第1课时 等边三角形的性质和判定【导学案】

第15章轴对称

15.3.2等边三角形

第1课时等边三角形的性质和判定

【素养目标】

1.探究等边三角形的性质和判定方法，提高推理力量。（重点）

2.合理利用等边三角形的性质和判定方法解决问题，进展应用意识。（难点）

【情境导入】

在上节课基础上，需要设计一个等腰口/8。，目前已知底边BC,你该如

何设计呢？在设计过程中，你有什么发觉？

【合作探究】

探究点一：等边三角形的性质

思考：顶点/在边BC的垂直平分线上运动的过程中，假如让43的长度等

于8CQ28C会变成什么三角形？

等边三角形的定义：

是三边都的特殊的等腰三角形。

等腰三角形与等边三角形的关系：

等腰三角形

等边三

角形

思考1:把等腰三角形的性质用于等边三角形，能得到什么结论?

问题1:从边的角度比较两者，等边三角形的三条边有什么数量关系？

问题2：从角的角度比较两者，等边三角形的三个内角有什么数量关系？角度是

多少？你能得到什么结论？试着证明一下。

A

BCB

已知：AB=AC=BC,求证：匚4=IZI4=DC=6O°.

结论：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于口口。.

问题3：从“三线合一”的角度比较两者，等边三角形的“三线”有怎样的关系？

等边三角形有几条对称轴？

BB

依据前面的探究结果完成下表。

图形等腰三角形等边三角形

性质边

角

三线合一

对称性

例1如图，口/8。是等边三角形，DE//BC,分别交48,4。于点D,E.

求证：口”。£1是等边三角形。

想一想：本题还有其他证法吗？

探究点二：等边二角形的判定

思考1：对于一般,如何判定这个三角形是等边三角形，请提出猜想并验

证。

思考2:通过前面的学习，我们知道从边的角度可以推断一个三角形是等边三角

形，那么从角的角度如何推断呢？

已知：如图，在E143C中，口力=口8=匚。.求证：□力3C是等边三角形。

猜想：对于一个等腰三角形，假如有一个角是60°,那么它是等边三角形吗？

论证：已知：如上图，在口48。中，AB=AC，若ZD=60°,求证：匚4BC

是等边三角形。

BC

结合以上儿点，请你总结一下等腰三角形和等边三角形的判定。

图形等腰三角形等边三角形

判定从边看

从角看

例2如图，等边三角形ABC中，AD是BC上的高，DBDE=DCZ)F=60°,

图中有哪些与BD相等的线段?

E

BD

1.如图，□48c是等边三角形，D是BC的中点，则口四。的度数为()

A.30°

B.40°

C.45°

D.无法求出

2」规范作答］如图，在匚/8C中。

(1)UAB=AC=□匚/8C是等边三角形;

(2)□□J=DB=,□□/8C是等边三角形；

(3)UAB=AC,且__________________=60°,

ABC是等边二角形。

3.如图，在等边三角形ABC中，点。在边BC上，过点D作DEHAB交AC

于点E,过点E作EF2DE,交BC的延长线于点F.

(1)求DF的度数；

⑵求证：CD=CF.

参考答案

探究点一：等边三角形的性质

思考1:等腰三角形的性质对于等边三角形同样适用

问题1：由定义可知：等边三角形的三条边都相等。如图，口口48。是等边三

角形，UAB=BC=AC.

问题2:证明：UAB=AC,（等边对等角）。同理EJ=DC,

□□/=口8=匚。.□□/+匚5+口。=180°,□□力=口5=口。=60°.

问题3：等边三角形每条边上的中线、高和所对角的平分线都“三线合一等

边三角形有三条对称轴。

依据前面的探究结果完成下表。

图形等腰三角形等边三角形

性边两条边相等三条边都相等

质

角两个底角相等三个角都相等，且都是60c

三线合一底边上的中线、高和顶每一边上的中线、高和这一边所对

角的平分线相互重合的角的平分线相互重合

对称性1条对称轴3条对称轴

例1证明：l：IEABC是等边三角形，UU.A=［：\B=JC.

DDEHBC,□匚4。七=口4,□/££）二口。.□口力二匚/0^口力6。.

ADE是等边三角形。

探究点二：等边三角形的判定

思考2:通过上面性质的学习，我们很简洁联想到：三个角都相等的三角形是等

边三角形。

证明：□□<=□8,QBC=AC.

□「8=口。,UAB=AC.\JAB=AC=BC是等边三角形。

猜想：有一个角是60c的等腰三角形是等边三角形。

证明：口力5=力。,口口4口。.

□□力+口3+匚。=180°,ZA=60°,060°+2ZD=180°.AZD=60°.

□□/=口8=匚。=60°.□□45。是等边三角形。

总结一下等腰三角形和等边三角形的判定。

图形等腰三角形等边三角形

判从边看两条边相等的三角形是三条边都相等的三角形是等边三角形

定等腰三角形

从角看两个角相等的三角形是三个角都相等的三角形是等边三角形

等腰三角形

有一个角是60°的等腰三角形是等边

三角形

例2与8。相等的线段有：DC,DE,DF/E,BE/F,CF.

当堂反馈

1.A.

2.(1)BC(2)DC(3)DJ(或匚3或口。)

3.(1)解：QQABC是等边三角形，□□4。3=二3=60°.

L\DE//AB,\J\JEDC=\JB=60°.UDEQEF,"DEF=90°.

□□尸=90°-zann=90°-60°=30°.

(2