2026年高考数学复习（全国）解三角形（讲义）解析版

专题5.5解三角形（举一反三复习讲义）

【全国通用】

内容导航

考情分析

思维导图

1、解三角形

解三麻是高考的重点、热点内容，是每年高考必考内容之一。从近几

命题规律年的高考情况来看，解三角形考查频率高，选择题、填空题、解答题中都有

考查。解答题中多出现在前两题中，难度中档，侧重正、余弦定理以及三角

分析形面积公式的综合应用；选择题、填空题中侧重考查正、余弦定理解三角形,

难度较易。高考中命题有时也会与三角函数、平面向量、几何图形等知识综

合命题，注重知识交汇，突出应用性与综合性，需要灵活求解。

高考真题考点2023年2024年2025年

新课标卷:第题，

统计I17

10分

新课标n卷:第17题，新课标I卷:第15题，

10分13分

全国甲卷（文数）：新课标H卷:第15题，

第17题，12分13分全国二卷：第5题，5

解三角形

全国甲卷（理数）：全国甲卷（文数）：分

第16题，5分第12题，5分

全国乙卷（文数）：全国甲卷（理数）：

第4题，5分第11题，5分

全国乙卷（理数）：

第18题，12分

预测在2026年全国卷高考数学中，解三角形依然是必考内容，考情将

继续维持稳定态势，题型覆盖选择题、填空题和解答题，每年必考一题，分

值稳定。在选择题、填空题中核心考查正、余弦定理解三角形，多为基础或

年

2026中档题，不排除压轴可能，分值稳定在5分左右；解答题中大概率在前两题

中考查，核心聚焦正、余弦定理以及三角形面积公式的综合应用，以中档题

命题预测为主。预测命题可能会与三角函数、三角恒等变换等结合命题，注重知识交

汇，也可能融入实际情境考查测量问题，侧重数学运算，解三角形的公式的

运用，强调知识的灵活运用。

思维导I

作用一：在已知三角形部分元素的情况下求解其余

正弦定理、余弦广至----------------------------------------

定理解三角形的一作用二：实现三角形边角关系的互化

两大作用I------------------------

(1)化边为角，通过三角变换找出角之间的关系

判定三角形形状(2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系,

解三角形的

的途径正(余舷定理是转化的桥梁

几类热点问

＜对三角形解的个从代数的角度分析、从几何的角度分析

数的研究

(1)利用正弦、余弦定理解三角形

与三角形面积有

关问题的解题策(2)把面积作为已知条件之一，与正弦、余弦定理

略结合求出三角形的其他量

测量问题的—测量距离问题、测量高度问题、测量角度问题

—三类测量问题—

基本类型

把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在

平面几何中解三各个三角形内利用正弦、余弦定理求解

r角形问题的求解

思路

解三角形的

应用的解题一体现在两方面：(1)利用三角恒等变换化简三角函

策略数式进行解三角形；(2)解三角形与三角函数图象

I解三角形与三角和性质的综合应用

函数的综合应用

知识梳理

知识点1解三角形的几类热点问题及其解题思路

1.正弦定理、余弦定理解三角形的两大作用

(1)王弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情况下求解其余元素,基本思想是方程思想，即

根据正弦定理、余弦定理列出关于未知元素的方程，通过解方程求得未知元素.

(2)王弦定理、余弦定理的另一个作用是实现三角形边角去系的互化，解题时可以把已知条件化为角的三角

函数关系，也可以把已知条件化为三角形边的关系.

2.判定三角形形状的途径：

(1)化边为角,通过三角变换找出角之间的关系；

(2)化角为边,通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁.

无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能.注意挖掘

隐含条件，重视角的范围对三角函数值的限制.

3.对三角形解的个数的研究

已知三角形的两角和任意一边，求其他的边和角，此时有唯一解，三角形被唯一确定.

已知三角形的两边和其中•边的对角，求其他的边和角，此时可能出现•解、两解或无解的情况，三角形

不能被唯•确定.

(1)从代数的角度分析“已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角”时三角形解的情况，下面以已知。力

和人解三角形为例加以说明.

由正弦定理、正弦函数的有界性及三角形的性质可得：

①若则满足条件的三角形的个数为0；

a

②若sin8=$且=1,则满足条件的三角形的个数为1；

a

③若sin8="且vl,则满足条件的三角形的个数为1或2.

显然由0vsin4=54〈l可得4有两个值，一个大于90、一个小于90。，考虑到“大边对大角”、“三角形

a

内角和等于180。”等，此时需进行讨论.

(2)从几何的角度分析“已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角“时三角形解的情况，以已知a力和儿

解三角形为例，用几何法探究如下：

图形关系式解的个数

QQ

①q=bsinAx

一解

②四

①B

A

为

锐bsinJvqvb两解

角

AB,----B2

C

小a〈bsinJ无解

A

AC

为

钝

d>b一解

角

或

直AA

4.与三角形面积有关问题的解题策略：

(1)利用正弦、余弦定理解三角形，求出三角形的相关边、角之后，直接求三角形的面积;

(2)把面积作为已知条件之一，与正弦、余弦定理结合求出三角形的其他品.

知识点2测量问题的基本类型和解决方案

1.测量距离问题的基本类型和解决方案

当AB的长度不可直接测量时，求AB的距离有以下三种类型:

类型简图计算方法

测得4＞方，BC=a,。的大小，则由余弦定理

48间不可达

也不可视6\Z得力8=+〃-2abeos。

c

-----4

测得8C=a,B，C的大小，则力=兀-(8+C),

8,C与点力可

-~~di__由正弦定理得as\nC

视但不可达--__"sin(4+C)

Bq-

AB测得CD=a及NBDC,/ACD,/BCD,/ADC

C,D与点4B的度数.在△4CO中，用正弦定理求4C；在

均可视不可达z-±=^△8CO中，用正弦定理求8C；在△48C中，

用余弦定理求,4反

CaD

2.测量高度问题的基本类型和解决方案

当,48的高度不可直接测量时，求48的高度有以下三独类型:

类型简图计算方法

A

底部

测得BC=a,C的大小,AB=a,tanC.

可达上

L«]3

A

/测得CD=a及/ACB与/ADB的度数.

点3与

先由止弦定理求出4C或力。冉解直角三角形

共线

B得力8的值.

A

//

点B与测得CD=a及NBCD/BDC/ACB的度数.

不在△8CO中由正弦定理求得8C,再解直角三

一/八二

共线----二工------角形得力8的值.

CaD

3.测量角度问题的解决方案

测量角度问题主要涉及光线(入射角、折射角)，海上、空中的追及与拦截，此时问题涉及方向角、方位角

等概念，若是观察建筑物、山峰等，则会涉及俯角、仰角等概念解决此类问题的关键是根据题意、图形及

有关概念，确定所求的角在哪个三角形中，该三角形中己知哪些量，然后解三角形即可.

知识点3解三角形的应用的解题策略

1.平面几何中解三角形问题的求解思路

(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解;

(2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果.

2.解三角形与三角函数的综合应用

解三角形与三角函数的综合应用主要体现在以下两方面：

(1)利用三角恒等变换化简三角函数式进行解三角形；

(2)解三角形与三角函数图象和性质的综合应用.

【方法技巧与总结】

1.三角形中的三角函数关系

(l)sin(4+8)=sinC；

(2)cos(4+8)=-cosC；

,八.4+6C

(3)sin---=cosy；

(4)cos^=sin|.

2.三角形中的射影定理

在△力8C中，a=bcosC+ccosBxb=acosC+ccosA\c=bcosA+acosB.

3.在△48C中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，A>tz>/?<=>sinJ>sin5<=>

cosAVcosB.

举一反三

【题型1正、余弦定理求三角形的边与角】

【例1】(2026•湖北叶堰•一模)在△A6C中，内角48,C的对边分别为mb,c.若a=4,A=\ainB+ainC=

34

则6c=()

A.yB.20C.16D.y

【答案】D

【解题思路】根据正弦定理、余弦定理求解即可.

【解答过程】因为a=4,力日，所以白=刍=《=白

3sm/1sin-氾V3

J2

由正弦定理可知，?=£=£=《，所以sinB=^b,sinC=3c,

sinBsinCsin力V388

又sinB+sinC=乎，所以?b+?c=乎，所以b+c=6.

由余弦定理知，a2=62+c2-2hccosA,所以16=/+c?-2bcxg,即16=/+-be.

又匕2+c2=(b+c)2—2bc=62-2bc=36—2bc,

所以16=36-2加一儿，所以灰=空.

*5

故选：D.

【变式1・1】(2026•云南红河・模拟预测)在△48C中，AC=1,BC=瓜B=%则力为()

6

A”BUC.淳gD.冢g

【答案】D

【解题思路】利用正弦定理可求出sin力的值，结合角力的取值范围可求得角力的值，然后检验即可.

【解答过程】由正弦定理与=三，得々=二，即sinA=£

SinasinAsin-sinA2

又因为4E(0m),所以力=押号.

经检验：当A=g时，C=*当,=轲，。=全均符合题意.

故选：D.

【变式1-2]（2026・四川雅安•一模）在钝角△ABC中,内角的对边分别为a,b,c,若a=2acosC+ccosB,

Q=2,c=3,则cosB=()

A-B7D,Z

【答案】A

【解题思路】根据正弦定理及shL4=sin（8+C）,对题干式子进行化简得到2sin4=sinB,即2a=匕，再利

用余弦定理即可求出cos比

【解答过程】因为a=2acosC+ccosB,

由正弦定理得sinA=2sinHcosC+sinCcosB,

又sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC,

所以2sin/lcosC+sinCcosB=sinBcosC+cosBsinC,

即2sinAcosC=sinBcosC,

因为△4BC为钝角三角形，则cosC工0,

所以2sin4=sinF,

由正弦定理得2a=b,又Q=2,则8=4,

又因为c=3,由余弦定理得.853=比产=竽分=一：.

2ac2x2x34

故选：A.

【变式1-3]（2025•全国•模拟预测）在△/AC中，。为8C上一点，且4。平分若=3,AC=AD=2,

则8C=()

A6及B.华「3百D.苧

A・Vc・T

J

【答案】D

【解题思路】根据三角形面积公式，结合三角形内角平分线定理、余弦定理进行求解即可.

【解答过程】设如江皿…，则鬻吟二常黑二冷|.

设4力。<?=%因为平分乙BAC

所以喘==

因此有BD=3m.CD=2m,其中m>0,由余弦定理可知:

AB2=9=AD2+BD2+2AD-BD•cos/?=4+9m2+12mcos0①,

AC2=4=AD2+CD2-2AD-CD•cos/?=4+4m2—8/ncos/?②,

由①，②可知m=?故8c=5m=字

JJ

故选：D.

【题型2正、余弦定理判定三角形形状】

【例2】(25-26高三上•山东•月考)在△48C中，Q,b,c分别为内角48,C所对的边，若a=2bcos(2026n+C),

则此三角形一定是()

A.等腰直角三角形B.直角三角形

C.等腰三角形D.等腰或直角三角形

【答案】C

【解题思路】根据诱导公式和正弦定理化简为sirM=2sinBcosC,再根据sinA=sin(B+C),结合两角和的

正弦公式化简，即可求解.

【解答过程】由条件可知a=2bcosC,即sinA=2sinBcosC,

因为sin力=sin(B+C)=sinFcosC+cosFsinC,

所以sinFcosC+cosBsinC=2sinScosC,

整理为cosBsinC-sinBcosC=sin(C—F)=0,

所以8=C,

所以△ABC是等腰三角形.

故选：C.

[变式2-1](25-26高一上•全国•课后作业)若aABC的三个内角4B,C满足cos2A-cos28=2sin2C,则4ABC

是()

A.直角三角形B.等边三角形

C.等腰三角形D.锐角三角形

【答案】A

【解题思路】利用一倍角公式将已知等式化为-sin2/l=sin2C,然后利用正弦定理边角互化得护-a2=

c2,进而求得8=会即可判断.

【解答过程】利用二倍角公式将已知等式化为1-2sin2>l-(1-2sin2B)=2sin2B-2sin24=2sin2C,

即siMB-sii^A=siMC,由正弦定理得乂一次=/,即次+廿="，所以B=],

所以△ABC是直角三角形.

故选；A.

【变式2-2](2025•江西•二模)己知钝角△4BC的内角4,B,C的对边分别为a,b,c,且2asinBcos(B-A)=-

bs\n2A+2asinBcosC.

⑴求以

(2)若a+c=4,b=2V3,证明：△ABC是等腰三角形.

【答案】(1咛

(2)证明见解析

【解题思路】(1)由正弦定理.、二倍角公式及两角和差的余弦公式化简得到COSB=-5即可求解：

(2)利用余弦定理得到ac=4,结合a+c=4得到b=c=2,即可证明.

【解答过程】(1)由2asinBcos(b—A)=—bs\n2A+2asinBcosC和正弦定理，

可得2sinAsin8cos(B—A)=-2s\nBs\nAcosA+2s\nAsinBcosC

因为sin/l丰0,sinB*0,

所以cos(F-A)=-coszl+cosC=-cosA-cos(4+8),

即得cos(F-4)+cosQ4+8)=-cosA,即2cos4cosB=-cos/.

又因△ABC是钝角三角形，coszl羊0,故cosB=-g,

因B6(0,n),即8=^.

(2)由Q+C=4,b=2百，8=g及余弦定理得：

(2b)2=a2+c2-2accosY=(a+c)2—ac=16—ac,解得ac=4,

又a+c=4,解得a=c=2,

所以△ABC是等腰三角形.

【变式2-3](2025•甘肃白银•二模)已知△ABC的内角4B,C的对边分别为a,b,c,且满足(a+c)sia4=

bsinB-csinC,a=3,△/BC的面积为曳工

4

(1)证明:△ABC是钝角三角形;

(2)求△4BC的周长：

(3)求△ABC的外接圆的面枳.

【答案】(1)证明见解析

(2)15

喏

【解题思路】（1）根据正弦定理由角化边，再根据余弦定理解三角形，由角的余弦值说明为钝角三角形.

（2）根据正弦定理面积公式和余弦定理解三角形，求出各边长，求出周长.

（3）根据正弦定理求出外接圆半径，计算外接圆面积.

【解答过程】（1）已知（a+c）sinzl=hsinB-csinC,由正弦定理得（a+C）Q=川一。2,化简得/+c2-/）2=-

由余弦定理可知cosB=晔枝=一；，所以乙8==，△力BC是钝角三角形.

2ac23

（2）已知△ABC的面枳为竽，所以SMBc=〈acsin8=q&

由（1）知UB=§,所以sin8=f,

所以;x3cx解得c=5,

224

根据余弦定理可得匕=-2accos8=J9+25+2x3x5xg=7,

所以△ABC周长为3+5+7=15.

（3）设外接圆半径为r,由正弦定理得-==2厂，代入得《=2r,解得r二卷，

smfiV3V3

2

所以外接圆面积为ITx（=等.

JJ

【题型3正弦定理判定三角形解的个数】

【例3】（2025•江西•二模）在△4BC中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（）

A.a=72,b=50,4=135°B.a=20,d=40,4=31。

C.a=30,h=20V3,A=120°D.Q=8,b=14,A=30°

【答案】D

【解题思路】根据正弦定理逐一判断各选项即可.

【解答过程】A：a=72,b=50,4=135。，4为钝角且a>b,有一解，故A错误；

B：a=20,b=40,A=31°,力为锐角，fosin/1=40xsin31°>20,则无解，故B错误；

C：a=30,b=20V3,A=120°,力为钝角且aVb,则无解，故C错误；

D：Q=8,b=14,4=30。，A为锐角，bsin/1=14xsin30"=7,因7V8V14,故有两解，故D正确.

故选：D.

【变式3-1］（2025•四川达州•模拟预测）在△48C中，内角48,C的对边分别为a,b,c.下列条件中能使△ABC

唯一确定的是（）

A.4=45。，8=60。，C=75°B.b=3,c=4,B=30°

C.d=V3,c=2,8=60°D.b=12,c=12,C=120°

【答案】C

【解题思路】对于AD：根据三角形的性质直接判断即可；对于BC：利用正弦定理的结论直接判断即可.

【解答过程】对于选项A：因为三个内角确定，但三边不确定，可知△48。不能确定，故A错误；

对于选项B：因为csinB=2,可知csinBVbVc,

所以满足条件的△力8。有2个，故B错误；

对于选项C：因为b=csinB=6，所以满足条件的△ABC有1个，故C正确：

对于选项D：因为C=120。为最大角，但b=c=12,不满足大角对大边，

所以△力8c不存在，故D错误；

故选：C.

【变式3-2]（24-25高一下•浙江台州•期中）符合下列条件的三角形有2个解的是（）

A.a=2,b=2^2,c=5B.a=2V2,b=6,A

C.a=2,c=3,z4=7D.a=2,b=2\/2»5=7

66

【答案】c

【解题思路】利用两边之和大于第三边判断判断A：根据余弦定理求得b可判断C：由正弦定理判断B、D：

【解答过程】对于A：因为a+b=2+2或V5=c,不符合两边之和大于第三边，所以无解，故A错误：

对于B：因为-^7=一厂所以sinB=>1,所以无解，故B错误；

stnAsinB2V22v2

对于C：由余弦定理得a2=b2+c2—2bccos4所以/一36匕+5=0,解得b=吟力或力=今亚，即

有2个解，故C正确；

对于D：因为-彳=-4，所以sin4=^=2<；=sin0,故0<4三角形只有一解，故D不正确.

smAsinF2V22V22

故选：C.

【变式3-3]（2025•河北秦皇岛•一模）已知△4BC的内角的对边分别为a,hc,且满足Q=2好,B=；

4

的三角形有两个，贝必的取值范围为（）

A.（0,2&）B.（2迎,4）C.（2,4）D.（2,2近）

【答案】D

【解题思路】根据给定条件、利用正弦定理，结合三角形有两解的条件列式求解.

'b<a

【解答过程】在△48C中，a=2&,B=%

4由△ABC有两解，得，sinA=空呵<1'

b

b<2y[2

即解得2Vb<2vL

所以b的取值范围为(2,2&).

故选：D.

【题型4求三角形(四边形)的面积】

【例4】（2026•新疆乌鲁木齐•一模）在△力8c中，角力，B,C的对边分别为a,b,c,已知4=45。，8=75。,

c=2V3,则△ABC的面积为（）

A.V6B.2+V3

C.2V6D.3+V3

【答案】D

【解题思路】根据题意，可得。=60。，再利用正弦定理可得Q=2VL根据正弦和角公式得sir.B=WW,

4

再利用面积公式求解即可.

［解答过程】•.•4=45°,B=75。，AC=180°-45°-75°=60°,

,:--a=--b-=--c-=2V3.

sh4sinBsinC

•••a=4sin/l=4sin45°=2V2,

sinB=sin（45°+30°）=yXy+yXj=,

S&ABC=^acsinB=1x2V2x2\/3x=34-V3.

故选：D.

【变式4-1］（2026•山东枣庄•一模）记△/IBC的内角48"的对边分别为a”,c,已知4=%a=%b+c=8,

则的面积为（）

A.8V3B.4V3

C.24V3-36D.12禽一18

【答案】B

【解题思路】应用余弦定理得出儿，再应用面积公式计算求解.

【解答过程】由余弦定理得16=M+C?-2bcx1=(/)4-c)2-3bc=64-3bc,

所以be=16,

则4力8c的面积为TbeXy=4vs.

故选：B.

【变式4-2](2025•江苏•模拟预测)设△4BC的内角48,。所对应的边分别是a,hc,

且EcosC4-V3bsinC=a+c.

(1)求角8的值.

(2)a=4,sinA=&cosB,求aABC的面积.

【答案】(/;

(2)6+2A/3

【解题思路】(1)由正弦定理得到sinficosC十V3sinfisinC-sin/4十sinC,再由三角恒等变换化简得2sin(6—

9=1,即可求得8；

(2)由题给关系求得4=也再由正弦定理得从再由三角形面枳公式即可求解.

412

【解答过程】(1)因为bcosC+V5bsinC=a+c,

所以由正弦定理得sinBcosC+VSsinfisinC=sinA+sinC,

所以sinFcosC+y/3sinBsinC=sinBcosC+cosFsinC+sinC,

即\Gsin8sinC=cosBsinC+sinC,

由8,CW(Ojr)可得sinf*0,所以百sin8—cosB=2sin(8—已)=1,

所以8=全

(2)因为sin4=&cosB,B=三，所以sinA=日，所以力=土

324

所以C=n----=—.sinC=sin(-+=sin-cos-4-cos-s:n-=

4312\43743434

由正弦定理得白=-)即号=5=4e，所以b=2遍，

sin>1sinBV2史

22

所以S4ABC=JabsinC=1x4x2\/6x=6+2^3.

224

【变式4-3】(2025•云南昆明•模拟预测)在△ABC中，角4&C的对边分别是a,b,c,且当+a=夜和

cosB

2BD=3DC,AD=6,BC=10.

(1)求角8的值;

(2)求△ADC的面积.

【答案】(1)8=：

⑵12

【解题思路】(1)利用正弦定理角化边，结合三角恒等变换可求得cosB=苧，可求角8的值；

(2)由题意可得8。=6,CO=4,进而可求得NA。。=会可求△力0C的面积.

【解答过程】(1)因为驾+a=«c,

cosB

由正弦定理得：'"血'+sin/=V2sinC,

cos8

则sinBcosA+sinAcosB=V2sinCcos5,

即sinQ4+B)=V2sinCcosF,

因为sin(zl+B)=sinCHO,所以cosB=半，

因为8£(0万)，所以8=1

4

(2)因为BC=10,2BD=3DC,

所以8。+CD=10,280=3CD,解得BD=6,CD=4,

又因为4。=6,所以8。=AD,

由(1)知8=；.所以4S4D=NB=；,

44

所以N8D4=p则4力OC=今

所以△力DC的面枳S=^xADxDC=^x6x4=12.

【题型5三角形的高、中线和角平分线】

【例5】(2025•湖南邵阳•模拟预测)已知在△48C中，4B=4,AC=6,cosB=：.若△ABC佗角平分线4D

8

交边8C于点D,贝必。=()

A.YB.塔C.ID.3V2

O31

【答案】D

【解题思路】根据余弦定理求出8C的长度，再利用角平分线定理得到BD与DC的比例关系，进而求出8D的长

度，最后在△48。中利用余弦定理求出4。的长度.

【解答过程】在△ABC中,根据余弦定理AC?=AB2+BC2-24B-BC-COSB,

已知48=4,71C=6,cosB=设8C=无，则有：62=42+x2-2x4xxx-

88

解得x=5或％=-4（边长不能为负舍去），所以BC=5.

因为AD是角平分线，根据角平分线定理：可得尊=*=：=:.

DCAC63

又因为BD+DC=8C=5,所以BD=2x5=2.

在448。中，再根据余弦定理/ID?=4^2+BD2_2AB•BD•cosB,

将/B=4,80=2,cosB=9弋入可得：/ID2=42+22-2x4x2x^=164-4-2=18

88

所以4D=718=3或乂。的长度为3a

故选：D.

【变式5-1](24-25高三下•山东聊城•月考)已知△AB。的内角4B,。的对边分别为a,b,c,且B二；,

4

a=2V2,b=2V5,则力C边上的高九=()

A在B述C超D拽

・2568

【答案】B

【解题思路】由余弦定理求得边，利用三角形面积公式，可得答案.

【解答过程】•1B=%a=2x/2,b=2V5,

4

・•・由余弦定理得cosB=即日二”共浅身，

解得c=6或c=-2(舍去)，乂8=工，.\sinB=立，

4/

由三角形的面积公式可得gbh=^acsinB,即九=誓=

故选：B.

【变式5・2](2025•安徽合肥•三模)4AABC中,角4B,C的对边分别为Q,b,c,且满足V5asinC+acosC=b+c.

(1)求角A;

(2)已知△力8C面积为10百，8c为7,求BC边上中线40长.

【答案】(嘴

(2中

【解题思路】(1)利用正弦定理边化角，利用内角和定理变角，即可求角4

(2)利用面积公式和余弦定理列出等式，再由向量中线的线性表示，借助向量的运算得到方程求解即可.

【解答过程】(1)因为V5asinC+acosC=b+c,

由正弦定理边化角得J^sinAsinC+sinAcosC=sinZ?+sinf

利用三角形内角和定理可得sinB=sin(/l+C)=sin/lcosC+cos/sinC

即\GsinAsinC=sinCcos/1+sinC

因为sinC>0所以百sin.=cos4+1,即sin(4一J=g

因为Aw(Om),所以4=a

J

(2)由SAABC=rbcsinA=1()75得be=40①

由BC?=b24-c2-2bccos力得49=b2+c2-be=(b+c)2-3bc②

由①®得b+c=13

由而2=1(^5+亚p=而2=l(c2+於+2bccos力)=(叱-枇=子，

田/r.V129

【变式5-3](2025•吉林长春•二模)在△ABC中,a,b,c分别为角48,。所对的边，且;c=b-QCOSC,角力

的平分线交8c于。，且BD=2DC.

(1)求角出

(2)若4C=3,求力。的长.

【答案】(1)力=三

(2)AD=2V3

【解题思路】(1)由正弦定理与和角公式化边为角，求得cos4即得角力；

(2)利用三角形角平分线定理求出4B,再根据面枳相等列方程，求解即得的长.

【解答过程】(1)由gc=Z?-QCOSC和止弦定理，可得gsinC=sinB—sin力•cosC,

因sinB=sin(n—A—C)=sin(4+C)=sin/lcosC+cos/lsinC,

贝fjgsinC=sin/l-cosC4-sinC•cos/1—sin/1•cosC,

即gsinC=sinC-cos/l,

因为sinCHO,则得cosA=g,

因0V4VIT,则A=p

(2)

如图，因力。是“力B的平分线，则笠二矢=2,解得48=6,

ACCD

乂S&ABC=+S^ACD»

则:■AB-AC's\n^=：­'AB-AD-siny+：­-ACAD'sin7,

232626

即3x6x手=6•40.g+3TOq,解得AD=273.

【题型6求三角形中的边长或周长的最值或范围】

【例6】(2025•广东广州•模拟预测)记锐角三角形43C的内角A,5,C所对的边分别为a/,c,已知B=2C,a=2,

则七+c的取值范围是()

A.(2,734-1)B.(通+1,+8)C.(2,2企+2)D.(遮+1,2/+2)

【答案】D

【解题思路】根据三角形内角和得4=71-3C,结合正弦定理计算b+C=2血2：廿£利用两角和的正弦公

sin3c

式和二倍角公式化简式子，结合锐角三角形角的范围解得匕+C的取值范围.

【解答过程】因为B=2C,所以/1=7T—3C.

由正弦定理、—=’_=工，有匕=也受.二空更所以，+C=23n2C+2sinC

sinAsin/?sinC口sin3Csin3csin3c

因为sin3c=sin(2C+C)=sin2CcosC+cos2CsinC=sinC(2cos2C+cos2C)=sinC(4cos2C-1).

又2sin2c+2sinC=2sinC(2cosC+1)»

fiFrDl4--2sinC(2cosC+l)_2(2cosC+l)_2

CsinC(4cos2C-1)4cos2C-l2cosc-1，

因为△48c是锐角三角形，所以

所以.VCV：所以cosCE停,3♦

所以匕+C=京三£（高■，言》即b+C的取值范围是（百+1,2戊+2）,

故选：D.

【变式6-1]（24-25高一下•福建莆田•期中）在锐角三角形4BC中，已知a,b,c分别是角4E,。的对边，

且\Gb=2asin8,a=6，则三角形48c的周长的取值范围是（）

A.（3-V3,3V3）B.（3-V3,3V3]C.（3+次,3网D.[3+75,3遍]

【答案】C

【解题思路】由正弦定理化简已知可得sin4再由A是锐角，得到4=T，然后根据正弦定理和三角形内角和

*5

将周长用4表示，结合三角恒等变化和三角函数图象即可求得范围.

【解答过程】因为V^=2asinB,

根据正弦定理得,V3sinfi—ZsinAsinB,

因为8为锐角，所以sin8>0,

所以“二2sin/l,即sin/1=日，而/为锐角，

所以4=3

»5

因为根据正弦定理々9=噜=2,

smxlsin/?sine22

2

所以b=2sinB,c=2sinC,

因为三角形周长为a+b+c=V3+2s\nB+2sinC,

又因为4=T，所以C=.一从

所以a+b+c=y/3+2sin8+2sinQit_8）=遮+2sin8+VSeosB+sinB=2x/3sin（B+.）+V5,

因为8EE（0,1）,即8W（01）,|冗一8E（0,/）,

所以Be（超）

即8+江厚沁sin（8+加停,1],

所以a+b+cE（3+V5,3V3].

故选：C.

【变式6-2]（2025•河南•模拟预测）在△力BC中，内角小B、C的对边分别是a、b,c,Ra-2bcosC=b.

(1)若85。=[,b=3,求c；

(2)若△ABC为锐角三角形，求?的取值范围.

0

【答案】⑴c=2遍

(2)(V2,V3)

【解题思路】(1)利用正弦定理结合三三角恒等变换化简得出。=28,利用二倍角的余弦公式求出sin8的

值，利用同角三角函数的基本关系求出sin。的值，再利用正弦定理可求得c的值；

(2)由△48。为锐角三角形求出B的取值范围，再利用正弦定理结合余弦函数的基本性质可求得;的取值范

D

困.

【解答过程】(1)由a—2bcosC=b及正弦定理得sinB=sinA-2sinBcosC=sin(8+C)—2s:nBcosC

=sinBcosC+cosBsinC-2s\nBcosC=sinCcosB-cosCsinF=sin(C-B),

因为Z?、Ce(0,7T),则一7T<-OVO,所以一IT<C-Z?<TT,

由sin(C—B)=sinB>0可得0<C—BVTL

①若+8=可得C=n,矛盾；

②若C-B二B,可得C=28.

因为新28=上等=上箸=。=；,所以sinB=R

4，JJ

sinC=V1-cos2C=乒可