.2或弓D.7或日

【变式2-1]1.（2023上•河南洛阳・高二洛阳市第一高级中学校考期中）已知椭圆C过点（3,0）,且离心率

为+,则椭圆C的标准方程为（）

AR9=1B.g+?=1

C.菅+$1畴+卷=1D.总+±1唠+卷=1

【变式2-1】2.（多选）（2023上・安徽合肥•高二校联考期中）已知曲线C：卢+去=1为椭圆，则（）

1—m2+m

A.-2<m<1

B.若C的焦点在x轴上，则C的焦距为2，一2m-1

C.若。的焦点在那由上，贝必的短轴长取值范围为（0,号）

D.若C的焦点在y轴上，则。的离心率为呼

【变式2-1]3.（2023上•江苏南通・高二校联考阶段练习）若椭圆5+y2=1的离心率为F，则m的值

为

【变式2-1]4.（2023上•高二课时练习）椭圆匕+1=1的焦距为4,则m的值为

m6

【变式2-1]5.（2023上浙江绍兴•高二浙江省上虞中学校考期中）椭圆C:?+A=1的焦距为4，则。的

长轴长为

【变式2-1]6.（2022・高二课时练习）若常数a>0,椭圆式+a2y2=2a?的长轴长是短轴长的3倍,则

实数a的值为

【变式2-1】7.（2023・全国•模拟预测）过四点（0,1）,（p-1）,（l,f）,（1,-日）中的三点的一个椭圆标准

方程可以是，这样的椭圆方程有个.

题型3双曲线定义忽略限制条件

【例题3]（2023上•江西•高二校联考阶段练习）已知点8（0,4）（（0,-4）,动点4满足||4B|-MC||=26,

则A的轨迹方程为（）

【变式3-1]1.（2023・全国•高三专题练习）在平面直角坐标系中，一动圆。与x轴切于点4（4,0）,分别过

点时一时）砥时祚圆比勺切线并交于点网点「不在竹由上）,则点P的轨迹方程为（）

A•会？=l（x>4）

B

C.^16--^9-=l（x>4或％<-4）

、X2V2

D・丁卜1

【变式.3-1]2.（2023上•湖北褰阳•高二襄阳市第一中学校考阶段练习）M是双曲线?-掾=1上一点,点

&,悠分别是双曲线左右焦点，若|Ma|=5,则|M&I=（）

庆.9或1B.1C.9D.9或2

【变式3-1]3.（2023上•江苏镇江•高二统考期中）已知双曲线5-f|=l（m>0）的左右两个焦点分别是

居、F2,焦距为8，点M是双曲线上一点，且IMF/=5,则|MFzl=

【变式3-1]4.（2023•全国高二课堂例题）已知F]（-2,0）,尸2（2,0）,动点P满足|PFJ-|PFz|=2,求动点

P的轨迹方程.

题型4双曲线方程忽略焦点位置的讨论

【例题4】（2023上•重庆沙坪坝高二重庆南开中学校考期中）若双曲线C以两条坐标轴为对称轴,y=；x

是其一条渐近线，则双曲线C的离心率为（）

A!或?或?

【变式4-1]1.（2023上•河南三门峡•高二统考期末）设双曲线一T=1的一条渐近线为/=岳,则

。的离心率为

【变式4-1]2.（2024上•重庆沙坪坝•高三重庆南开中学校考阶段练习）已知中心为坐标原点，焦点在坐

标轴上的双曲线。的一条渐近线与曲线y=H-5相切，则双曲线C的离心率可以是.（写出一个

结果即可）

【变式4-1】3.（2023・高三课时练习）已知双曲线的焦距为6,它的离心率为3,则该双曲线的标准方程

为

【变式4-1]4.（2021下•陕西安康•高二i充考期末）已知双曲线产+告=1的焦距为2K,则其离心率

3-mzn—2

为

题型5离心率忽略范围

【例题5】（2023•全国•模拟预测）已知直线上y=%-。过双曲线C：冬一'=l（a>0/>0）的右焦点F（c,0）,

且与双曲线右支交于M,N两点.若丽=9MF,则双曲线C的离心率为（）

A竽B.fC.V2D.V3

【变式5-1]1.（2023上•浙江台州•高二校联考期中）椭圆总+《=l（a>b>0）的左，右焦点分别为0,

F2，若椭圆上存在点Q,使乙FiQFZ=120°,则椭圆离心率。的取值范围为（）

A.（。多B.（谭

C・停，】）D.0）

【变式5-1】2.（2023上•山西大同♦高二统考期中）已知椭圆嗜+'=l（a>匕>0）的左、右焦点分别为

尺,.5，点48在C上，四边形ARFzB是等腰梯形，|你|=贝心的离心率的e取值范围是

（）

A.（词86阴（：.净,触.停也

【变式5-1]3.（2023・全国•模拟预测）已知双曲线C:^-^=l（a>0tb>0）的左、右焦点分别为0,

22

尸2,A为C的左顶点，点B在C的右支上,若IAF2I=\BF2\,且直线“2被圆严+y=c（c为半焦距）

截得的弦长为;c,则双曲线C的离心率为

【变式5-114.（2023•全国模拟预测）双曲线-:=1（"01>0）的左、右焦点分别为用,，点P

是其右支上一点.若|PFi|=3,\0P\=要，出PF?=:,则双曲线C的离心率为

【变式5-1J5.（2023上•安徽安庆・高二安徽省怀宁县新安中学校考阶段练习）已知椭圆C：4+^=l（a>

b>0）的左、右顶点分别为4,A2,且以线段力遇2为直径的圆与直线以-ay+2ab=0相交，则椭圆C的

离心率的取值范围为

【变式5-1]6.（2022上湖南高二校联考期末）已知椭圆邕+祭=l（a>b>0）的右焦点为F（c,0）,上

顶点为4（0,b）,椭圆右准线上存在一点P满足（可+包）•而=0,则椭圆的离心率的取值范围为.

题型6抛物线定义忽略限制条件

【例题6]（2023・全国•高三专题练习）点P到点?（3,0）的距离比它到直线I：x=1的距离大4,则点P的

轨迹是（）

A.抛物线B.椭圆C.双曲线D.以上都不对

【变式6-1]1.（2023・甘肃酒泉统考三模）泰戈尔说过一句话：世界上最远的距离，不是树枝无法相依,

而是相互了望的星星，却没有交会的轨迹；世界上最远的距离，不是星星之间的轨迹，而是纵然轨迹交会，

却在转瞬间无处寻见.已知点M（0,l）,直线上y=-2,若某直线上存在点P,使得点P到点M的距离比到直

线，的距离小1,则称该直线为"最远距离直线"，则下列所有正确结论的序号是

①点P的轨迹曲线是一条线段；

②点P的轨迹与直线上y=-2是没有交会的轨迹（即两个轨迹没有交点）；

®y=x-幅"最远距离直线”；

@y=-2x-6不是"最远距离直线”.

【变式6-1]2.（2021・高二课时练习）抛物线P=2x上各点与焦点连线的中点的轨迹方程是_______.

【变式6-1]3.（2022•全国高三专题练习）动点M（“）到y轴的距离比它到定点（2,0）的距离小2,求动

点M（x,y）的轨迹方程.

【变式6-1]4.（2022上•广东•高二校联考期末）已知平面内一动点P到定点以0,1）的距离比它到x轴的距

离多1.

(1)求P点的轨迹方程c;

(2)过点Q(0,5)作直线与曲线C交于4B(4点在B点左侧)，求+S的。的最小值.

题型7抛物线方程忽略焦点位置的讨论

【例题7](2023上•河南商丘高二商丘市实验中学校联考期中)已知抛物线。:产=2ay的准线为y=1,

且C与直线y=-x+b相切，则b=()

A.2B.1C.-1D.-2

【变式7-1]1.(2023上•高二课时练习)顶点在原点、坐标轴为对称轴的抛物线，过点(-4,2),则它的方

程是()

或2

A.y=2%2y2=—4%B.y=—=2y

C.x2=D.y2=-4%

【变式7-1]2.(2023上•高二课时练习)设抛物线y=mx2(0)的准线与直线y=1的距离为3,则

抛物线的标准方程为

【变式7-1]3.(2023上•高二课时练习)已知顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线被直线y=2x+1截得

的弦长为g,求该抛物线的方程.

【变式上黑龙江牡丹江高二牡丹江市第二高级中学校考期末)已知抛物线

7-1]4.(2023••y2=2px,p

为方程%2-4%-12=0的根.

(1)求抛物线的方程；

(2)若抛物线与直线y=2x-5无公共点，求此抛物线的通径|力£|(通径：过抛物线的焦点且与对称轴垂直

的直线被抛物线所截得的线段).

题型8抛物线未化成标准形式

【例题8]（2023•全国•模拟预测）抛物线y=aM上一点P（-1,2）到其准线的距离为（）

ABCD

2828

【变式8-1]1.（2023上•江西南昌・高二南昌十中校考期中）抛物线2%=好的准线方程为（）

A.x=--B.x=--

82

C.y=一意D.y=

【变式8-1]2.（2023上•辽宁鞍山•高二鞍山一中校考期中）抛物线y=2/的准线方程是（）

A.x=-B.x=

88

C.y=^.y=-^

【变式8-1]3.（2022•重庆涪陵重庆市涪陵高级中学校校考模拟预测）抛物线y=4/上A点到焦点F的

距离为?，则点A的纵坐标为（）

1O

A.1BCD.-

161616

【变式8-1]4.（2023上•北京高三北京市陈经纶中学校考阶段练习）抛物线y=2产的焦点坐标为

1b

【变式8-1]5.（2022・高二课时练习）抛物线3/+4y=0的焦点坐标为，准线方程是.

题型9轨迹方程忽视限制条件

【例题9]（2023上•江西南昌・高二江西师大附中校考期中）已知动圆C与圆Q:a-3）2+口=矽卜切,

与圆Cz：（x+3）2+/=4内切，则动圆圆心C的轨迹方程为（）

A.圆B.椭圆C.双曲线D.双曲线一支

【变式9-1J1.（2023上•上海杨浦•高二复旦附中校考期中）在4力BC中4（-3,0）,8（3,0）,3sin8-3sinA=

sinC,则顶点C的轨迹方程是

【变式9-1]2.（2023上•浙江台州•高二校联考期中）已知椭圆C:三+川=1,点p（i,o）,M为椭圆上

任意一点，A,B为椭圆的左,右顶点，当M不与A,B重合时，射线MP交椭圆C于点N,直线/IM,BN交

于点T,则动点T的轨迹方程为

【变式9-1]3.(2023上浙江杭州•高二浙江省杭州第二中学校考期中)设圆/+y2+2%-15=o的圆

心为力，直线/过点8(1,0)且与%轴不重合，/交圆力于C,D两点，过8作力0的平行线交力C于点立

(1)写出点£的轨迹方程；

(2)设点E的轨迹为曲线G,过4且与/平行的直线与曲线G交于EQ两点，求|而•而|的取值范围.

【变式9-U4.(2023上・江苏•高一海安市曲塘中学校考期中)已知椭圆[+4=1的左、右顶点为人、心，

与y轴平行的直线交椭圆于两点r、p2,直线公匕与直线&尸2的交点为P.

(1)求点P的轨迹方程「；

(2)若曲线「上的点Q满足4&Q4=30。，求4人必必的面积.

【变式9-1]5.(2023上•北京•高二北京市第三十五中学校考期中)已知两定点M(l,3)、N(3,l),动点P满

足条件—，求动点P的轨迹方程.请从下列条件中任选一个补充到横线上，并在此条件下完成题目.

条件①：直线PM与直线PN垂直;

条件②：点P到M、N两点距离平方之和为20;

条件③：直线PM与直线PN斜率之积为4.

(注：如果选择的条件不符合要求，计0分；如果选择多个符合要求的条件分别作答，按第一个解答计分)

题型10直线与圆锥曲线的位置关系忽视判别式

【例题10](2022・全国•高三专邈练习)已知椭圆=+y2=1的一个顶点为力(0,一1),是否存在实数m,

使直线/：y=x+m与椭圆有两个不同的交点M、N,并使|力M|=\AN\,若存在,求出m的值；若不存在，

请说明理由.

【变式10-1]1.(2022上•福建漳州•高二福建省华安县第一中学校考阶段练习)已知过原点的动直线I与

圆C]：。-2)2+y2=1相交于不同的两点A,B

(1)求线段AB的中点M的轨迹C的方程；

(2)是否存在实数k,使得直线m:y=/c(x+1)与曲线C只有一个交点？若存在，求出k的取值范围；若

不存在，说明理由.

【变式10-1】2.(2023上•江苏连云港•高二统考期中)设直线x+y=l与椭圆C:mx2+ny2=

l(m>0,n>0)相交于A,B两点，点M为线段AB的中点，且直线OM的斜率为g(O为坐标原点).

(1)求C的离心率；

(2)若点D的坐标为(九,0),且/。/)力=乙ODR.求C的方程.

【变式10-1]3.(2023上河北保定•高二统考期中)已知椭圆+^=l(a>b>0)的焦距为26，点

P(2,l)在椭圆外，O为坐标原点，OP与椭圆交于点Q,过Q作椭圆的切线I,切线斜率为-：.

⑴求椭圆E的标准方程；

(2)发斜率为k的直线与椭圆E交于A,B两点,D为线段AB的中点若E上存在点C使得反4-2OD=0,

求证：△ABC的面积为定值.

【变式10-1】4.(2023上•辽宁高二校联考期中)已知双曲线,嗜-^=l(a>0,b>0)的渐近线方程为

y-±V3x,右顶点为(1,0).

(1)求双曲线。的标准方程；

⑵过E(0,2)的直线I与双曲线。的一支交于MN两点，求丽•丽的取值范围.

【变式10-1]5.(2023上.江苏常州.高二常州市第一中学校考期中)已知双曲线c与双曲线=1有

42

共同的渐近线，且过点(-3《).

(1)求双曲线C的标准方程；

(2月知P为直线T=2上任一点,过点P作双曲线。的两条切线内、PR,切点分别为4A,过。的实触右顶点

作垂直于X轴的直线与直线P4PB分别交于M、N两点，点M、N的纵坐标分别为m、〃，求nm的值.

题型11弦长公式选择不恰当

【例题11](2023上•河北•高二校联考期中)已知P是圆C:/+y2=12上一动点，过P作x轴的垂线，

垂足为Q,点M满足所=2而，记点M的轨迹为E.

(1)求E的方程；

⑵若A,B是E上两点，且线段AB的中点坐标为(-|,|),求|,4B|的值.

【变式11-1】1.(2023上•天津高二校考期中)设椭圆捺+^=l(a>b>0)的左右顶点分别为公,&，

左右焦点FL.已知|4尸2|=3,\A2F2\=1.

Q)求椭圆方程及离心率.

(2)若斜率为1的直线，交椭圆于A,B两点，与以&,尸2为直径的圆交于C,D两点若|相|=^\CD\,求

直线1的方程.

【变式(2023上浙江温州•高二校联考期中)已知椭圆?+必=1的左焦点为&，直线q=无一1

与椭圆。交于力、B两点.

⑴求线段4B的长；

(2)求AABF]的面积.

【变式11-1】3.(2023上•北京顺义•高二校考期中)已知椭圆。《+《=19>匕>0)的长轴长为6,离

心率e.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)若直线y=x+m与椭圆C相交于4,B两点,且|48|=乎,求实数小的值.

【变式11-1]4.(2023上•云南昆明•高二昆明市第三中学校考期中)已知椭圆C:/+2y2=2,左、右焦

点分别为GF2,过点片作倾斜角为甘勺直线1交椭圆于九8两点.

Q)求48的长和△48乃的周长;

（2）求4AB尸2的面积.

【变式n-1】5.（2023上•重庆高二重庆巴蜀中学校考期中）已知双曲线E:1一《二l（a>0,b>0）的

Q4

左右焦点分别为用月后到其中一条渐近线的距离为1，过吊且垂直于x轴的直线交双曲线于A,B目|4B|=

1.

（1）求E的方程；

（2）过Q（4,0）的直线，交曲线E于M,N两点若|MN|=4,求直线，的方程

【变式11-D6.（2023上江苏南通•高二统考阶段练习双曲线C经过4（4,遮）,B（花3两点过点。（3,0）

的直线乙与双曲线交于过点。的直线％与直缘=相交于点且。

CP,Q,（3,0）1S_L12.

（1）求双曲线C的方程;

（2）若|PQ|=亭国|,求直线匕隹斜率.

题型12直线与圆锥曲线有一个交点误认为是相切

【例题江西南昌江西师大附中校考三模已知尸是双曲线的左焦

12]（2023•）C:^-^=l（a>0fb>0）

点，P（o,y/6a）,直线PF与双曲缴有且只有一个公共点，则双曲线C的离心率为（）

A.72B.V3C.2D.V6

【变式12-1】1.（多选）（2023上•江苏淮安・高二统考期中）关于双曲线C：9-y2=1，以下结论正确的

有（）

A.准线方程为％=±竽

B.焦点到渐近线的距离为1

C.与双曲线。两支各有一个交点的直线斜率的取值范围为（-：,；）

D.过点（1,1）有且仅有2条直线与双曲线C仅有一个公共点

【变式12-1]2.（多选）（2023•全国•高三专题练习）已知抛物线C：y2=2PMp>0）的焦点F到准线I

的距离为2,则（）

A.焦点F的坐标为。0)

B.过点P(-1,0)恰有2条直线与抛物线C有且只有一个公共点

C.直线x+y-l=0与抛物线C相交所得弦长为4

D.抛物线C与圆M+y2=5交于M,N两点，则|MN|=4

【变式】多选)(湖南怀化统考二模)已知抛物线的焦点广到准线的勺距

12-13.(2023•A：/=2px(p>0)

离为2,则()

A.过点4(-1,0)恰有2条直线与抛物线C有且只有一个公共点

B.若T(3,2),P为C上的动点,则|PT|+|PF|的最小值为5

C.直线x+y-1=。与抛物线。相交所得弦长为8

D.抛物线C与圆%2+y2=5交于M,N两点,则|MN|=4

【变式12-1】4.(2023・全国•高三专题练习)已知双曲线E的两个焦点分别为&(-2,0),F2(2,0),并且E

经过点尸(2,3).过点M(0,l)的直线I与双曲线E有且仅有一个公共点，则直线I的方程为

【变式12-1]5.(2023上•高二课时练习)直线y=履-1与双曲线M一必=i有且只有一个公共点，则

实数k=

【变式12-1]6.(2023上•高二课时练习)已知直线y=依T与抛物线y?=8x有且仅有一个公共点，求

实数k的值.

题型13定点问题理解不透彻

【例题13](黑龙江省龙东五地市2023-2024学年高二上学期期中联考数学试题)已知点P(4,-4)是抛物

线C:y2=2px(p>0)上一点，直线I与抛物线C交于A,B两点(位于对称轴异侧)，布•丽=5(O为

坐标原点).

(1)求抛物线C的方程;

(2)求证：直线I必过定点.

【变式13-1】1.(2023上•江苏盐城・高二盐城市大丰区新丰中学校联考期中)已知椭圆C:《+《二

l(a>b>0)的离心率为白，椭圆的上顶点为(0,1),过点P(2,0)且不垂直于不轴直线/与椭圆C相交于人B两

点

(1)求椭圆。的方程；

(2)求才5•万的取值范围；

(3)若点B关于x轴的对称点为点E,证明：直物E与x轴相交于定点.

【变式13-1J2.(2023上诃南新乡♦高二统考期中)已知椭圆。《+卷=l(a>b>0)的右焦点为“3,0),

短轴长为2.

(1)求。的方程.

(2)若48为。上的两个动点，48两点的纵坐标的乘积大于0,"(—4,0),2(4,0),且乙4尸M=乙RFN.证明：

直线48过定点.

【变式13-1]3.(2023上•辽宁鞍山・高二鞍山一中校考期中)已知抛物线CM=-2py(p>0)的焦点为产，

且经过点(2,-1).

(1)求抛物线C方程及其准线方程；

(2)过尸作斜率不为0的直线交抛物线C于MN两点，直线y=T分别交OM,ON于48两点，求证：以融为

直径的圆经过y轴上的两个定点.

【变式13-1】4.(2023上河北保定高二统考期中)椭圆4+卷=1(。>6>0)的一个焦点为"(1,0),

且过点M(L；).

(1)求椭圆C的标准方程和离心率；

(2)若过点(|,0)且斜率不为0的直线与椭圆C交于M,N两点，点P在直线％=6上，且NP与x轴平行，

求直线MP，恒过的定点.

【变式13-1】5.(2023上•河北邯郸・高二校联考期中)已知椭圆6噂+5=16>力>0)的离心率为理，

且il点(国,四).

(1)求椭圆C的方程;

(2)若椭圆C的上顶点为P,过P的两条直线。"2分别与C交于异于点P的A,B两点，若直线，i,%的斜

率之和为-1,试判断直线是否过定点？若是，求出该定点；若不是，请说明理由.

题型14忽略数形结合的重要性

【例题14](2021下山东济宁高一阶段练习)已知实数x,y满足方程。-3)2+(y-3)2=6,求

(1)第勺最大值与最小值；

(2)-2尸+y2的最大值与最小值.

【变式14-111.(2023上河南•高二校联考期中)已知双曲线C：3-^=l(a>0,b>0"为C的上顶点，

8(0,5a).若在C的渐近线上存在一点P,使得乙1尸8=90。，则。的离心率的取值范围为()

A。斗)B《阴C.(l*)D.(l,啕

【变式14-1]2.(2023・湖北•武汉市第三中学校联考一模)已知圆%/+y2=b2(h>o)与双曲线。25一

^=l(a>0,b>0),若在双曲线Q上存在一点P，使得过点P所作的圆G的两条切线，切点为人B,且

乙4PB=三，则双曲线。2的离心率的取值范围是()

A.。用B.停,+8)

C.(1,V3]D.[V5,+8)

【变式14-1]3.(2023上河北邯郸