2026高二数学寒假复习讲义：数列通项公式的求法（解析版）

专题08数列通项公式的求法

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ijfi串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢

（9重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺

」考点巩固：必考题型讲透练透，能力提升

Q复习提升：真题感知+提升专练，全面突破

核心考点

.■......■♦.■...♦■I知识点01由an与Sn关系求通项公式

虹识点02

知识点03累乘法求通项公式

数列通项公式的求法

知识点05倒数法求通项公式

■■♦■■■■♦.♦♦♦♦♦；鬻知识点06递推式求周期数列

重唯知也

I2知识点1：由册与2关系求通项公式

由殛目给出QnV5n（或者直接给口多项数列相加）关系式求通项公式，可以考虑退位相减，构造为.i

然后根据S”-5n_1=Q4化简。

1、消又得到册的关系式

2、消册得到又的关系式

3、根据题目给出的n项求和公式或者求积公式，构造n+1项后做差或作商，求通项。

注意：构造及一］后，n>2,所以求出通项公式后，记得验证首项是否满足通项公式。

匚知识点2：累加法求通项公式

I

an+i=册+f5)型(f(n)是关于九的函数)：

Q”-an-i=f(n-1)

斯一1一斯一2二/S-2)=即=/九_1)+/(n_2)+...f(2)+/(1)+%,(n>2)

(。2-%二f⑴

注意：

①若f5)是关于九的一次函数,累加后可转化为等差数列求和;

②若/(九)是关于几的指数函数,累加后可转化为等比数列求和:

③若外九)是关于八的二次函数,累加后可分组求和；

④若/'(几)是关于71的分式函数,累加后可裂项求和.

验证首项是否满足通项公式。

知识点3：累乘法求通项公式

$=/5)型"(九)是关于九的函数)：

产=/5-1)

an-l

•二=八九一G=%=f5_1)./(n_2).…./(2)/(l)fll,(n>2)

3f⑴

注意:

/(")的连乘一般可以上下抵消，注意隔项相消的时候，要留意保留的项。

验证首项是否满足通项公式。

知识点4：构造数列法求通项公式

1、an+1=pan4-Q(当p=l时，为等差数列，q=0时，为等比数列，所以p工l,pH0,qH0)

目标把an+i=pan+q拆分成〔&+1+4)=P(Qn+4)的形式，使得｛即+4｝为公比为P的等比数列(其

中的A满足pA-A=q=4=言)

2、%+1=P^n+kn+b(p1,pw0,kH°)

An

目标把an+i=pan+/m+匕拆分成(g+1+(+1)+8)=p(a„+An+8)的形式，使得｛册+An+

B｝为公比为p的等比数列(其中的8、8满足p(4i+8)—(力(ri+1)+8)=kn+b

3、«n+l=P^n+Qn(.P**0,1)

两边同时除以qn+1,得豁=徐+；,然后按照M+LPM+q的方法去求通项。

注意：

通过待定系数法，构造等比数列，最后来确定系数。

验证首项是否满足通项公式。

，知识点5：倒数法求通项公式

an-l-an=pan-l«n(P*0)型

2

化成比一；二p形式，得｛十｝为等差数列

anan-lan

知识点6：递推式求周期性数列

同函数的周期性一致，数列也具有周期性。以下举出几个常见周期数列的特征。

1、册+1=普啜型（C/0）分式递推式，可能为周期数列，可计算出几项来证实一下周期性。

GUyITL/

2、an+1+an=%或册+2+fln+1+Qn=k或Qn+2-«n+i+Q”=k（々是常数）（女是常数）

3、%+「即=k或a=k

nI1

4、分段式数列

注意：

以上几种数列，当觉得可能为周期数列时，可计算出几项来验证一下周期性。

©必考题曼

【题型1）消%或消即得通项公式

高妙技法

退位构造%.】，然后根据5n-571_1=。〃化简。通常都是由消S”得到斯的关系式，但是若式子的其余项都

是％相关项，也会由消斯得到无的关系式。注意检验首项

I.（25-26高三上•湖南长沙・月考）已知数列也｝的前〃项和为s“，6=2,且a£M=a“（S“+l）-l,则

56=（）

A.3B.6C.9D.12

【答案】A

【分析】根据数列前〃项和与数列通项之间的关系，求出数列递推公式，进而求出数列前6项，求出结果.

【详解】由m“=/（5”+1）-1可得4,（S“「S〃）=4—1,即得底尸审="十,

nn

由4=2可得%=1-?=:，%一1II%=1--^7=2,

222

故也,｝是周期为3的周期数列，且《+/+6=$故S6=2X]=3.

故选：A.

s

2.（24-25高二下•广东•月考）记S”为首项为1的数列乩｝的前〃项和，且="=心则$30=:）

n

A60c50八60c50

A.—B.—C.—D.—

29293131

【答案】C

3

【分析】根据S“与4的关系可得也二白，利用累乘法计算缗出4.即可求解.

【详解】易得S向=(〃+1>4川，故S.+「S”=(〃+l)2q「〃&,

化简得(〃2+2〃)。向=1%,即(〃+2)%+i=啊,

由4=1知。”工0,故也

累乘可得也…一"二白…”荆，

an%n+243

2a,22/、c、

即％+广(〃+1)(〃+2)=(〃+1)(〃+2)，故%=而可2)，

当〃=1时，也符合上式，故S0=〃，=上)故§30="

〃+131

故选：C.

3.(24-25高二下•北京•期中)设数列｛凡｝的前〃项和为S”.若4=2,S",则4=()

A.18B.12C.6D.3

【答案】B

【分析】根据。”二J-3,1(〃22)作差得到(〃-1)〃“=m*,再一一求出前几项即可.

【详解】因为S"=(〃：”",当〃22时S,“二安，

所以S,-S-=上普一等，即2见=(〃+1)凡一,

所以(〃-

又4=2,所以%=2%=4,

由24=3生，贝lj4=6,由3q=4〃3，贝lj6=8,由44=54,则％=10,

由5。6=6%,则4=12.

故选：B

4.(24-25高二下•黑龙江绥化•期中)己知S.为数列｛3｝的前〃项和，«,=1,%i2S“=2〃il,则

*^2024=•

【答案】2024

【分析】由递推关系得到。用+%=2,再由q=l得数列｛%｝中所有项都为1可得答案.

【详解】当〃22时，由勺讨+25'.=2〃+1得4+251=2(”-1)+1=2〃-1,

两式相减得-a”+2。“=2,即an+｝+。“=2,

因为％=1，所以由小十4二/十］=2,得%=1，

4

由内+生=+1=2,得%=1，

所以数列｛q｝中所有项都为1，

贝IJ=2024.

故答案为：2024.

【题型2由公式递推式求项】

高妙技法

若题目给出的是n项相加或相乘的格式,也可以构建n+1项，然后两式相减或者相除，得第n+1项，注

意检验首项

1.（25-26而二上・甘肃兰州•期中）已知数歹。｛%｝满足％+2%+3%++叫=2畤设”=潘苏？，工

为数列出｝的前〃项和.若，</对任意〃cN'恒成立，则实数，的最小值为（）

A.4B.3C.2D.I

【答案】B

【分析】根据给定条件，利用前”项和与第〃项的关系求出M，进而求出2,再由裂项相消法求出S“即可

求出最小值.

B+,

【详解】数列｛〃力中，/+2a2+3%++nan=2,当〃=1时，q=4,

当2时，4+2%+3%++(〃-1)%=2”,两式相减得

2,〃=1

ci

则4=幺，而0=4不满足此式，因此“=；一2

n+—---

〃(17+1)

当〃之2时，5.=2+2(：—：+!—<++-^-)=3——-»当〃=]时，S[=2满足上式;

2334nn+1〃+1

因此S“=3——-<3,由S.U对任意〃eN,恒成立，得壮3,

〃+1

所以I的最小值为3.

故选：B

2.（25-26高二上•江苏苏州・月考）数列｛/｝满足4+〃+3%+=2/z-l（/zeK/?>1）,则数列

，的前9项和为（）

161n1°6「49n72

AA.---B.C.—D.一

1651656655

【答案】A

【分析】先根据」知条件求出数列｛可｝的通项公式，再得到数列｛悬）的通项公式，最后利用裂项相消法

5

求出其前项和.

【详解】数列｛4｝满足4+2%+加+♦・+也=2〃-1(〃eN,〃21)①,

当〃=1时，=2x]-l=l;

当月22时，4+2a2+3%+・・+(〃-I)4」=2(n-\)-\=2n-3®,

_2

①一②得"4=2,.

n

又因为4=2x1-1=1,不满足上式,

1,〃=1—»n=1

3

-,n>22

n

2

当“22时，4n211

〃+2〃+2〃(〃+2)n〃+2

设数列毒（的前9项和为

则道1+b1-打1

+1_1+1_1++1_1

3546911

ZZ-1+1-+1--1---=，161

32310II165

故选：A.

3.（2025高三・全国•专题练习）已知数列｛q｝满足4+；生+g4+…+4”=/+〃（〃£N）,设数列也｝

,2n+1

满足"=——，数列｛〃｝的前〃项和为小若（工后4〃61＜）恒成立，则实数/I的取值范围为（）

133I

A.一,+8B.4，+°°C.—,+ooD.—,+oo

488

【答案】C

【分析】由E,的关系可求心继而得到，利用裂项相消可求得

«■(H+1)

一厂二，整理不等式得义之

1根据恒成立转化为求最值即可.

4（〃+iyj

【详解】数列｛《J满足6+^4+；%+…+/4”=〃2+〃，①

当〃之2时，q+:生+J〃3+…+」T4I=(〃T)2+(〃T)，②

23〃-1

6

2

①一②得,-an=2n,an=2n,经检验，q=2,满足勺=2/J.

n

2〃+l2/7+111

数列也｝满足〃=-1

4〃2(〃+l)2-4n2(n+1)2

4az

2

JJn11J_

可得1-++…d-----------:

2>2>3;"-(/2+1)4.〃+l)l

由于不含册N)恒成立，畤卜一(1_"十2

K，整理得，△

〃+l);4/2+4'

因为尸黑W

在〃cN，上单调递减,

〃+233

故当〃=1时,所以九之三,

4/2+48O

故选：C.

4.(24-25高二下•广东深圳•期末)已知数列｛/｝满足/+3/++3”T%=〃3",贝IJ%025一

【答案】4051

耳,〃=1

【分析】根据凡=可求

s“-S,“,〃N2

【详解】〃之2时，4+物++3"为如=(〃-1)3工与原式相减得

a

3&an=/r3-(/:-1)-3"“=(2〃+力3"、则％=2〃+1,

经检验，〃=1时也成立，

故％=2〃+1,gpa2O25=4051.

故答案为：4051.

【题型3累加法求通项公式】

高妙技法

右边项求和时，可以使用求和的几种方法。注意检查首项是否满足最后的通项公式

1.(2025高二.全国・专题练习)在数列｛风｝中，6=2,a=4L+ln(l+3,则凡等于()

n+1nn

A.24-/7In/?B.2〃+(〃-l)ln”

C.2〃+〃ln〃D.l+〃+〃ln〃

【答案】C

【分析】将给定的递推公式变形，再借助累加法计算作答.

【详解】在数列｛q｝中，由%=%+ln(l+3,得&-&=—

〃+1nn/?+!n

7

则当在2时，生=:+(与-?)+(9-争++(生-乌中

nI2132nn-1

=2+(In2-In1)+(In3-In2)+…+[In〃-In(〃-1)]=2+In〃，

因此巴=2〃+〃ln〃，显然q=2满足上式，

所以4=2n+nInn.

故选：C

2.(2425高二上•湖北孝感力考)数列｛%｝满足；卬-1,%+「4+log2(F)'则％-()

A.2aB.3C.4D.442

【答案】C

【分析】由累加法可得/=q+log2〃，从而可得％的值.

【详解】由%+i=4+1。82(?)，可得4+L%=log2(5?=log2(^+l)-log2«,

利用累加法可得

(一%+的—…+-噫W-log2(n-1)+log2(n-1)-log2(«-2)+•••+log22-log21/N2,

化简得4=q+log?〃，则4=1+log?8=4.

故选：C.

3.(2025高三•全国•专题练习)己知数列｛〃"｝满足』=2,Se+Sz=2S“+log2(l+：)(〃22),则外

()

A.272B.3C.1D.4^2

【答案】C

【分析】根据4与S”的关系，先得到数列｛%｝的递推关系式，再根据累加法求4的值.

【详解】由5向+S,』=2S"+log?(I+J(〃N2,〃€N*),

得心-S.=S「*+log2(誓]”〃cN)

所以a*-=log?(〃+1)-1鸣〃(〃N2,neN*),

所以生一。2=log23-log22,

%-％=噫4-log23.........

%-%=log28-log27,

各式两端相加得=log28-log,2,

=log28-log22+6r,=3-l+2=4.

故选：C.

8

4.(2025高三上•广东中山•专题练习)已知数列｛%满足4=2,。根=4+"1+9,则”=；

【答案】2+Inn

【分析】整理数列的递推公式，利用累加法求得其通项公式，“=加〃+2,再赋值计算即得.

【详解】v«n+i=an+In1+J)，

•••Q一凡马二1nj1+—!—1=In(n>2),

In-\)n-\

q=4")+g，i—4-2)+•••+3—4)+%

,n.n-\,3.___.zz〃-13A

=In----FIn-----F...+In—+ln2+2=2+In----------...—2

n-\〃-22\n-In-22)

=2+ln/?(/i>2).显然《满足上式，

an=2+ln〃.

故答案为：2+ln/r

【题型4累乘法求通项公式】

高妙技法

右侧的累乘项一般是分式可以上下消除，但要注意隔项消除时最后剩下的项。注意检验首项是否满足通

项公式。

1.(多选)(24-25高二下•辽宁・期中)已知数列｛4｝满足。L；，Mr=2(〃+1)凡+"〃eN")，则()

A.｛%｝是递减数列

B.

C.当」一-2/的前〃项和取得最小值时，〃=6

D.对任意〃eN',不等式(―则—

【答案】ACD

【分析】对A,由题得%>0,利用数列单调性定义判断；对B,由题，当〃之2时，4=黑，利用累

4』2〃

乘法求出通项；对C,由题得a=£-2//=20-2/,可得数列｛4｝的前6项均小于0,从第7项开始大

于0,得解；对D,对〃分奇数和偶数讨论，将原不等式转化为恒成立，求出最值得解.

【详解】对于A,由题，—==9<1，

%2(〃+1)2(n+\)

9

又4=3>0,由递推式可得4>0,所以｛4｝是递减数列，故A正确;

ann-1凡T二"2

对干B,由上面可知，当〃N2时，——=^Z—Cl?=4

an-\乙〃n-22(〃-1)

_〃一1〃-22____1_

将上式累乘得，2^3X272

Un-\an-2a242/72(n-l)

整理得义=-h，又4=?，所以q=」/，故B错误;

对于C,设2=-----2，/二2"-2〃2,贝帅=2-2=0,Z?,=22-2X4=-4,

〃•凡-

^=23-2X32=-1O,A=76,%=-18,=-8,8=30>0,

由指数函数y=2,与函数y=2i的增长速度可知，当〃之7时，％>0,

所以当数列」--2"的前〃项和取得最小值时，〃=6,故C正确：

l〃q

对于D,当〃为偶数时，不等式转化为机工也--!-）,又

所以〃

当〃为奇数时,不等式转化为机2--=〈（一1-1］,又（一、7］二一；,

%21〃+1；1〃+1人xa2

所以相之一!，

综上，一■—,故D正确.

43

故选：ACD.

2.（多选）（24-25高二下•辽宁•期中）已知数列｛叫满足4=6,­=卓4,则（）

3

A.V/?eN",an<（/z+l）B.V/7eN,»工2025

C.协cN*,4为完全立方数D.V〃cN「数歹J"｝的前〃项和S,,=〃（〃+l）6：2"〃+3）

4

【答案】ABD

【分析】先利用累乘法求出数列｛%｝的通项公式，作差判断A,根据数列的增减性判断B,利用

〃3</<（〃+1）3判断C,利用数学归纳法，假设数列｛%｝的前〃项和S”="（〃+［（〃：2）5+3）成立判断D.

【详解】由题意可得。，产o,­=—,

氏,〃

10

所以当小时，公=喏,a3_5%_4

a22'a11

以上〃T个式子左右两边分别相乘得=-^x...x|-xy,

4T%4〃-121

a(〃+2)!(1n+2](n+\]n,.,.

即.=Q/m-3--，将4=6代入解得q=〃〃+1乂〃+2,

当〃=1时满足4=6,所以数列｛4｝的通项公式为4=〃(〃+。(〃+2),

因为/(〃)=〃(〃+2)-(〃+1)~=-1<0对X/"wN”恒成立，

所以〃（〃+1）（〃+2）=〃“〈（〃+1）3对7〃£!＜恒成立，A说法正确:

易知数列｛4｝是递增数列，且卬=1716,%=2184,所以X/〃eN"〃,尸2025,B说法正确;

因为〃3＜勺＜（〃+1）’，所以不存在〃eN*使得知为完全立方数，C说法错误;

下证V,zeN,数列｛叫的前〃项和5“=〃（〃+双丁）（"+3）,

Ix2x3x4

当〃=1时，S、==6成立,

~4~

假设当""时,'=处吗3成立,

则当〃二八1时，

&+%产检吗独也+伏+1）（人2）（七3）=包必譬但L九成立,

所以V〃eN'，数列｛q｝的前〃项和S“=M”+D5+2）5+3）,口说法正确：

故选：ABD

3.（24-25高二下•上海奉贤•月考）已知数列｛%｝满足4=1,4“=々乎则｛4｝的通项公式为

【答案】a“=〃-2"T,〃eN-

【分析】通过递推公式得到相邻两项的比值关系，然后利用累乘法求出数列｛《』的通项公式.

【详解】已知a"+i=''+'册,将〃换为“T,可得凡=""=

nn-\

a2/7

那么口=-7(//>2).

%〃-1

利用累乘法求4(/?>2),

a2/7a%cl22〃2(〃-1)2x2,

由j=--(〃之2)可得:a„=—n————«1=---------------xl

%〃-1明/-24n-\n-21

观察发现，约分后可得q=小2"“（〃？2）.

II

当〃=1时，4=lx2i=l,与已知％=1相符.

所以勺=〃27,〃wN'.

故答案为：a=nT~\

n/Z€N*.

4.(2025高三•全国•专题练习)已知q=＜，《=,〃蜉2),求数列｛%｝的通项.

2(〃-1)(〃+2)

3〃

【答案】

2(〃+2)

【分析】通过累乘法来求数列的通项公式.

【详解】已知q=6%(〃22),

(〃一1)(〃+2)

田…,

an2x33x4/?(/?+1)3〃

41x42x5(〃一1)(〃+2)n+2

1a„3〃3〃3〃

已知4=5'由7=771=4=4x^1=^”,

故数列｛〃”｝的通项为：””=而⑵•

【题型5一次/二次/常数型用构造法求通项公式】

高妙技法

aK+1=pan+/(n)当/(九)为常数或者一次函数或者二次函数，用待定系数法构a“+i+g(n+1)=

p(an+g(n))使得pg(n)-g(n4-1)=/(n),数列｛a“4-g(n)｝为等比数列。

1.(2026高三•全国•专题练习)已知数列也｝满足*=24+〃吗=2,则%=.

【答案】2n+,-«-l

【分析】由%.小2勺+〃，可得%+(〃+1)+1=2(%+〃+1),再根据等比数列的定义及通项即可得解.

【详解】由-=2。0+〃，可得4川+(〃+1)+1=2(q+〃+1),

a„.+(〃+1)_]

又《+1+1=4,所以上+二——二2,

为+〃+1

所以数列｛4+〃+1｝是以4为首项，2为公比的等比数列，

所以a“+〃+l=4x2"T=2。

所以q=22-〃-1.

故答案为：2M+,-/2-1.

2.(25-26高二上・甘肃平凉•月考)已知4=1,当〃N2时，^=1^_,+2«-1,则｛q｝的通项公式为

12

3

【答案】4=牙7+4〃-6

【分析】由题意设4+加+8=，*+4(〃-1)+%，展开后对照已知列方程组求出A8,再结合等比数

列的通项公式，即可求得答案.

【详解】由于当〃22时，4=：矶_1+2〃—1①，

故设％+4/，+B=：[a,i,BPan=^-an_x--An--A--B@,

—4=2(..

__2\A=-4

由①，②对照可得，7.，解得D(，

/A」8=_|收6

22

即%―4〃+6=g[*-4(〃-1)+6],

又《-4+6=3,则｛&-4〃+6｝是以3为首项，g为公比的等比数列，

&-4/74-6=3x—1,则a“=3x—1+4〃-6

故答案为:+477-6

3.(多选)(25-26高三上•黑龙江•月考)设首项为1的数列｛〃,｝前〃项和为5.，已知。=2S“+〃-l,

则下列结论正确的是()

A.数列｛5〃+〃｝为等比数列B.数列｛q｝的前〃项和5“=2"-〃

C.数列｛%｝的通项公式为例=2""-1D.数列｛4+1｝不是等比数列

【答案】ABD

【分析】条件可化为Sz+(〃+l)=2(S.+〃)，结合等比数列定义可判断A正确,由A可求得⑸｝的通项

公式判断B,由｛SJ的通项公式可求得｛4｝的通项公式判断C,利用特殊值可判断D.

【详解】＜S'+i=2S“+〃一I,.•.SZM]+(〃+1)=2(S“+〃)，

又$+I=4+1=2W(),•••数歹ij｛2+4是首项公比都为2的等比数列，故选项A正确；

由A知，S0+〃=2x2"“=2":.Sn=T-nf故B选项正确；

,,_|

乂因为邑=2"-〃，当〃之2,an=Sn-=2-1,当〃=1,%=1,

故选项C错误:

2,〃=1a,+12a,+14,、

；0"+1=皿、r，•••-=T7==3,所以数列也+1｝不是等比数列，故选项D正确.

2,/2>24+1Z/+1Z

13

故选：ABD

4.（多选）（25-26高三上•辽宁・期中）记S”为数列｛%｝的前〃项和，且％=1,2s向-5“=2"+2,则

（）

□

A.=—B.｛q,-2｝为等差数列

C.数列｛%｝单调递减D.S“=2〃-2+g）

【答案】AD

【分析】对于A：令〃=1可判断；对于B：利用S”与风的关系，把2S“T-5”=2〃+2转化成关于乙的递推

公式，然后利用定义可判断；对于C：求出*的通项，利用指数函数单调性判断；对于D：利用分组求和

以及等比数列的前〃项和公式计算可判断.

【详解】对于A,令〃=1可得2s二一S二4,即2（4+%）—q=4,

3

又4=1，解得/=；，故A正确；

对于B,当〃22时，2S.-S.T=2〃，两式相减可得21-q=2,且22-4=2,

即2（〃向-2）=〃“-2,故也-2｝是以首项=公比为g的等比数列，故B错误;

对于C,易得2=—,

/I、〃-1

故％=2--,易得数列｛q｝单调递增，故C错误：

12/

1

lx1-

2J2〃-2+'］，故D正确.

对于D,sn=2n-

故选：AD.

【题型6指数型用构造法求通项公式】

高妙技法

先除以式子中的指数，把这项变成常数项，然后按照常数的待定系数法去分配。

1.（25-26高二上•江苏镇江•期中）已知数列｛%｝中，6=3,且％=3〃“+3山，则生0然=（）

A.2026X32026B.2025X32025C.2026X32025D.2025x32026

【答案】A

【分析】利用条件证明数列［会［是等差数列并求出数列的通项公式%,将〃=2026代入即可得解.

【详解】已知qm=3q+3"“，两边同时除以3向,

14

可得符=含+1,即蔚一争5

又当〃=1时，^=1=1,

所以数列（卷］是以1为首项，1为公差的等差数列，

所以?=l+（〃T）xl=〃,所以％=小3",

所以。初6=2026X32026.

故选:A

2.（25-26裔二上.甘肃•月考）已知单调递增数列｛4｝满足。用=2"-2%，且％=%则加（）

A.；B.—C.-D.—

2233

【答案】A

【分析】变形得到翳+黑=；、耨■-；=-（箓-｝），讨论"=；、时.判断数列性质，即用得.

【详解】由于―=2"-22，即翳+故=：,整理得得一（=_俘

当〃=；时,*=：n%=2"-2单调递增,符合；

当”工;时，则｛/-;｝是首项为］-;，公比为一1的等比数列，

所哮士旨扑㈠尸，则仁居力㈠尸+卜，

当〃=一;时。“二，；卜（一1严+；x2"，则生=3,q=一2,不符，

当〃=；时/=（一《）X（-1）"T+；x2",则。2=。3=：，不符，

当。=-；时可=（弓）x（7尸+；X2”,则出=|,«3=-1,不符,

故选：A.

3.（多选）（25-26高三上•湖北荆州•月考）已知数列｛《J的前〃项和为S“，卬=3,且

S.=3SI+2X3"（〃22）,则下列说法正确的有（）

A.｛今｝是一个等差数列

B.是一个等比数列

15

C.对3%>2S”.

D.数列"”的前〃项和为「，则T'n-Z+ldL

[S£+|J"32〃+l

【答案】ACD

qq

【分析】对于A选项，由已知数列的递推式推得#=黯+2（〃22）,由等差数列的定义判断却可；对于

B选项，C选项，由等差数列的通项公式可得S“，即可求得。“，即可判断；对于D选项，由数列的裂项

相消求和，即可求解.

【详解】对于A选项，因为4=3,S“=3S,i+2x3”（〃22）,可以得到祟q=翁q+2（32）,所以由数列

件｝是首项为1,公差为2的等差数列，故A正确；

C

对干B选项，争=1+2（〃—1）=2〃-1,可得S.=（2〃-l）・3",

所以当〃22时，4,=S「SI=（2〃-1）-3”—（2〃-3）・3"T=4〃.3"T,

当〃22时，2=3"-1

4〃

又4=3,故?=1,故B错误；

44

对于C选项，当〃=1时，3^-25,=9-6=3>0,

当“22时，％“-2S“=4〃・3"-2（2〃-l）-3"=2・3”>0,即3%>2S”，故C正确；

对于D选项，数列当〃=1时，首项为gg=T，

5,5mJ3x27

时㈠产…一㈠…1/「1]

'（2»-l）（2/z+l）-32n+,（2〃-1）（2〃+1）（）[2〃一12〃+17

所以<=_1+1+」_」_j+…+（_i）"（—!—+—!—]=_2+包，

"3557'」（2〃-12n+\）32〃+1

当〃=1时，7=_2+上北=_],故D止确.

“32〃+1

故选：ACD.

4.（25-26高三上•河南新乡•期中）在数列｛%｝中，％=0,。,m=2q-3"-〃2+2〃+1,则〃“=.

【答案】2"-3"+〃2

【分析】由已知的递推公式构造等比数列，求得该等比数列的通项公式，从而得到数列｛qj的通项公式.

【详解】由勺n=2/-3"-r+2〃+1,得6山+3向一（〃+1丫=2&+3"—叫.

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由4=0,得q+3-2=2,则4+3”―/?工0,

所以氏+|+3川一(〃：1)

%+3”-〃2

所以数歹1」｛为+3"-”2｝是首项为2,公比为2的等比数列.

所以凡+3"—M=2X2"T=2".

所以4=2"-3"+〃2.

故答案为：2"-3"+1.

【题型7倒数型求通项公式】

高妙技法

构造倒数数列，然后求倒数数列的通项公式。

1.(24-25高二上•江苏镇江•期中)已知在数列｛%｝中，6=2,%+产冒2。亍，包=(-1)"(2〃+1)4%1,数

列也｝的前〃项和为5“，则$8=()

400„400—4081、408

A.-----B.---C.D.-----

101101101101

【答案】A

I1I

【分析】根据取倒数法可得-------=不，由等差数列的定义和通项公式可得q八=二2，进而

%4”2M+1

…“J—结合裂项相消法求和即可.

2a,12+qI1I11

【详解】由%“T--,得---=-—=—+彳，即--------=~

2+%°向2/an2an+la„2

11

又4=2,所以一=3,

%2

则｛'｝是以;为首项，以)为公差的等差数列，

%22

得;=；+；(〃-1)二白，故为=2,得%=2，

an2.2.2nn+\

4|1

所以=(T)"(2〃+1)a,,%=(T)"(2"+I)丁丁=4(-1)”(一+—,

所以Sioo="+b2++hiin

11

=4—---------1-----1----

99100100101

一I、400

=4(-1H---)=---

101101

故选：A

17

2.（多选）（25-26高二上•江苏南京•月考）数列｛4｝的前〃项和为

S”（S,户0）,q=；，«„+4S„-1S„=0（zz>2）,则下列命题正确的是（）

A-

B.^=-7-7-

4〃(〃_1)

C.数列｛〃”｝的最小项为-三

O

D.数列++—。向为等比数列

S”

【答案】ACD

【分析】利用*与S”的关系，将条件转化为白的等差数列，求得s“；逐一验证各选项：分析。”的表达

式、判断数列最小项、验证新数列的等比性.

【详解】当〃N2时，由q+45“_»=。，得，—S.T+4sli_A=0,

两边除以S“_]S”（S”工。），得一—二4.