提公因式法课件2025-2026学年北师大版八年级数学下册

4.2提公因式法

第1课时

提公因式为单项式的因式分解复习导入问题1：多项式

ma+mb+mc有哪几项？问题2：每一项的因式都分别有哪些？问题3：这些项中有没有公共的因式？若有，公共的因式是什么？ma，mb，mc依次为

m，a；m，b；m，c有，为

m旧知回顾因式分解的概念:把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做因式分解.多项式整式的积a3-aa(a+1)(a-1)ma+mb+mcm(a+b+c)acb

b(a+c)

ab+bc

=b

bb=索新知探

我们把多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式的公因式。b授新知讲ab+bc=bb(a+c)如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。这种因式分解的方法叫做提公因式法。新知探究探究点一：确定公因式问题

观察下列多项式，它们有什么共同特点?mb2

+

nb－b相同的因式

b3x2＋

x相同的因式

x

ab

+

bc相同的因式

b我们把多项式各项都含有的相同因式，叫作这个多项式各项的公因式.新知探究【想一想】尝试将这几个多项式分别写成几个因式的乘积.(1)

ab

+

bc；(2)

3x2

+

x；(3)

mb2

+

nb－b.b(a

+

c)x(3x

+

1)b(mb

+

n－1)探究点一：确定公因式新知探究

(1)多项式

2x2+6x3

中各项的公因式是什么？系数：最大公约数2字母：相同的字母x

所以公因式是

2x2.指数：相同字母的最低次幂2(2)你能尝试将多项式

2x2+6x3

因式分解吗?2x2+6x3＝2x2(1+3x)【尝试·交流】探究点一：确定公因式新知探究正确找出多项式各项公因式的关键是：1.定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数.2.定字母：字母取多项式各项中都含有的相同的字母.3.定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母最低次幂.【归纳总结】探究点一：确定公因式新知探究1.写出下列多项式的公因式.（1）x-x2；（2）4abc+2a；（3）abc-b2+2ab；（4）a2+ax2.x2aba【练一练】探究点一：确定公因式公共因式ppa+pb+pc观察,这个多项式有什么特点?概念学习公因式的概念与确定公因式的步骤:我们把多项式各项都含有的相同因式,叫做这个多项式各项的公因式.原式=3·x·x-2·3·x·y例1找出3x2–6xy的公因式.变形:1.相同的因式有哪些?数字3,字母x.2.3和6之间有什么关系？3恰好是3和6的最大公约数.3.为什么不取y？第2项有y,第1项没有y.4.x应该取多少个?为什么?1个;右项只能提供1个x.典例解析例1找出3x2–6xy的公因式.系数:最大公约数3字母:共同含有的字母11典例解析x指数:相同字母的最低次幂所以,公因式是3x1.确定公因式的步骤:1.定系数:公因式的系数取多项式各项系数的最大公约数;2.定字母:字母取多项式各项都含有的,相同的字母;3.定指数:相同字母的指数,取各项中最小的一个,即每个字母的最低次幂.总结归纳分析:提公因式法步骤(分两大步)第一步:找出公因式;第二步:除以公因式,找到剩余部分,将多项式化为两个因式的乘积.格式1:照抄1遍原式格式2:原式=典例解析例2用提公因式法分解因式:8a3b2+12ab3c.

8a3b2+12ab3c=4ab2·2a2+4ab2·3bc=4ab2(2a2+3bc).解:原式=4ab2·2a2+4ab2·3bc=4ab2(2a2+3bc).解:（1）2x2+4x=2(x2+2x)；（2）2x2+4x=x(2x+4)；（3）2x2+4x=2x(x+2).第几位同学的结果是正确的?用提公因式法分解因式应注意哪些问题呢？第3位同学的结果正确,括号内(x+2)无法继续提公因式了.易错分析思考:以下是三名同学对多项式2x2+4x分解因式的结果:因式分解:12x2y+18xy2.解:原式=3xy(4x+6y).注意:1.提公因式要提尽.问题1:小明的解法对吗?错误!易错分析公因式没有提尽,还可以提出公因式2.正解:原式=3xy·2(2x+3y)=6xy(2x+3y).正解:原式=x·3x-x·6y+x·1=x(3x-6y+1).解:原式=x(3x-6y).因式分解:3x2-6xy+x.易错分析问题2:小亮的解法错在哪?漏了!当多项式的某一项和公因式相同时,提公因式后,剩余的项是1.注意:2.长相雷同莫漏1.解:原式=-x(x+y-z).易错分析因式分解:-x2+xy-xz.问题3:小华的解法有误吗?符号!提出负号时,括号内的项没有变号.正解:原式=-(x2-xy+xz)=-x(x-y+z)注意:3.首项提负要变号.新知探究例1

把下列各式因式分解：解：(1)原式

=2m·n+2m

·2m=2m(n+2m).(2)原式

=7p·p－7p·3=7p(p－3).(3)原式

=ab·8a2b－ab·12b2c＋ab·1=ab(8a2b－12b2c＋1).(4)

原式

=－(24x3－12x2+28x)=－(4x·6x2－4x·3x+4x·7)=－4x(6x2

－3x+7).探究点二：提单项式因式分解新知探究

当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出

“-”

号，使括号内第一项的系数成为正数.在提出“-”号时，多项式的各项都要变号.【归纳总结】探究点二：提单项式因式分解新知探究提公因式法因式分解与单项式乘多项式有什么关系?p(a+b+c)pa+pb+pc因式分解整式乘法因式分解与整式乘法互为逆变形探究点二：提单项式因式分解课堂小结因式分解提公因式法(单项式)确定公因式的方法：三定，即定系数、定字母、定指数分两步：第一步找公因式；第二步提公因式注意1.分解因式是一种恒等变形；2.公因式：要提尽；3.不要漏项；4.提负号，要注意变号当堂反馈1.对多项式3x2－3x因式分解，提取的公因式为(

C

)A.3B.xC.3xD.3x2C2.把多项式a2－4a因式分解，结果正确的是(

A)A.a(a－4)B.(a＋2)(a－2)C.a(a＋2)(a－2)D.(a－2)2－4A当堂反馈3.若ab＝－3，a－2b＝5，则a2b－2ab2的值是

.4.因式分解与简便计算.(1)a2b＋ab2；解：原式＝ab(a＋b).(2)