高考数学考点复习：解析几何中的范围、最值和探索性问题（讲）【解析版】

第一篇热点、难点突破篇

专题20解析几何中的范围、最值和探索性问题（讲）

真题体验感悟高考

I.（2022・浙江•统考高考真题）如图，已知椭圆会+/=].设力，8是椭圆上异于/W）的两点，且点。

在线段彳8上，直线P4P8分别交直线丁=-]+3于C,。两点.

（1）求点尸到椭圆上点的距离的最大值：

⑵求|CQ|的最小值.

【答案】（1）岑正；

⑵竽.

【分圻】（I）设“（2石cos。,sin。）是椭圆上任意一点，再根据两点间的距离公式求出|尸〃『，再根据二次函数的

性质即可求出；

（2）设直线加：y=析+[与椭圆方程联立可得不小内+9，再将直线y=-gx+3方程与尸4所的方程分

别联立，可解得点。皿勺坐标，再根据两点间的距离公式求出|。|,最后代入化简可得|。|=巧

由柯西不等式即可求出最小值.

【详解】（1）设“（26cosOsin。）是椭圆上任意一点，尸（0J）,

\PH2=12cos26>+(i-sin/9)2=13-llsin26>-2sin<9=-ll(sin<9+—IV+」)444」144，当且仅当sin<9=一二,；•时取等号,

11JIIII11

故|「，|的最大值是当

[2(1A3

(2)设直线四：y=依+，直线方程与椭圆二+/=i联立，可得/+/+去一0,设

212112yz4

k

再+工2=------r

k2*5-

+12

彳(不必),8(看,必)，所以J3，

x>x2=-7----fT

V.—11

因为直线尸小尸卫一X+1与直线产-看+3交于C,

x\2

4x4x,4x)4x,

则%=-―o=一；，同理可得,%=—^；---r=777-77-----.则

玉+2必一2(2%+1)8-1x2+zy2-2(2k+l)x2-1

ICD|=Jb3|xc-xD\=——----------——

1(

\4a2(2k+l)x,-l(2k+l)x2-l

=26__________MF____________

+1)2再入2-(2k+1)(再+X,)+1

[(2^+1)XI-1][(2^+1)X2-1]

3小J165+16石&6心+1e+1•J卜『I'"6百，

2|34+1|5\3k+\\~5|3^+1|5

当且仅当〃=5时取等号，故的最小值为56.

【点睛】本题主要考查最值的计算，第一间利用椭圆的参数方程以及二次函数的性质较好解决，第二问思路简

单，运算量较大，求最值的过程中还使用到柯西不等式求最值，对学生的综合能力要求较高，属于较难题.

2.（2021・北京・统考高考真题）已知腌圆氏:+《=1（〃>/）>0）一个顶点力（0,-2）,以椭圆£的四个顶点为顶

点的四边形面积为4石.

（1）求椭圆E的方程：

（2）过点八（（），-3）的直线/斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点，，C,直线4〃，AC分别与直线交）--3

交于热M,N,当|PM|+|PN|W15时，求人的取值范围.

【答案】⑴—+-=1；（2）[-31）51,3].

54

【分析】（1）根据椭圆所过的点及四个顶点围成的四边形的面积可求。力，从而可求椭圆的标准方程.

（2）设8a出）,C（.W2）,求出直线48,ZC的方程后可得的横坐标,从而可得|PM|+|7W|,联立直线8c

的方程和椭圆的方程，结合韦达定理化简从而可求&的范围，注意判别式的要求.

【详解】（1）因为椭圆过”（0,-2）,故6=2,

因为四个顶点围成的四边形的面枳为4g，故;x2ax2b=4有，即”石,

故椭圆的标准方程为：—+^-=1.

54

设8（演，必），。（马，歹2），

因为直线8c的斜率存在，故不占工0，

故直线令y=-3,则.%=一-yr,同理•％=一一

M必+2为+2

直线8c:j，=H-3,由”可得（4+5尸）--30h+25=0,

-4厂+5y=20、'

故△=900左2_IOO（4+5〃2）〉O,解得£<-1或A>1.

_30425..八八

又"/二石中小二石市'故中2皿所以、,>0

乂归M+|PN|=k“+/上^—―+.

凹+2y.+2

50k30k

23乙-（西+£）22

再,x。=4+5k4+5k5k

女飞々一%（%+X）+125k230k2,=\\

kx「Tkx2-124.

4+5k24+5公

故5|4区15即1*3,

综上，-3W：vT或1〈左豆3.

3.（2021・全国•高考真题）抛物线。的顶点为坐标原点O.焦点在x轴上，直线/：x=l交C于P,0两点，且

OP1OQ.已知点M（2,0）,且eM与/相切.

（1）求C,eM的方程：

（2）设4,4,4是c上的三个点，直线44，44均与eM相切.判断直线44与eM的位置关系，并说明

理由.

【答案】（1）抛物线C：/=x,eM方程为。-2）2+），2=1；（2）相切，理由见解析

【分析】（1）根据已知抛物线与x=l相交，可得出抛物线开口向右，设出标准方程，再利用对称性设出P,。坐

标，由。P_L。。，即可求出P；由圆M与直线x=l相切，求出半径，即可得出结论；

（2）方法一：先考虑44斜率不存在，根据对称性，即可得出结论；若44,44,44斜率存在，由4,4,4

三点在抛物线上，将直线44,44,44斜率分别用纵坐标表示，再由44,44与圆M相切，得出力+必，为•必

与乂的关系，最后求出“点到直线44的距离，即可得出结论.

【详解】（1）依题意设抛物线C：y2=2px（p>O）,P（l,y0）,0（l,-yo）,

QOPlOQ,:.OPOQ=\-yl=\-2p=0,:.2p=\,

所以抛物线C的方程为/=x,

M（2,0）,eM与x=l相切，所以半径为1,

所以e”的方程为3-2）2+/=］：

（2）［方法一］：设4（须必），4（如必），4（/，必）

若44斜率不存在，则44方程为x=l或X=3,

若44方程为X=1,根据对称性不妨设4。,1）,

则过4与圆”相切的另一条直线方程为y=1,

此时该直线与抛物线只有一个交点，即不存在4,不合题意；

若4A方程为X=3,根据对称性不妨设4（3,百）,4（3,-6），

则过4与圆M相切的直线44为y-J5=4（x-3）,

又3=皿='=7」=3,.•.%=（），

'再一七%+归百+必3-

七=o,4（o,（）），此时直线44,44关于1轴对称，

所以直线44与圆〃相切；

若直线44,44,44斜率均存在，

则打=1％=4%=总

所以直线44方程为歹一凹二一^-（工一西），

乂+%

整理得x-（必+%）»+叩2=°，

同理直线44的方程为x-（必+%）丁+%必=。，

直线44的方程为x-（y2+y3）y+y2y3=0,

12+必必|

Q44与圆"相切’"而了了.

整理得（/-1况+2必％+3-炉=0,

44与圆M相切，同理（片一1M+2%必+3—y；=0

所以为，外为方程（疗—1）炉+2%y+3—必2=0的两根,

2yl3-y：

乃十M--；―;，乃•％-2'1

必一1必一1

M到直线44的距离为:

）2+必川厂+沿।

"+优+乃厂'+（__

|/+11_»+1=]

J（y；T）'+4y；y,+]

所以直线44与圆M相切:

综上若直线44,44与圆M相切,则直线44与圆”相切.

［方法二I【最优解】：设4（不必）,炉"，4（0耳），*二孙4（工2/2），£=%2.

当为='时,同解法1.

当玉工w时，直线44的方程为丁一凶=互士（一』），即j二^^十@-

“2-$凹+外必+歹2

2+）仍

乂+%

由直线44与e历相切得「不二1，化简得2乂弘+（七一16一%+3=0,

J/卜

同理，由直线44与e何相切得2yM+（X-1）七一玉+3=0.

因为方程2乂歹+（菁-1）工一玉+3=0同时经过点4,4,所以44的直线方程为2弘y+（玉-1卜-菁+3=0,点M

[207)f+3|入+1|

1

到直线44距离为J4ym-1丫

所以直线4汽与eM相切.

综上所述，若直线44,44与eM相切，则直线44与e"相切.

【整体点评】第二问关键点：过抛物线上的两点直线斜率只需用其纵坐标（或横坐标）表示，将问题转化为只

与纵坐标（或横坐标）有关；法一是要充分利用44,44的对称性，抽象出必+乃,必•必与必关系，把外，乃的

关系转化为用必表示，法二是利用相切等条件得到44的直线方程为2j了+（玉-1卜-再+3=0,利用点到直线

距离进行证明，方法二更为简单，开拓学生思路

总结规律预测考向

（一）规律与预测

纵观近几年的高考试题，高考对圆锥曲线的考查，选择题、填空题、解答题三种题型均有，主要考查以下几个

方面：一是考查椭圆、双曲线、抛物线的定义，与椭圆的焦点三角形结合，解决椭圆、三角形零相关问题；二

是考查圆锥曲线的标准方程，结合基本量之间的关系，利用待定系数法求解；三是考查圆锥曲线的几何性质，

小题较多地考查抛物线、双曲线的几何性质；四是考查直线与圆锥曲线（椭圆、抛物线较多）位置关系问题，

综合性较强，往往与向量结合，涉及方程组联立，根的判别式、根与系数的关系、弦长问题、不等式等.

近几年，小题多用于考查抛物线、双曲线的定义、标准方程、几何性质等，命题角度呈现较强的灵活性；解答

题主要考查直线与椭圆的位置关系，涉及三角形面积、参数范围、最值、定值、定点、定直线等问题，命题方

向多变，难度基本稳定.近两年，直线与与双曲线的位置关系的主观题连续出现！

（二）本专题考向展示

考向一范围、最值问题

■B■■■■■■■■■MM■■•■■■■■■MM■■■.■■■■■MHi•■•■■■■■■■■■■・■■MBS■■MM■•I

【核心知识】

1JL何法:通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解.

2.代数法:把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数解析式，然后利用函数方法、不等式方

法等进行求解,或合理构建函数关系式后，用换元法，求导法，配方法等求最值.

【典例分析】

典例1.(2021•全国•统考高考真题)已知抛物线。：/=2处(">0)的焦点为人且尸与圆M:./+(y+4)2=l上

点的距离的最小值为4.

(1)求〃；

(2)若点P在M上，尸4尸〃是C的两条切线，46是切点，求V45面积的最大值.

【答案】(1)P=2；(2)20收

【分析】(1)根据圆的几何性质可得出关于P的等式，即可解出「的值；

(2)设点力(内,必)、以马,为)、P[x0,y0),利用导数求出直线以、PB，进一步可求得直线46的方程，将直

线48的方程与抛物线的方程联立，求出|彳即以及点尸到直线48的距离，利用三角形的面积公式结合二次函数

的基本性质可求得面积的最大值.

【详解】(1)[方法一|：利用二次函数性质求最小值

由题意知，尸设圆河上的点N("°),则*+(为+4)2=1.

2

=l-(j0+4)(-5<y0^-3).

从而仃|QV|=/：+■^-坊）=/一（为+4『+-为）=J-（P+8）yoT5+9.

因为一54儿乂一3,所以当先=一3时，|MV|mm=J，+3p+9=4.

乂P>0,解之得"=2,因此p=2.

［方法二］【最优解】：利用圆的几何意义求最小值

抛物线C的焦点为尸0,§，忻M|=§+4,

所以，尸与圆M：/+（y+4）2=l上点的距离的最小值为5+4-1=4,解得p=2；

（2）［方法一］：切点弦方程+韦达定义判别式求弦长求面积法

抛物线C的方程为/=4y,即产=^，对该函数求导得，'=；，

42

设点力（和乂）、5（府,必）、尸（%儿）,

直线21的方程为y-匕=即尸?一必，即中一2凹一2y=0,

同理可知，直线P8的方程为9工-2%-2y=0,

xx-2y-2y=O

由于点尸为这两条直线的公共点，则，lolQ

x2xo-2y2-2yQ=O

所以，点力、8的坐标满足方程2yo=（）,

所以，直线44的方程为如"2尸24=0,

V-2^-2^o=O

联立x2，可得/-、^+4%=0,

由韦达定理可得玉+W=2%，将占=4盟，

所以,朋=1+』4（$+/）,-4X内=J（x：+4）（x；_4y。）,

焉-4%

点P到直线/出的距离为d=J•』

所以，S-=：|力斗d=+4心；-4y°）

。看-4汽=1-（坊+4）”。=-"2%-15-）。21,

12

由已知可得一54比4-3,所以，当％=-5时，V44的面积取最大值一x202=206.

2

［方法二］【最优解】：切点弦法+分割转化求面积+三角换元求最值

同方法一得到xt+x2=2X0,X,X2=4yo.

过尸作y轴的平行线交力8于0,则。

=gIo。1也一到=-2九）•）4片一16yo=-4y°J.

xQ=cosa,

尸点在圆时上,则

%=-4+sina,

2

SVPAB=；由-4外)3=；(cosa-4sina+16尸=J[-(sina+2>+21J.

乙乙乙

故当sina=-l时VH48的面积最大，最大值为20行.

［方法三］:直接设直线AB方程法

设切点48的坐标分别为《用，力4

设/^"+人，联立3和抛物线C的方程得"y=k”x+，b,整理得―昨。.

判别式A=16*+16b>0,即F+〃>o,且％+七=4左,七&=-4〃.

抛物线C的方程为/=4y,即产=与，有，=：.

42

则儿：1一"=+（..再），整理得），=+”—式，同理可得％：y='.x—§

42242

y=±♦x-工

24X1+xxx

联立方程（\可得点。的坐标为尸2]2,即P(2…).

X]毛2

y=--x—J,

24

将点P的坐标代入圆M的方程，得（2*）2+（-6+4）2=1,整理得产=1-呼4）2

4

由弦长公式得|AB|=J1+V1^-x2|=Jl+y•1($+x?y-4中2=Jl+公•J16V+161.

\2k2+2b\

点P到直线AB的距离为d='।.

所以S'”=gMB|d=gjl6V+16：•|2犬+26卜4,（5+）=4J>丁产十台=-b2+12b-15y,

其中力=-6e[-5,-3],即be[3,5].

当6=5时，（Sv%8L=20石.

【整体点评】（1）方法一利用两点间距离公式求得|可|关于圆M上的点N（/,y°）的坐标的表达式，进一步转

化为关于”的表达式，利用二次函数的性质得到最小值，进而求得，的值；方法二，利用圆的性质，产与圆

M:/+3+4）2=1上点的距离的最小值，简洁明快，为最优解：⑵方法-设点4（不切）、81,8）、

"仇,人），利用导数求得两切线方程，111切点弦方程思想得到直线45的坐标满足方程/"2k2%=0,然手

与抛物线方程联立，由韦达定理可得%+马=2/，仆与=4稣，利用弦长公式求得|48|的长，进而得到面积关于

户（％匕）坐标的表达式，利用圆的方程转化得到关于K的二次函数最值问题；方法二，同方法一得到

/+演=2%,中2=4%，过P作y轴的平行线交45于0,则。%,，■一%.由“研二女尸。也-引求得面

积关于"（毛，K）坐标的表达式，并利用三角函数换元求得面积最大值，方法灵活，计算简洁，为最优解；方法

三直谖设*线。s：y=b+6,联立直线45和抛物线方程，利用韦达定理判别式得到F+6>0,且

x}+X2=4kiXix2=-4b.利用点Q在圆“上，求得"，力的关系，然后利用导数求得两切线方程，解方程组求得P

的坐标,进而利用弦长公式和点到直线距离公式求得面积关于6的函数表达式，然后利用二次函数的

性质求得最大值；

22

典例2.（2023春•广东清远•高三校联考阶段练习）已知双曲线=力〉0）的右焦点为产（2,0）,过

L&XI

点户的直线/与双曲线C的右支相交于"，N两点，点“关于V轴对称的点为P.当=0时，

刖=苧.

（1）求双曲线。的方程：

\QF\

（2）若的外心为。，求丽河的取值范围.

【答案】（1）]-/=1；

⑵(1,阿

【分析】（1）设双曲线的半焦距为C,由条件列关于a，b，c的方程，解方程求。力,。可得双曲线方程;

\QF\

（2）设直线/的方程为X=fy+2,利用设而不求法求点。的坐标，利用£表示嗣，再求其范围.

【详解】（1）设双曲线的半焦距为。，

因为双曲线C的右焦点为尸（2,0）,所以c=2,

因为点加和点尸关于y轴对称，

ULiXJL1X1

所以当MNMP=0时,直线/的方程为工=。，

x2y2_,厂

联立靛一针可得y=±Z,又MN|=独，

x=ca3

所以2忙=侦，又C2=a、b2,

a3

所以a=百,b=1,

2

故双曲线方程为/-/=];

（2）若直线/的斜率为0,则直线/与双曲线右支只有一个交点，与已知矛盾，

所以可设直线/的方程为x=ty+2,

2

工—2=]

联立了一）’~,消X,得（/-3）/+4少+1=0,

x=ty+2

方程1-3）/+4。，+1=0的判别式A=16/-4（»-3）=12r+12>0,

设”（西，凹）,义卜2，%），尸（一小乂），

4r1

贝nl|J必+%=一7'

I-3I-J

Z\.122\A-312-12

X]+巧=/（必+必）+4=_7T-?芭超二厂必y2+2/（必+%）+4=2，

I—JI—J

17_1/2_19LL

由已知一4>0,”>0,所以—百</<道，

广-3广-3

所以线段MN的中点坐标为1-3,一/），

所以线段MN的垂直平分线方程为了+上=TG3],

/-3Z-5）

又线段M尸的垂直平分线方程为x=0.

所以点。的坐标为0,

金河5E

IM=%-必I==2斗丁)

uCI_〃+10/+9_V3尸7?

所以的=G("+i)Fe

所以周邛卜册生，<5

因为-6</<百，所以1工/+]<4,

Q

所以3<1+—49,

r+1

所以1<需

所以端的取值范围为（1,6].

【点睛】直线与双曲线的综合问题，一般利用设而不求法解决；其中范围或最值问题，一般利用设而不求法求

出变量的解析式，再结合函数方法求其范围或最值.

典例3.（2022秋•安徽阜阳•高三安徽省临泉第一中学校考期末）已知椭圆C:=+二=1（。〉/〉>0）的离心率为

a'b'

正,且过力（2,1）

2

（1）求。的方程.

LMUULAJULJU

⑵若8/为C上不与A重合的两点,0为原点，且OP=+“08,储+"=1,

①求直线纱的斜率；

②与OB平行的直线/与C交于M”两点，求V4WN面积的最大值.

【答案】⑴入+金=1

82

⑵①-：；②3g

【分析】（1）根据已知条件列方程组求解即可；

lAJfl»1<1L1—1

（2）①设8（%,为）,因为。尸=/。"〃。4=（22+〃.%只+〃为）,可得点0的坐标,将点尸的坐标代入椭圆的方程,与

已知条件结合即可得到结果;

②由①知设，的方程为卜=-］+初（〃=0）,“（多/）,可（当必）,联立直线与曲线。的方程,根据弦长公式求出|四|

的氐根撮点到直线的距离公式表示A到直线/的距离，将V4W7V的面积用m表示,利用导数进行求解即可.

£_在

a2

41,

【详解】（1）由题意可得—+-T=1

a-b-

a1=b2+c2

解得d=8方=2.

所以，。的方程为工+片=1.

82

-1UMUULUJ

（2）①设8（%,凡）,因为0P=+++

所以点P的坐标为（2/+刈.%〃+〃）%）,

又因为点尸在椭圆C上，

所以色上竺』卜包"Li

82

化简可得分+〃2（3+勺］+^^+初为=1,

因为日+K=I且分十"=1

82

所以券+4，=0、

因为8,0为C上不与A重合的两点，

所以%

即直线OB的斜率太=丛=一1.

X。2

②设1的方程为y=->加（〃［工0）,"（网,必）,刈％2，%），

y=---x+w

由L\，消去上

ry­,

82

可得x2-2mx+2m~-4=0,

由△=4/_4（2〃/_4）>0,可得一2<m<2,且〃？7to.

玉+W=2m,x{x2=2"J-4,

|w-2|2(2-w)

A到直线/的距离"二丁丁二#，

/1H---

AV4

22

所以7AMN面积为S==^'(4-/n)(2-/M)=J(2+〃？)(2—加丫,

令/(〃?)=(2+〃。(2-机)'(-2<m<2,〃?=0),

/'(次)=-4(2•-〃?)一(〃?+1).

令广(〃?)=0、解得m=-1,

当/'(‘")>。、解得一2<加<一1;当/'(〃?)<0，解得一1<〃？〈。或0<加<2,

所以/(〃?)在(-2,-1)上单调递增，在(-1,0),(0,2)上单调递减，

所以,(〃)的最大值为/(-1)=27,

所以S£3石，

即V/MN面积的最大值为3万.

典例4.(2020・浙江•统考高考真题；如图，己知椭圆G：J+V=I,抛物线C2：V=2px(p>0),点力是椭圆G

与抛物线。2的交点，过点4的直线/交椭I员IG于点8,交抛物线C2于M(8,M不同于力).

(II)若存在不过原点的直线/使M为线段48的中点，求〃的最大值.

【答案】(I)(工，。)；(II)胆

3/40

【分析】（I）求出抛物线标准方程，从而可得答案;

（II）方法一使用韦达定理、中点公式和解方程法分别求得又关于P，m"的表达式，得到关于P，机〃的方程,

利用基本不等式消去参数，得到关于〃的不等式，求解得到P的最大值；方法二利用韦达定理和中点公式求得

力（兀，打）的坐标关于私〃的表达式，根据点/（小,%）在椭圆上，得到关于/关于切的函数表达式，利用基本

不等式和二次函数的性质得解，运算简洁，为最优解；方法三利用点差法得到"+»a）+8p2=0.根据判别式

大于零，得到不等式A=y”32/20,通过解方程组求得必2=7//+2pJ4P2+2，代入求解得到P的最大值:

方法四利用抛物线的参数方程设出点〃的参数坐标，利用斜率关系求得A的坐标关于的表达式.作换元

+利用点A在椭圆上，得到加二：7J：，然后利用二次函数的性质求得夕的最大值

【详解】（I）当〃时，G的方程为产故抛物线G的焦点坐标为（1，0）；

10o3-

（II）［方法一］:韦达定理基本不等式法

设4（再,凹）,33，%）,"（与,稣）,I:x=Ay+m,

X+2’2n++-2=0,

rlr

x=Ay+m'

-2Am-Am.2ni

y,-y,=------7,y=------7,x=Ay+m=------r,

力"2+万'n九2+Z2°n/0n2+储

22wr4pmA2rn，

由“在抛物线上，所以0+,/二旌万n3丁=4p,

]2px=)?_2.(a歹+/〃)=),2_2pXy-2pm=0,

X

x=^y+ni

2

•*.yi-y0=2pA,$+/=Ay,+m+ZyQ+m=2pA+2m,

=2Cp/jl-+2C7W-y2—mjy.

’2

土+2_]

由，2+>一=>x2+4px=2,gpx2+4px-2=0

./=2Px

=土孕*7〃+府71

n-2p+J4P?+2=2pA2+2m-=2p分+粤+8〃216p.

所以J4/+2218夕，焉，噜，

所以，〃的最大值为噜，此时幽学,乎）.

[方法二]【最优解】：

设直线，：x=my+t（mH04/0）,力（小,.

将直线/的方程代入椭圆C:5+/=1得：（/+2）/+2mty+——2=0,

所以点M的纵坐标为％=%.

川-+2

将直线/的方程代入抛物线C:y-=2Px得：y2-2Pmy-2pt=0,

所以为加=-2勿，解得光=2.（小：+2）因此X/P（/+2）2.

人0-2

tnm

由弋।*・1解得1・।2]।4|/«।2]>160,

2P\m）\m）

所以当〃?=&,/=巫时，〃取到最大值为胆.

540

[方法三I:点差和判别式法

设4（X],必）,8（吃,8），M（%，％），其中玉+/=2%,乂+歹2=2凡.

不疗=1，

所以专或十川一短=0,

囚为

奇+%二1,

整理得中•g=4,所以比.g=j.

x,+x2X]-x22J0X）-x22

乂~~~=k.=,y：=2Px”y：=2px,

再一七一小0

-，一/二1

所以豆£_豆一2,整理得疗+%为+8〃2=0.

2P2p2p

因为存在M，所以上述关于凡的二次方程有解，即判别式△="-32P220.①

得Xi=-2p+J4P2+2

因此货=2p$=-4p2+2pj4p、2，将此式代入①式解得p<—,

当且仅当点M的坐标为（噜，士余）时，〃的最大值为噜.

|方法四参数法

二JZ-J”二2P

设M(2p/)2p/)&“

XAB+W

由“37^7.舞=!T，得"率-37P(2卜,=2p?

点/坐标代入椭圆方程中，得，2=斤匕42x8,4x81

则〃w[8,*o),

160

所以Pm"噜，此时M坐标为（雪，土得

典例5.（2023春•云南•高三校联考开学考试）在平面直角坐标系道拉中，已知椭圆C:?+£=：（q＞力＞0）的离

心率为当且过点。当

（1）求Iffi圆。的方程；

（2）如图所示，动直线/：y=h+〃K"-0）交椭圆。于48两点，交y轴于点M.点N是M关于。的对称点，eN

的半经为|NO|.设。为的中点，。瓦。厂与eN分别相切于点£,F,求/E。尸的最小值.

【答案】（1）t+?=1

42

【分析】⑴由离心率e=?=J-*/，可得力=2/，再根据椭圆。过点、当），代入椭圆方程，进而

可求出a,b；

y=kx+m

（2）设力（不必），8仁,为），联立fy2,,可得到关于X的一元二次方程，结合韦达定理，可求得点。

142

,12加优,8公+3IW_1+16

的坐标，进而得出|M）『的表达式，整理得导=1+二；令1=8二+323,可得向『二耳，进

\/f

IM1.NF1

而可求得同2Q，设ZEDF=29,可知■历]二\扃之\鼻，即可得到。的最小值，及2。的最小值.

【详解】⑴・・•椭圆C，/…＞。）的离心率为容

a2=2c2,则/=2从，又椭圆。过点1,

a'—4,Z?2=2,

则椭圆。的方程为9

（2）设力（菁,乂），8（x2，%）.

y=kx+ni

2

联立xy2,得（2二+1）/+4gx+2/-4=0.

.T+T-

由A=16/〃/一4（2公+1）（2〃，-4）＞0,得v4-+2,

4km

"毛=一赤’

4k-m,2m

因此弘+乃=A（$+工2）+2〃?=-+2m=——；—

2k2+\2k2+\

2kmm

所以。-

2k2+V2k2+\J'

又N（0,—/〃），

2kmm

所以陷2=+—：——+m

2公+1[2k2+\

4叫1+3^+/）

整理得“球=

W+i『

因为“尸|=同,

4w2（F+l+3Zr2）8F+3

所以IT油=——：一—=1+;—；―T•

\NF\/（2尸+1）（2A+1）

令（=8公+3,r>3,故2〃+1=7.

4

|阿।16/.16

所以府=计西『十工.

t

因为y=/+L

t

1t2_1

所以了=1-5=勺」，

当年3时_/>0

所以一+1在［3,+8）上单调递增，所以"泻，当工=3时等号成立，此时左=0,

所以粤"1+君=1+3=4即回〃

用以附一号+2'即闸一2，

11：nr<4k"+2,"Jf'Jm'<2»即—<m<>/211,w0.

,c|7VF|1

设NEDF=20，则sin0=>-,

所以夕的最小值为J,

从而/EQ厂的最小值为此时直线/的斜率是0.

综上所述：当k=0,〃?4-&,0）2（0,夜）时，NEZ）尸取到最小值方.

【点睛】思路点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：

（1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；

（2）强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数关系之间的关系、弦长、斜率、

面积等问题.

【规律方法】

1.最值问题的常见方法

⑴利用判别式来构造不等关系.

⑵利用已知参数的范围，在两个参数之间建立函数关系.

⑶利用隐含或已知的不等关系建立不等式.

⑷利用基本不等式.

2.解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面

(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围.

(2)利用」知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系.

(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围.

(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围.

(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.

考向二探索性问题

【核心知识】

1.圆链曲线中探索问题的求解策略

(1)此类问题一般分为探究条件、探究结论两种.若探究条件，则可先假设条件成立，再验证结论是否成立,

成立则存在，不成立则不存在；若探究结论，则应先求出结论的表达式，再针对其表达式进行讨论，往往涉及

对参数的讨论.

(2)求解步骤：假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，川待定系数法设出，列出关于待定系数的

方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在，否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在.

2.存在性问题常用方法：

法1：特值探路：

法2：假设存在..

【典例分析】

2

典例6.(2022•浙江金华・高三浙江金华第一中学校考竞赛)在平面直角坐标系中，己知双曲线「:一一匕二|•过原

3

点。作两条互相垂直的直线44分别交「于48两点和两点，且A,。在x轴同侧.

(1)求四边形ACBD面积的取值范围；

(2)设直线力。与「的两渐近线分别交于川,N两点，是否存在直线AD使得M,N为线段AD的三等分点？若存在,

求出直线力。的方程；若不存在，请说明理由.

【答案】(l)[6,+oo)

(2)不存在，理由见解析

【分析】(1)设4：y=履4：y=-联立直线方程和双曲线方程后可求吃,左，从而可求及A的取

1K

值范围,利用面积公式可求四边形化3。的面积S.结合基本不等式可求面积的范同

(2)设万其中6由三等分点在双曲线上可得加〃二一(，由。410。可得

/+，「*〃，，代数变形后可得矛盾，从而可判断直线”不存在.

【详解】(1)由题设可知直线44的斜率均存在且均不为零.

设4:y=kxj,:y=-^x,

K

y=kx_3（-

由，-22_凌可得“彳=^7T,Jt111—>\/3<k<\/3,k^0.

"—y=JJ-k~

同理《=奈\，其中一6〈一:＜百，故一百＜女＜一理或当＜AYJJ,

(1)

120+公）,121+p-12(1训

故|月8|2=4（I+A，）X；=,同理|C02=__：.=.

3—42

3---7

k

故四边形ZC8。的面积S满足:

户、12（1+灯12（1+用

3——X--------7---X------:-------30X”4

43-k23k2（3-Jt2）（3A:2-l）

^+-1

=36x—~^―

厂36、工

（1

16-3k+-1Q\2

令六"］1，则"b2*_|

当一二V左〈一1或1＜左＜＞/1时，了＞0；

当一IvAv-立或立＜“＜1时，y＜0；

33

故丁=4+)在卜仃,-1),(1,6)上为增函数，在

上为减函数.

K

因此,当一6"＜一等或日<女<石时，2<k+-<^-^-^-<k+-<-2,

33

所以4W（Z+：1J<9,故S?236.

k

故四为形4c8。面积的取值范围为［6,KO).

(2)先考虑4。在工轴上方，且A在第一象限，。在第二象限.

设财(m,N(”,一)，其中m>0,/?<0,

L――/1▲）上；«

若M.N为线段AD的三等分点，则nv=NM可得:

17-3。，-百〃一%)=卜"V3w+y/in),故XQ=2〃一J。=一2石〃一品n,

QLM“二恒平=】

同理xA=2m-n,yA=2Gm+6〃,所以，

（2…2_C臀俐JI

整理得〃?〃=-：

o

而O/f_L。。，故猫Xo+y»，o=0,

故(2〃-)x(2阳-〃)-(+6〃卜(2yfin+gwj=0,

533

整理得到苏+n2=一一xmn=>(m+n)2=-xmn=---,无解.

4432

故满