沪科版数学八年级下册第18章 勾股定理及其逆定理 单元拔尖检测卷

沪科版数学八年级下册第18章勾股定理及其逆定理单元拔尖检测卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分)1．若一个三角形的三边长分别是7，24，25，则它的面积是（)A．84 B．87.5 C．168 D．3002．在下列条件中，能确定△ABC是直角三角形的条件是（)A．∠A＋∠B＝2∠C B．AB∶AC∶BC＝1∶1∶2C．（AC＋BC)（AC－BC)＝AB2 D．∠A－∠B＝90°3．如图，木门的对角线长度（）A．在2.2m~2.3m之间 B．在2.3m~2.4m之间C．在2.4m~2.5m之间 D．在2.5m~2.6m之间4．已知△ABC三边长分别为a，b，c，且满足a−1+|b−A．以c为斜边长的直角三角形 B．以b为斜边长的直角三角形C．以a为斜边长的直角三角形 D．等腰三角形5．如图所示，有一块直角三角形纸片ABC，∠ACB＝90°，BC＝6cm，AB＝10cm，点D在BC边上，将纸片沿AD翻折，使得点B恰好落在直角边AC的延长线上的点E处，则BD的长为（)A．2cm B．103cm C．83cm6．我国是最早了解勾股定理的国家之一．据《周髀算经》记载，勾股定理的公式与证明是在西周由商高发现的，故又称之为“商高定理”；三国时代的赵爽对勾股定理作出了详细注释，并给出了另外一个证明．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（)A． B．C． D．7．如图，把△ABC放在平面直角坐标系xOy中，AC＝BC＝5，点A，B的坐标分别为（－4，0)，（2，0)，将△ABC沿x轴向右平移，当点C落在直线y＝x－4上时，线段BC扫过的面积为（)A．18 B．24 C．27 D．368．如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形拼成的正方形图案，已知大正方形的面积为49，小正方形的面积为4，若用x，y分别表示直角三角形的两条直角边长（x>y)，下列四个说法：①x＋y＝9；②y－x＝2；③2xy＋4＝49；④x2＋y2＝49.其中正确的是（)A．①② B．②④ C．③④ D．①②③9．如图在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，按以下步骤作图：①以B为圆心，任意长为半径作弧，分别交BA，BC于M，N两点；②分别以M，N为圆心，以大于12MN的长为半径作弧，两弧相交于点P；③作射线BP，交边AC于D点．若AC＝4，BC＝3，则△ABDA．154 B．152 C．9410．如图，AD是等边三角形ABC的边BC上的高，在AD，AC上分别取一点E，F，使AE＝CF，连接BE，BF.若AD＝3，设m＝BE＋BF，则m的最小值为（)A．23 B．22 C．2 D．3二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分)11．如图，将一副三角尺ABC，ADE叠放在一起，顶点C在边AE上，边AD与边BC交于点F，若AB＝2cm，则AF的长为cm.12．七巧板是我们祖先的一项伟大创造，被誉为“东方魔板”．在一次“美术制作”活动课上，小明用边长为4的正方形纸片制作了如图①所示的七巧板，并设计了一幅作品放入长方形ABCD中（如图②)，则AB的长为．13．如图，在△ABC中，高AD，BE相交于点H，连接DE，若BD＝AD，BE＝5，AE＝2，则DE＝．14．如图，在△ACB和△DCE中，∠ACB＝∠DCE＝90°，CA＝CB，CD＝CE，分别连接AD，EB，延长EB，交AD于点F，连接CF.（1）∠ADC＋∠DEF＝；（2）若DFDE=13，则三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分)15．《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＋AB＝10，BC＝4，求AC的长．请你解答这个问题．16．如图，小巷左右两侧是竖直的高度相等的墙，一根竹竿斜靠在左墙时，竹竿底端O到左墙脚的距离OC为2米，顶端B距墙顶的距离AB为1米，若保持竹竿底端位置不动，将竹竿斜靠在右墙时，竹竿底端到右墙脚的距离OF为3米，顶端E距墙顶的距离DE为2米，点A，B，C在一条直线上，点D，E，F在一条直线上，AC⊥CF，DF⊥CF.求：（1）墙的高度；（2）竹竿的长度．四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分)17．某中学有一块四边形的空地ABCD，如图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量∠A＝90°，AB＝3m，AD＝4m，CD＝12m，BC＝13m．若每平方米草皮需要200元，问学校需要投入多少资金买草皮？18．图①、图②、图③均是4×3的网格，其中每个小方格都是边长相等的正方形，其顶点称为格点．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作△ABC，使△ABC的顶点均在格点上．（1）在图①中，△ABC是面积最大的等腰三角形；（2）在图②中，△ABC是面积最大的直角三角形；（3）在图③中，△ABC是面积最大的等腰直角三角形．五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分)19．定义：若一个三角形一边上的中线、高线与这条边均有交点，则这两个交点之间的距离称为这条边上的“中高距”．如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线，AE为BC边上的高线，则DE的长称为BC边上的“中高距”．（1）若BC边上的“中高距”为0，则△ABC的形状是三角形；（2）若∠B＝30°，∠C＝45°，AB＝4，求BC边上的“中高距”DE.20．如图，在平面直角坐标系中，OA2＝A2A4＝A4A6＝A6A8＝A8A10＝A10A12＝…＝2，△OA1A2，△A4A5A6，△A8A9A10，…都是等边三角形；△A2A3A4，△A6A7A8，△A10A11A12，△A14A15A16，…都是等腰直角三角形．（1）直接写出点A19，A20，A2027，A2028的坐标；（2）n是正整数，用含n的式子表示下列坐标：An的横坐标为；A4n＋3的坐标为．六、（本题满分12分)21．如图，在△ABC中，∠C＝90°，P，D，E三点分别在AB，AC，BC边上，∠DPE＝90°.（1）若CD＝4，PD＝5，CE＝8，则PE＝；（2）若AP＝AD，求证：∠A＝2∠BPE；（3）若P为AB的中点．求证：AD2＋BE2＝DE2.七、（本题满分12分)22．《九章算术》是世界上较早给出勾股数公式的著作，掌握确定勾股数组的方法对研究直角三角形具有重要意义．若直角三角形的三边长a，b，c都是正整数，则a，b，c为一组“勾股数”．下表中的每一组数都是勾股数．3，4，57，24，2511，60，6115，112，11319，180，18112，16，208，15，1712，35，3716，63，6520，21，295，12，139，12，1513，84，8517，144，14521，28，356，8，1010，，2614，48，5018，80，8222，120，122（1）请补全上表中的勾股数．（2）根据上表中数据规律，用含字母（均为正整数)的代数式分别表示a，b，c，使该组代数式能表示上表中所有的勾股数，并证明．（3）某校计划在一块绿地上种花，使之构成如图所示的图案，该图案是由四个全等的直角三角形组成．种花要求：仅在三角形边上种花，每个三角形顶点处都种一株花，各边上相邻两株花之间的距离均为1m．如果每个三角形最短边都种21株花，那么这块绿地最少需要种植多少株花？八、（本题满分14分)23．用一副三角尺摆放三种不同图形．在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝CB；在△DEF中，∠DEF＝90°，∠EDF＝30°.（1）如图①，当顶点B摆放在线段DF上时，过点A作AM⊥DF，垂足为点M，过点C作CN⊥DF，垂足为点N，请在图①中找出一对全等三角形，并说明理由；（2）如图②，当顶点B在线段DE上，且顶点A在线段EF上时，过点C作CP⊥DE，垂足为点P，猜想线段AE，PE，CP之间的数量关系，并说明理由；（3）如图③，当顶点A在线段DE上，且顶点B在线段EF上时，若AE＝5，BE＝2，连接CE，则△AEC的面积为．

答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】解：∵∴这个三角形是直角三角形，∴面积为：1故答案为：A.【分析】先根据勾股定理逆定理证明三角形是直角三角形，再利用面积公式求解即可.2．【答案】C【解析】【解答】解：A：∵∠A＋∠B＝2∠C，则5∠C=180°，解得∠C=36°，∠A=∠B=72°，不是直角三角形；

B：设AB=AC=a，则BC=2a，∵a+a=2a，不能构成三角形，不是直角三角形；

C：（AC＋BC)（AC－BC)=AC2-BC2=AB2，即AB2+BC2=AC2，故∠B是直角，是直角三角形；

D：∠A－∠B＝90°可得∠A是钝角，不是直角三角形；故答案为：C.【分析】根据三角形的内角和定理，勾股定理的逆定理，三角形三边关系逐项判断解答即可.3．【答案】A4．【答案】A【解析】【解答】解：根据题意可得，a=1，b=2，c=3∵a2+b2=1+2=3=c2

∴构成了以c为斜边的直角三角形

故答案为：A.【分析】根据非负数的性质分别计算得到a，b以及c的值，继而由勾股定理证明得到三条边围成直角三角形即可。5．【答案】B【解析】【解答】解：∵∠ACB=90∴AC=设BD=xcm，则CD=BC-BD=(6-x)cm.由折叠的性质可得DE=BD=xcm，AE=AB=10cm，∴CE=AE−AC=10−8=2在Rt△DCE中，由勾股定理得CD2解得x=103故答案为：B.【分析】根据勾股定理求出AC长，然后根据折叠得到CE=2，然后在Rt△DCE中，根据勾股定理求出BD长解答即可.6．【答案】C【解析】【解答】解：A.大正方形的面积为a+b2,也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为12B.梯形的面积为12a+ba+b=12(C.不涉及直角三角形，故无法证明勾股定理，故本选项符合题意；D.如图，图形面积等于边长为c的正方形面积，加上2个直角边分别为a，b的直角三角形面积，即其面积为c2+ab,也可看作是一个梯形面积加上一个等腰直角三角形的面积，如图，则其面积为12a+b2【分析】根据用整体和局部两种方法表示图形的面积，然后整理判断解答即可.7．【答案】D【解析】【解答】解：如图，过点C作CD⊥x轴于点D，CC'∥x轴交直线y=x-4于点C'，∵点A，B的坐标分别为(-4，0)，(2，0)，∴AB=2+4=6，∵AC=BC=5，CD⊥AB，∴AD=DB=3，在Rt△ACD中，CD=∴C(-1，4)，将y=4代入y=x-4，即4=x-4，解得x=8，∴CC'=8-(-1)=9，即平移距离为9，

∴线段BC扫过的面积为CC'×CD=9×4=36.故答案为：D.【分析】过点C作CD⊥x轴于点D，CC'∥x轴交直线y=x-4于点C'，先分别求出点A和B的坐标，再根据三线合一和勾股定理求出CD长，得到点C的坐标，然后把y=4代入解析式求出C'的横坐标，再根据线段BC扫过的面积为CC'×CD解答即可.8．【答案】C【解析】【解答】解：如图所示，∵正方形ABGF的面积为49，∴A∵△ABC是直角三角形，∴根据勾股定理得：x2+y∵正方形CDHE的面积为4，∴CE=CD=EH=DH=2,∴x−y=CE=2,故②错误；

由图可知，四个直角三角形的面积与小正方形的面积之和为大正方形的面积，列出等式为4×即2xy+4=49，故③正确；由2xy+4=49可得2xy=45，又∵两式相加得：x整理得：x+yx+y=94≠9,故故正确的是③④.故答案为：C.【分析】根据勾股定理和正方形的性质即可得到x2+y2=AB2=49,即可判定④；根据图形可知x-y=CE=2，即可判断②9．【答案】A【解析】【解答】解：根据题意可知BD是∠ABC的角平分线，过D点作DH⊥AB于H点，∴DC=DH，∵AC=4，BC=3，∴AB=∵∠C=∠DHB=90°，∠HBD=∠CBD，BD=BD，∴△BHD≌△BCD(AAS)，∴BC=BH，设AD=x，则CD=DH=4-x，BC=BH=3，AH=AB-BH=2，由勾股定理可得x解得x=∴AD=52,

∴∴S△ABD=1【分析】由题意可得BD是∠ABC的角平分线，根据角平分线的性质可得DC=DH，利用勾股定理求得AB=5，证明△BHD≌△BCD，可得BC=BH，设AD=x，则CD=DH=4-x，BC=BH=3，AH=AB-BH=2，利用勾股定理列方程求出AD长，即可得到DH长，然后根据三角形的面积公式计算即可.10．【答案】B【解析】【解答】解：连接CE，∵AD是等边△ABC边BC上的高，∴直线AD是等边.△ABC的对称轴，∴BE=CE,过C作CH⟂BC,且CH=BC，连接BH，连接FH，∵△ABC是等边三角形，AD⟂BC,AD=∴AC=BC=2,∠BAC=6∴AC=CH,∵AD⟂BC,CH⟂BC,∴∠DAC=∠BAD=3∴∠ACH=∠DAC=3∵AE=CF,∴△AEC≌△CFH(SAS),∴CE=HF,∴m=BE+BF=CE+BF=HF+BH⩾BH，∴m的最小值为BH，又·.⋅CH=BC,CH⟂BC,∴△BCH是等腰直角三角形，∴BH=故答案为：B.【分析】连接CE，证明出.BE=CE，再过C作CH⟂BC,且CH=BC，连接BH，FH，先证△AEC≅△CFH，得CE=HF，推出m的最小值为BH，再由△BCH是等腰直角三角形，求出BH即可.11．【答案】2【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，AB=2cm,∠B=30∘∵BC‖DE,

∴∠AFC=∠D=4∴△ACF为等腰直角三角形，

∴AF=故答案为：2.【分析】根据30°的直角三角形的性质求出AC长，然后根据等腰直角三角形的性质和勾股定理求出AF长解答即可.12．【答案】32＋3【解析】【解答】解：如图，由七巧板的切割方法可知，EF=22∵AE等于以EF为腰的等腰直角三角形底边上的高，∴AE=FH=4×∴AB=AE+EF+FH+HB=1+故答案为：3【分析】由七巧板的切割方法可推出AE、EF、FH、HB的长，从而得出AB的长.13．【答案】3【解析】【解答】解：如图，过点D作.DN⟂DE交BE于点N，∵高AD，BE相交于点H，∴∠BDH=∠ADC=∠AEB=9∴∠DAC+∠AHE=∠DBH+∠BHD=9∵∠AHE=∠BHD,∴∠DAC=∠DBH,即∠NBD=∠EAD,∵DN⟂DE,∴∠NDE=90∘在△ADE和△BDN中，∠∴△ADE≌△BDN(ASA),∴DN=DE,BN=AE=2,∴NE=BE−BN=5−2=3∵∠NDE=9∴DE=故答案为：322.

【分析】过点D作DN⟂DE交BE于点N，根据直角三角形的性质、角的和差求出∠NBD=∠EAD,∠BDN=∠ADE,14．【答案】（1）45°（2）4−【解析】【解答】解：(1)∵∠ACB=∠DCE=90°，∴∠ACB-∠BCD=∠DCE-∠BCD，即∠ACD=∠BCE，∵CA=CB，CD=CE，∴△ACD≌△BCE(SAS)，∴∠ADC=∠BEC.∵∠CED=45°，∴∠ADC+∠DEF=∠BEC+∠DEF=45°.故答案为：45°；(2)如图，过点C作CG⊥CF，交BE于点G，∴∠ECG=∠DCF，∵△ACD≌△BCE，∴∠CEG=∠CDF.∵CE=CD,∴△CEG≅△CDF(ASA),∴EG=DF,CG=CF,∴FG=∵EF=EG+FG,∴EF=DF+由(1)知，∠CDF+∠DEF=4∴∠CDF+∠CDE+∠DEF=9∴∠DFE=9∵设DF=x，则.DE=3x,EF=∴x+∴CF=∴故答案为：4−【分析】(1)证明△ACD≅△BCE(SAS),利用全等三角形的性质以及三角形内角和定理即可解决问题.(2)过点C作CG⟂CF,，交BE于点G，证明△CEG≅△CDF,设DF=x，则DE=3x，EF=22x,CF=15．【答案】解：∵AC＋AB＝10，

∴AB＝10－AC.∵在Rt△ABC中，AC2＋BC2＝AB2，BC＝4，∴AC2＋42＝（10－AC)2，

解得AC＝4.2.【解析】【分析】在Rt△ABC中利用勾股定理建立方程即可求出AC.16．【答案】（1）解：设墙的高度为x米，则BC＝（x－1)米，EF＝（x－2)米．在Rt△BCO中，BO2＝BC2＋CO2＝（x－1)2＋22，在Rt△EFO中，EO2＝EF2＋FO2＝（x－2)2＋32，由题意可知BO＝EO，∴（x－1)2＋22＝（x－2)2＋32，

解得x＝4.∴墙的高度为4米．（2）解：BO＝(4−1)2∴竹竿的长度为13米．【解析】【分析】(1)先根据勾股定理求出OB的长，同理可得出OE的长，进而可得出结论；2OB217．【答案】解：如图，连接BD.∵∠A＝90°，AB＝3m，AD＝4m，∴在Rt△ABD中，BD＝AB又∵CD＝12m，BC＝13m，∴BD2＋CD2＝52＋122＝132＝BC2，∴△BDC是直角三角形，且∠BDC＝90°，∴S四边形ABCD＝S△ABD＋S△CBD＝12AB×AD＋12BD×CD＝12×3×4＋136×200＝7200（元)，∴学校需要投入7200元买草皮．【解析】【分析】连接BD，在直角三角形ABD中可求得BD的长，由BD、CD、BC的长度关系可得三角形DBC为一直角三角形，DC为斜边；然后根据四边形ABCD面积为Rt△ABD和Rt△DBC的面积和解答即可.18．【答案】（1）解：如图①，△ABC即为所求．（答案不唯一)（2）解：如图②，△ABC即为所求．（答案不唯一)（3）解：如图③，△ABC即为所求．（答案不唯一)【解析】【分析】(1)根据等腰三角形的定义以及题目要求画出图形即可；

(2)根据直角三角形的定义以及题目要求画出图形即可；(3)作一个腰为10的等腰直角三角形即可.19．【答案】（1）等腰（2）解：在Rt△ABE中，∠B＝30°，AB＝4，∴AE＝12∴BE＝AB2+A在Rt△ACE中，∠C＝45°，AE＝2，∴易得CE＝AE＝2，∴BC＝BE＋CE＝23＋2.∵点D为BC的中点，∴CD＝12BC＝3∴DE＝CD－CE＝3－1.【解析】【解答】解：(1)∵BC边上的“中高距”为0，∴△ABC中BC边上的中线、高线重合，∴AD垂直平分BC，∴AB=AC,∴△ABC的形状是等腰三角形，故答案为：等腰；【分析】(1)利用垂直平分线的性质即可解答；(2)根据含：30∘角的直角三角形的性质求出.AE=2，BE=2320．【答案】（1）解：∵OA2＝A2A4＝A4A6＝A6A8＝A8A10＝A10A12＝…＝2，∴A2n＝（2n，0)，n是正整数，∴A20（20，0)，A2028（2028，0)．∵△A2A3A4，△A6A7A8，△A10A11A12，△A14A15A16，…都是等腰直角三角形，∴A3，A7，A11，A15，…的纵坐标均为－1.∴A4n＋3（4n＋3，－1)，n是自然数．∵19＝4×4＋3，2027＝4×506＋3，∴A19（19，－1)，A2027＝（2027，－1)．（2）n；（4n＋3，－1)【解析】【解答】(2)解：由(1)中.A2n=2n当n是正整数时，An故答案为：n，(4n+3，-1).【分析】(1)由平面直角坐标系及所给的图形可找到规律.A2n=(2n，0)，n是正整数；A4n+14n+13,21．【答案】（1）55（2）证明∵AD＝AP，∴∠APD＝∠ADP.∴∠APD＝12（180°－∠A)＝90°－1∵PE⊥PD，∴∠BPE＝180°－90°－(90°−∴∠A＝2∠BPE.（3）证明：如图，过A作AF∥BC，交EP的延长线于F，连接DF，则∠PAF＝∠B.∵∠C＝90°，∴∠DAF＝90°.∵P为AB的中点，∴AP＝BP.又∵∠APF＝∠BPE，∴△AFP≌△BEP（ASA)，∴PF＝PE，AF＝BE.又∵∠DPE＝90°，∴DE＝DF.∵在Rt△ADF中，AD2＋AF2＝DF2，∴AD2＋BE2＝DE2.【解析】【解答】解：（1）∵在△CDE中，∠C＝90°，CD＝4，CE＝8，∴DE2＝CD2＋CE2＝80.又∵在△DPE中，∠DPE＝90°，PD＝5，∴PE2＝DE2－PD2＝80－25＝55，∴PE＝55.故答案为：55；

【分析】(1)由勾股定理可得DE2=80,再运用勾股定理可得求解即可；

(2)由等腰三角形的性质可得∠APD=180∘−∠A2，再根据平角的定义结合已知条件可得.∠BPE=180∘22．【答案】（1）24（2）解：a=km证明：a===