2026年高三数学高考模拟卷（全国适用）原卷版及解析

2026年高三数学高考模拟卷

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用

橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共58分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的。

1.已知集合人=卜£2卜244},8=(]

»,则4口8=()

X

A.{-2,-1,2}B.{-2,-1}C.[-2,0)51,2]D.[-2,0)50,2]

2.在平行四边形A8CO中，E是CO中点，产是8c上靠近C的三等分点，则()

—1—2—

A.EF=-AB+-ADB.EF=-AB+-AD

2323

—I—2一

C.EF=-AB--ADD.EF=-AB——AD

2323

22

3.若椭圆C:工+汇=1（〃?>0）的焦距为2拉，则C的离心率为（）

m2

A.正B.@C.BD.也~

2233

4.若/,〃?是两条不同的直线，“平行于平面则“/_Lm”是“/_La”的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

5.设S“是等差数列也｝的前〃项和，若U，则*=（）

A.—B.-C.-D.一

10849

6.世界第三届无人驾驶智能大赛在天津召开，现在要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人

分别从事翻译、安保、礼仪、服务四项不同工作，若小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四

项工作，则不同的选派方案共有（）种.

A.120B.60C.24D.36

7.双曲线C:/f=l(a>0力>0)的左、右焦点分别为6、%以桃为直径的圆与。在第二象限交于

点P,若坐标原点。到直线的距离为，则双曲线。的离心率为()

A.-B.@C.叵D.四

2222

8.已知函数〃同=(工-。-1)。'一(五-加)法是1<上的增函数，则必的最小值是()

A.—B.---C.—2eD.-e

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分.

9.已知正项等比数列｛q｝的前〃项和为S”，若$3=64+1，4=2,则()

A.q=；B,数列｛%｝有最小项

C.数列｛〃“｝为递减数列D.q+5“=8

10.已知函数/(x)=sin(3x+否+sin「x-当，则下列说法正加的是()

A./("的图象可由)，=sin3i的图象向右平移靠个单位得到

B.1是/(力的图象的一条对称轴

C.xeJ(x)的值域为-1,721

D./(x)在区间上单调

/V、

II.定义在(。,*)上的函数/(x)满足下列条件：(I)f-=#W-V(>')：⑵当X>|时，/W>0,

\y)

则()

A./(1)=0

B.当xw(O,l)时，/(x)>0

C吗卜/(2)

D.当x>l时，/(x2°)>2V«»(n€N4)

第二部分(非选择题共92分)

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。其中14题第一空2分，第二空3分。

12.已知复:数z满足z(l+2i)=|3-4i|,(其中i为虚数单位)，则复数z的虚部为.

13.设某死亡生物经过，年后，其机体内碳14所剩的质量=两(C。为碳14的初始质量).当该

死亡生物经过11460年，其机体内碳14所剩质量与原有质量的比值为；当其机体内碳14所剩质量与

原有质量的比值为无，则U.

4

14.数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证、

思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美.在平面直角坐标系中，曲线Cx2+丁=2凶+2M就

是一条形状优美的曲线，若丁(。,〃)是曲线。上任意一点，|4。+劝-18|的最小值为.

四、解答题：本题共5小题，共T7分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚c

D

15.记VAKC的内角A,B,C的对边分别为b,c,e/sin—=c-/?cosA.

2

⑴求8；

(2)若—WC的角平分线交AC边于点Q,BD=2,b=2限,求VA3C的周长.

16.如图，在圆台。。中，A,B,C是下底面圆周上的三点，AC为下底面圆的直径，M为的中点.

(1)证明：A6_L平面Q0M；

(2)若=求直线AC与平面aAB所成角的正弦值.

17.已知甲、乙两个袋子，其中甲袋内有1个红球和3个白球，乙袋内有2个红球和2个白球.根据下列

规则进行连续有放回的摸球(每次只摸1个球)：先随机选择一个袋子摸球.若选中甲袋，贝!后续每次均

选择甲袋摸球；若选中乙袋，则后续再随机选择一个袋子摸球.

(1)校照上述规则摸球3次.当第1次选中的是甲袋，求摸到红球的个数X的分布列及期望E(X)；

(2)我照上述规则进行连续摸球，若摸到2次红球则停止摸球.求3次之内(含3次)停止摸球的概率.

18.在直角坐标系中，设尸为抛物线C：/=2/»(〃>0)的焦点，M为抛物线C上位于第一象限内

的点.当可.两=0时，有国一西|=6

(1)求抛物线。的方程；

(2)没直线尸M与抛物线C的另一个交点为N,点M,N在直线x=T上的射影分别为点AT,N,过点产

且与EW垂直的宜线与直线x=-1相交于点P,证明：尸是线段的中点；

(3)设过定点(6,T)的直线/与抛物线。交于A,8两点.若用.而•=-3,且A,8两点的横坐标均与点M的

横坐标不相等，试判断直线仞4,顺的斜率之枳是否为定值.如果是定值，请求出该定值：如果不是定值，

请求出其取值范围.

19.已知函数/(x)=ln(l+x)-asiru,其中aNl.

(1)若。=2,求曲线y=/(x)在点(0"(0))处的切线方程；

⑵证明：/(x)在区间(0,兀)上存在唯一的极值点占与唯一的零点

⑶在(2)的条件下，证明：ln(l+w)>含X.

1।Ai

2026年高三数学高考模拟卷

(考试时间：120分钟试卷满分：150分)

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用

橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分(选择题共58分)

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的。

1.已知集合人=卜必入4},3=卜」<1,则()

X

A.{-2,-1,2}B.{-2,-1}C.[-2,0)51,2]D.[-2,0)50,2]

【答案】A

【分析】根据题目条件对不等式进行求解，再根据集合交集的性质即可判断选项.

【详解】由fK4解得一2vx42,结合xwZ得4={-2,-1,0,1,2},

由:<1解得x<0或x>],所以B=(^x>,0)u(l,+co)

所以Ac8={-2,-1,2}.

故选：A

2.在平行四边形A3CO中，E是CO中点，尸是BC上靠近C的三等分点，则()

—1—1.....-I—2----

A.EF=-AB+-ADB.EF=-AB+-AD

2323

i_1__i_2-

C.EF=-AB-ADD.EF=-AB--AD

2323

【答案】C

【分析】利用平面向量的线性运算即可求解.

【详解】四边形八8C。为平行四边形，

所以丽=反，AD=BC,

所以乔=反+汴=(成+；函仍

故选：C

22

3.若椭圆C:£+3=l(〃?>0)佗焦距为2正，则C的离心率为()

A.在B.2C.—D.如

2233

【答案】A

【分析】由焦距得°=血,可判断〃?=/,由离心率公式计算可得.

【详解】由2c=2正得°=血，

2

又/=尸,|_c=从+2>2,

所以=2，"7="=4，得4=2,

所以e=£=1.

a2

故选：A.

4.若/,机是两条不同的直线，“平行于平面则是“/la”的()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】首先利用长方体判断不满足充分性，再根据线面垂直的性质判断必要性,即可得到答案.

【详解】充分性：如图所示,在长方体中,满足：旭〃a,/JL刑,

此时/不垂直平面a,故不满足充分性.

必要性：/_1,0可推出/，〃，满足必要性.

所以“/_L''是"/"La”的必要而不充分条件.

故选：B

5.设S”是等差数列｛q｝的前〃项和，若即■=：,则3=()

%4312

A.—B.-C.!D.—

10849

【答案】C

【分析】利用等差数列的前n项和为5“,则53凡-53应-56，品-59成等差数列,即可得出结论.

【详解】设$3=2,则$6=42,

•••等差数列的前n项和为S,,贝1」53“6一邑39-S6，S|2-S9成等差数歹IJ,

即k,4k-k,S9-4&,Sn-S9成等差数列,

4k=5kSq=9k

，公差为2女,故

Sdk'S2=16k

故选：C

6.世界第三届无人驾驶智能大赛在天津召开，现在要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人

分别从事翻译、安保、礼仪、服务四项不同工作，若小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四

项工作，则不同的选派方案共有（）种.

A.120B.60C.24D.36

【答案】D

【分析】根据题意，小张和小赵只能从事前两项工作，由此分为2种情况讨论，结合排列组合，即可求解.

【详解】根据题意可分为2种情况讨论：

（i）若小张或小赵只有一人入选，则有C；C；A；=24种不同的选派方案；

（ii）若小张，小赵都入选则有A；A；=12种不同的选派方案，

综上可得，共有24+12=36种不同的选派方案.

故选：D

7.双曲线。:£-左=1（〃>0力>0）的左、右焦点分别为大、鸟，以耳鸟为直径的圆与。在第二象限交于

3

点P，若坐标原点。到直线尸匕的距离为则双曲线C的离心率为（）

A.-B.如C.—D.国

2222

【答案】C

【分析】由题意得到「尸」尸鸟，作出辅助线，结合双曲线定义求出|”|=3〃，仍用=4,由勾股定理得到

方程，求出离心率.

【详解】由题意得尸匕1_夕玛，取尸片的中点M，连接OW，

因为。为G5的中点，所以OM//P6,且|OM|=Jp周，

故|。叫即为坐标原点。到直线外；的距离，则|oM=》，

所以|P闾=2|OM|=3a,

由双曲线定义可得|P图一|尸耳|=2,所以归耳|=°,

又忻用=2c,由勾股定理得+俨鸟『=|"用2,

故/+9a2=4。2,解得《=故离心率为£=巫.

a22a2

8.已知函数/(x)=(x-a-l)e'-(x-%)^r是R上的增函数，则"的最小值是()

A.--B.-C.-2eD.-e

e2e

【答案】B

【分析】由题意可得r(x)20恒成立，进而分方《0,了》0两种情况讨论求解即可.

【详解】由/(x)=(x-a-l)e'-(x-2a)bx,得/r(x)=e'+(x-<z-l)ev-[/?x4-/?(x-24/)],

所以f'(4)=(x-a)ex-2b(x-a)=(x-«)(ec-2b),

因为“力是R上的增函数,则/'(X)20恒成立，

即(x-a乂e，-»)N0恒成立,

当6W0时，e*-乃20,此时工一〃20不恒成立，不满足题意;

当。>0时，等价于(大一。乂工一卜(2^))之0对工七1<恒成立，

则〃=ln(»),即力=ge",则必=gae"，

设g(a)=：ae“,aeR,则g'(a)=；(〃+l)e“，

乙乙

令乃'(。)>0,得。>-1：令女'(。)<0,得av-1,

所以函数g(〃)在上单调递减，在(-1,转)上单调递增，

则g(a)min=^(-l)c-'=-^,跳ah的最小值是一！.

22e2e

故选：B.

二'选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分,在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知正项等比数列｛叫的前八项和为S.，若5\=6%+1,%=2,则()

A.；B,数列｛4｝有最小项

C.数列｛〃“｝为递减数列D.a“+S“=8

【答案】ACD

【分析】由题意可求出等比数列的首项和公比，即可求出其通项公式以及前〃项和公式，分别判断各选项,

即可求得答案.

【详解】设正项等比数列应｝公匕为夕(4>0),

0q-2

对于A,由题意得"t，(，…

q+%q+%q~=6aq+1

q=4f=-5

结合9〉。，解得，1或，2(舍去)，故A正确；

Iq=­2Iq，=—5

对于B和C,a“=4x《j'=2f故数列｛叫为递减数列，无最小项，故B错误，C正确；

"『IT

对于D,s,L⑵L2-川，贝l]《,+S“=23-"+8—2』=8,故D正确，

"1-1-

2

故选：ACD.

10.已知函数〃x)=sin(3x+胡+"3..引,则下列说法正询的是()

A./⑺的图象可由)，=sin3.r的图象向右平移靠个单位得到

B.x是“X)的图象的一条对称轴

C.xw一强浅J(x)的值域为[-1,0]

D./(%)在区间-抬上单调

【答案】BC

【分析】先化简得/(x)=0sin,x+2)，根据/(“勺产sin3x的振幅不相等，从而判断A；代入求值即

可判断B;根据整体法求值域即可判断C；由函数单调性判断D即可.

【详解】因为/(x)=sin(3x+^+sin(3x—^)=sin]+(3x—^[]+sin(3x—^)

由一吗+Sin(3x.吗=in3%+微,

所以/(x)=cosI16；I16；

由于“力与产sin3x的振幅不相等，/(x)的图象不能仅由y=Sin3x的图象平移得到，故A错误;

因为所以x=勺是J'(x)的图象的一条对称轴，故B正确；

\4o7248

当工e时，/=3x+^€-：,午，所以/(X)的值域为［-1，夜］,故C正确;

7171c兀I17T77r

当工e时,/=3x+-G

4,816记，记

当/£一工^，一1时，y=V5sinf单调递减,

_162_

当止一；噂时，y=&sim单调递增，

在区间-丁吟上不单调，故D错误；

4o

故选：BC.

/\

11.定义在(0,+8)上的函数/(X)满足下列条件：⑴f-=)/(x)-V(>')：⑵当X>1时，/W>0,

\y)

则()

A./(1)=0

B.当x«0,l)时，/(x)>0

c.吗卜/⑵

D.当x>l时，/(xr)>2rt/|»(«eN+)

【答案】AD

【分析】根据赋值法、函数单调性的定义、累乘法对选项进行分析，从而确定正确答案.

/\

【详解】对于选项A,由/土=3/(A)-V(.y),

yyj

取工=)，=1,得/(1)=/(1)一/(1)=0,故A项正确；

/\

对于选项B,任取%>七>0,则土>1,依题意，f工>0,

/\

而f—=X-2f(Xi)-Xif(X2),

\X2J

则々/(百)一百/(七)>0,即丝小D,

X1r2

即g(x)=/L。在(0,e)上是增函数，

X

因为"1)=0,所以g⑴=半=0,

得当0cXVI时,g(x)<0,

而f(x)=xg(x)，得当工£(。,1)时,/(x)〈0,故B项错误；

对于选项C.由取.r=l,因为"1)=0,

故4；)=一/(江即吗)=-"2)，故。项错误；

对干选项D,由小卜好⑺-亚力,

取工=/，可得/(y)=才(炉)一)2〃),)，

整理得，/(r)=fy+-|/(.y)»

<y)

因为y>i,所以丁+；>2且/()，)>(),

故f„()，)，

zlr)

即>2,

/(.V)

〃口，N)55/«)q>2”-缶N*)

“1;F7行而…7w/()/()(b

故D项正确.

故选：AD.

第二部分(非选择题共92分)

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。其中14题第一空2分，第二空3分。

12.己知复数z满足z(l+2i)=|3-4i|,(其中i为虚数单位)，则复数z的虚部为.

【答案】-2

【分析】运用复数的模，复数除法等知识计算即可.

【详解】•••|3-4i|=五+不=5,

.55(1-2/)5(1-2/)।丁

：.z=-------=---------=---------=1-2/.

1+2/1-4/25

故复数z的虚部为一2.

故答案为：-2.

13.设某死亡生物经过/年后，其机体内碳14所剩的质量c(/)=q(g)两(G为碳14的初始质量).当该

死亡生物经过11460年，其机体内碳14所剩质量与原有质量的比值为；当其机体内碳14所剩质量与

原有质量的比值为正，则.

4

【答案】48595

【分析】根据给定的碳14质量随时间变化的公式C")=G(；)看，分别代入不同的时间f或质量比值来求解

相应的结果.

【详解】已知公式ca)=c0(；)品，当,=11460时，将其代入公式可得：

[”460।।C(l1460)1

C(11460)=C(-)^=C(-)2=Qx-,所以

oo4,

己知号0=坐，即G4)看亨c0,两边同时除以c。可得(》品=乎

5q2

因为虫="=2»=24

422

根据指数的性质，可得看t=£3，解得/=3会5730=8595.

JtJU44

故答案为：7-8595.

4

14.数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证、

思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美.在平面直角坐标系中，曲线Cf+9=2凶+2N就

是一条形状优美的曲线，若丁(。力)是曲线C上任意一点，阳+外-18|的最小值为.

【答案】I1-5V2

【分析】根据曲线方程分析曲线的性质及形状，问题化为各圆弧上点到直线的距离，再应用圆上点到直线

的距离求法确定最值.

【详解】曲线。:9+9=2凶+2.，

当工NO,”0时,曲线C的方程可化为(x—l)2+(y—l)2=2,

当工40,丁？0时，曲线C的方程可化为(工+1丫+()，-1)2=2.

当」NO,yWO时，曲线C的方程可化为(x-l)2+(y+l)2=2,

当了W0,声0时，曲线C的方程可化为(x+l>+(y+l)2=2,

作出曲线如图:

(\r(«6)到直线4x+3y-18=0的距离d=14a+3bT8].

qT"5

则松+%-18|即为5d,要求得松+田-18|的最小值,结合曲线的对称性,

只需考虑xNO，)90时的情况；

当了20,)亚。时，曲线。的方程为(x—l)2+(y-l)2=2,

曲线为圆心为(11)，半径为&的圆的一部分，

4+318

而(1,1)到直线©+3y-18=。的距离为1~1=1,

55

由圆的性质得曲线C上一点到直线4x+3y-18=()的距离最小为日-亚，

故陨+劝-18]的最小值为1J50.

故答案为：I1-5&.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明'注明过程或演算步聚。

15.记VA3C的内角4,B,C的对边分别为“，b,c,as\n-=c-hcosA.

⑴求8;

(2)若/ABC的角平分线交4c边于点。，3。=2,b=2瓜,求VA8C的周长.

【答案】(1)8=]

⑵4G+2G

【分析】(1)由条件及正弦定理，再结合二倍角公式可得；

(2)根据角平分线分三角形面枳之间的关系及余弦定理可得.

DR

【详解】(1)由asin—=c-bcosA及正弦定理,sinAsin—=sinC-sinBcosA,

22

B

•«,sinC=sin(>4+=sinAcos13+sinBcosA,/.sinAsin—=sinAcosB,

2

人/八、4ri.B.B2B.Blf.B

•.•Ae(O.jr),sinArO,sin—=cosB,.'.sin—=l-2sin—,「.sin—=—或sin—=-l.

222222

V^G(0,7iX—G(o,—),.,.sing=:，H|J.

2222263

(2)如图:

B

：.-acxsin—=—x2xcxsin—+—x2x«xsin—,/.拒ac=2(a+c'\①,

232626'

又在V/WC中，由余弦定理可得片+/-2accos色=24,即.•.(a+c)?-3ac=24②，

3

将①代入②得(a+c)2-26(a+c)-24=0,/.a+c=4\/5或一2#(舍)，「.〃+°+8=4\/5+2遥.

・•.VABC的周长为46+2#.

16.如图，在圆台。。中，4,B,C是下底面圆周上的三点，AC为下底面圆的直径，M为AB的中点.

（1）证明：A3_L平面ROM；

（2）若Oa=OA=AB,求直线AC与平面QA8所成角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析

⑵浮

（分析】（1）由圆台的性质知004底面ABC,从而得OQ_LA6：再由AC为卜.底面圆的直径结合M为AN

的中点可证A8_LOM,由线线垂直即可证得线面垂直.

（2）建立空间直角坐标系，按照求直线与平面夹角的公式，按步骤求解即可.

【详解】（1）证明：因为OQJ•平面A8C,A8u平面A8C,所以

因为AC为下底面圆的直径，所以8C_LA8,

因为M为A4的中点，所以。AC,

所以OMJLAB,

又。知口。。=。，OM,OQu平面OQM,

所以/W_L平面QOM.

（2）以0为坐标原点，而，两，西的方向分别为x轴、轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角

坐标系，

不妨设。«=Q4=A8=2,

则A（—l,6,。），B（I,>/3,0）,C（1,-^,O）,q（0,0,2）,

则丽=（2,0,0）,呵瓜2）,AC=（2,-2>/3,0）.

设平面QA8的•个法向量为〃2=(x,y,z),

m-AB=2x=0.

则取z=G，得比=倒,2,6).

fit•BO}=-x-Gy+2z=0,

设宜线AC与平面0dB所成角为0，

I_i|加4。|46y/2\

则"EE"中储"不丁〒，

故直线AC与平面O.AB所成角的王弦值为叵.

7

17.已知甲、乙两个袋子，其中甲袋内有1个红球和3个白球，乙袋内有2个红球和2个白球.根据下列

规则进行连续有放回的摸球(每次只摸I个球)：先随机选择一个袋子摸球.若选中甲袋，贝!后续每次均

选择甲袋摸球；若选中乙袋，则后续再随机选择一个袋子摸球.

(1)按照上述规则摸球3次.当第I次选中的是甲袋，求摸到红球的个数X的分布列及期望E(X)；

(2)衣照上述规则进行连续摸球，若摸到2次红球则停止摸球.求3次之内(含3次)停止摸球的概率.

【答案】(1)分布列见解析，4

4

【分析】(1)利用二项分布的概率和期望公式求解即可；

(2)利用全概率公式求解即可.

【详解】(1)法一：由题意得X的可能取值为0J2,3.

p(x=0)=%)=去P(X=1)=C；(l)x6=az,

P(x=2)=C；(-I)2x(43)=f9-,P(X=3)=CU-1)3=—1.

*4464'464

X0123

272791

P

64646464

2727913

因此E(X)=0x--F1x---F2xF3x—=一.

646464644

法二：由题意得X的可能取值为01,2,3.

又小~5(吟,故尸(X)=C；(L“(4=0,1,2,3).

因此E(X)=3X'=3.

44

(2)设事件M="3次之内(含3次)停止摸球”，

事件A="第1次摸到红球，第2次摸到红球”：

事件8=”第1次摸到红球，第2次摸到白球，第3次摸到红球”；

事件C=”第1次摸到白球，第2次摸到红球，第3次摸到红球”；

事件首次选择甲袋是第，・次摸球"(i=L2,3),

事件4=”一直没有选择甲袋

则P(A)=P(DJP(A|DJ+P(4)P(A|4)+P(4)产(川4)

111111111111

=—X—X—+—X—X—X—+—X—X—X—=—.

244222422228

P(B)=P(DjP(B|D1)+P(D2)P(B|Dj+P(D3)P(5|D3)4-P(D0)P(5|D0)

11311131111111119

=—x—x—x—+—x—x—x—+—x—x—x—+—x—x—x—=.

2444424482248222128

P(C)=P(DJP(C|DJ+P(D2)P(C|D2)+P(D3)P(C|D3)+P(^)P(C|D0)

13111111111111111117

=­x—x—x—+—x—x—x—x—+—x—x—x—x—x—+—x—x—x—=.

2444222442222248222128

1971

因此P(M)=P(A)+P(B)+P(C)=—+——+——=-.

81281284

18.在直角坐标系X。》中，设尸为抛物线C：y2=2px(〃＞。)的焦点，M为抛物线C上位于第一象限内

的点.当荷・丽=0时，有同一丽卜布.

(1)求抛物线C的方程；

(2)设直线RW与抛物线C的另一个交点为N,点M,N在直线x=T上的射影分别为点AT,N',过点尸

且与日M垂直的直线与直线x=-l相交于点尸，证明：尸是线段的中点；

(3)设过定点(6,-4)的直线/与抛物线C交于A,"两点.若希・丽'=-3,且A,。两点的横坐标均与点”的

横坐标不相等，试判断直线M4,处的斜率之积是否为定值.如果是定值，请求出该定值；如果不是定值，

请求出其取值范围.

【答案】⑴9=4x

（2）i正明见解析

（3）是定值-2

【分析】（1）根据条件列出关厂〃的方程求解即可；

（2）求点。的坐标为（-1,2，），再利用三点共线可得证；

（3）由韦定理。结合直线的斜率公式，化简计算可得3以/桢为常数即可.

【详解】（1）由。户MF=O，WMF1OF,

M为抛物线C上位于第一象限内的一点，

设Mgy。，%>°，则％=J2P=P,即”（多

由题知，|否_闲卜|叫=，^）-+〃2=6,解得〃=2,

•••抛物线C的方程为y2=4x：

（2）由上可知，点尸的坐标为（L0）,

若直线的斜率不存在，则直线垂直于x轴，尸是x=T与x轴的交点，显然是的中点,

若直线的斜率存在，易知该直线斜率不为0,可设直线的方程为工=9+1,

联立；：或：整理得人吁4=。,

设点M,N的坐标分别为（毛,）［）,（J%），则）1+为=4/,

则例‘，N，的坐标分别为（一1,）［）,（T%），

直线叱的方程为），=T（x-l）,于是点〃的坐标为（-12）,

VM',P,V三点在同一直线上，,+为=2小，.•/是线段MV的中点;

/2\

nr

（3）可设M~Tym(w>0),

由上可得而二(—1,0),FA?="叶

由防•闲=-3,得1-1=-3,解得〃?=4,

4

，点M的坐标为(44),由题意得直线/必不垂直于>轴,

・.可设/:x-6=〃(y+4),联立《；

整理得y2-4/?v-16/7-24=0,

其中△=16/+4(16〃+24)=16(〃2+4〃+6)>()恒成立，

设A(%,%)，3(%”),

由韦达定理，有必+%=4〃，%为=-16〃-24,

进而得工3+七=黄+,=5+3一2.\，3)，

4=4，/+8〃+12，

3444

=4甚=®皿_=16/+48〃+36,

4416

%—4乂一4_乃乂-4(%+%)+16_-32〃-8

x3-4x4-4x3x4-4(x3+x4)+1616〃+4

综上可得，直线M4，的斜率之积为定值-2.

19.己知函数/(x)=ln(l+x)-osinx,其中“N1.

(1)若〃=2,求曲线V=/(x)在点(OJ(O))处的切线方程;

(2)证明：