2025-2026学年鲁教版（五四制）八年级数学下册第七章《二次根式》全章同步练习

第七章二次根式

1二次根式

期出夯实

知识点一二次根式的定义

1.（2024・东营文华学校月考）下列各式中二次根式的个数为（）

①一\/mz+l;②]—8;③&-1;④店;⑤6.

A.1B.3C.2D.1

2.若〃是二次根式，则a的值可以是（）

A.OB.-lC.-2D.-3

3.下列各式中，不属于二次根式的是（）

A.（烂0）B.V1+Z?2

C.D.V-1-x2

知识点二二次根式有意义的条件

4.要使式子^在实数范围内有意义，则x应满足（）

A.烂;B.x>|C.x<|D.x>|

5.若意义，则x的取值范围是_.

VX-1

知识点三二次根式的双重非负性

6.若Ix-y-6I+，+厂2=0,贝！Jx,y的值分别为（）

A.4,-2B.2,-4C.0,2D.1,1

7.（2024•烟台莱州市期中）已知实数x,y满足Ix-4|+尸=0,则以x,y的值为两边长的等腰三角形的周长是

（）

A.20或16B.20

C.16D.以上答案均不对

机2024•枣庄滕州育才中学月考）若a,b为实数，且4^+V^T-b=5,则直线产ax-b不经过的象限是（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

知识点四（⑷2=“（定0）

9.朽4：写成一个正数的平方的形式是（）

'闯B.闺2

C-（±202D.（士同

10［教材P33例2变式］计算：

(IXV0.7)2;(2)43)(46)2.

易错点悟因考虑问题不全面而致错

11若式子学有意义，则x的取值范围是（）

A.x>3B.x>3

C.x>3且xQD.x>3目,x声5

能力提升

12.（2024・威海蝌江中学期中）在实数范围内，不论x取何值，下列各式始终有意义的是（）

A.V？GB.（返下

C.D.V-3-x2

13已知n是正整数，用是整数，则n的最小值是（）

A.0B.1C.3D.-3

14若x,y为实数，且产•sFT+'/f2025厕xy=.

15当*分别取下列值时，求二次根式际^的值.

(1)x=0;(2),v=2;(3)x=-1.

16已知二次根式广彳.

(1球x的取值范围；

(2球当x=-2时二次根式产#的值；

⑶若二次根式广5的值为零，求x的值.

素养培优

17」新定义］任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义，若无理数T：m〈T〈n(其中m为满足不等式的最大

整数，n为满足不等式的最小整数)，则称无理数T的“行知区间”为(m,n),如1＜应＜2,所以近的行知区间为(1,2).

⑴无理数内的“行知区间”是_______；

⑵若昕求a的，行知区间”；

(3)实数x,y,n满足,2x+3广〃+j3x+4广2〃=Jx+y-41+,41-x-居求n的算术平方根的“行知区间”.

2二次根式的性质

第1课时积的算术平方根的性质

基础夯实

知识点一“齐=。（e0）

1.下列各式中正确的是()

A.V4=±2

B.㈱

C.g=-3

D.J(-2025)2=2025

2

2.［教材P37习题7.2T4变式偌y/(x-l)=x-lf则x满足的条件是()

A.x>lB.x<lC.x>lD.x<l

3.当x>2时J(2-x)2=()

A.2-xB.x-2

C.2+xD.±（x-2）

4.（2024・聊城冠县模拟）如图，数轴上点A,B表示的数分别为m,n化简：g—n|_V^=_.

AB1

」」'1」」..

m01n

知识点二积的算术平方根的，性质

5.若贝!JV90=（）

A.a/bB.-aC.abD.a+b

a

6.下面的计算和推导过程中，

•・,何第一步）

・•・何=36.（第二步）

•・,-36=/（-3A3,（第三步）

二-36=36（第四步）

其中首先错误的一步是（）

A.第一步B.第二步

C.第三步D.第四步

7.如果Jx（x-6）=祈那么（）

A.x>0B.x>6

C.0<x<6D.x为一切实数

8.已知n为正整数，若师是整数，则n的最小值为（）

A.4B.8C.21D.84

9.（2024•德州宁津县苗场中学月考）实数a,b在数轴上的位置如图所示，则化简后-旧-而可的结果是

1年III?1I.

-101

A.-2bB.-2a

C.2b-2aD.O

10若>4<x<3,则Ix+4|+7(x-3)2-Vx2-10x+25=_.

11化简：(1)西亨;(2)南;(3)正而.

易错点悟运用皿=〃（介（））时，忽略a>0而致错

12化简La8

能力提升

13下列各式中，一定能成立的有()

①J(-2.5)2=(V53)~；②后=(口2；

③VN-Zx+lf-1;©Vx2-9=Vx-3-Vx+3.

A.©B.①④

C.①③④D.®@@©

14观察式子：

x/4><9=V36=6,-\/4xV9=2x3=6;

49y9_阿_21

Too4^y]40020,

V0.25x0.04=V^0l=0.1,

\/025xV0^4=0.5x0.2=0.1.

由比猜想4ab=\la-V^（«>0»A>0）.

上述探究过程蕴含的思想方法是（）

A.特殊与一般B类比

C.转化D.公理化

15已知a<2,则点M（山2+]3-2）2）在第______象限.（

A—B.二

C.三D.四

16已知I。|=3,旧=5,且a+b|=a+b,那么a+b的值是()

A.2或8B.2或-8

C.-2或8D.-2或-8

17甲、乙两个同学计算“+V1-2a+°2的值,当a=3时得到不同的答案.甲的解答是af/1-2a+浮=々+J(1-4)2=。+

I-a-1,乙的解答是a+y/\-2a+a2^”十J(q-1)2=a+“-1-21-1=5.下列判断正确的是()

A.甲、乙都对B.甲、乙都错

C甲对，乙错D.甲错，乙对

18不用计算器回答：已知>/2~1.414,720-4.472,则V20000()0=_,V0X)02^_.

19.(2024・潍坊高密市月考改编)已知y=而夺r+5,当x分别取1,2,3,...,2012时，所对应的y值的总和是一

素养培优

2()观察下列各式及验证过程:

出(*)=虚验正必冷)=信T后^

(1版照上述三个等式及其验证过程的基本思路，①猜想：］—)=_；

②猜想国』的变形结果，并进行验证；

(2底十对上述各式反映的规律，写出用n(nN2且n为自然数)表示的等式，并进行验证.

第2课时商的算术平方根的性质

基础夯实

知识点一商的算术平方根的性质

1.下列计算中正确的是()

A.柠菖

C兄S+即

D.3sx符K

2.若后=系成立，则x的取值范围为（）

A.x>0B.xK）或xvl

C.x<lD.O<x<l

3化简:

Z小009x121

4.计算：（1）厝⑵8°）；

知识点二最简二次根式

5.下列式子中，是最简二次根式的为（）

A.1B,V02C,VT5D.1

6.写出一个最简二次根式a,使得2<a<3,则a可以是

7.把下列二次根式化成最简二次根式：

⑴痕;⑵尺;⑶尺

（4）舟0）;⑸旧•

易借点悟化简二次根式时，因忽略隐含的条件而致错

8.已知xy>0,化简-7/的结果是（）

A.y/xB.y/-X

C.—yfxD.—y/-X

能力提升

9.下列计算正确的是（）

A.B.房回

C.3^^

D.

1°等式厝需成立的条件是（）

A.a/-lB.a2-3且时1

C.a>-lD.a>3

11若下列左边的式子有意义，则运算正确的是（）

A.4c?=aB.\[ab=y[a-4b

C.(®2=〃D.6得

12下列各式中，从左到右的变形正确的是()

A$后$1=叮

B.a\[ab=4a^b

C.(a+b)yja+b=y/(a+b)3

D.5唔百匹

13已知则VM63=()

aB3abab_空

'10'10,100,100

14在①E;②Ja2+b2;③何;④疝不■中，最简二次根式有_______个.

15(2023•济宁金乡县月考)若最简二次根式”一加下1与最简二次根式所痴相等，则m+n=

16将一组数x/3,V6,3,2V3,VT5,­.V87,3x^0,,按下面的方式进行排列：

V3,V6,3,2V3,Vl5,

3A/2,\/2T,2V6,3V3,V30,

按这样的方式进行下去，将26所在的位置记为(14),同所在的位置记为(2,5),那么在(4,1)的位置上的数

是________.(结果写成最简二次根式的形式)

17化简:

⑴等”后+£(。＞。＞

素养培优

18观察以下等式：

第1个等式：商=等；

第2个等式：而=竿；

第3个等式：杵工=殍；

第4个等式：乒=等；

/5o~~；_y6xn-

第5个等式：,五一4=——；

按照以上规律，解决下列问题:

（1将出第6个等式;

（2写出你猜想的第n个等式（用含n的等式表示），并证明.

3二次根式的加减

基础夯实

知识点一同类二次根式

1.下列二次根式中，化简后与2日可以合并的二次根式是（）

A.Vl2B.V02C.V3D.V50

2.（2024•北京西城区开学考试）下列各组的两个根式，是同类二次根式的是（）

A.4?和疝B.而和加

C.痴痴和2而D.际口

7vyJ2xy

3.［教材P41习题7.4T1变式］（2024・淄博博山区期中）在下列二次根式中：我*忡，4,4付污+倔5,

⑴能与V5合并的是___________；

（2）能与逐合并的是__________.

4.如果最简二次根式历年与2夜是同类二次根式，那么a的值是______.

5.（2024•东营广饶县实验中学开学考试）把二次根式旧石与电分别化成最简二次根式后，被开方数相同.

⑴如果a是正整数，那么符合条件的a的值有哪些？

（2）如果a是整数，那么符合条件的a的值有多少个?最大值为多少?有没有最小值?

知识点二二次根式的加减

6」教材P41想一想变式］下列计算正确的是（）

A.2+0=2夜

C.3V2-V2=3

D.^=79-74=3-2=1

7.（2024・临沂兰山区期中）设〃尸58V45,.则实数m所在的范围是（

)

A.m<8B.8<m<9

C.9<m<10D.m>10

8.(2024•淄博)计算：V27-2V3=_.

9.若a<0,则

10化简:

⑴m-2出

(2)A/T8-V32+V2+V3.

11计算下列各题：

(1)-2VTT+47H-6/H+8VTT-1Ox/TT;

(2)(3V6-2V2+5V3)-(4V3-6V2+7V6);

(3)IV2-V5I+I3-V5I.

易借点悟未化为最简二次根式就合并导致错解

12若J豆+砺=〃V5（n为正整数），则m的值可以是（）

A.；B.18C.24D.75

能力提升

13下列计算正确的是()

A.y/x+V5x=V6x

B.3V2-2V2=1

C.2+石=26

D.5y/x-7y/x=-2\/x

14.(2024•济宁微山县期中)已知ab=6,那么代数式a4b卡的值是

15.（2024•青岛市南区校级月考）已知A=2岳行,8=3后,。V?正由，其中A,B为最简二次根式，且A+B=C,

则2y-x的值为.

16已知最简二次根式后和标可以合并，你能求出使岳母有意义的x的取值范围吗?

17计算：⑴何-15月：回;

⑵乎+3痕-旧5加;

⑶;V^?+2A/X2出

18已知7+石和7-6的小数部分分别为a,b,试求代数式（a+4b-3的值.

4二次根式的乘除

第1课时二次板式的乘除

基础夯实

知识点一二次根式的乘法

1.对于二次根式的乘法运算，一般地，有同折=，区该运算法则成立的条件是（）

A.a>0,b>0B.a<O,b<（）

C.a<0,b<0D.a>0,b>0

2.关于OxE的变形，不正确的是（）

A.V3xVT2=V3^T2

B.述

C.V3XVT2=V3+T2

D.V3XVT2=V3X2V3

3.下列运算中正确的是（）

：

A.A/C2）2=-2

B.V5XV7=V35

C.2V7X3V7=6V7

D.（4式）2=8

4.计算:（（l）V5x后；（2）3JX4V8.

知识点二二次根式的除法

5.下列等式不成立的是（）

A.箸唔历_3V§

,vF-vF

V2727c旧小x的

cVF=TD.^=—

6.下列计算错误的是（）

A.瓜=2正B.V8-V2=2

C.V4=±2D.V2-V>y

7.［教材P44习题7.5T3变式］矩形的面积为18,一边长为25则与它相邻的另一边长为（）

A.6V3B.9V3C.3V3D.24

8.已知：7^=12.3,7^=0.123,J!!J彳=_.

9.计算：

⑴出兄；（2）2旧4+3媳;⑶离x逐.

易错点悟忽视二次根式的被开方数为非负数

10小东在学习了先由后,认为旧亨也成立,因此他认为化简过程层等=等=快3是正确的，你

认为他的化简正确吗’?若不正确，请指出错误，并给出正确的解答过程.

能力提升

11（2024・盐城）矩形相邻两边长分别为0。*石。小,设其面积为S口工,则s在哪两个连续整数之间?（）

A.I和2B.2和3

C.3和4D.4和5

12（2024・济南章丘区月考）阅读理解：我们已经学习了《乘法公式》和《二次根式》，可以发现:当吟（）,监0时,

2

有（即呵=4-2而+的（X得〃+场2后,当且仅当a=b时等号成立，即a+b有最小值是2疯.商I」用这个结论解

答问题：当x>0时，2x+l+?的最小值为（）

A.V2B.2C.2V2D.3

13（2024・临沂河东区期中）电流通过导线时会产生热量.电流1（单位：A）、导线电阻R（单位：C）、通电时间1（单

位：s）与产生的热量Q（单位：J）满足：修尸处.已知导线的电阻5C,Imin的时间导线产生24C0J的热量,则电

流I为A.(结果用二次根式表示)

14［等面积法］直角三角形的两条直角边长为史小、,则这个直角三角形斜边上的高为

15计算：(i)V75+(%xg)；

素养培优

16(2024•枣庄市中区期末)【阅读材料】小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的

平方，如：

5+2遍=(2+3)+275^5=(75)2+(V3)2+2V2XV3=(V2+V3)2;

8+24=(1+7)+2^<T^=12+(V7)2+2X1XV7=(1+V7)2.

【类比归纳】⑴请你仿照小明的方法将7+2宿化成另一个式子的平方；

(2)1青运用小明的方法化简：V11-6V2.

【变式探究】(3)若a+2V^T=(诉+〃尸,且a,m,n均为正整数，求a的值

第2课时二次根式的混合运算

基础夯实

知识点一二次根式的混合运算

1.(2024・重庆B)估计41(a+V5)的值应在()

A.8和9之间B.9和1（）之间

C.IO和II之间D.11和12之间

2.计算：V3（V2-V3）^/24-IV6-3I=

知识点二乘法公式在二次根式计算中的应用

3.下列各式计算正确的是（）

A.3V5-2V5=1

B.（1-V2）（1+V2）=-1

C.（2-V2）（3+V2）=4

2

D.（6+⑺"=12

4.（潍坊中考）从♦一夜,V5,在中任意选择两个数，分别填在算式[口+0）2+应里面的“□”与中，计算该算式的

结果是________.（只需写出一种结果）

5.计算（逐+2产4.（逐—2产'的结果是____.

易借点悟因忽视结果的非负性而致错

6.已知则返+上的值为（）

A.±V5B.±V7C.V5D.V7

能力提升

7.下列计算正确的是（）

A.（6-2V3）（6+2V3）=36-2x3=30

B.（百+lf=5+1=6

C.）2_（«Zf）2=]

D.（6-V5）GG）T

8.（2024•泰安新泰市模拟改编）如图，从一个大正方形中裁去面积为6cm?和15cm2的两个小正方形，则留下阻

影部分的面积为（）

A.6<T0C/M2B.2lew2

C.2aD.4x/6cw2

9.已知。=夜+2力=，7-2,则^+研的值为（）

A.83B.34C.22D.8

10（2024德州陵城区期中）已知x=l-夜产1+位,则M+Bxy+y2的值为.

11（2024•临沂费县阶段练习）人们把”-0.618这个数叫做黄金比，著名数学家华罗庚优选法中的“0.

618法"就应用了黄金比.设〃=^^力==^,记S|=±+*,S2=；y+^^7，”,则52024=_.

12.计算:

(1)3720-V45-1+(V5-2)(>/5+2);

(2)(V5-1)L(夜-⑹(V2+V3);

(3)727a2N3〃bc?x/(©O).

13化简(尸1-与+粉，将尸3-日代入求值.

14（2024•威海经济技术开发区期中）如图，正方形ABCD的面积为8,正方形ECFG的面积为32.

⑴求正方形ABCD和正方形ECFG的边长;

⑵求阻影部分的面积.

素养培优

15［应用意识］王老师在小结时总结了这样一句话：“对于任意两个正整数a,b,如果a>b,那么点.、'然后

讲解了下面一道例题：

比较（师和2、26的大小.

方法_jV200=J^200=V8,

2V3=x/4^3=V12,

因为8<12,所以我即:师<26.

方法二:QV200）=^X200=8,

075）2=4x3=12,

因为8<12,所以^V200<2V3.

参考上面例题的解法，解答下列问题:

⑴匕俄-5述与•一66的大小；

（2）比较V7+1与V5+VI的大小.

专题五二次根式化简求值的技巧

技法一估值法

1.（2024•济宁邹城市期中）估计V27-VT5X/的运算结果应在（）

A.I至I」2之间B.2到3之间

C.3到4之间D.4到5之间

2.（2024德州乐陵市校级月考）如图，将数一右表示在数轴上，其中能被墨迹覆盖的数是

...■

-2-10*型34r

技法二公式法

3.（2024•滨州滨城区期末）已知X=2V5+2,产26-2,则X2-2XJH-/=_.

4.计算：（5+V6）X（5V2-2V3）.

技法三拆项法

代

5.计算:#+46+3

(V6+V3)(V3+V2),

[提示：V6+4V3+3V2=(V6+V3)+3(V3+V2)]

技法四换元法

6.已知片应+L求：詈焉+常昌的值

技法五整体代入法

7・已知》=今产短，求丁;4的值.

技法六因式分解法

0412W6WioWi54

技法七配方法

9.(2024德州齐河县期末改编)已知〃+[=遍，则

aa

10若a,b为实数，加行豆+限与+15，试求&+廿2-卜>2的值.

abAlab

技法八辅元法

11已知x:y:z=l:2:3(x>0,y>0,z>0),求、不"占的值.

技法九先判后算法

昭。业求值

12已知a+b=-8,ab=8,化简

技法十巧用被开方数非负性解决代数式化简求值问题

13设等式Ja(x-〃)+Ja(y-a)=月落后升0成立，且x,y,a互不相等，求：；二二；的值.

7.1-7.4滚动练习二

L下列各式中，一定是二次根式的是（）

A.7^3B.V9

C.Va2+1D.y]a~\

2.（2024,济宁）下列运算正确的是（）

A.V2+V3=V5B.V2xV5=Vl0

C.2-\/2=1D."-5）2=-5

3.若代数式高+«有意义，则实数x的取值范围是（）

A.x*B.x>0

C.x和D.x20且x*

4.若G是整数，则正整数n的最小值是（）

A.IB.3C.6D.12

5.（2024・济宁梁山县第二中学月考）若xy〈0,则曲化简后的结果是（）

A.xyB.XyJ^y

C.-Xyj=yD.-Xyjy

6.已知VFT+I尹2I=0那么（（叫）2。25的值为（）

A.IB.-lC.32025D.-32025

7.下列计算正确的是（）

A.5/（-4）x（-9）=V-4xV-9

242

B.y/4xy=2xy

D.V7-V4=V3

8.（2024•淄博桓台县期中）如图，在大正方形纸片中放置两个小正方形，已知两个小正方形的箭只分别为$=18,

昆=12.重叠部分是个小正方形，其百积为2,则空白部分的面积为（）

A.6B.8

C.8V6-6D.8V6-8

9.aJ3匕成最简二次根式为.

10已知］,=返〜后4+(厕y/xy=.

11［新定义］对于任意两个不相等的正实数a,b定义新运算“X”，规定：。=咨，则2X(x-1)中x的取值范围是

o-a

12.计算下列各题：

(1)2712+3«-丘倔

(2)(3V2-2V3)(3V2+2>/3);

(3)V3X(V2-V3)-2V6-IV6-3I;

(4)(6-1)2+(V5+2)2-2(6-1)(、/J+2).

13若最简二次根式”一您干尸■和斤而才是同类二次根式・

⑴求x,y的值;

(2)求尸记的值

14观察下列各式及其验证过程：

(1版照上述两个等式及其验证过程，猜想广曲变形结果并进行验证;

(2注十对上述各式反映的规律，写出用a(a为任意自然数，且*2)表示的等式，并给出验证.

15（2024•德州乐陵市期中）某居民小区有块形状为长方形的绿地，长方形绿地的长BC为师〃人宽AB为

现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（图中阴影部分），长方形花坛的长为（E+1）小宽为

（1）求长方形ABCD的周长；

（2）除去修建花坛的地方，其他地方全修建成通道，通道上要铺上造价为5元向2的地砖，则购买地砖需要花费

多少元?（结果化为最简二次根式）

16问题解决：

已知x=V5+2,求代数式A2-4x-7的值

小敏的做法是根据.尸V5+2,

得（X-2）2=5,

即F-4x+4=5,得X2-4X=\.

把/-4-1作为整体代入，

得x?-4x-7=l-7=-6,

即把已知条件适当变形，再整体代入解决问题.

迁移应用：

已知x=V5-2,求代数式/+以-10的值.

章末复习考点练习

考点一二次根式的概念和性质

1.下列式子中，可能不是二次根式的是（）

A.6B.JI

C.Vx2-1D.Vx2+I

2.下列各式中，正确的是（）

A.（V5）=5B.-V3^6=-0.6

C.J（-13）2=-13D.V36=±6

3.式子后霭成立的条件是（）

A.x>3B.x<l

C.l<x<3D.l<x<3

4化简二次根式-标的结果为（）

A.2a属B.-2V27

C.2aV-2aD.-2ay/2a

5.已知a,b分别为