勾股定理的逆定理及其应用课件2025-2026学年人教版八年级数学下册

20.2勾股定理的逆定理及其应用第1课时

B

C

A

1.勾股定理的内容是什么?

如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么.bca2.求以线段a，b为直角边的直角三角形的斜边c的长：①

a＝3，b＝4；②

a＝2.5，b＝6；③a＝4，b＝7.5.c=5c=6.5c=8.51.掌握勾股定理逆定理的具体内容，能准确判断已知三边长的三角形是否为直角三角形.2.识别常见勾股数，明确勾股定理与逆定理的区别与联系.

据说古埃及人用图1的方法画直角：把一根长绳打上13个等距离的结，然后以3个结间距、4个结间距、5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角.思考：如果一个三角形三边长分别为3,4,5,那么这个三角形为直角三角形.你认为这个结论正确吗?图1

如果围成三角形的三边长分别为3，4，5，它们满足关系“32＋42=52”，那么围成的三角形是直角三角形.345所有边长符合a²+b²=c²的三角形都是直角三角形吗？画一画

②换成三边长分别为4cm，7.5cm，8.5cm，再试一试

测量后发现，它们都有直角，都是直角三角形观察

先用画图的方式尝试，三边满足以上关系的三角形是否都有直角.由上面的尝试，我们猜想：

如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.勾股定理的逆命题试着证明这个猜想吧！直接证难，转化为全等传递直角需满足

全等条件用勾股定理

关联A'B'与AB等量

代换A

B

C

abc证∠C=90°构造Rt△A′B′C′，使△ABC≌Rt△A′B′C′需B'C'=BC=a，A'C'=AC=b，A'B'=AB由勾股定理推出A'B'2=a2+b2，已知AB2=c2a2+b2=c2已知：如图，△ABC的三边长分别为a，b，c，满足a2+b2=c2．求证：△ABC是直角三角形．=A′

B′

C′

关联=综上，Rt△A′B′C′需满足：∠C′=90°，B'C'=a，A'C'=bACaBbcA′B′C′ab已知：如图，△ABC的三边长分别为a，b，c，满足a2+b2=c2．求证：△ABC是直角三角形．证明：作一个Rt△A'B'C'，使B'C'=a，A′C′=b，∠C'=90°．根据勾股定理，A'B'2=B'C'2+A'C'2=a2+b2.因为a2+b2=c2，所以A'B'=c.所以△ABC≌△A'B'C'（SSS）.因此∠C=∠C'=90°，即△ABC

是直角三角形.在△ABC

和△A'B'C'中，BC=a=B'C'，AC=b=A'C'，AB=c=A'B'

，勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c

，满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.ACBabc勾股定理的逆定理是判定直角三角形的一个依据.

这样，我们证明了勾股定理的逆命题是正确的，它也是一个定理.

这个定理叫作勾股定理的逆定理.【归纳】

分析：根据勾股定理的逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形，只要判断两条较短边长的平方和是否等于最长边长的平方.像8，15，17这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数.

能够成为直角三角形三条边长的三个正整数.

基本勾股数派生勾股数（×2）派生勾股数（×3）勾股数

【跟踪训练】2.给出下列数组：①5,13,12；②2,3,4；③2.5,6,6.5；④3²,4²,5².其中勾股数的组数是()A.4

B.3

C.2

D.1解析：①∵5²+12²=13²，且5，12，13均是正整数，∴5，12，13是一组勾股数.

②∵2²+3²≠4²，∴2，3，4不是一组勾股数.∵2.5，6，6.5不都是正整数，∴2.5，6，6.5不是一组勾股数.∵3²=9，4²=16，5²=25，9²+16²≠25²，∴3²，4²，5²不是一组勾股数.D题设结论勾股定理三角形是直角三角形三角形三边长满足勾股定理的逆定理三角形三边长满足三角形是直角三角形

C

B

思考

勾股定理与其逆定理有什么联系？勾股定理勾股定理的逆定理形数

勾股定理的逆定理

能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数.1．下列长度的线段能构成直角三角形的是（

）

D

A．直角三角形 B．锐角三角形C．钝角三角形 D．以上答案都不对A3.清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”.法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献.由此法则写出了下列几组勾股数:①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；…根据上述规律，写出第⑤组勾股数为____________.11，60，61

5.已知等腰三角形ABC的底边

BC=20cm，D

是腰

AB

上一点，且CD=16cm，BD=12cm.(1)求证:CD⊥AB；解：因为BC=20cm，CD=16cm，BD=12cm，满足BD2+CD2=122+162=202=BC2，所以根据勾股定理的逆定理得△BCD为直角三角形，所以∠BDC=90°，则CD⊥AB；5.已知等腰三角形ABC的底边

BC=20cm，D

是腰

AB

上一点，且CD=16cm，BD=12cm.(2)求△ABC

的腰长.

20.2勾股定理的逆定理及其应用第2课时

经过前面的学习，我们已经掌握了勾股定理以及勾股定理的逆定理，你还记得这两条定理吗？

应用场景滑梯模型

大树折断问题旗杆模型

最短路径问题勾股定理的逆定理

勾股定理的逆定理可以运用于哪些生活情境呢？互为逆定理勾股定理1.能将航行、距离测量等实际问题抽象为几何模型，运用勾股定理的逆定理解决此类实际应用问题.2.熟练结合勾股定理解决几何图形中边长计算、垂直关系判定等问题.

如果“远航”号沿东北方向航行，那么“海天”号沿什么方向航行？

探究1实际问题中的建模与求解（航海问题）.分析：想要用逆定理解决问题，就要先计算已知三角形的三边长①计算航行路程

②验证直角三角形

③结合方向角确定航向

②构建几何模型，抽象数学问题——关键是抽象出问题中的三角形③运用勾股定理逆定理，判定直角三角形④结合实际背景，求解最终答案①提取关键信息，转化已知条件勾股定理逆定理的应用【归纳】

【跟踪训练】

探究2几何图形中的综合应用（四边形问题）.

【跟踪训练】关键：结合勾股定理或其他几何知识解决问题

关键：找出其中三角形，利用勾股定理逆定理判段是否为直角三角形

勾股定理及其逆定理的综合应用1.如图，要在门上方的墙上点A处装一个由传感器控制的灯，点A离地面4.5m，任何东西只要移至该灯5m及5m内范围，灯就自动发光．已知小军身高1.5m，若他走到CD处灯刚好发光，则他离墙的水平距离是(

)A．5m B