2026高考数学复习训练：双曲线（附解析）

布考教号

双曲线

基础巩固练

1.（2025•八省联考,5）双曲线N4二i的渐近线方程为（）

A.y=±xB片±2x

C.y=±3xD.y=±4x

2.（2024•河北唐山二模）若一双曲线的实轴及虚轴分别为另一双曲线的虚轴及实轴，则它

们互为共规双曲线.已知双曲线E的标准方程为/y=1,则E的共规双曲线的离心率为

（）

A.乎B.V2

C.A/3D.2

3.（2024・浙江绍兴模拟）已知双曲线CW少2=1的左、右焦点分别为8心,若左支上的两

点A,B与左焦点F｝三点共线，且ZU8F2的周长为8,则AB\=（）

A.2B.3

C.4D.6

4.（2024•山东济南三模）已知双曲线G过点4-J151）,且与双曲线。2：/-3y=1有相同的

渐近线，则双曲线C,的标准方程为（）

5.（2024•山东泰安三模）已知相,0）为双曲线力＞0）的右焦点,直线kc与

C的两条渐近线分别交于48两点,。为坐标原点,△048是面积为4的直角三角形，则C

的方程为（）

A.x2-y2=lB.y-y=l

C±t=lD.99=1

4442

布考教号

6.已知双曲线。**1（心0力＞0）的离心率为噂，双曲线上的点到焦点的最小距离为

回-3,则双曲线上的点到点4（5,0）的最小距离为（）

A.lB当

C.2DA/6

7.（多选题）（2024•河北邯郸三模）已知双曲线。:名-为习册弘）

A+O3-X

人.2的取值范围是（-6,3）

B.C的焦点可在x轴上也可在），轴上

C.C的焦距为6

D.C的离心率e的取值范围为（1,3）

22

8.（多选题）（2024•江苏南通二模）已知双曲线C:羊-与=1（"＞0）的右焦点为凡直线

/:》+勿=0是C的一条渐近线,P是I上一点，则（）

A.C的虚轴长为2＜2

B.C的离心率为更

C.|PF|的最小值为2

D.直线房的斜率不等于专

9.（2024•江苏扬州模拟）已知双曲线**1（心0,加＞0）的左、右焦点分别是吊尸2,若双曲

线左支上存在点R使得仍尸2|=2|尸8],则该双曲线离心率的最大值为.

10.（2022•全国甲，文15）记双曲线。搭爷=15＞0力＞0）的离心率为e,写出满足条件“直线

y=2x与。无公共点”的e的一个值:.

11.（2024•河南郑州三模）已知双曲线C:捺一3=1（心0力＞0）的离心率为也"分别是它的

两条渐近线上的两点（不与坐标原点O重合），点。在双曲线C上且耐+砺=2万,ZUOB

的面积为6,则该双曲线的实轴长为.

综合提升练

12.（2025・上海闵行模拟）我国南北朝时期的数学家祖唯提出体积的计算原理（祖唯原

理）:“累势既同，则积不容异”.已知双曲线。：**1（。＞0力＞0）,若双曲线右焦点到渐近线

布考教号

的距离记为4双曲线C的两条渐近线与直线y=l,y=-1以及双曲线C的右支围成的图形

（如图中阴影部分所示）绕J，轴旋转一周所得几何体的体积为也八兀（其中c，2=〃2+为，则双

曲线的离心率为（）

A.V2B.容

C.V3喈

13.（2024•广东佛山模拟）已知圆G：N+y=b23＞0）与双曲线。2：第一卷=1（心0力＞0）,若在双

曲线C2上存在一点P,过点尸所作的圆Ci的两条切线,切点为48,且/408=半则双曲线

G的离心率的取值范围是（）

A.（l岁B.隐+8）

C.（1,F]D.hA+8）

14（2024•山东日照一模）过双曲线]一若=1的右支上一点，，分别向圆GGi4）2|j，2=3和

2

圆C2:（X-4）+/=1作切线，切点分别为M,N,则（而+丽）•丽的最小值为（）

A.28B.29

C.30D.32

15.（多选题）（2024•广东广州二模）双曲线具有如下性质:双曲线在任意一点处的切线平分

该点与两焦点连线的夹角.设。为坐标原点，双曲线。总-卷=1伯＞0）的左、右焦点分别

乙ULJ

为8产2,右顶点力到一条渐近线的距离为2,右支上一动点夕处的切线记为/,则（）

布考教号

A.双曲线。的渐近线方程为尸土务

B.双曲线。的离心率为争

C.当P&_Lx轴时,|PQ|空

D.过点F\作刊K_U,垂足为K,|OK|=2、区

16.（2024•山东潍坊一模）已知平面直角坐标系xQy中苴线h:y=2xhy=-2x,点、尸为平面内

一动点，过点。作DP〃l2交h于点。，作EP〃卜交，2于点瓦得到的平行四边形ODPE面

积为1,记点。的轨迹为曲线「若〃与圆N+产曰有四个交点,则实数，的取值范围

是•

创新应用练

17.（2024・湖北武汉模拟）函数产《的图象是等轴双曲线，其离心率为已知对勾函数

y=x《的图象也是双曲线，其离心率为％则/=.

答案：

1.C解析由方程/卷=1,知。=1,6=3,所以渐近线方程为产±夕=土3%.故选©.

2.A解析由题意可知,双曲歧£'的共物双曲线为¥-炉=1,所以共捌双曲线的离心率e=?=

ja2+b2_

'2,

3.A解析因为双曲线Cx2.y=i,所以〃=1.由双曲线的定义，得|力行卜|4吊|=2a=2,0Bl-

|8居|=2〃=2,两式相加，得|/四+|"2H/掰=4。=4,又因为△力防2的周长为8,即

|/2|+田&|+|45|=8,两式相减得|/引=2.

22

4.A解析由双曲线C,与双曲线C2:X-3/=1有相同的渐近线,故可设双曲线G的方程为x-

3y2=必训,又因为G过点”M⑸1）,所以15-3=2,解得412,所以双曲线G的标准方程为冷?

=1.

5.B解析由△O/IB为直角三角形及双曲线的对称性知。4_LO8,且|。4|=|。8|,

布考教号

则C的渐近线方程为y=±x,即由△048的面积为4,得JX2分。=4,解得。=2,又。，+力2=。2=4,

因此a=6=\仅，所以C的方程为9一4=1.

6.B解析由已知可得£=畔,c-〃=/U-3,可得c=y/^,a=3,b2=c2-a2=1以双曲线的方程为誓-

产=1.

设P(x,y)是双曲线卷-产1上的点，则产豹，且xW-3或x23,

则14Pl7(x-5产+川=，喂10%+24=J10(*x)+24=J10/样)2+*所以当J=1

时,|4P|min=q?=¥.

7.AC解析:名一右=1表示双曲线,・・・(/1+6)(3-；1)>0,解得-6vk3,故A正确;・.・-6<1<3,.・・

a+6>0,3-A0,・・・C的焦点只能在X轴上，故B错误;设C的半焦距为c(c>0),则c2=2+6+3-A=9,.\

。=3,即。的焦距为2c=6,故C正确;离心率e飞安,•・•-6V/IV3,・•.()<我不石<3,・・.e的取值范围是

(1,+8),故D错误.故选AC.

8.AD解析双曲线的渐近线方程为/以±2y=0,依题意,-U，解得/尸也故双曲线C

的方程为］-4=1.因为。的虚轴长242姆，所以A正确;因为。的离心率6卫理=酉，所以

B错误;点尸(的,0)到直线/:.v+卷尸0的距离为齐普奉=C,即I尸产|的最小值为、2所以C错误;

双曲线C的两条渐近线斜率分别为孝，考，当直线尸尸的斜率等于当时,P”〃/，与尸在/上矛盾，所

以直线小的斜率不等于W，D正确.故选AD.

9.3解析由双曲线左支上存在一点P,可得|P&HPQ|=2Q,又|P&|=2|PQ|,所以|PQ|=2Q,又

|P312c-a,所以2。2CF,所以6奇W3,所以该双曲线离心率的最大值为3.

布考教号

10.2(答案不唯一，只要m即可)解析由题意知,双曲线C的渐近线方程为^=土玄，要使

直线尸2丫与双曲线。无公去点，只需。442即可.由。4工2,得0＜筝W4,所以1J2W5,故

1<e<\'5.

11.2V6解析如图,

由6="=?=Ji+(与2,可得〃=仇故双曲线C土*1的渐近线方程为片土x,不妨设

“、aciD

48M)1(X2,-X2),囚为瓦5十方=2方,所以点尸为4?的中点，则尸(3/3岁)，将其代入双曲线方

程中,整理得修必=*又|0川兆田|,|08|=也|M|,且0/1_108,则4力。〃的面积为〈X、扬|刈xW

|应|=6,即。2=6,解得故双曲线的实轴长为2\16.

12.A解析双曲线右焦点(c,0)到渐近线y=-x的距离d=/'m2=/),令平面y=〃?(-1W〃W1)截几

何体，可得截面为一个圆环.

可得-手由极;［注好:小/

由

a/

解得广土当工纥所以截面的面积为冗［件萼2)2_甯上兀*由对称性和祖咂原理可得所得

几何体的体积为2兀。2=、②/(力="11灰：,即有4a4=2氏2,即有2〃4=。2(/-标),即(242-c2)(c2+a2)=0,故

c2=2〃2,所以e=^=y/2.

13.B解析如图，连接O40B0P,贝UOA±PA,OB±PB.

由切线长定理可知|P/|=|P矶

易知APBOsAPAa

布考教号

所以N力。0=、力/^艺,贝ij|0P|=2|。*=26.

设点尸（，卬）,则）*=桨-〃，且网所以|0P|=26f/转可=榨3＞信M.62M所以521

即恒共=6^工7三=空，即双曲线。2的离心率的取值范围是曹,+8）.故选B

14.C解析由双曲线方程"甘|=1可知。=28=2*,°=7超可知双曲线方程的左、右焦

点分别为点（40）,尸2（4,0）,圆G的圆心为点（-4,0）（即E）,半径为n=73;

圆G的圆心为。2（4,0）（即尸2）,半径为厂2=1.

如图，连接PR,PF2,FIM,F2NMMF\上PM,NF2上PN,可得（丽+丽）•丽=（丽+丽）•（丽一

丽）=1丽|2・|丽|2=（|尸印2］〉（|尸乙2行）=（|尸产仔3）・（|尸尸2艮1）=|尸川2・|尸尸2|2・2=（|尸尸小

|PBI）（|PQI+|PBI）-2=2a（|P~|+|P川）-222Q・2C-2=2X2X2X4-2=30,当且仅当户为双曲线的右顶点

时，等号成立，即（而+丽）•丽?的最小值为30.故选C.

15.ACD解析由双曲线C:宗:=1（。＞0）可知。=2\5右顶点力（2网0）,其渐近线方程为片土

备x,因为右顶点A到一条渐近线的距离为2,不妨取渐近线云-2同=0,则^^=2,解律b=6

则渐近线方程为尸±夕,所以A正确;因为a=2\，5力川5,所以c=、/（2j5）2+〃5产=5,故双曲线。

的离心率为？=*=亨，所以B错误;&（5,0）,当睡JLx轴时，将x=5代入亲?=1中，得片土字，

即得由于尸在双曲浅右支上，故