2026年高考数学复习（全国）重难点10 平面向量中的最值与范围问题8大题型（解析版）

重难点10平面向量中的最值与范围问题

【全国通用】

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夯基•核心知识梳理

广题型1与数量积有关的最值（范围）问题

题型2与平面向量基本定理有关的最值（范

”围）问题

L题型3与模长有关的最值（范围）问题

平面向量中的最值

--提升•必考题型归纳一题型4与夹角有关的最值（范围）问题

与范围问题

、题型5平面向量中参数的最值（范围）问题

、题型6极化恒等式

课后提升练（19题）

1、平面向量中的最值与范围问题

平面向量是高中数学的重要内容，平面向量中的最值与范围问题是高考的热点问题，也是难点问题，

此类问题综合性强，体现了知识的交汇组合。从近几年的高考情况来看，其基本题型是根据已知条件求某

个变量的范围、最值，比如向量的模、数量积、向量夹角、系数的范围等问题，主要在选择题、填空题中

考查，难度中等。

从近几年的高考情况来看，平面向量的新定义问题也是高考的一个重要趋势，解决此类问题要注意对

平面向量的新定义、新概念的理解。

知识梳理

知识点1平面向量中的最值与范围问题的解题策略

1.平面向量中的最值（范围）问题的两类求解思路：

⑴“形化”,即利用平面向量的相关知识将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后结合平面图形的

特征直接进行判断；

⑵“数化”,即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有

解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决.

2.平面向量中的最值(范围)问题的常用解题方法：

(1)定义法

①利用向展的概念及其运算将所求问题进行转化，得到相应的等式关系；

②运用基木不等式、二次函数求其最值(范围)问题，即可得出结论.

⑵坐标法

①建立适当的直角坐标系，把几何图形放在坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标：

②将平面向量的运算坐标化，进行相应的代数运算和向量运算；

③运用适当的数学思想方法如：二次函数、基本不等式、三角函数等思想方法来求解最值(范围).

(3)基底法

①适当选取一组基底，利用基底转化向量；

②写出向品之间的联系，根据向晟运算律化简目标，构造关于设定未知最的关系式来进行求解：

③运用适当的数学思想方法如：二次函数、基本不等式、三角函数等思想方法来求解最值(范围)即可

得出结论.

知识点2极化恒等式

1.极化恒等式的证明过程与几何意义

(1)平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和：

\a^bf+\a-b\2=2(\af+\bf).

证明：不妨设=A£)=〃，贝ljAC=a+Z?,DB=a—b,

|AC|=AC=(«+/?)=|«|+2a.力+|q①，

阿=DB~=卜『②，

①②两式相加得：

照+豳=2脚+图=2阿+闻・

(2)极化恒等式：

上面两式相减，得：--------极化恒等式

平行四边形模式：叫2一.

2.几何解秤：向量的数量积可以表示为以这组向最为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差

的“

（1）平行四边形模型:向量的数量积等于以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线长”与“差对角线长”

平方差的;，即〉］=抽+0-,叫］（如图）.

（2）三角形模型:向量的数量积等于第三边的中线长与第三边长的一半的平方差，即万•元=疝万一前''

（M为BC的中点）（如图）.

极化恒等式表明，向量的数量积可以由向量的模来表示，可以建立起向量与几何长度之间的等量关系.

知识点3等和（高）线定理

1.等和（高）线定理

⑴由三点共线结论推导等和（高）线定理:如图，由三点共线结论可知，若=+〃3a/£R）,则

A+p=l,由△OAB与△OAB相似，必存在一个常数k,kGR,使得OP1=kOP,则

OP=kOP=kXOA+kf.iOB,又OP'=xOA+yOB（%,£R）,.\x+y=U+k^=k；反之也成立.

（2）平面内一个基底｛5Z°5｝及任一向量万，苏=北工+〃苏Q/WR）,若点尸在直线46上或在平行

于A4的直线上，则（定值）；反之也成立，我们把直线A8以及与直线平行的直线称为等和（高）线.

①当等和线恰为直线时，A=l；

②当等和线在。点和直线A8之间时，k£（O,l）；

③当直线AB在。点和等和线之间时，火£（1,+8）；

④当等和线过。点时，&=0；

⑤若两等和线关于O点对称，则定值k，依互为相反数；

⑥定值k的变化与等和线到。点的距离成正比.

举一反三

【题型1与数量积有关的最值(范围)问题】

【例1】(2025•江西新余•模拟预测)已知在正方形中，AB=2,M为BC中点,N为正方形A8C。内部

或边界上一点，则丽•丽的最大值为()

A.1B.：C.D.2

24

【答案】D

【解题思路】建立坐标系，写出点的坐标，设N(m,2，0<7n<2,0<n<2,得到而7•丽=2m-〃一2,

求出最大值.

【解答过程】以力为坐标原点，48/。所在直线分别为居y轴，建立平面直角坐标系，

则4(0,0),8(2,0),C(2,2),0(0,2),M(2,l),

设N(?n,n),0<in<2,0<n<2,

则力河-CW=(2,-1)♦(TH-2,n-2)=2m—44-2—n=2m-n—2,

故当m=2,n=Oh丽•丽=2m-n-2取得最大值，最大值为4一0—2=2.

【变式1-11(2025•河南•模拟预测)在菱形A8CZ)中，AB=1,LABC=E为边CD上的动点(包括端点)，

产为8c的中点，则荏•刀的取值范围为()

A.曲1]B.[0,i]C.[2,1]D.[0,2]

【答案】D

【解题思路】设方=2万,46[0,1],由而=而+；而，AE=XAB+AD,结合数量积的运算律即可求解.

【解答过程】设屁=2万?/€[0,1],

则亚=AD+DE=AD+ADC=XAB+AD,

由F为BC的中点，得标=：万+：冠=：而+：(而+而)=而+3而，

在菱形718co中，AB=1,Z.ABC=p

所以NB40=y,|AB|=\AD\=1,Ag.AD=-A,

所以荏.而=（A而+而）.（AB+^AD^=AAB2+^~AB•AD+^AD2=y€[o,^],

故选：D.

【变式1-2]（2025•甘肃平凉•模拟预测）设。是边长为3的等边APiP2P3及其内部的点构成的集合，点Po是

△PiP2P3的中心，集合5=仍俨€。|所|三|而|』二1,2,3},则凡用•造的取值范围为（）

A.[3,15]B.[py]C.[2,12]D.[1,6]

【答案】B

【解题思路】利用等边三角形的几何性质，结合向量的运算即可求解.

【解答过程】如图，设48,。,广为各边三等分点，

根据等边三角形可知，尸相交于中心点方,

根据等边三角形可知：四边形P^PoF是菱形，

则由菱形的对角线互相垂直平分可得：4F是线段P】Po的垂直平分线，

所以当点|丽|=|西|时，动点P一定在A尸上，

同理可得：动点P一定在8c上，刃点P一定在上，

所以当|丽|<|而i=1,2,3时，结合点P在三角形的内部，

可得集合5为正六边形48CDE/及其内部区域，

所以当尸与尸重合时,砧•造=3xlxcos；=g,即可取到最小值也

当P与C重合时，初.印=福•跖=钮•（砧+P^c）=3x3+3xlxCOSy=9-1=y,

即可取到最大值多

故选:B.

【变式1-3]（2025•新疆辽宁•一模）等腰梯形A8CO中，A8平行于CO,AB=2,CD=1,Z.DAB=P

为腰人。所在线段上任意一点，则无•丽的最小值是（)

A.V3B.IC.1D.V2

【答案】C

【解题思路】作DD'垂直于力8于点D',作CC'垂直于A8于点建立平面直角坐标系，求出相关点的坐标,

利用坐标计算出丽•丽的表达式，由二次函数的单调性即可求得答案.

【解答过程】

如图，作。。'垂直于88于点D',作CC'垂直于于点C',

又43=2,CD=1,LDAB="4,

则DD'=；,AC'=：,CC'=：,

2222

以点A为坐标原点，48所在直线为不轴建立如图所示的平面直角坐标系，

则4（0,0）,8（2,0）,D（p1）,又P为腰AQ所在直线上任意一点,

则设而=4而=（；]）,ae[0,1],则点P的坐标为

所以PC-PB=©-g"；—D,Q-/，一/）=["-24+3,AE[0,1],

又关于;I的二次函数y=：储一2入+3的对称轴为2=2,

则〉，=3储-2A+3在;Ie[0,1]上单调递减，

所以当＞1=1,即点P和点。重合时，丽•丽取得最小值也

故》•雨的最小值是|.

故选:C.

【题型2与平面向量基本定理有关的最值（范围）问题】

【例2】（25-26高三上•辽宁・期中）在△48。中，。为边8。上一点，且满足丽=2DC,设Q=入而，AG（0,1）,

若存在实数m,n,使前=77i瓦？+几近，则m+八的取值范围是（）

A.&1）B.&1）C.Q,l）D.（川

【答案】C

【解题思路】把前用瓦5,品得到m=1-；I,n=1A,m+n=l-:九再根据人的范围即可求解.

•3O

【解答过程】以｛函，而｝为基底，

~BP=~BA+~AP=~BA+AAD=~BA+Xg而+1码

=BA+A\-^BA+l（BC-BA）\=（l-AyBA+^ABC,

又冲=m瓦？+九万？，所以由平面向量基本定理可知m=1-九n=|1,

则仇+H=1—A,又46（0,1）,所以m4-H6（：,1）.

故选:C.

【变式2-1]（2025•四川德阳•模拟预测）在△川灰?中，已知尻=2前，P在线段4）（不包含端点）上，若

BP=ABA+uBC,则H2的最小值为（）

A.4+2V3B.3+2V2C.4D.3

【答案】A

【解题思路】设而=m而（0<m<l）,通过向量的线性运算结合题目中的条件把尢〃用m表示，最后利用

基本不等式即可求解.

【解答过程】设而=m而（0<m<1）,

则丽=BA+AP=BA+mAD=BA+m（AB+而）=（1-m）BA+-BC,

3

又因为并=A瓦5+〃近，所以2=1-m,〃=£,

所以3+L=，+3=（上+3）（1一6+.）=1+3+上+^^24+2/旦・^^=4+2次,

An1-mm\l-mmJ1-mm\1-mm

当且仅当F二亚辿，即机二当时等号成立.

1-mm2

所以;+L的最小值为4+2JI

入〃

故选:A.

【变式2-2]（2025•宁夏银川・模拟预测）在中，BD=2DC,过点。的直线分别交直线AB、于点E、

F,且荏=m荏，荏=九彳2,其中血>0,n>0,则m+2〃的最小值为（）

A.2B.V2C.3D.1

【答案】C

【解题思路】根据题意以而，配为基底表示出而，再根据匕匕。三点共线，利用共线定理可得白+『=1,

3m3n

再由基本不等式即可求得m+2几的最小值为3.

【解答过程】如下图所示：

E

因为而=2DC,易知而=而+前=而+|就=AB+l（AC-AB）=孑而+|前，

又=m而，族=几Z，所以而二乙而+?配=」-荏+三通，

333m3n

易知E,F,0三点共线，利用共线定理可得;+：=1,

3m3n

又m>0,n>0,

所以m+2n=（m+2n）（；+《）=£+等+§+^22+1=2x|+：=3；

\3m3nJ33n3m373n3m333

当且仅当誓=/，即m=n=l时，等号成立，

3n3m

所以m+2九的最小值为3.

故选：C.

【变式2-3]（2025•河南许昌•三模）在△48。中，点。在上，且满足旧。|二点E为AO上任意

4

一点，若实数％,y满足屁=x^+y近，则：的最小值为（：）

A.2V2B.4V3C.4+2V3D.9+4企

【答案】D

【解题思路】先根据平面向量基本定理及共线向量定理的推论，由三点4E,D共线得x+4y=1,且x>0,y>

0,再根据“I”的代换，运用基本不等式可得答案.

[解答过程】FE=xBA+yBC=xBA+4y而，

由<,E,。三点共线可得x+4y=1,且X>0,y>0,

所以工+2=（l+，（x+4y）=9+?+刍29+2l^x—=9+4企，

Xy\xy/K'xyyjxy

当且仅当？=三即x=誓匚,y=臂时等号成立.

xy7y14

故选：D.

A

【题型3与模长有关的最值（范围）问题】

【例3】（2025•辽宁大连•一模）设单位向量①玄3已知日不=点则|23一石+引的最小值为（）

A.0B.1C.V3-1D.V3+1

【答案】C

【解题思路】设日=23一心求出同=四，再利用不等式|巨十4却同一间即可求解.

【解答过程】设日二23一落

因，,3为单位向量，a-b=p

则同=］（29—五）=V4b2—4d-b+a2=^4—4x|+1=y/3,

则悟3-a+c\=\d+c\>||d|-|c||=V3-1,等号成立时已巨方向相反，

故W—d+d的最小值为

故选:C.

【变式3-1］（2025•安徽合肥・模拟预测）如图，在中，乙84。=，而=丽,P为CD上一点，且满足而=

mAC-V\AB,若SMBC=2百，则而|的最小值是（）

A.2B.4C.—D.-

33

【答案】C

【解题思路】设而=2而，从而得到方而+（1-幻冠，结合已知有2=应用三角形面积公

式得|丽前1=8,最后由向量数量积的运算律、基本不等式求向量模长的最值.

［解答过程】设丽=ACD,则而=AC+CP=AC+ACD=AC^A(^AB一元)=\XAB+(1-A)AC=

-AB+mAC,

所以2^~3,解得a==；,

Im=1-A33

SMBC=:府I,|狗sin/B4c=/|祠.麻|=273,贝小砌.\AC\=8,

12ii2

AB+^-ACx)=^-AB24-^AC2+^AB-AC

K=(I3/999

=I画2+1时+11研|祠8SMAC>21R2.1|祠2+晌.网

7?VVVVV

=^\AB\-\AC\=l，当且仅当I而I=ImI=2四时，等号成立,

JO

・•.I而I的最小值为乎.

故选：C.

【变式3-2](2025•河北秦皇岛•模拟预测)已知否,与是单位向量，且云•苞=p若向量五满足信-ate；-a)=

则同的最大值为()

A.2B.—C.—D.1

33

【答案】B

【解题思路】先求可，豆的向量夹角，再利用向量建立平面直角坐标系，然后用坐标法来进行向量枳的运算,

最后可求得最大值.

【解答过程】因为瓦，瓦是单位向量，且可•瓦=点所以cos〈匹与〉=土

又因为00信居＞071，所以尾，磴=3，

如图建立平面直角坐标系，可设友=(1,0),勾=&曰)，3=(3)，

则前_G=(1-X,-y),e^-a=(^-x,y-y).

所以®*-a)•(ej-a)=(1-x)Q-x)-y(y-y)，

因为〈耳瓦一d)=g,所以(瓦一,)•(孩一通=一］可一五|・|瓦一G|,

njW(i-x)(1-x)-y(y-y)=_W(i_无)2+y?JG_%)2+停-y)，

化简得/+y2_曰y=0,配方得(％—：)+(y_=)=I，

则动点(x,y)的轨迹是表示以G，珠)为圆心，?为半径的圆，

因为圆心&[)到原点的距为](丁+俘j=当

所以团的最大值为圆心到原点的距离加上圆的半径，即为乎.

*5

故选：B.

【变式3-3](2025•湖南益阳•模拟预测)在△48C中，NBA。=90。,AB=4,/C=2,M为8C的中点，P为平

面48c内一点，且百户•前=0,则()

A.恒祈+加|的最大值为2遥

B.|m十而|的最大值为2次

C.而?•丽的最大值为石

D.亚•丽的最大值为遥

【答案】A

【解题思路】以A为坐标原点，AC.48所在直线为％y轴，建立立面直角坐标系，P(x,y)为以(1,2)为圆心，

半径为遥圆上一点，根据向量运算的几何意义逐选项判断即可.

【解答过程】

以W为坐标原点，AC,AB所在直线为%,y轴，建立平面直角坐标系，

所以4(0,0),M(l,2),C(2,0),8(0,4),设P@y),

所以—(1,2),AC—(2,0),M户-(x—l,y—2),5P=(x,y—4),CP=(x—2,y)»

因为前•而=0,

所以工(%—2)+y(y-4)=0,即——2%+y2-4y=0,BP(x-l)2+(y-2)2=5,

所以PQ,y)为以(1,2)为圆心，半径为遥圆上一点，

对于A,AM+MP==(x,y).所以|而?+M用={x2+y?、几何意义为P(%,y)到原点的距离，

所以|而7+而|的最大值为P(%y)到原点的距离的最大值，

最大佰为原点到圆心(L2)距离加上一半径，即J(1一0尸+废一o)2+V5=2通，故A正确：

对于B,否+而=(%+l,y-2),[AC+MP\=J(x+l)2+(y—2)2,几何意义为P(x,y)到(-1,2)的距离,

所以|公+M刊的最大值为P(x,y)到(-1,2)的距离的最大值，

最大值为(一1,2)到圆心(1,2)距离加上半径，即J(l+l)2+(2—2)2+V5=2+V5,故B错误；

对于C,AM-MP=x—1+2(y-2)=%4-2y-5,令z=x+2y-5,即x+2y—5-z=0,

即，'=一：％+：z+支当x+2y-5-z=0与圆相切时有最值，即“卷好!二衣,

解得z=±5,所以z的最大值为5,即而7•而的最大值为5,故C错误；

对于D,ACMP=2x-2,因为P(x,y)为以(1,2)为圆心，半径为遥圆上一点，

所以》的最大值为1+遥，所以元•而的最大值为2(1+b)一2=2而，故D错误；

故选：A.

【题型4与夹角有关的最值(范围)问题】

【例4】(2025.内蒙古呼和浩特.模拟预测)已知平面向量满足忖-同=1,t=("),则付今的取值范围

为()

A,展]B.呜C.[0,j]D,[J,J]

【答案】B

【解题思路】根据向量的模，通过将模进行平方得到等式，然后化简求出的余弦值，进而根据向量夹

角的范围和基本不等式的性质求出的取值范围.

2o

【解答过程】因为怔一同=1，所以=1,即|那一2&$+|同=1,

因为卜="+3=2,所以-4|a|cos<a,b>+3=0»

♦一一二|«|2+32畲同瓜

目「以cos<a,b>=_pri—>—p；­=一»

4同41al2

因为V：,b>W所以

故选：B.

【变式4-1】（2025•北京东城・二模）已知单位向量d石的夹角为仇若怔+同＞1,则。的取值范围为（）

A.同B-喈)C.(若)D.(y,n)

【答案】B

【解题思路】结合数量枳定义计算:32即可得到cos。＞再由向量夹角取值范围即可得解.

【解答过程】由题可得a+b=(a4-bI=a2+b2+2a-b=2+2xlxlxcosO=2+2cos。>1=>

cos。＞

乂ee[O,TT],所以8E[o，m）.

故选：B.

【变式4-2]（24-25高一下.重庆北咯月考）平面向量:2满足同一2间，且|日一山一3,则7fc-Z夹角

的余弦值的最大值是（）

A.--B.--C.-D.—

2222

【答案】A

【解题思路】由|日-可=3两边平方得彦一2鼠片+左=9,根据两个向量夹角的余弦公式结合均值不等式

求得结果.

【解答过程】由|五一同二3,两边平方得彦一2鼠族+群=9,又同=2|五

所以2G-h=d2+b2—9=5d2—9,

所以侬方4）=黯=舒=甯=斋=一（悯+高）“条

当且仅当忻|二6时，取等号，

所以石与&-族夹角的余弦值的最大值为一苧.

故选:A.

【变式4-3]（24-25高三上•上海浦东新・月考•）已知平面向量日、兀满足闷=1,同=2,若对任意模为2的

平面向量乙均有|五田+扬工|工2位，则向量2、5夹角的取值范围是（）

A・|。图B.E号]C.图D.|0留

【答案】B

【解题思路】由题意得|d+同工近以及区一同工行，cosaw抻cosa'-5由此即可得解.

【解答过程】由闷=1,同=2,若对任意模为2的向量乙均有|五々|+亚⑷W2近，

则眄+b).c=a'C+b-c<|a-c+b-c|<2V7,

•.\(d+b)\-2<2y[7,\a+b\<y/7,

平方得到彦+庐+2&•BW7,即日,3工1,HPcosa<

同时|(a-b)•c=a-c—b•c<|a•c4-b-c<2\[7,

|(a-S)|-2<2夕,即|d-S|<V7,

平方得到彦+岸一2G•B47,即之一1,EPcosa—

综上—：<cosa<I，即2WaWF，

二向量的夹角的取值范围好，m|

故选：B.

【题型5平面向量中参数的最值(范围)问题】

【例5】(2025•辽宁朝阳•模拟预测)已知向量d=(x,l),族=(3,—y)]=(l,l),若在不上的投影向量相等，

则V+y2的最小值为()

A.2B.IC.1D.V2

【答案】A

【解题思路】由投影向量的定义及向量相等得G•[=][,再应用向量数量积的坐标表示得x+y=2,最后

应用基本不等式求FI标式的最小值.

【解答过程】由题意野•1=粤・5,可得1々=小3

|C||C|\c\|c|

故x+1=3-y,即x+y=2,

所以/+y2之用=2,当且仅当％=y=l时取等号，

所以42+y2的最小值为2.

故选:A.

【变式5-1](2025•全国•模拟预测)已知A/IBC中，AO=AAB+(1-A)AC,且。为△ABC的外心.若瓦?在前

上的投影向量为〃近，且cos乙40c6出|],则〃的取值范围为()

A-[?l]B.七,高C.[羽D.图

【答案】A

【解题思路】根据题意8,0,。三点共线.因为。为△48C的外心，即有|而|=|而|=|而所以△48C为

直角三角形，利用向量得投影结合图形即可得解.

【解答过程】

因为而=XAB+（1-A）AC=XAB+AC-AAC,

则方一元=4（同一前），所以而=4而，即8,O,C三点共线.

因为。为△48C的外心，即荀菊|=|而|=|觉

所以△AB。为直角三角形，因此。为斜边8C的中点.因为cos4/10C6*,|],所以乙10C为锐角.

如图，过点4作4Q18C,垂足为Q.

因为瓦?在玩上的投影向量为的=由,所以（V〃<1,

所以刊在近上的投影向量为的=灰-丽=屈-轲前.

又囚为|初|=；|前所以cos/。。=黑=0=2〃-L

2\OA\-\BC\（"；势

因为COS乙40cW[K]，所以2〃—1EE，|]，

故〃的取值范围为[|,|].

故选：A.

【变式5-2]（2025•全国•模拟预测）已知式（不,人）,8（必/2）是圆产+y2=4上的两点,若勺孙+%丫2=2,

则%+%2+71+丫2的取值范围是（）

A.[-2V5,2V5]B.[-2V6.2V6]C.[-2,2]D.[-V6,V6]

【答案】B

【解题思路】设0彳=（%1，%），0B=（%2，丫2），|函|=I砺I=2^0A-OB=2,则6？+砺=（%；4-x2,yi+丫2），

可求得|褊+0B\.i^dc=（1,1）,则|od|=V2,（fiA+。月）•0C=%1+&+y1+及•结合不等式

-\0A+0B\-\0C\<（0A+0By0C<\0A+0B\-|沆|即可求解.

【解答过程】圆/+必=4的圆心为ogo),半径r=2.

'•A{xlty^),8(%2，丫2)是圆炉+y，=4上的两点，OB=(x2,y2)»|瓦?|=|。用=2.

:.0A-OB=+%力=2，OA+OB=(与4-x2>yi+y2),

：.\0A+0B\=J|西2+2万?.而+国)==4+2x2+4=2炳,

cos(fiA,砺)=黑窝=

''|।0川」0q2x22

OB)G[0,n],(flA,OB)=

3

设而=(1,1),则|而|=&,(OA+OB)-OC=X1x2+yr+y2.

，由向量数量积性质可得一|罚4-•|OC|<(S?+S5)-OC<|^4+OB\•|OC|,即一2乃<+x2+

%+丫2工2限

当且仅当。1+。首与反向时/+%2+为+丫2=-2乃：当且仅当3?+而与沆同向时+%+

y2~2^6.

.・・%+&+%+丫2的取值范围是[一2遍,2石].

故选：B.

【变式5-3]（2025•山东聊城•模拟预测）已知0为坐标原点，函与面为单位向量，（次+砺）•丽=£C在

定直线Z:y=%+2&上，不等式|刀+至+沆|二丁恒成立，则实数7的取值范围为（）

A.（-oo,2+V3]B.（-oo,2-V3]C.（-8,28]D.（一8,网

【答案】B

【解题思路】由以与赤为单位向量及（工？+砺）•旃=5分析可知UZ而的夹角为：令丽=35+而，则

|0C|=\0A+0B\=y/3,点G是以原点为圆心，四为半径的圆上的动点，且|瓦？+而+沆|=|赤+沆

结合图形即可求解.

【解答过程】因为面与而为单位向量，

•••每+砺）•砺=福•砺+而2=COSW，西+1=|,

：,cos（OA,OB）=^.

^（pA,OB）e[0,n],A（fiA,OB）=p即瓦5,赤的夹角为，

・••点43是以原点为圆心的单位圆上的动点，且乙4。8=2.

«5

令而=刀+而,则园=廊+函=75,

易知点G是以原点为圆心，遮为半径的圆上的动点,

：.\OA+OB+0C\=\OG+OC\.

则丽=Tro.

又||阿-底||V麻+词V|祠+研

可知如图2,当点C在点“处，点G在线段。“'上时，I而+0矶取得最小值

此时西+西=||OG|-|oc||=|7775|,最小值为羔j-百=2-技

AT<2-V3.

故选:B.

【题型6极化恒等式】

【例6】（2025高三・全国・专题练习）如图所示，正方形的边长为1,点4。分别在3轴，y轴的正半轴

（含原点）上滑动，则瓦•赤的最大值是（）

【答案】B

【解题思路】取8cM。的中点M,N,将沅•砺的表达式利用极化恒等式化简・，再由三点共线可求出最大值.

【解答过程】取8c的中点M,AD的中点N,连接MN,ON,如下图所示:

易知MC+MB=0,

所以沆-OB=（OM+&）•（。2+靛）=OM2-MB2=OM2一；=|OM|2-

因为OM<ON+NM=\AD+4B=j当且仅当0,N,M三点共线时等号成立.

所以说•。石的最大值为2.

故选:B.

【变式6-1]（24-25高一下•北京•月考）在直角梯形力8CD中，ADWC,^.ABC=90°,AD=2AB=2BC=2,

点广为梯形力BCD四条边上的一个动点，则可？•丽的取值范围是（）

A.[―1,4B.-1,2C.[—1,4]D.[―：,4]

【答案】D

【解题思路】此题可以先证明一下极化恒等式，再使用，轻松解决此题.

【解答过程】如图A/WP中，。为AA中点，

PA-PB=（PO+OA）■（PO+OB）=（PO+OA）•（PO-0A）=P02-0A2（极化恒等式）

共起点的数量积问题可以使用.

如图，取48中点。，则由极化恒等式知，

PA-~PB=PO2-OA2-=PO2-7,要求而•而取值范围，只需要求PM最大，最小即可.

4

由图，可知PO?最大时，。在。点，即夕。2=002=402+402=1：,此时方・丽=2。2一」=4,

44

尸。2最小时，P在。点,即尸。2=0,=P02

MPA-PB44

综上所得，刀•而取值范围为：［-；,4］.

故选：D.

【变式6-2］（24-25高一下•福建莆田・月考）如图，已知正方形4BCD的边长为4,若动点P在以力B为直径的

半圆上（正方形/BCD内部，含边界），则无•丽的取值范围为（）

A.(0,16)B.[0,16]C.(0,4)D.[0,4]

【答案】B

【解题思路】作出辅助线，利用极化恒等式得到无•而=|方:-4,结合PE的最值得到答案.

【解答过程】取CD的中点E,连接PE,

则无+PD=2PE,'PC-~PD=~DC=2反，

两式分别平方再相减得卮-PD=PE2-'DE2=|PE|2-4,

设＜8中点为。，连接。后交圆弧于点H,则当P与H重合时，PE最小，最小值为2,

当当P与A或8重合时，PE最大，最大值为“42+22=2通,

所以尸才.而W卜2-4,(2通,-4]=[0,16].

故选:B.

【变式6-3］（24-25高一下・重庆渝北•期中）已知非零向量彳目与前满足（搭；+篇）•近=0,且|前一正|=

2灰,同方+彳？|=6式，点。是△ABC的边A8上的动点，则砺•觉的最小值为（）

A-TB-C.WD.

【答案】D

【解题思路】由题意条件可知，48=4C,取8。的中点E,连接AE,则AE_LBC,BC=2sAE=3aBE=V2,

由极化恒等式得到四•比=DE2-2,进而求出ED的最小值，得到答案.

【解答过程】因为用分别表示而与正方向上的单位向量，

所叫瑞+1g表示血。的平分线上的共线向最'

又儒+翡）反=。，嚼嚼与前垂芭

由三线合一可知，AB=AC,

如图，取BC的中点£,连接AE,WAELBC,

又|通-AC\=2y/2,\AB+AC\=6vL其中XS-AC=CB,AB^-AC=2荏,

所以BC=2，LAE=3V2,故BE=遮，

由于丽+反=2屁，DB-DC=2EB,两式平方相减可得

~DB'DC=DE2-BE2=DE2-2,

当E0J_4B时，E0取得最小值,

其中由勾股定理得48=y/AE2+BE2=J18+2=2通,

3®_35/5

故DE=

AB26-5’

2

故丽.瓦的最小值为（9）-2=

故选:D.

【题型7等和（高）线定理】

【例7】（24-25高一下•重庆・月考）已知直角梯形A4C。中，4=90°,AB//CD,且C。=2,48=3,点P

是ABCD内（含边界）任意一点，设丽=/1彳§+〃而（九林WR）,则入+〃的取值范围是（）

B.图C.回D.图

【答案】C

【解题思路】过点P作8。的平行线],并分别交A8,A。的延长线于a,。1，过点C作8。的平行线，并分别

交AB,AQ的延长线于E,F,设福=m彳5,根据共线结论可得2+〃=小，再结合平行关系可得.

【解答过程】过点P作8。的平行线，，并分别交AB,A。的延长线于区,打，

过点C作8。的平行线，并分别交AB,AO的延长线于E,F,

因巴当，5三点共线，则而=士丽+（1-t）被，

设/Bi=ADr=mAD,贝“P=+（m—

而人尸=九48+〃/1。，因此2=mt,n=m—mt,则得到2+〃=tn,

由题意知则四边形/法CO为平行四边形，所以BE=DC=2,

从而m=黑="誉=1+等£[1图，

ABAB3L3J

则□+〃的取值范围是[弱.

故选：C.

【变式7-1]（25-26高三上•湖南长沙・月考）在平行四边形4BCO中，E,F分别是/D,。。的中点，点G在线

段E£h.若刀=2荏+〃而，则；1+〃的最大值为（）

A.-B.1C.-D.2

22

【答案】C

【解题思路】设前=tEF,te[0,1],根据向量线性运算可得布=+G+9而，由题意可得;=九3+：=

”,计算可解.

【解答过程】如图，作出符合题意的图形，

所以荏=逆，DF=^AB,

则而二而一版=AD+~DF-AE=-AD+-AB,

22

因为点G在线段EF上，设前=£炉,tW[O,l],

则Z=~AE+~EG=~AE+tEF=^AD+1（AD+而）=g而+g+而，

若HG=AAB+〃而，则：=九14-1=g»

所LU+〃=t+；,当"1时，/I+〃有最大值为去

故选：C.

【变式7-2]（2025.山东烟台.三模）如图，边长为2的等边的外接圆为圆。，点P为圆。上任意一点,

若而=%而+yAC,则2x+2y的最大值为（）

【答案】A

【解题思路】作BC的平行线与圆。相交于点P,与直线力B相交于点E,与直线力。相交于点尸.设方=入版+

〃而，所以4+〃=1,设方=差=匕结合图形得出ZE[0曰，由条件结合平面向量基本定理可得出x+y与

k的关系，进而可得结果.

【解答过程】作8c的平行线与圆。相交于点P,与直线为8相交于点E,与直线4c相交于点F,

设而=入荏+〃而，因为P,E,F三点共线，所以2+〃=1,

等边三角形边长为2,则外接圆半径为R=：x/x2=苧,

由BC〃EF,可设方=6=鼠

当E尸过点A且与圆。相切时，k取最小值0,

当8C与EF在点0的同侧，且E/与圆。相切于点P时，k取最大值，

此时4P=2R=浮，AE=AF=-^-=^-=^则k取最大值,=

•52>1nou、*5CJ

2

所以kw[o,3，

AE=kAB,AF=kAC.AP=XAE+fiAF=M而+ukAC,

又｛0=无/8+丫元，则％=A〃,y=〃k,得无+y=k（2+〃）=匕

所以2%+2y则2x+2y的最大值为:

*5«5

故选：A.

【变式7-3]（24-25高一下•山东济南・月考）如图，ABC。与△4BC的面积之比为2,点P是△BCD内任意一

点（含边界），且彳？=4彳§+〃而，则4+〃的取值范围为（）

A.[1,3]B.[1,2]C.[2,3]D.[1,4]

【答案】A

【解题思路】分析可得当尸在线段8C上运动时，B、P、。三点共线，此时4+〃有最小值，分别延迟AB、

4C至*,C',使CC'=2AC,8B'=2AB,连接B'C',根据三角形相似，分析可得当P位于。点时，2+〃有

最大值，即可得答案.

【解答过程】当点P在线段8C上运动时，此时B、P、C三点共线，

因为而=2而+痴？，所以;1+/1=1,此时为2+〃的最小值；

B

,

分别延迟AB、AC至",。'，^CC=2AC,BB=2ABf连接夕C',如图所示,

因为CC'=2AC,BB'=2AB,4A=LA

所以△ABC与△力夕C'相似，且相比为;，

因为△8Q?与△A8C的面积之比为2,且BC=BC,

所以△BCD与△AOC的高之比为2:1,

HPA/18。与44B'C'高之比为:，

所以D,8',C'三点共线，

当P位于。点时，AP=AAB+pAC=AB7+,

此时1+3=1