广东省广州市天河区2025届高三年级下册综合测试（三）数学试卷（含答案）

广东省广州市天河区2025届高三下学期综合测试(三)数学试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的.

1.已知向量乙石不共线，入3+3与3d+26共线，则实数4的值为()

A.1B.2C.6D.-|

2.已知(1+i)z=1+i3,Mz-z=()

A.-2iB.2iC.0D.-2

3.某校新建一个报告厅，要求容纳840个座位，报告厅共有21排库位，从第2排起后一排都比前一排多2

个库位，则第1排应安排的座位数为()

A.18B.19C.20D.21

4.设1@11%1211/7是方程%2+2无+2-1=03>1)的两根，则杂综煤=()

A.pB.-pC.昌D.忐

5.己知奇函数/"(x)和偶函数g(x)的定义域均为R,且满足g(x)=/(久)+L，则［/(%)产+瞬&)尸=()

A.1B.-1C.f(2x)D.g(2x)

6.已知抛物线C:川=轨的焦点为F,点M,N为C上的不同两点，若线段MN的中点到y轴的距离为2,则

|MF|,NF|的最大值为()

A.3B.6C.9D.36

7.已知函数=2sin(s:+s)(①>0,|初V5)的部分图象如匈所示，若A,B,C是直线v=>0)

与函数f(x)图象的从左至右相邻的三个交点，且|A8|=18C|,Im=()

J

A.1B.V2C.V3D.1

8.一人质地均匀的正八面体的八个面上分别标有数字1到8,将其随机抛掷两次，记与地面接触面上的数字

依次为31，%2，事件A：x1=3,事件B：%2=6,事件C：%1+切=9,则()

A.A,B互斥B.AUB=C

C.PG48C)=P(4)P(B)P(C)D.A,B,C两两独立

二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要

求,全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分.

9.在(1一2%)2曙九€/7.)的展开式中，下列说法正确的是()

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A.展开式共2九+2项B.各项系数的和为1

C.4吁?项的系数为（2/一2）针一1D.二项式系数最大的项为第九十1项

10.某次测验中，高三（1）班m位同学参加考试，平均分为五，方差为S：，高三（2）班n位同学参加考

试，平均分为石，方差为贫，两个班总的平均分为无，方差为S2,则下列说法一定正确的是（）

A.若五=石，则±可'+双）

B.若m=九，则元=/叵7+而）

C.若五=五，则52>i（s彳+S?

D.若m=n,则S?3々（S彳+S2

11.函数/（工）=。/+23人:#0）的图象被称为牛顿三叉戟曲线，以下图象可能为函数外外的图象的是

X

（）

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.椭圆当+g=l（Q>8>0）的焦点为尸1（一1,0）、尸2（1，0），以心为圆心作一个圆，使此圆过椭圆中心并交

Q，b

椭圆于M、N两点，若直线MF1与圆尸2相切，则。=_________.

2?2

13.在△A8C中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,若红上士=2b+c=2acos8+2acosC，则4ABC

cos/'

的面积为.

14.已知棱长为1的正方体在其内部放入两个相外切的球01和球。2（可与正方体表面相

切），半径分别为丁1"2,则丁1+上的最大值为.

四、解答题,本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

1S.为减少环境污染，保护生态环境，某校进行了“垃圾分类知识普及活动”，并对高一、高二全体学生进行

了相关知识测试.现从高一、高二各随机抽取了20名学生，对他们的成绩（百分制）进行了整理和分析后

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得到如下信息:

高一年级成绩分布表

成绩[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]

人数123410

(2)用频率估计概率，分别从高一全体学生中抽取一人，从高二全体学生中抽取两人，随机变量X表示

这三人中成绩不低于90分的人数，求X的分布列和数学期望.

16.如图，在三棱柱48C—A1B1G中，底面△48C是边长为4的等边三角形，且力41BC.

(1)求证：AXB=&C；

(2)若三棱柱力8。一48传1的体积为46=2,求直线4口与平面448潭所成角的正弦值.

17.已知双曲线C:/一4=

(1)若直线1与双曲线C相交于A,B两点，线段AB的中点坐标为(3,3),求直线1的方程；

(2)若P为双曲线C右支上异于右顶点的一个动点，F为双曲线C的右焦点，x轴上是否存在定点

M(£,0)(£<0),使得=2乙PMF?若存在，求出t的值：若不存在，请说明理由.

18.已知函数/'(%)=^ax2+(a+l)x+\nx,a6R.

(1)当aVO时,求/(%)的单调区间;

(2)己知关于x的方程f(x)=1ax2+x有两个解%1，*2(与<%2)

(1)求a的取值范围；

(ii)4为正实数，若当S=M%I+%2)时，都有/(s)vO,求4的取值范围.

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19.对于数集4=｛一1,。1，。2,…,Qn｝，其中oV%va2V•••<an，n>2,定义“伴随向量集“8=

｛b\b=(s,t\seA,teA].若对任意瓦EB，存在瓦WB，使得瓦•瓦=0，则称A为“好集”.

(1)已知数集&请写出数集&的“伴随向量集并判断&是否为“好集”(不需要证

明)；

(2)若有限集4=｛一1,%,02,1册｝为“好集”，求证：1eA,且当0VQiV1时，Qn=1；

(3)若有限集4=｛-1,即。2,12｝为“好集”，且OnT=q，%=l，求

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答案解析部分

1.【答案】A

【解析］【解答】解：向量五是不共线，因为府+B与36+2坂共线，所以存在实数〃使得;1；+1=

M(3a4-2b),即忆费解得；1=4

故答案为：A.

【分析】根据向量共线定理，列式求解即可.

2.【答案】A

【解析】【解答】解：由(1+。2=1+落可得z=更=E=£7丁=茎=T，

1+11+1(1+1)(1—I)Z

则，=i,故z—z=—i—i=—2i.

故答案为：A.

【分析】根据复数代数形式的乘除远算求得复数z,再求五再根据复数的加减法求解即可.

3.【答案】C

【解析】【解答】解：设第一排安排的座位数为，

由题意可得：每排座位数构成一个公差d=2的等差数列｛册｝，且该数列的前21项和S2i=840,

则S21=21%+21产x2=840,解得%=20.

乙

故答案为：C.

【分析】设第一排安排的座位数由，由题意可知，每排座位数构成一个公差d=2的等差数列｛%｝,根据等差

数列的求和公式计完即可.

4.【答案】D

【解析】【解答】解：12八%1@邛是方程X2+口无+口-1=00>1)的两根，

由韦达定理可得：tana+tan/?=—p,tana-tan^?=p—1»

同sin(a+0)_sinacosjg+cosasin/?_二ana+tan0__p_p

AJsinasin/?一sinasin/?-tanatan/?-p—1-1—p"

故答案为：D.

【分析】利用韦达定理结合两角和的正弦公式以及同角三角函数基本关系求解即可.

5.【答案】D

【解析】【解答】解：因为/(%)是定义在R上的奇函数，g(x)是定义在R上的偶函数，

所以g(r)=g(x),/(-x)=7(x),

xx

函数9(x)=fM+e~,g(-x)=f(-x)+ef

则/'(X)+e~r—/(—x)4-er=~fW十e*解得/'(%)=/不一,g(%)=/(x)±e~x=铲4-+e~x—

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2

则丁(刈2+炽创2=仔尹)2+(哼］二之土卢+y立

=e2X^~2X=g(2x).

故答案为：D.

【分析】根据函数/(划和g(x)的奇偶性，结合g(x)=f(x)+e-3求得/(%)=丝尹，g@)=丝茅二代

入化简即可.

6.【答案】C

【解析】【解答】解：易知抛物线C:y2=4x的焦点为尸(1,0),准线方程为％=-1,

设M(%i，%)N(%2，y2)，

因为点M,N在抛物线C:y2=4x上，所以为=4%1，免=4M,

又因为线段MN的中点到y轴的距离为2,所以与+0=%

由抛物线的定义可得:|MF|=x1+l,|/VF|=x2+l,

则|MF|•|NF|=(%i4-1)3+1)=勺％2+%i+%2+1=xix2+5,

因为MN的横坐标均大于0,所以勺+第2=4'27^诙，所以勺外的最大值为%

当X62=4时，即勺=%2=2时，14F-NF取最大值为9.

故答案为：C.

【分析】易知抛物线C:y2=4x的焦点为F(l,0),准线方程为％=-1,设“01，%),可(%2，丫2)，根据中点求出

点M,N的横坐标的关系，再利用抛物线的定义求得|M/q=xi+i,|N/q=N2+i,表示|疝小|6卜最后利用

基本不等式求最大值即可.

7.【答案】B

【解析】【解答】解：由图可得：¥=9_£=3兀，即7=4兀，则普=4九，解得3=%

则函数/'(X)=2sin(1x+(p),

因为图象过点G，2),所以2sin修+@)=2,所以5也(/+租)=1,

所以今+W=£+2kmkEZf所以(p=,+2k7t,kEZf

又因为|0|V名所以0=*则函数/(x)=2sin(b+g,

因为A,B,C是直线y=m(m>0)与函数f(x)图象的从左至右相邻的三个交点，

且|AB|=g|"|,所以4m8|=4兀，所以|阴=兀，所以4|砌=多

则m=2sin蔚+9+今］=2cos^=V2.

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故答案为：B.

【分析】先由图象求得困数/•(%)的周期，确定s的值，再根据图象过点G，2),求得9=会即可得函数/■(%)

的解析式，最后根据L4B|二g|BC|,结合正弦函数的性质求解即可.

8.【答案】D

【解析】【解答】解：A、由题意可知：事件4B同时发生，即An8》0,故A错误；

B、事件C发生，4UB不一定发生，故B错误；

c、易知P(A)=『(B)=3P(C)=^=%

则PG4BC)=C=｝，P(A)P⑻P(C)=、X、X，HP(48C),故C错误；

oXOOT,OOO

D、由P(AB)=吉=P(4)P⑻，P(4C)=^=P(QP(C),P(BC)=<=P(B)P(C),

可知事件4B,C两两独立，故D正确.

故答案为：D.

【分析】由题意，利用互斥事件的定义即可判断A：根据并事件的定义即可判断B：利用独立事件的定义即

可判断CD.

9.【答案】B,D

【解析】【解答】解：A、二项式(1-2%产的展开式中共2九+1项，故A错误；

B、令％=1,可得(1-2)2n=1,则各项系数的和为1,故B正确；

2nk

C、(1-2x)(n6N*)展开式的通项公式为几+i=C^n(-2x)=C&•(一2)文•/，

令k=2n-2,则该项系数为C翔-2,(_2)2n-2=C2n.4n-l=(2n2_n).针一1,故C错误；

D、由A可知：(1一2幻2«几£”)展开式有271+1项为奇数项，则二项式系数最大的项为中间一项，即第

几+1项，故D正确.

故答案为：BD.

【分析】由二项式展开式的项数即可判断A；利用赋值法即可判断B；写出(l-2x)2n(nwN,)展开式的通

项，令上=2九一2求解即可判断C；由二项式系数的性质即可判断D.

10.【答案】A,B,D

【解析】【解答】解：由题意可知：两个班的平均分元=吧等，

m+n

方差§2=焉段+(而一元)2]+品田+西一元月,

A、若环=石，贝反=喘羽=嚅罄=*=石=*(制+石)，故A正确；

B、若血=九，则/=詈2=\(石+石),故B正确；

C、若石=石，则元=五=双，那么

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52=5为囹+（而一元）2]+盘区+函一元）2]=岛兑+品诔

而襦s：+扁房-（S"房）=湍鼻⑶一如，

因为正负不确定，所以不等式不一定成立，故C不正确;

n廿1_

D、4im=n,x=2（*i+工2），

则$2二品田+（五一盼2]+JL[S2+^_君2]

=加工+1（五—法）2]+加抒；（花_而）2]=/闾+58+丸石—石）22区+5力故D正确.

故答案为：ABD.

【分析】先计算两班的平均分和方差，再根据平均数的公式和方差的公式逐项分析判断即可.

11.【答案】B,D

【解析】【解答】解：函数/（%）="2+[3/）60）定义域为（_8,0）U（0,+8）,

,7、°b2ax3-b

f（%）=2ax~^2=—^2—,

令/（为=o,得％=疆，令/（切=0,解得％=口5，

A、若Q<0,b<0,3一哈）v0,且x>0时，，f（x）V0恒成立，

%6（-8,0）时，/（x）>0，/（%）单调递增，xW（0,1窝），/（%）>0，/（x）单调递增，

%E4/，+8>f（%）V0，/（X）单调递减，故A错误：

B、若aVO,匕:>0,则,_4）>0,且XV0时，/（为<0恒成立，

%G（-OO,盛）时，/（%）>o,f（x）单调递增，xG（骁,0）时"'⑺<0,f。）单调递减，XG（0,+8）时，八乃<

0,/（x）单调递减，故B正确；

C、若Q>0,b<0,则[_4）>（）,且x<0时，/（乃〉。恒成立，

xE（一8,骁）时，/（%）<0,/'（X）单调递减，％G（恶,0）时，/&）>0,/'（X）单调递增，%G（0,+8）时，f'（x）<

0,单调递增,故C错误;

D、若Q>0,b>0,则,_哈）<0，且%>。时，/■（%）>0恒成立,

%£（-8,0）时，/（x）<0,/Xx）单调递减，x6（0,，f（%）<0>/（》）单调递减,

%W（源，+8>/W>0，f（x）单调递增，故D正确.

故答案为：BD.

【分析】求函数的定义域，再求导，分别求出函数的零点和极值点，对a,b在取不同符号的值的情况下

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/（X）可能的图象进行分类讨论，选出符合题意的图象即可.

12.【答案】号1

【解析】【解答】解：如图所示：

由题意可知，圆&的半径为I。521=1，

因为直线与圆尸2相切，所以MF1_LMF2，且|M%I=1，

2222

在^MRF2中，由勾股定理可得|MR|=yj\F1F2\-\MF2\=72-1=6，

由椭圆的定义可得：2a=|MFJ+=四十1，则Q=4>.

故答案为：苧.

【分析】由题意可得MF1_LMF2,在AMF/z中，利用勾股定理求出IMF1I的值，再利用椭圆的定义求Q的值

即可.

13.【答案邛

,2.77b2+c2-a20

【解析】【解答】解：若"苧=2,由余弦定理可得再中=2,解得儿”

b+c=2acos8+2QCOSC,由余弦定理可得+c=2a12+c2+za^+j-cZ,

2ac2ab

a2/j+c2b-h34-a2c-/72c—c3

整理可得匕+c=_________________________,

be

因为be=1,所以b+c=cz2(b+c)+c+b-(b+c)(/?2-ab+c2),

化简口J得+c?—混=i,即cosA=2rsinA—号，

J乙

则^ABC的面积s=besinA=

24

故答案为：乌

【分析】由题意，利用余弦定理化简求得儿与cosA的值，根据同角三角函数以及三角形面积公式求解即可.

14.【答案】主咨

【解析】【解答】解：要使右+厂2取得最大值，则两球球心均在体对角线上,

且球。I与平面力。1，平面CD1，平面历。〔相切,

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球。2与平面BG，平面平面8。相切，

易知ED】=DiOi=»B02=>/3/2»。1。2=r1十=2，

则8z*i+V3r2+ri+r2=x/3»解得丁1+丁2=£同=§裂.

故答案为：与1

【分析】由题意，要使ri+上最大，则两球都分别与正方体体对角线顶点相邻的三个面都相切，据此列式求

解即可.

15.【答案】(1)解：由题意可知：高一年级成绩成绩不低于90分的概率为播=%

乙U乙

高二年级成绩不低于90分的概率为0.025xl0=0.25,

则从高一和高二样本中各抽取1人，这两人的成绩都不低于90分的概率为：1x0.25=i;

(2)解：由题意可知，随机变量X的可能取值为0,1,2,3,

P(X=0)=ix(l-l)x(l-l)=^,

P(X=l)=|x(1-1)x(l-l)+|xc^.i.1=

P(X=2)=ixC^-(l-1)xi+ixix1=^,

P(X=3)=ixix1=±,

X的分布列为:

X0123

P91571

32323232

91571

E(X)=0x+1x^2+2x22+3x=1,

【解析】【分析】(1)由题意，先求高一年级、高二年级成绩不低于90分的概率，再根据独立事件概率乘法

公式求解即可；

(2)由题意，先确定随机变量X的可能取值，再求对应的概率值，列分布列，求数学期望即可.

(1)从高一年级成绩分布表可以看出，成绩不低于90分的概率为芸

从高二年级成绩频率分布直方图中可以看出，成绩不低于90分的概率为0.025xl0=0.25.

所以从高一和高二样本中各抽取1人，这两人的成绩都不低于90分的概率为：

11

4x0.25=3

zo

(2)根据题意可知，X的可能取值为。，1,2,3.

当X=0时，即这三个人中成绩都低于9()分，此时概率为：

P(X=0)=lx(l-l)x(l-l)=^

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当X=1时，即这三个人中成绩只有1人的成绩是不低于90分的，此时概率为:

P(X=l)=|x(l-i)x(l-l)+|xC^i.|=||.

当X=2时，即这三个人中成绩只有2人的成绩是不低于90分的，此时概率为:

P(X=2)=lxC^(l-1)xl+ixlxl=^.

当X=3时，即这三个人的成绩都是不低于90分的，此时概率为：

P(X=3)=1xlxi=^.

所以X的分布列为:

X0123

91571

P

32323232

所以数学期望为E(X)=0x备+lx1|+2x5+3x*=1.

16.【答案】(1)证明：取8c的中点为0,连接4。，如图所示:

易知A0_L8C,因为力遇1BC,40,441为平面4。公内两条相交直线，所以8cl平面404,

又因为410在平面4。&内，所以8cd.%。,

又因为的中点为0,所以=

(2)解：过①作4OJ.O4垂足为D,由(1)BC_L平面4。力1，4iD在平面4。4内，

所以BC14D,BC,04为平面4BC内两条相交直线，所以_£平面4BC,即为棱柱的高,

乂因为S△丽另X4X4X孚=4小三棱柱48c-4当6的体积为46=8cx&D,

所以4。=1,又因为4Al=2,所以4。=百，

又因为底面△ABC是边长为4的等边三角形，所以4。=28，

过。作心。的平行线作为z轴，040B为匕y轴，建立空间直角坐标系，如图所示:

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则4(2何0,0),C(0,-2,0),B(0,2,0),D(V3,0,0),4(V5,0,1),

设％(a,b,c),则就=(-273,-2,0),^7=(a-V3,Z;,c-1),

由尼二/C；，可得a=-J5,b=-2,c=1,即Ci(-V5,—2,1),

宿=(-36,-2,1),而=(-26,2,0),砧=(-V3,2,-l),

n-A§=(-2A2,0)•(%y,z)=-2V3x+2y=0

设平面人从潭潭的法向量为五=（%,y,z）,

n-AXB=(-V3,2,-1)­(x,y,z)=-V3x+2y-z=0

设x=6，得y=3,z=3,即亢=（V5,3,3）,

设直线ACI与平面44潭潭所成角为8则sin8=华二=,£0=登.

|AC1jn||

【解析】【分析】（1）取8C的中点为0,连接A。，通过平面4。&,得到BC14。据此证明即可；

（2）过。作40的平行线作为z轴，。4。8为x,y轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解即可.

（1）取8c的中点为。，连接40,

因为底面4是边长为4的等边三角形，

所以40J.BC,又％A_L8C,40,441为平面力。4i内两条相交直线,

所以BC1平面404,又81。在平面AOa内，

所以BC14。，

又BC的中点为。，

由（1）8CJ_平面AOA1,Ai。在平面月DA】内，

所以BC_L4iD,B&OA为平面ABC内两条相交直线,

所以41。1平面4BC,即4。为棱柱的高，

又S&ABC=*x4x4x苧=4A/3»

三棱柱ABC-&BiG的体积为4百=SMBCx&D,

所以40=1,

又441=2,所以40=V3.

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又底面△A8C是边长为4的等边三角形，

所以/10=2\/3»

过。作力0的平行线作为z轴，。4。8为%/轴，建系，

则4(26,0,0),C(0,-2,0),5(0,2,0),D(VJ,0,0),4(8,0,1),

设Ci(Q,b,c),则亚=(-273,-2,0),=(a-V3,d,c-l),

由彳？={i。］可得Q=一8,b=-2,c=1,

即。1(-6,-2,1),

石=(一3次,一2,1),而=(-2百,Z,U),乖=(一心2,-1)

设平面44/18的法向量为元=(%,y,z),

n-AB=(-2V5,2,0)•(x,y,z)=-2^3x+2y=0

n-AXB=(-V3,2,-1)•(x,y,z)=-V3x4-2y-z=0

设％=百，得y=3,z=3,

所以元=(，X3,3),

设直线ACi与平面所成角为仇

ACyn12>/42

则sinB==

原xv万一R

AC^-n

17.【答案】⑴解:设4(勺,%),8(必,为)，

卜”畜=1

一超一件Lo,

因为点48在双曲线上，所以，作差可得蜉

即(…2)(/+6

又因为线段AB的中点坐标为(3,3),所以/+上=6,%+为=6,所以6(必一不)一包二处=0,

所以直线的斜率为％=生殳=3,所以直线/的方程为y—3=3(x—3),BP3x-y-6=0；

xl~x2

(2)解：假设存在定点M(t,O)(tV0),使得上PFM=2zlPMF,

设P(人,y())，焦点F(2,0),

tan/pMF

因为匕PFM=2乙PMF,所以tan/PFM=tan(2zPMF)=—^—5------,

1-tan'zPFM

化简可得Go-一羽=2(2-3)(&-£),

又点P在双曲线上,所以羽=3(舄-1),

代入上式可得(g-£产-3(说-1)=2(2-%o)(%o-可

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整理可得一4so-4a+“+4£+3=0,因为对于配>1恒成立,

所以一4亡-4=0且产十4t十3二0,解得七一一1,

当为o=2时，代入双曲线方程可得为=3,

显然,此时△PMF为等腰直角三角形，也成立，

综上，t=-1.

【解析】【分析】（I）设4（右,%）,8&2/2），代入双曲线方程，由题意，利用点差法求出直线斜率，即可求得

直线方程；

（2）假设存在定点M（£,0）（£<0）,使得/PFM=2/PMF,利用正切二倍角公式结合点在双曲线上化简求解即

可.

（1）设4（%”1。8（%2，”），

则卜”号=1,作差可得%2就_华=0,所以3T2）⑵+%2）-3》乎1+，2）=0,

I孕=1

因为线段AB的中点坐标为（3,3）,所以与+x2=6,%+y2=6,

所以6（/_冷）-9/=。，

所以直线的斜率为k=红拉=3,所以直线/的方程为y-3=3（x-3）,

xl-x2

即3x-y-6=0.

（2）假设存在定点M（£,0）（£V0）,使得乙P/M=24PMF.

设PQo，yo），焦点F（2,O）,

♦-an/PMF

因为4PFM=2乙PMF,所以tan/PFM=tan（2zPMF）=7，

1—tanZ.PFM

又点P在双曲线上,所以羽=3（就-1），

代入上式可得（沏一亡¥-3（舒-1）=2（2-x0）（x0一£），

整理可得一4so-4&+d+4£+3=0,因为对于%>1恒成立,

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所以-42-4=0且产+4t+3=0,解得t=-1.

当比=2时，代入双曲线方程可得为=3,

显然，此时△「时尸为等腰直角三角形，也成立，

综上，t——1.

18.【答案】(1)解：函数f(x)=劣。%2+缶+1)%+]n%的定义域为(0,+8),

/'(乃=QX+(Q+1)+卜”2+(字>1=("1)产+1),

人人人

当a<0时，令f'(x)>0，解得得0<xv令/''(%)<0，解得x>-',

则函数f(x)在(0,—工)上单调递增，在(—±+8)上单调递减，

dd

故当Q<0时，/•(%)的单调递增区间为(0,-》，单调递减区间为(一”8);

(2)解：(i)由/'a)=*a/+x,可得ax+lnx=O,即方程ax+Inx=0有两个解修,工2(孙VX2)，

设g(x)=Qx+lnx(x>0),g,Q)=Q+工=丝土1,且g(x)在(0,+8)上有两个零点，

XX

当aNO时，/(工)=竺>>0,函数g(x)在(0,+8)上单调递增，

人

则g(x)在(0,+8)上最多只有一个零点，不合题意；

当QV0时，令g'(x)=@>0,解得0cx〈一工令9(X)=竺±1<0,解得x>一工

d''xav7xa

即函数9(%)在(0,-》上单调递增，在(-:，+8)上单调递减，故g(x)在工=-\时取得极大值，

要使9(乂)在(0,+8)上有两个零点，需使g(-J)>0,即-i+in(-)>0,解得一JvavO，

当ovxv—,时，因一、>e,乂g(i)=Qv0,则g(i)g(—》<o，

又g(功在(0,二)上单调递增，所以g(x)在(0,二)有唯一零点；

V4-W-

当x>-1时，令w(x)=e*-/(%>1),则d(x)=e*-2x,

再令〃(%)=ex—2x(x>1)»则u(尤)=ex-2>e-2>0,

故〃(%)在(1,+8)上单调递增，WiJu(x)>u(l)=e-2>0,即/(x)>0,

故W(x)在(1,+8)上单调递增，则以幻>w(l)=e-l>0,

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因一(>e>1，所以0(一》>0,即e-a—(―>0，即e五>当，即Q2gY—1>0,

4-7,1111]a2e-s—1

“乂g(e-万)=ae~a+\ne~a=ae~a—=-------<0*

,aa

乂g(x)在(-：,+8)上单调递减，故g(%)在(一,+8)上有唯一零点，

综上，当一:VQVO时，g(x)在(0,+8)上有两个零点，

即方程/(%)=i«x2+%有两个解打,X2(%1V%2)，故a的取值范围为(一工,0)；

ZG

(ii)由(i)可得0<巧1<—工<”2，且【&"：?=:，故0=-净X-X詈1.

a/kax2+lnx2—02~1

7

因/(s)<0，则(as+l?s+l)<0,即$>-i,也即联与+x2)>晨二尚,

_±_1

故有4(“xi二+^2)着(,n，x2-l厨nxl)、=(i+ti2)|n叼^,设"孑X1，则1>1，于是可得a>忐(l+t)而lnt，

即Alnt>

JLIC

设s©=Alnr-£，贝次⑷Y一岛=曾一品)，

,.L2t_2/1

因"1时'诉"诉<2'

①当之时，s'(t)>0在(1,+8)上恒成立，故函数s(£)在(L+8)上为增函数，

即s(£)>s(l)=0,即兄nt>在(1,+8)上恒成立；

②当OCX<4时，s'⑴=”夫0,而s'⑴=址2+2(入一/+乙

22t^i+ty

当t>lz坦旦>i时，s(t)>0,

A

故存在to>1,使得VtW(1,无)，使得s'(£)VO,故s(t)在(1,五)二为减函数，故s(t)<s(l)=0,矛盾，

综.上，可得入之劣，即；leg,+8).

乙乙

【解析】【分析】(1)求函数的定义域，再求导，当Q<0时，利用导数判断导函数的符号可得/(X)的单调性

即可；

(2)(i)问题转化为方程QX4-\nx=0有两个解，构造g(x)=ax+lnx(x>0),分类讨论a>0与QV0时的

图象性质，由极大值g(-}>0得到-：<a<0,再分类讨论区间(0,-》与+8)上零点的情况确定a的

取值范围即可;

(ii»"'(s)<0进行转化得入>设£=则£>1,则入>(l+£)]nt'构造函数s(£)=Alnt—；+；,

证得5(e)>0,分类讨论；I之皆0<4<4两种情况，从而确定/IN今

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(I)函数/'CO=|ax2+(a+l)x+Inx的定义域为(0,+8),

则f'(x)=以+(a+D+]="Q*+I=(Hl)产+D,

因QVO,由/'(x)>0得0<%<一:,由/(X)V0得%>一(，

即函数/(%)在(0,-》上单调递增，在,+8)上单调递减.

故当Q<0时，/(%)的单调递增区间为(0,-》，单调递减区间为(一]+8).

(2)(i)由f(x)=+%可得ax+Inx=0,依题意方程ax+Inx=。有两个解打,42(打<小)，

设9。)=ax+lnx(x>。)，则g(x)=Q+q=”/，且g(x)在(0,+8)上有两个零点•

当aN0时，g'Q)=y？3>0,故g(x)在(0,+8)上单调递增，则g(x)在(0,+co)上最多只有一个零点，不合

题意；

当avO时，由g'(x)=丝学•>0得0VxV—匕由g'(x)="?V0得x>—工，

D‘xav/xa

即g(x)在(0,-1)上单调递增，在(一士+8)上单调递减，故g(x)在％=时取得极大值.

ciaa

要使g(x)在(0,+8)上有两个零点，需使或一》>0,即一l+m(-}>0,解得一1<Q<0.

PI0<x<—:时，因一、>e,又g(i)=Qv0,则g(i)g(~<0,

乂g(x)在(0,-》上单调递增，所以g(x)在(0,-》有唯一零点；

当上>一[时,令0(%)=e"—"(%>1)，则/(x)=。”—2x,

再令〃(x)=ex-2x(x>1),则u'(x)=ex-2>e-2>0,

故〃(x)在(1,+8)上单调递增，则a(x)>a(l)=e-2>0,即/(%)>0,

故W(%)在(1,+8)上单调递增，则w(%)>0(1)=e-1>0,

因一所以伊(―：)>0,即—(―：)>0,即e-万>去，即次?4―1>0,

IA11111a^e~^—l

l,xg(e~a)=ae~a+Ine-万=ae~a——=-------<0*

aa

又g(x)在(_：,+8)上单调递减，故g(x)在(_：,+8)上有唯一零点.

综上，当一;VQV0时，g(x)在(0,+8)上有两个零点，

即方程/(x)=|ax2+x有两个解打/2区<冷)，故a的取值范围为(一工,0).

(日)由(，)可得。<%<一<和且得:既:故&=

因/''(slvo，则(as+ljs+l)vo,gps>_1,也即+%2)二焦J

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故有Q而君田而=巾唔,设"停则01'于是可得”>用‘即强空岳.

设s(t)=Alnt-缶，则s'(t)=：-品=X”^2)>

2t2,1

因"।时'的=即<2'

①当az；时，s'(t)>o在(i,+8)上恒成立，故函数s(。在(1,+8)上为增函数，

即s(t)>s(l)=0»即川nt>在(1,+8)上怛成立;

；X4I_：

②当0<入<揄，s'⑴=2-鼻0,而s'(£)=小必生芈2当t>k±耳且>1时，s'(£)>0,

故存在to>1，使得”6(1,t。)，使得s'(t)<0，故s(t)在(l,to)上为减函数，故s(t)Vs⑴=0,矛盾.

综上，可得力二，即awg,+8).

19.【答案】(1)解：由“伴随向量集”的定义可得：Bi=

{(一1,-1),(一词,(-14),G，T)，(另),&1),。-1)，(G),(L1)}；

(-L-1)♦=0,(-1,-1)•(1,-1)=0,(-1,