人教A版必修高三年级复习“数列的实际应用”教学设计

人教A版必修5高三年级复习“数列的实际应用”教学设计三溪中学数学组林爱武一、内容和内容解析必修5第二章《数列》这章中通过资产折旧、购房贷款、出租车计费、校校通等问题注重了数列知识在解决实际问题中的应用，体现了数列的应用性。高三第一轮复习时，本节的教学内容是继续深化应用数列知识建立数学模型解决实际生活中的问题。以往数列的内容比较注重数列中各量之间关系的恒等变形。本模块中，对数列内容的处理突出了函数思想、数学模型思想以及离散与连续的关系。数列是一种离散函数，它是一种重要数学模型。日常生活中遇到的许多问题，如贷款、利率、折扣、人口的增长、放射性物质的衰变等都可以用等差数列和等比数列来刻画。普通高中《数学课程标准》要求在数列的教学中，应保证基本技能的训练，引导学生通过必要的练习，掌握数列中各量之间的基本关系，但训练要控制难度和复杂程度。这体现了新《课标》在内容处理上的一个原则：删减烦琐的计算、人为技巧化的难题和过分强调细枝末节的内容。基于这样的原则，数列教学中要改变传统的纸上演化题型，花样翻新地搞偏题、怪题的做法，注重应用，关注学生对数列模型的本质的理解，以及运用数列模型解决实际问题的能力。二、目标和目标解析1、通过学生熟悉的数学实例和生活实例，进一步理解数列的有关定义、公式，掌握建立数学模型（数列模型）解决数列实际应用问题的一般步骤与方法。2、经历大量实例的解决，培养学生的归纳、猜想和推理能力以及应用函数与方程、化归和转化等数学思想解决实际问题的能力。3、在展示数学实际问题和解决具体问题的过程中,体会数列在解决实际生活问题中的作用，培养学生的创新意识，提高学生学习数学的兴趣，激发学生热爱生活,并能用数学的观点和方法看待生活中存在的问题，能解决问题。三、教学问题诊断分析1、本节教学中涉及到的都是实际生活中的问题，实际问题的特点是语句冗长、数据多、变量多数量关系隐蔽，问题提供的信息大都是“生活化”而非“数学化”的。因此，学生对信息的感悟能力较差，对已知与所求之间的关系认识不明确。这里需要引导学生仔细阅读，认真审题，找到现实问题与数学知识点之间的联系，找出量与量之间的关系，进行合理的转化与化归。另外，部分学生可能会对题中的一些专用名词不理解，如“复利”“单利”等，教师要适时地给予解释。2、部分学生可能对前面等差数列、等比数列的有关知识点理解的不够准确或掌握的不好，那么在解决本节问题时会遇到障碍，对建立哪种数列模型时会存在一些疑惑，教师要适时地让学生复习与回顾，使学生对前面的知识点有更深的认识。3、解决实际问题时，需要建立数学模型（数列模型），学生可能对建立数学模型的一般步骤认识得不明确。因此，要引导学生做到（1）审题：认真审题，准确理解题意；（2）建模：把实际问题转化为数学语言，列出题意中的数量关系；（3）求模：利用恰当的数学方法解决问题；（4）还原评价：对解出的结果代入原问题中进行检验、评判。因此，如何引导学生将生活问题转化为数学问题，建立数列模型去解决是本节课教学的难点。四、教学支持条件分析本节的教学应在复习了等差、等比数列，数列的求和及应用之后进行的。本节教学过程涉及到大量的实际问题，有些问题的篇幅较长。为了有效地利用课堂教学时间，给学生充分的思考时间，提高高三复习效率。课前就先将这些问题打印成一张练习纸（如附件一），提前分发给每一位学生，以便学生利用课余时间完成其中的“课前热身”练习。此外，理想的教学应该是在现代信息技术的支持下完成的。教学之前，将这些实际问题、建模的一般步骤及涉及到的数列的知识点做成幻灯片。为了规范学生的解题过程，可将部分问题解题过程做成幻灯片，辅助教学。教学过程设计（一）复习引入,构建知识点教师：现实生活中银行利率、资产折旧、购房贷款、出租车计费、产品利润、人口增长等实际问题,通常用数列知识加以解决.设计意图：点题，并指出数列在解决某些生活问题中的应用。用计算机的幻灯片给出如下问题，并让学生填空完成。1、常见数列模型：（1）.复利公式：按复利计算利息的一种储蓄，本金为a元，每期利率为r，存期为n，则本利和为；y=a(1+r)n（2）产值模型：原来产值的基础数为N,平均增长率为p,对于时间n的总产值为；y=N(1+p)n（3）.单利公式：利息按单利计算,本金为a元,每期利率为r,存期为n,则本利和为。y=a(1+nr)2、建立数学模型的一般方法步骤:（1）（2）（3）（4）.（1）审题（2）建模（3）求模（4）还原评价3、课前热身练习(见附件一)评讲教师对其中学生有疑惑的问题给予指导。设计意图：复习旧知引起新知，使学生从知识点上与解题方法上对本节课有了整体上的了解，为接下来利用数列模型解决问题铺平了道路。（二）、共同探究，整合知识点1.等差数列模型例1.为了参加2008年北京奥运会5000m长跑比赛，某运动员给自己制定了7天的训练计划：第1天跑5000m，以后每天比前一天多跑500m。这个运动员7天一共将跑多长的距离？问题：这个运动员第1天跑5000m，第二天，第三天等分别跑了多少米？可用什么符号表示每天跑的距离？7天共跑的距离与每天跑的距离有什么关系?师生活动：学生将前几天跑的距离写出来，并用an（n=1，2，…7）表示。引导学生根据等差数列的定义，判断{an}是等差数列，并用等差数列求和公式解决此问题,写出解题过程。设计意图：培养学生认真分析题意，建构等差数列模型，学会用等差数列模型解决实际问题。2.等比数列模型例2.某市2008年共有1万辆燃油型公交车，有关部门计划于2009年投入128辆电力型公交车，随后电力型公交车每年的投入比上一年增加50%，试问：（1）该市在2015年应该投入多少辆电力型公交车？（2）到哪一年底，电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的1/3？问题1：从2009年投入128辆电力型公交车起，2010年，2011年等分别投入多少辆电力型公交车？可用什么符号表示每年投入车的数量？问题2：从2009年投入电力型公交车起到第n年总投入的电力型公交车数量是多少？和该市公交车总量的1/3有什么关系？师生活动：引导学生将每年投入的电力型公交车数量用an(n=1,2,…)表示，由等比数列的定义知{an}是等比数列，建立等比数列模型，再由等比数列求和公式解决。设计意图：培养学生认真分析题意，建构等比数列模型解决有关增长率的问题，同时培养学生分析问题和解决问题的能力。3.等差、等比数列综合问题模型例3.在一次人才招聘上，有A，B两家公司分别开出他们的工资标准：A公司允诺第一年月工资数为1500元，以后每年月工资比上一年月工资增加230元；B公司允诺第一年月工资数为2000元，以后每年月工资在上一年月工资基础上递增5%，设某人年初被A，B两家公司同时录取，试问：（1）若该人分别在A公司或B公司连续工作n年，则他在第n年的月工资收入分别是多少？（2）该人打算连续在一家公司工作10年，仅从工资收入总量较多作为应聘的标准（不记其他因素），该人应该选择哪家公司，为什么？问题1：A公司，B公司每年月工资分别成什么数列？如何用数学符号表示？问题2：如何计算10年的工资收入总量？两家公司的工资收入总量有什么关系？师生活动：经过例1，例2的学习，学生可以将A公司每年的月工资用首项为1500，公差为230的等差数列{an}表示，将B公司每年的月工资用首项为2000，公比1.05的等比数列{bn}表示。并利用数列求和公式分别计算两家公司10年的工资收入总量S10、T10，比较S10、T10的大小，用比较的结果回答本例题，作出评价。设计意图：取材于工资收入问题，反映社会经济生活，突出数学在解决问题中的价值.激发学生的学习兴趣，培养学生阅读理解能力，建立数学模型，将时间问题转化为数学问题并加以解决。4.递推数列模型例4.某地区原有森林木材存量为a，且每年增长率为25%，因生产建设的需要每年年底要砍伐的木材量为b,设an为n年后该地区森林木材存量。（1）求an的表达式；（2）为保护生态环境，防止水土流失，该地区每年的森林木材存量不少于7/9a,如果b=19/72a,那么该地区今后会发生水土流失吗？若会，需经过几年？问题1：分别写出第1年后，第2年后，第3年后的木材存量a1，a2，a3，观察有什么规律？并猜想an与an-1之间有何关系？如何求出an?问题2：如何将（2）转化为数学问题？用什么数学式子表示该问题？师生活动：学生仔细阅读，认真审题，找到现实问题与数学知识点之间的联系，找出量与量之间的关系an=1.25*an-1-b，引导学生通过建立递推关系式，构造等比数列，行合理的转化与化归。设计意图：培养学生归纳、猜想能力和转化与化归能力，同时培养学生学会构造数列递推关系模型，解决实际问题。使学生应用数列模型解决问题的能力进一步提高。（三）、课堂练习，熟练知识点练习：某下岗职工准备开办一个商店，要向银行贷款若干，这笔贷款按复利计算(即本年利息计入下一年的本金生息)，利率为q(0＜q＜1).据他估算，贷款后每年可偿还A元，30年后还清.（1）求贷款金额；（2）若贷款后前7年暂不偿还，从第8年开始，每年偿还A元，仍然在贷款后30年还清，试问：这样一来，贷款金额比原贷款金额要少多少元?设计意图：拓宽学生的知识面，培养学生热爱生活，形成用数学的意识。从数学角度看，本例是解决与数列有关的应用问题.必须认真审题，弄清题意，解决问题的关键在于理解复利的概念及其运算。对学生熟练数列知识，建立模型解决实际问题有极大的帮助。（四）、反思提炼，巩固知识点问题：本节课中我们探究了哪些数列模型解决实际问题？建立数学模型应注意什么问题?你在哪些方面有了提高？师生活动：（1）建立数列模型时，应明确是等差数列模型还是等比数列模型，还是递推数列模型；（2）解应用题时，应认真审题，弄清题意，把文字语言转化为数学符号语言，准确地建立数学模型，这是解题的关键；（3）对解出的结果代入原问题中进行检验、评判；（4）学会应用函数与方程、化归与转化等数学思想方法解决数列综合问题。设计意图：将本节的主要内容以问题的形式呈现，让学生通过思考和回答问题，既评价了学生对本节内容的理解程度，又达到了回顾和小结的目的。六、目标检测设计1、200根相同的钢管（圆柱形），把它们堆成一个尽可能大的三角形垛，剩余的钢管要尽可能少，再将剩余的钢管堆成一个小三角形垛，能否做到没有结余？试说明理由．2、一个球从a米高处自由落下，每次着地后又跳回到原来高度的一半后再落下，问当它第5次着地时，共经过多少米？3、某市1995年底人口为500万，人均居住面积为10平方米，如果该城市每年人口平均增长率为1%，每年平均新增住房面积为50万平方米，到2005年底该城市人均住房面积是多少平方米？增加了？还是减少了？说明了什么问题？（精确到0.01平方米4、轻纺城的一家私营企业主，一月初向银行贷款一万元作开店资金，每月月底获得的利润是该月月初投入资金的，每月月底需要交纳房租和所得税为该月所得金额（包括利润）的，每月的生活费开支300元，余款作为资金全部投入再经营，如此继续，问该年年底，该私营企业主有现款多少元？如果银行贷款的年利率为，问私营企业主还清银行贷款后纯收入还有多少元？设计意图：第1题建立等差数列模型进行解决，第2题建立等比数列模型进行解决，第3题建立等差、等比数列综合问题模型进行解决，第4题建立递推数列模型进行解决。练习与本节课的教学内容相配套，用本节学到的知识点与方法解决上述练习，极大地巩固本节课的教学成果。【问题研讨】在本节课的设计过程中，本人在以下几个方面存在一些疑惑：新课程教学中高三第一轮复习应采用怎样的模式组织课堂教学，最有效。如何设置课堂问题的提问，引导学生积极有效地思考。【参考资料】数学课程标准研制组:《数学课程标准（实验）解读》，江苏教育出版社2005年7月版。浙江省教育厅教研室编印:《课前培训资料汇编数学高一下》，2007年1月人民教育出版社编著:《数学必修5》，2006年9月附件一一、课前热身1.某种细胞开始有2个，1小时后分裂成4个，2小时后分裂成8个，3小时后分裂成16个…，按此规律，6小时后细胞的个数是(D)(A)63(B)64(C)127(D)1282.一种专门占据内存的计算机病毒开始时占据内存2KB，工作时3分钟自身复制一次（即复制后所占内存是原来的2倍），那么，开机后____45___分钟，该病毒占据64MB（1MB=210KB）3.某产品的成本每年降低q%，若三年后成本是a元，则现在的成本是(C)(A)a(1+q%)3元(B)a(1-q%)3元(C)a(1-q%)-3元(D)a(1+q%)-3元4.某人到银行存了10000元，利息按单利计算，年利率为5%，则他在10年后的为15000元二、例题分析例1.一梯形的上、下底长分别是12cm，22cm，若将梯形的一腰10等分，过每一个分点作平行于底边的直线，求这些直线夹在两腰之间的线段的长度的和.例2.某市2003年共有1万辆燃油型公交车，有关部门计划于2004年投入128辆电力型公交车，随后电力型公交车每年的投入比上一年增加50%，试