2026年人教版七数下教案：实际问题与二元一次方程组 第1课时 和差倍分问题

10.3实际问题与二元一次方程组

第1课时和差倍分问题

------------/教学设计^-----------------

教学目标

课题第1课时和差倍分问题授课人

1.能够找出实际问题中的已知数和未知数，分析它们之间的数量关系，列出方程

组.

素养目标2.学会比较估算与精确计算以及检验方程组的解是否符合题意并正确作答.

3.在用二元一次方程组解决实际问题的过程中，培养应用数学的意识，体验数学

的实用性，提高学习数学的兴趣.

教学重点以方程组为工具，分析、解决含有多个未知数的实际问题.

教学难点确定解题策略，比较估算与精确计算.

教学活动

教学步骤师生活动

活动一：【回顾导入】【教学建议】

旧知回顾，结合之前所学的知识，回答下面的问题.教师可让

新课导入（1）解二元一次方程组的基本思想是什么？常见方法有哪些？学生结合教材

【设计意解二元一次方程组的基本思想是消元，常见方法有代人消元P94例4和

图】法和加减消元法.P97例7,初步

复习二元（2）列一元一次方程解应用题的一般步骤是什么？探究列二元一

一次方程组一般步骤是审、设、列、解、验、答.即（1）审清题意，找出次方程组解应

的解法及列已知量和未知量；（2）设未知数，并用含未知数的式子表示出相关用题与列一元

一次方的量；（3）根据题中的相等关系列出方程；（4）解方程；（5）检脸所得一次方程解应

程解应用题结果是否满足所设方程且具有实际意义；（6［根据提问作答.用题的共性问

的步骤，引前面我们结合实际问题，讨论了用方程组表示问题中的条件题.

入本节课内以及如何解方程纽.本节课我们继续探究如何用方程组解决实际

容.问题.

活动探究点和差倍分问题【教学建议】

问题引例1（教材P1O1探究1）养牛场原有30头大牛和15头小牛，学生可以

入，自主探1天约用饲料675kg；一周后又购进12头大牛和5头小牛，这时先独立分析问

究1天约用饲料940kg.饲养员李大叔估计每头大牛1天需饲料18〜题中的数量关

【设计意20kg,每头小牛1天需饲料7〜8kg.你能通过计算检验他的估计系，列出方程

图】吗？蛆，得出问题

以教材探我们分步来解决这个问题：的解答，再与

究题为例，问题1怎样判断李大叔的估计是否正确？同学交流，教

探讨用二元根据题中给出的数量关系求出每头大牛和每头小牛1天各约师注意规范解

一次方程组需饲料用量，再来判断李大叔的估计是否正确.题过程.对于

解决实际问问题2写出题中的已知量和未知量.学生列出的其

题的一般步已知量：购进前后大牛和小牛的数量，购进前后每天饲料的他正确方程，

骤和方法，用量.如⑵+5产

引入和差倍未知量：大牛1天饲料的消耗量和小牛1天饲料的消耗量.265,教师可让

分问题.问题3设每头大牛和每头小牛1天各约用饲料xkg和ykg.学生介绍自己

写出题中的相等关系并用含未知数的等式表示.的想法并予以

头大牛1天检留内冏蒙+15头小牛1犬的k<t肯定，指出列

方程组时应尽

©<3(-12)头大牛1天的饲料用R+“5+5》去小牛1天的忱口用网工叱如.

<304-12)x+量使用原题中

问题4请将下面的解答过程补充完整.的数据，如

设每头大牛和每头小牛1天各约用饲料Xkg和ykg.265应写成940

根据两种情况的饲料用量，找出相等关系，列得方程组—675;对于同

(3。片+15、=675._一问题的不同

1(“,A—•解这个方程组，得1=一•

解法，结果应

这就是说，每头大牛1天约需饲料2()kg,每头小牛1天约需饲一致，若不一

料5kg.致，则需仔细

问题5饲养员李大叔的估计正确吗？检查过程是否

根据问题4的结果可知，饲养员李大叔对大牛的食量估计较准有批漏.

确，对小牛的食量估计偏高.

归纳总结：列二元一次方程组解应用题的一般步骤：

审题，分析题中已知什么、求什么，明确各数量之间

审

的关系

设未知数(分直接设元和间接设元)，用含未知数的式子

设

表示出相关量

列根据相等关系列出两个方程，组成方程组

解解方程组，求出未知数的值

验检验所求未知数的值是否满足题意和实际意义

答根据问题作答(包括单位名称)

和差倍分问题中常见的相等关系：

较大量=较小量+多余量；总量=一份的量X倍数；各分量相加

=总量.

【对应训练】

教材P101练习第1,2,3题.

活动三：例2某瓷器厂共有120名工人，每名工人一天能生产200只【教学建议】

知识延伸，茶杯或50只茶壶，8只茶杯和1只茶壶为一套.要使每天生产的学生独立

举一反三茶杯和茶壶配套，应如何安排生产？思考作答，解

【设计意问题1写出题中的已知量和未知量.决配套问题的

图】已知量：工人总数，每名工人一天能生产茶杯或茶壶的数关键就是找出

引导学生量，组成一套茶具所需茶杯和茶壶的数量.各部件之间的

用二元一次未知量：生产茶杯的工人数量，生产茶壶的工人数量.（1）审数量关系，通

方程组解决问题2应如何设元？过比例的性质

配套问题.设安排x名工人生产茶杯，y名工人生产茶壶.（2）设将比例式转化

问题3找出题中的相等关系并用含未知数的等式表示.为等积式.在

①生产茶杯的工人数量+生产茶壶的工人数量=120；用二元一次方

x+y=120程组解决实际

②茶杯的数量：茶壶的数量=8：1.问题时，审、

200x:50y=8：1脸这两个步骤

（可变形为200x=8x5Qy）（3）列通常是在草稿

问题4写出完整的解题过程.纸上进行.

解：设安排n名工人生产茶杯，y名工人生产茶壶.

根据工人总数，茶杯、茶壶的生产量与配比的数量关系，列

x+y=120,x—80»

方程组解这个方程组,得(4)解(5)验

200x=8x50y.[y=40.

答：要使每天生产的茶杯和茶壶配套，应安排80名工人生产

茶杯，40名工人生产茶壶.（6）答

归纳总结：配套问题中常见的相等关系：

数量较少量x相应倍数=数量较多量；

总量各部分之间的比例=每一套各部分之间的比例.

【对应训练】

某家具厂接到了一笔定制方桌的订单，下面是两位木匠师傅的

对话.

一张方案山1个桌面和我清点库存发现有

4条栗健”成.I木100*桌梃可以使用,

料可以制作方案的亲那么还需要5.5in'木料

面50个或束同300条.便可完成订单.

木匠乙

如何分配木料才能完成这笔订单？这笔订单需要方桌多少张？

解：设用X，〃3木料做桌面，），加木料做桌腿.

x+y=5.5,x=3.5,

根据题意，得解这个方程组，得

l4x5()x=3()()y+100.ly=2.

所以50x3.5=175(张).

答：用3.5加木料做桌面、2加木料做桌腿即可完成这笔订单,

这笔订单需要方桌175张.

例3为支援抗洪救灾工作，甲、乙两运输队接受了运输2()()()0

箱救灾物资的任务，任务要求在15天内(包含15天)完成.已知两

队共有18辆汽车，甲队每辆车每天能够运输12()箱救灾物资，乙

队每辆车每天能够运输100箱救灾物资，前4天两队一共运输了8

000箱.4天后，乙队临时被调派去执行更为紧急的任务，在规定的

时间内甲队能否单独完成剩下的运输任务？

解：设甲队有x辆汽车，乙队有y辆汽车.

结合汽车辆数与所运物资的数量关系，列方程组

[x+y=18,

<

活动四：14(120x+100y)=8000.【教学建议】

强化训练，x=10,学生独立

解这个方程组，得

学以致用ly=8.思考作答，教

【设计意则甲队完成剩余运输任务所需时间为(20000-8师统一答

图】000)+(120x10)=10(天).案.例题需要

进一步巩因为10+4<15,先根据已知条

固用二元一所以在规定的时间内甲队能单独完成剩下的运输任务.件求出甲、乙

次方程组解【对应训练】两队所拥有的

应用题的思各级教育部门高度重视中小学生安全教育，各学校也时常开汽车数，再计

想，强化对展应急安全防护和撤离的演练.某校有一栋教学大楼，进出这栋算出甲队完成

列二元一次大楼共有五道门，有大小相同的两道正门，大小相同的三道侧剩余任务所需

方程组解应门，经安全检测得知：开启两道正门和一道侧门，每分钟可以通的时间，最后

用题的方法过600人；开启一道正门和两道侧门，每分钟可以通过540确定是否超出

和步骤的掌人.若紧急情况下，通过正门、侧门的效率均降低为原来的规定时间.

握.80%,该校要求大楼内1656名全体师生必须通过这五道门紧急撤

离.那么全体师生全部撤离该栋教学大楼需要多少分钟？

解：设正常情况下，平均每分钟一道正门、一道侧门分别可

以通过X人，)，人.

2x+y=600,

由题意列方程组上11~八

[x+2y=540.

fx=22(),

解这个方程组，得…

ly=160.

1656：[(2x220+3x160)x80%]=2.25(min).

答：全体师生全部撤离该栋教学大楼需要2.25min.

活动五：【随堂训练】见“随堂小练”册子(或“随堂作业”册子)相应课时随

随堂训练，堂训练.

课堂总结【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回

答以下问题:

1.在结合实际问题列方程组之前我们需要先做哪些工作？

2.列方程组解决实际问题的一般步骤是什么？

【知识结构】

f化防汨班1设未知数、列方程如数学问题

1，际,题j转化|（二元注方程如）

|解方程组髅”元）

1立际匹汩同;题1的些尸案空j1,检除（二元数一学次问方题程的总解的解）

【作业布置】

1.教材P105习题10.3第1,3,4,9题.

2.主体本部分相应课时训练.

第1课时和差倍分问题

1.列二元一次方程组解应用题的一般步骤：（1）审，（2）设，（3）

板书设计

列,（4）解，（5）验，（6）答.

2.和差倍分问题.

本节课内容是在学习了二元一次方程组的解法及列方程组

解较简单的应用题的基础上安排的，教学中可让学生经过充分思

教学反思

考和小组讨论之后总结出列方程组解决实际问题的一般步骤，体

会数学建模思想在日常生活中的应用.

备课素材

解题大招

解题大招和差倍分

1.列方程组解应用题，是把“未知''转换成“已知”的重要方法，它的关键是

把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系.一般来说，设几个未知

数就必须列出几个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量；②

同类量的单位要统一.

2.常见的一些相等关系：

（1）和差倍分问题

错误！

举个例子，我们来看其中的数字问题，这里找相等关系的关键是注意要正

确的表示两位数：若当十位上的数为。，个位上的数为人时，这个两位数就可

表示为10。+。

例1一个两位数，比它十位上的数与个位上的数的和大9；如果交换十位

上的数与个位上的数，所得两位数比原两位数大27,求这个两位数.

解：设这个两位数十位上的数为x,个位上的数为招则原数为10x+y.交换

十位上的数与个位上的数后，所得新数为10)，+乂

10x+y=x+y+9,x=l,

根据题意,可列方程组解这个方程组,得,

10y+x=10x+y+27.y=4.

答：这个两位数是14.

(2)配套问题中的基本相等关系：总量各部分之间的比例=每一套各部分之

间的比例.

注意：解决这类问题一般根据下列两个相等关系列方程组：

①(工人数、生产原料等)各分量之和=忌量；

②若m件A产品与n件B产品配成一套，则A产品的数量：B产品的数量

=m：n,即nxA产品的数量=mx8产品的数量.

例2某服装厂生产一批某种款式的秋装，已知每2m的某种布料可做上衣的

衣身3个或衣袖5只，现计划用132m这种布料生产这批秋装(布料全部用完.不

考虑布料的损耗),应分别用多少米的布料做衣身和衣袖才能使做的衣身和衣袖恰

好配套？

分析：列袅分析如下：

要量每个用外/m总用料/m

2

衣身.2

TX

2.2

衣袖y

关系和为132衣身做量,衣物盘量工1・2

解:设用工m布料做衣身，用ym布料做衣

袖才能使做的衣身和衣袖恰好配套.

.+,=132,

根据题意•得z2X2

(X=60,

解这个方程组.得

尸72.

答:应用60m布料做衣身，用72m布料做衣柚

才能使做的衣身和衣袖恰好配套.

注意:不要把倍的关系理解颠倒了,可以分以下步骤进行：

(1)判断配套对象所需数量的多少,如需衣袖的数量多，衣身的数量少;

⑵确定刚好配套的比例，如:衣袖数量：衣身数量=2：1;

(3)数量多的乘“小比”二数量少的乘〃大比〃，如