复习题四教学设计高中数学湘教版2019选择性必修第二册-湘教版2019

-1-复习题四教学设计高中数学湘教版2019选择性必修第二册-湘教版2019教学设计课题课型新授课√□章/单元复习课□专题复习课□习题/试卷讲评课□学科实践活动课□其他□设计思路一、设计思路以复习题为载体，引导学生系统梳理本章核心知识（如数列通项与求和、导数应用等），通过典型例题巩固重点方法（如错位相减、分类讨论），设计基础题与综合题分层练习，落实“双基”提升能力。注重知识间联系（如数列与函数、导数与单调性渗透），强化数学思想方法，培养学生逻辑推理与数学运算素养，符合高三复习实际，实现从“学会”到“会学”的过渡。核心素养目标分析二、核心素养目标分析通过复习题四的探究，强化数学运算素养，提升数列求和与导数应用的运算准确性；培养逻辑推理能力，在数列通项推导、导数单调性分析中发展严谨推理；渗透数学抽象思想，从具体问题中抽象出数列与函数模型；结合实际应用，初步形成数学建模意识，体会数学与现实问题的联系，提升核心素养综合应用能力。学情分析三、学情分析学生已掌握数列通项公式、求和方法及导数单调性、极值等基础知识，但综合应用能力较弱，尤其对数列与导数结合的问题缺乏解题思路。逻辑推理能力参差不齐，部分学生分类讨论时易遗漏情况；数学运算准确性有待提升，错位相减、裂项求和等步骤易出错。学习习惯上，部分学生依赖教师讲解，自主梳理知识体系意识不足，解题书写不规范，影响复习效率。对复习题四的学习需注重基础巩固与方法提炼，通过分层例题引导，培养学生主动分析问题的习惯，提升综合应用能力。教学资源四、教学资源

软硬件资源：湘教版2019选择性必修第二册教材、多媒体教室设备、实物展台、学生错题本

课程平台：校内教学平台（复习题四专题资源包）

信息化资源：数列求和方法动态演示课件、导数应用典型题分析PPT、高考真题分类题库

教学手段：讲练结合法、小组合作探究法、错题精讲法、分层练习法教学过程（一）情境导入，明确目标（5分钟）

同学们，今天我们复习湘教版选择性必修第二册第四章的核心内容——数列与导数的综合应用。请大家看黑板上的问题：已知数列{an}的前n项和Sn=n²+2n，求an；函数f(x)=x³-3ax+1在[0,2]上单调递减，求实数a的取值范围。这两个问题分别涉及数列通项与求和、导数单调性，是本章的重点，也是高考的热点。通过本节课的复习，我们要系统梳理数列与导数的知识网络，提升综合解题能力，大家有没有信心？（学生：有！）

（二）知识梳理，构建网络（15分钟）

首先，我们一起回顾本章的核心知识点。请同学们思考：数列部分，我们学习了哪些求通项公式的方法？（学生齐答：公式法、Sn-an法、累加法、累乘法……）很好，那么求和方法呢？（学生：公式法、裂项相消、错位相减……）导数部分，单调性的判断步骤是什么？（学生：求导f'(x)，解f'(x)>0或f'(x)<0，写出单调区间。）极值与最值的求解关键点是什么？（学生：求导数，找极值点，比较端点与极值点的函数值。）

现在，我们把这些知识点用思维导图串联起来：数列通项→求和方法；导数单调性→极值→最值→实际应用。数列与导数的综合主要体现在哪些方面？（学生思考后回答：数列单调性用导数判断，构造函数求数列最值，参数范围求解等。）没错，比如数列{an}的单调性，可以通过研究函数f(x)=ax²+bx+c（对应an）的单调性来解决，这就是函数与数列的联系。

（三）例题探究，突破重难点（40分钟）

例1（数列通项与求和）：已知数列{an}满足a1=1，an+1=2an+1（n∈N*），（1）求{an}的通项公式；（2）求前n项和Sn。

同学们，先看第（1）问，递推关系是an+1=2an+1，这种类型我们学过什么方法？（学生：构造等比数列，两边加1。）对，设bn=an+1，则bn+1=2bn，所以{bn}是等比数列，公比2，首项b1=a1+1=2，所以bn=2·2n-1=2n，所以an=2n-1。很好，步骤很规范。

第（2）问，Sn=1+3+5+…+(2n-1)，这是等差数列求和，Sn=n[1+(2n-1)]/2=n²。但如果是an=n·2n-1，求和呢？（学生：错位相减法。）没错，我们一起回顾错位相减法的步骤：Sn=1·1+2·2+3·4+…+n·2n-1，两边乘公比2，得2Sn=1·2+2·4+3·8+…+n·2n，两式相减，Sn=-(1+2+4+…+2n-1)+n·2n=-(2n-1)+n·2n=(n-1)2n+1。这里要注意，等比数列求和时项数是n，公比不为1，最后不要忘记除以1-2（即-1）。

例2（导数单调性与极值）：已知函数f(x)=x3-3ax2+3（a∈R），（1）若f(x)在(0,+∞)上单调递增，求a的取值范围；（2）若f(x)在x=1处取得极值，求f(x)在[-2,2]上的最大值。

第（1）问，f'(x)=3x2-6ax，要使f(x)在(0,+∞)上单调递增，需f'(x)≥0在(0,+∞)上恒成立。即3x(x-2a)≥0，当x>0时，x-2a≥0，即a≤x/2，因为x>0，所以a≤0（因为x/2的最小值趋近于0）。这里要注意分类讨论：a≤0时，f'(x)≥0；a>0时，f'(x)在(0,2a)上小于0，不满足。所以a≤0。

第（2）问，f(x)在x=1处取得极值，所以f'(1)=0，即3-6a=0，a=1/2。此时f'(x)=3x2-3x=3x(x-1)，令f'(x)=0，得x=0或x=1。列表分析：x∈(-∞,0)，f'(x)>0，增；x∈(0,1)，f'(x)<0，减；x∈(1,+∞)，f'(x)>0，增。所以x=0是极大值点，x=1是极小值点。计算f(-2)=-8-3*(1/2)*4+3=-8-6+3=-11；f(0)=3；f(1)=1-3*(1/2)*1+3=1-1.5+3=2.5；f(2)=8-3*(1/2)*4+3=8-6+3=5。所以最大值是f(2)=5。这里要注意，求闭区间上最值，要比较端点、极值点的函数值，不要遗漏。

例3（数列与导数综合）：已知数列{an}满足an=n²+λn（λ∈R），且{an}是递增数列，求实数λ的取值范围。

同学们，数列{an}的递增性对应函数f(x)=x²+λx的单调性。因为f(x)的导数f'(x)=2x+λ，数列的定义域是正整数N*，要使{an}递增，需f(n+1)>f(n)对n∈N*恒成立，即(n+1)2+λ(n+1)>n2+λn，化简得2n+1+λ>0，即λ>-2n-1。因为n∈N*，-2n-1的最小值是-3（当n=1时），所以λ>-3。这里要注意，数列的单调性与函数单调性的区别：函数单调性是对定义域内所有x，而数列是对正整数n，所以可以用函数单调性来研究，但要注意n的取值范围。

（四）分层练习，巩固提升（25分钟）

现在，同学们完成以下练习，基础题组（必做）：1.数列{an}中，a1=2，an+1=an+2n，求an及Sn；2.函数f(x)=x3-6x2+9x+1的单调递减区间。提升题组（选做）：3.已知数列{an}的前n项和Sn=3n2-n，求证：{an}是等差数列；4.函数f(x)=alnx+x2-2x在(1,+∞)上单调递增，求a的取值范围。综合题组（挑战）：5.已知数列{an}满足an=3n-2n·λ（λ∈R），若{an}存在最大项，求λ的取值范围。

（学生练习，教师巡视，重点指导基础薄弱学生，提升题组引导学生思考方法，综合题组小组讨论。）

（五）总结反思，完善体系（15分钟）

同学们，我们一起来总结本节课的收获。数列部分，通项公式的方法有……，求和方法有……；导数部分，单调性判断的步骤是……，极值与最值的求解关键是……；数列与导数综合时，常用……思想（函数思想、分类讨论）。易错点有哪些？（学生：等比数列求和q=1的情况，分类讨论参数范围不全面，数列单调性与函数单调性的区别等。）没错，解题时要细心，步骤要完整，书写要规范。

布置作业：1.教材复习题四第1、3、5题；2.整理本节课的错题，写出错因分析；3.预习下一章“复数”，思考复数的几何意义。下课！拓展与延伸1.拓展阅读材料

（1）《数列求和的常用技巧补充》：教材中介绍了公式法、裂项相消法、错位相减法，补充“分组求和法”与“并项求和法”。例如，数列{an}通项an=(-1)n·n，可采用并项法：当n为偶数时，Sn=(-1+2)+(-3+4)+…+[-(n-1)+n]=n/2；当n为奇数时，Sn=(-1+2)+…+[-(n-2)+(n-1)]-n=(n-1)/2-n=-(n+1)/2。结合教材P120例题，对比裂项相消与分组求和的适用条件。

（2）《导数单调性讨论的完整分类》：教材中导数f'(x)=ax²+bx+c（a≠0）的单调性讨论需结合Δ符号。补充“a=0”的特殊情况，如f'(x)=bx+c，当b=0时，f'(x)恒为c，单调性由c符号决定；当b≠0时，需讨论c/b与区间端点关系。结合教材P98例3，完善含参函数单调性讨论的步骤：①求导；②解f'(x)=0；③列表分析参数对单调区间的影响。

（3）《数列与导数综合的典型模型》：教材中通过函数f(x)=x²+λx研究数列{an=n²+λn}的单调性，拓展“构造辅助函数法”解决递推数列问题。例如，an+1=can+d（c>0,c≠1），构造f(x)=cx+d，则数列{an}的单调性对应f(x)在正整数点的函数值大小关系。结合教材P132复习题4第5题，分析λ对数列最大项的影响，强化函数思想的应用。

（4）《数学思想方法在解题中的渗透》：教材中多次体现分类讨论（如导数含参问题）、数形结合（如函数单调性与数列项的大小关系）、函数与方程思想（如将数列问题转化为函数方程）。补充“转化与化归”案例：求数列{an=n·2n}前n项和时，通过构造Sn-2Sn转化为等比数列求和，体现复杂问题简单化的思想。

2.课后自主探究任务

（1）基础巩固：完成教材P134复习题4第7题（数列求和）、第9题（导数单调性），对比错位相减与裂项相消的步骤差异，总结两种方法的适用题型。

（2）方法提炼：探究数列{an}满足an+1=2an+3n（n∈N*），a1=1时的通项公式。尝试“待定系数法”与“构造法”两种思路，结合教材P108例题，分析递推关系中“指数型”与“多项式型”的处理方法。

（3）综合应用：研究函数f(x)=x3-ax2+bx在[1,2]上单调递增，求a+b的取值范围。结合教材P102例5，完善分类讨论逻辑：①f'(x)=3x²-2ax+b≥0在[1,2]上恒成立；②分离参数a、b，转化为函数最值问题。

（4）反思提升：整理本节课错题，分析错误原因（如等比数列求和漏掉q=1、分类讨论遗漏参数范围），撰写“错题反思日记”，记录解题中的数学思想方法应用过程。

（5）拓展阅读：查阅《普通高等学校招生全国统一考试数学考试大纲》，明确数列与导数在高考中的考查要求（如“理解等差、等比数列的概念，掌握通项公式与前n项和公式”“能利用导数研究函数的单调性、极值与最值”），结合教材习题，预测高考可能出现的综合题型。课堂七、教学评价

1.课堂评价：通过课堂提问检验学生对数列通项公式、求和方法的掌握程度，如“错位相减法的步骤有哪些”“导数单调性判断的关键点是什么”，观察学生解题时的逻辑推理和运算规范性，针对学生暴露的问题（如等比数列求和漏掉q=1、分类讨论不全面）及时纠正。通过分层练习测试，了解不同层次学生对基础题、提升题的完成情况，重点观察综合题解题思路是否清晰，数列与导数综合应用的转化能力是否达标，确保当堂学习目标达成。

2.作业评价：对教材复习题四的作业进行精细批改，关注通项公式推导的准确性（如Sn-an法应用是否规范）、导数单调性讨论的完整性（如含参函数是否分类讨论），标注典型错误并撰写点评语，如“数列{an=n²+λn}单调性分析时需注意函数f(x)=x²+λx在正整数点的单调性”。通过作业反馈，总结学生易错点，针对性设计后续巩固练习，鼓励学生整理错题本，强化数列与导数综合应用的方法体系，提升学习效果。课后拓展1.拓展内容：（1）阅读教材P136“阅读与思考：数列在分期付款中的应用”，理解数列模型在实际问题中的转化方法，结合复习题四第11题（分期付款方案设计）深化应用意识。（2）观看教材配套资源中“导数单调性分类讨论”专题视频，重点掌握含参函数f'(x)=ax²+bx+c（a=0,a≠0）的完整讨论步骤，完善P102例5的解题逻辑。（3）研究复习题