吉林省长春市2026届高三年级上册质量监测（一）数学试卷

吉林省长春市2026届高三质量监测(一)

数学试题

一、单选题

1.已知集合人={川3</<7},B={x|2<x<6},则AR8=()

A.{x|2<x<7}B.{x|3vxv6}

C.{x\2<x<3}D.{x|6<x<7}

2.已知向量d=(4,l),6=(2,〃?)，aLb，则W=()

A.—B.—1C.—4D.—8

4

复数的虚部是()

3.3

1+1

4D.1

A.—1B.1C.2

若首项4=；,1=1,

4.记S”为公比4工1的等比数列几｝的前«项和，则%=)

A.2B.1C.4D.-1

x+—1=—,则sin2x=()

5.若cos

14J3

6.已知Iogjlog3(log5x)]=0,则x=()

A.8B.27C.125D.243

7.如图，在平行六面体A4C。-中，=xAB+yAD+zA4,,则(x,y,z)=()

C.(1,1,—1)D.(—1,—1,—1)

8.已知是定义在R上的奇函数，〃力+-2)=0,且〃T)=2,则/(l)+〃2)++/(2026)=()

A.4B.2C.0D.-2

二、多选题

9.已知函数/（x）=sin（2x-］，则（）

A.函数/"）的最小正周期为九

B.函数/（⑼在（0,上单调递减

C.函数/⑺的图象关于点仔中心对称

D.将函数的图象向左平移三个单位得到的函数为奇函数

1（）.已知抛物线丁=2/*（〃＞。）的焦点尸（1，。），A,8为抛物线上的两个动点，M为线段A8的中点，N（3.2）,

则（）

A.p=2

B.若|AF|+忸F|=10,则点M到准线的距离为4

C.|4V|十|A同的最小值为4

D.若AF=2FB，M|^|=|

11.已知正方体ABCD-ABCR的棱长为2,点P是侧面KCGB|上的一个动点（含边界），点E和点尸分

A.平面。破尸截该正方体所得的截面图形是正方形

B.平面AEF_L平面BDD\

C.若|AP|=逐，则点P的轨迹长度为：

D.若点P在5与上,则|PD|+|PE|的最小值为行

三、填空题

12.过A(0,()),网1,6),“4,0)三点圆的方程为.

13.若函数/(月=讹"一科且(."2)r(力20恒成立，则实数〃=.

14.古希腊数学家阿波罗尼奥斯在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点射出的光线,

经椭圆反射,其反射光线必经过椭圆的另一焦点.设椭圆M：[+，=l(a>b>0)的左、右焦点分别为石、6,

3

若从M的右焦点人发出的光线经过M上的点A和点8反射后，满足/1B_LAZ),且cos/4BC=w，则M的

离心率为____.

四、解答题

15.己知椭圆「+营=1(。>人〉0)的离心率为右焦点尸(1,0)..

(1)求椭圆的标准方程：

(2)过尸且倾斜角为45°的直线/与椭圆相交于4，R两点,求|A8|.

16.在48C中，角A,B,C的对边分别为。，b,c,若cosB=-2，且ABC的面积为逑.

⑴求前的值；

(2)若/>sinC=2&，求AC边上的高8。.

17.已知S.为数列a｝的前•〃项和，若§2=6,\=42,且数列｛｝｝为等差数列.

(1)求数列也｝的通项公式；

(2)若数列出｝的首项为2,且导=子,求数列低｝的前〃项和却

18.如图，底面为锐角三角形的直楂柱A4C-A4G中，AC=BC,AA]=AI3,点。在线段力用上，且满

足AZ5=/UB；,点E为四的中点.

4

A

(1)当％=3时，证明：OE〃平面ABC；

4

(2)若平面A4G与平面AB£所成角的余弦值为巫

15

(i)求异面直线4片与CE所成角的大小;

4

(ii)已知直线C。与平面A8G所成角的正弦值为三，求见的值.

19.已知函数/(x)=xlnx.

(1)求〃力在J=1处的切线方程;

(2)若Vxe(O.7i),使/(x+l)+asinx>0恒成立，求实数。的取值范围;

(3)证明：£丁，由1<111(〃+1).

1=1'+11

参考答案

1.B

【详解】因为集合4={#3<X<7},8=32VX<6},如图:

所以AcB={x[3<x<6}.

故选：B.

2.D

【详解】因为alb，

所以〃・％=4x2+1x〃？=8+〃？=0，

解得：m=-8.

故选：D

3.B

.一、2i2i(l-i)2+2i,.

【详解】辛;而后r丁二*

所以复数工的虚部是L

故选：B

4.B

【详解】由等比数列的前〃项和公式其=3-----=-=>————-------------=—,，

\-q4\-q4

所以;(1+4+92)=(=夕2+9_2=0解得4=_2或q=1.

因为4工1,所以4=-2,所以叼二；(一2)2=1.

故选:B.

5.C

【详解】依题意得：cos卜+：)=n.兀>/2...yp2

cosxcos—sinxsin-=——(cosx-sinx)=——,

4423

化简得:cosx-sinx=|,

所以(cosx-sinx):=cos2x-2sin.Ycosx+sin2x=—,

因为cos'x+sin'xnl,sin2x=2sinxcosx,

代入cos?x-Zsinxcosx+sin2x=§得：l-sin2x=—,

45

解得：sin2x=l--=^.

故选：C.

6.C

【详解】因为log2[log3(log/)]=。，所以1。83(1。85月=2°=1,

所以logsx=3i=3,x=53=125.

故选:C.

7.A

【详解】解：叫=BBi+,又因3q=M，BR=BD=AD-AB,

BDi=AA14-AD-AB=xAB+yAD+zAA1,

/..r=-1,y=1,z=1,

故选：A.

8.D

【详解】由/(x)+/(x-2)=0可得〃同=一/"-2),

用工+2替换x,则/(x+2)=—/(x+2—2)=—/(x),

即f(x+4)=j[(x+2)+2]=-/(.r+2)=/(x),

所以函数/(x)是以4为周期的周期函数，

由f(x)+〃x—2)=0,令x=2,贝V(2)+〃0)=0,

且是定义在R上的奇函数，则/(。)=0,所以"2)=0,

令1=3,则〃3)+/(1)=0,且/⑴=-/(-1)=-2,则/⑶=2,

令i=4,则/(4)+/(2)=0,因为/(2)=0,所以/(4)=0,

所以〃1)+/(2)+/(3)+〃4)=-2+0+2+()=0,

则/⑴+/(2)+…+/(2026)=506[〃l)+〃2)+/(3)+〃4)]+f⑴+/(2)

=/(1)+/(2)=-2,

故选：D

9.AC

【详解】对于A,最小正周期为7=0=勺=兀，故A正确；

co2

对于B,当"0,方时,2x宁卜舞｝

令，=2x-g,piij/(r)=sinr,

因为f=在区间(0。〕上单调递增，正弦函数〃/)=sinf在区间上单调递增，

所以/(x)=sin(2x-在(0,：)上单调递增，故B错误；

对于C,由/(F)=sin(U=0可知，

/\

函数/(力的图象关于点1。中心对称，故C正确；

16/

对于D,将函数小)的图象向左平移3个单位得到/[+1)="2K与-升sin(2喈

因为/(0+T)=sin(2x0+T)=sin1H0,所以不是奇函数，故D错误.

故选：AC

10.ACD

【详解】对于A,因为抛物线的焦点产。,0),所以2P=4,得0=2,故A正确；

对于B，分别过点A3作准线的垂线，垂足为

则由抛物线的定义可知|A尸|+忸F|=|AZ)|+忸目=10,

因为M为线段的中点，所以点M到准线的距离为从0+忸目=5,故B错误；

2

对于C,因为MN|+|4F|=|4)|+|4M，

则当A,O,N三点共线时，|AN|十|Ab|有最小值|M)|=3+1=4,故C正确；

延长A3交准线于点”，由A/=2所以及抛物线定义可知，|AD|二2|EB|,

则BE为A。”的中位线，

设|"|=|BE|=m,|AF|=|4q=2m,则忸川=.叫=3旭，|“尸|=4m,

由相似关系可知，图=偿!，则:一丝，得〃?=］，故|八四=>故D正确.

p\HF\24〃？22

故选：ACD

11.BC

【详解】如图建立。-X)N空间直角坐标系，

对于A选项：用(0,0,2),尸(2,0」),。(0,2,1),q产=(2,0,7),*=(0,2,7),

所以。尸。无=(2,0,—1)(0,2,—1)=1,

所以。尸与不垂直，A错误；

对于B选项：以2,2,0),QB=(2,2,0),£)A=(0,0,2),FE=(-2,2,0),

所以FEDB=0,FEDDI=。

所以FE上DB,FELDR,

又DBDD、=D.QBu平面BDDE,DDtu平面BDD、B、.

所以FE_L平面8。。出，又用u平面2成"

所以平面RE"_1_平面BOQ4,B正确；

对于C选项：易知所以|4尸『=|4却即f=>5=4+忸"2=忸耳=1,

所以点P的轨迹为点B为圆心，1为半径的!圆，

4

兀

所以点P的轨迹长度为［X2乃XJ5,C正确;

对于D选项：设P(2,2,〃i),则|PD|+归耳="+2?+帆2+府+2?+(〃?_])2=而』+J(〃?-1>+4

而不+师干工可表示为在直角坐标系中点M（〃?，°）到点N（0，-2&）与点”（1,2）的距离之和，如图所

示，

所以MN+MH之NH=J12+(2+2闾?=,13+8五,

所以|PQ|+|PE|的最小值为J13+8&，D错误.

故选：BC.

12.（x-2）2+y2=4（或f+丁・4%=0）（两种形式均正确）

【详解】设所求圆的方程为丁+产+以+或+尸=o,0?+炉_4/>0

F=0

由已知ARC三点在圆上，，1+3+。+6石+尸=0,

16+4D+F=0

D=-4

解得卜=0,

F=0

所以圆的方程为x2+r-4x=0,即（"2『+），2=4.

故答案为：（工一2）2+丁=4（或x?+），2-4x=0）（两种形式均正确）.

13.e-2

【详解】因为〃x）=ae'-x,

所以,/（"="一1,

所以（x-2）r（x"0恒成立等价于*-2乂*-1"。恒成立,

当工?2时，优*-120恒成立，等价于。之二恒成立,

-2

又函数y=4■在［2,+00）上单调递减，当x=2时，ymtK=e,

e

所以°Ne-2；

当xW2时，优,-140恒成立，等价于々K▲恒成立，

e

2

又函数），=《在（_g,2］上单调递减，当工=2时，＞'nlin=e-,

e

所以aWe4；

综上所述：a=e2.

故答案为：e-2.

【详解】由题意，可作图如下:

9=幽

5一阿|

即用:忸用=3:4:5,

可设|AB|=3%,|4£|=4k,忸用=5%,

由.或+|46+忸£|=|A周+忸段+|州|+忸用=4,则软+3%+5卜=4。,即女=%

|A周=2a—|A用=2%,在中，忻周二不讨f=20左=2c,

则.="=亚=叵

2a6k3

故答案为：正.

3

22

⑸⑴X丁y尸

20

厂+厂=1（”>〃>（））的离心率为义

【详解】（【）由椭圆7+F

可设c=r,a=2t,则b=©，

由右焦点尸（1,0）,可知c=f=l,则a=2,b=6，

即椭圆的标准方程叫+卜.

（2）如图:

过F日倾斜角为45。的育线/的方程为x=.V+1,

与椭圆。：工+三=1联立可得：

43

3（v+l）2+4/-12=0,即7y2+6），-9=0,

.幻69

可得+?

>U2=-y-

所以（）。2）2=（乂+必）2-4）,g啜-4、卜力丹£

所以|）「以|=空・

所以|A臼=>/?7齐|），「必|=拉'华=,.

16.（l）«C=y

（2畔

【详解】（I）因为cos8=-不，BG（0.7T）,所以sinB=J1-cos?B=,

33

又/,/WC的面积S=—i/csinB=^2L,所以Licx2二='夜,

22232

所以"二J.

_bsinC_2015

（2）由正弦定理得/?.sinC=LsinB=2&,则」一sin8一!??一，所以0=2=』，

T一3一2

由余弦定理，b2=«2+c2-2rt(?cos^=-y+9-2x|x3x|j=y,解得

即AC=g,又ABC的面积S=，ACX6Q='X2XBQ=还，

22222

解得8O=U史，即4c边上的高B。为山2.

99

17.⑴=2〃

4〃

(2)7；n+7

【详解】(1)由题意：'=《=3,*=芋=7,

2266

又数列J2]为等差数列，设数列的公差为

I"JI〃J

由&=2+40=7=3+4。=0=1.

62

所以小事+(〃-2).。=3+〃-2=〃+1.

所以S”=〃(〃+1).

当〃=1时，q=S=1x2=2,

当〃之2时，an=Sn-Sn,l=n(w+l)-(n-l)n=2n.

〃=1时,上式也成立.

所以％=2〃.

凡二2〃二〃

(2)因为在

4+22(〃+2)〃+2

%」h22二"]

所以

A3，44'45'%一〃+厂

b.2

以上各式相乘，可得当〃22时,b、n(n+\)'

又4=2,所以/,*=而44/(「1q1

1rN"

所以(=4(J3+3-：+・•+：-4〃

n+T

18.(1)证明见解析;

【详解】(1)在直棱柱ABC-A4G中，令48cA优=O,则0是用的中点,

3

由A力="得。是。4中点，而点£为的中点，则。£//。4,

即DE//A/,而OEz平面ABC,A3u平面A8C,

所以DE//平面A8C.

(2)(i)分别取A及4瓦的中点A/,/%,则又胡，平面A8C,

所以MMJL平面ABC,由4C=BC,得6¥_L49,则直线两两垂直,

以点”为原点，向量MACM.MM的方向分别为X，)"轴的正方向，建立空间直角坐标系,

令储=AB=Z、CM=。,则A&0,0),C(0,-a,0)，G(0,-421)，4(T,0,2)E(T,0,1),

CA=(/,a,0),CCj=(0,0,2/),ABX=(—27,0,27),AC)=(—z,—6Z,2/),

设平面AHG与平面A4G的法向量分别为〃=(x,y,Z)»m=(%,y,zJ,

n-CA=tx+ay=0

则令y=i,得〃=(一”,o),

n•CC(=2/z=0

m-AB.--2tx,+2tz.-0

«，令)l=f,得加=(aj,a),

m-AC】=-txt-町+2fzi=0

由平面/M.G与平面A4G所成角的余弦值为巫，

15

“J.z'\.Itn,nI|一厂Iy/15->今aoo

得ICOS<7W,11)1=Y~._=/，厂,,=，解得a-=2厂或13矿=7厂，

J/+尸.{2/+/|5

由4BC是锐角三角形，得CM>4M,即则"=2/，即“=

又CE=(T,万/)，则cos〈Ag,CE)==//,=与，

Il|CE|。4厂+4厂/2

而04〈A区,田〈兀，因此〈人用，CE〉=9，

所以异面直线A4与CE所成的角为二.

4

(ii)由(i)知，AD=2AB,=(-2/2,0,2/1),则。(1一2认,0,2”),

0—认,后,2汉),而平面AB©的法向量机=("/,"),

因此|cos<C£>,加〉|=卬〃"=/:四1=:，而()w%WI,

\CD\\m\加-4/—府5

所以丸二

4

19.(l)y=A-l

(3)证明见解析

【详解】(1)r")=i+inx,所以r⑴=i且/(i)=o,

则/(1)在X=1处的切线方程为y=X-1；

(2)f(x+l)+asinx>0即(x+l)ln(x+l)+r/sinx>0,

设g(x)=(x+l)ln(x+l)+〃sinx,则g'(x)=l+ln(x+l)+〃cosx,

令A(x)=g'(x)=1+ln(x+l)+«cosx,贝！j〃，(x)=-J--asine(0,冗))且g(0)=0,g'(O)=l+a.

(i)当aNO,xw(O,兀)时，显然g(x)中的(x+l)ln(x+l);>0,sinx>(),则#(x)>0恒成立.

(ii)-l<a<0,xw(0,兀)时，//(x)=—J-j--asinx>0,则g'(x)单调递增.

g'(x)>g'(0)=l+a>0，

则g(x)在xe(0㈤单调