正方形（知识清单）原卷版-2026年中考数学一轮复习

专题17正方形

（3大考点+14大题型+3大易错+7大方法+测试）

目录

oi锚-课标要求:指引命题方向，落实核心素养

02理-思维导图：构建知识体系，呈现结构关系

03盘•知识梳理：兼顾主干细节，夯实基础框架（3个核心考点）

考点01正方形的有关概念考点02正方形的性质

考点03正方形的判定

04探-重难题型：深度剖析重点，精准突破难点（14大重难题型）

题型01利用正方形的性质求角的度数题型02利用正方形的性质求线段长

题型03利用正方形的性质求面积题型04利用正方形的性质进行计算与证明

题型05正方形的判定条件题型06证明一个四边形是正方形

题型07正方形的性质与判定题型08正方形与折叠问题

题型09正方形与动点问题题型10正方形与最值问题

题型11中点四边形问题题型12正方形与几何探究问题

题型13正方形与函数综合问题题型14四边形与新定义问题

05辨-易混易错：警示常见误区，辨析细微差别（6个易混易错点）

易错点01混淆正方形的判定条件

易错点02利用正方形的性质求角时漏解

易错点03正方形中的图形变换问题

06拓・方法技巧：精炼方法技巧，精准突破难点（6大方法技巧）

技巧01：添加条件证明四边形是正方形

技巧02：利用正方形的性质求面积

技巧03：正方形与最值综合问题

技巧04：正方形与翻折综合探究问题

技巧05：正方形中的十字架模型

技巧06：四边形中的对角互补模型

技巧07：正方形中的半角模型

07测-实战演练:巩固核心考点，强化应试能力（24题）

01

锚•课标要求

q*★

1.探索并证明正方形的性质定理，会利川正方形的性质和判定进行有关的计算与证明

2.探索并证明正方形的判定定理，会证明一个四边形是正方形

3.掌握正方形的常考题型：正方形性质的有关计算与证明：正方形的判定及证明；正方形的性质与判

定综合问题；正方形的几何综合问题；正方形与函数综合问题

☆Q☆

02

・理•思维导图

正方形

03

盘•知识梳理

考点01正方形的有关概念

i.定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形

如果在矩形的基础上证明它是正方形，则需附加一组邻边相等；如果在菱形的基础上证明它是正方形，

则需附加一个角是直角.两者不要混淆.

2.正方形的定义有三个要素：一是平行四边形；二是有一组邻边相等；三是有一个角是直角.三者缺一不

可.

3.正方形与其他特殊四边形之间的关系

一个角是直角

4.方法总结：

(1)正方形不仅是特殊的平行四边形，而且是特殊的矩形和菱形.

(2)可以用下图表示平行四边形、菱形、矩形、正方形之间的从属关系

考点02正方形的性质

1.正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质.总结如下:

元素性质符号表示图小

对边平行AB//CD,AD//BC

边四条边相等AB=BC=CD=DA

ZABC=ZBCD=

角四个角都是直角ZCDA=ZDAB=90°

对角线相等且互相AC=BD,AC1BD,

A_______________

垂直平分0A=0B=0C=0D3gDn

X

ZBAC=ZDAC=ZDCA=ZBCA=

每i条对角线平分NABD二NCBD二NCDB二NL

对角线一组对角ADB=45°

对称性是轴对称图形,有四条对称轴,是中心对称图B

形，对称中心是对角线的交点

2.(1)正方形的两条对角线把它分成四个全等的等腰直角三角形:每一条对角线把正方形分成两个全等的等

腰直角三角形，解决问题时，通常归结到这些等腰直角三角形中求解，

(2)正方形的对角线互相垂直，因此正方形的面积也可以用对角线长乘积的一半来计算，

.考点03正方形的判定

1.正方形的判定

元素文字语言符号语言基本图形

有一组郁边相等.・•四边形ABCD是矩形,且AD=AB,

边的矩形是正方形・•..矩形ABCD是正方形

有一个角是直角・・•四边形ABCD是菱形,且NABC=90°,

角的菱形是正方形・•・菱形ABCD是正方形

对角线互相垂直;在四边形ABCD中，0A=0C,

平分且相等的四OB=OD,AC±BD,AC=BD,

边形是正方形・•・四边形ABCD是正方形

对角线互相垂直四边形ABCD是平行四边形，

且AC_LBD,AOBD,J平行

对角且相等的平行四

线边形是正方形四边形ABCD是正方形Arr---------71D

对角线相等的菱四边形ABCD是菱形,且AC=BD,

形是正方形二菱形ABCD是正方形

对角线互相垂直四边形ABCD是矩形，且AC1BD,

的矩形是正方形.••矩形ABCD是正方形

2.平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系:

次:

施。题型01利用正方形的性质求角的度数

【典例1］（24-25九年级上•山西太原•月考）如图，在正方形的内部作等边三角形触，连接OE,

CE,对角线交于AE于点产,则NE£中的度数是.

【变式练习】

1.（2025•陕西渭南•一模）如图,AC是正方形48co的一条对角线，延长3c至点E,使得CE=AC,连

接AE,则一石的度数为（）

A.22.5°B.30°C.32.5°D.35°

2.（2025・广东肇庆•三模）如图，正方形A8CO的对角线8D是菱形的•边，菱形跳7刀的对角线交

正方形A3CQ的一边C。于点P,则NP4C的度数是（)

A.22.5°B.45°C.25°D.67.5°

3.（2024.广东.模拟预测）如图，已知M,N两点在正方形ABCO的对角线B。上移动，NMCN=45。,连

接AM,AN,并延长分别交8GCD于E,产两点，则NCME+NCN/n—.

DFC

施。题型02利用正方形的性质求线段长

【典例2】（2025•福建厦门・二模）如图，在正方形A8c。中，AB=4,点E在边4C上，EC=3.若b,G

分别是4E,A。的中点，则FC的长为

【变式练习】

4.（2025•陕西西安•模拟预测）如图，正方形A8CO的对角线AC与丽相交于点。，E、尸分别是8C、OB

的中点，连接。E，EF.若瓦'=2,则OE的长为（）

A.2MB.4>/10C.4+2&D.2x/6

5.（2025•湖南•模拟预测）东汉数学家赵爽在注解《周期算经》时，创制了一幅“勾股圆方图”（后称“赵爽

弦图"），以形证数,巧妙证明了勾股定理.如图，四个全等的直角三角形拼成了“赵爽弦图”，得到正方形/WCD

与正方形EFGH,连结。凡若品方3心=5,EF=；BG,则QF的长为（）

C.3D.2V2

6.（2025•宁夏吴忠•三模）如图，在正方形ABC。中，48=6,点P在CO上，DP=2,将ZW*沿OP

方向平移，当点P位于CO边的中点处时，点A的对应点A到AC的距离为

娥.题型03利用正方形的性质求面积

【典例3】（2020•辽宁沈阳•二模）如图，在正方形48CO中，£为8。边上一点，BE=3,连接AE,过E

作所J_AE,EF交CD于点F,FC=2,则正方形A8CD的面积为.

7.（2025•安徽亳州•模拟预测）如图，在正方形ABCD中，点E,F分别在ADCDh,己知AE=3,CF=2,

△3"的面积为II,则正方形A8c。的面积为（）

A.25B.28C.33D.36

8.（2026・广东中山•模拟预测）如图，边长分别为8,4,2的正方形拼接在一起，B、C、。三点分别是正方

形的中心，则图中阴影部分的面积为.

9.（21-22八年级下•吉林长春•月考）如图，正方形A4C。的对角线相交于点0,点。又是另一个正方形

AOC7T的顶点，若两个正方形的边长都是2,则两者重合部分的面积是.

的邕题型04利用正方形的性质进行计算与证明

【典例4】（2024.江苏徐州.中考真题）已知：如图，四边形ABC。为正方形，点七在4。的延长线上，连

（2）若NAEC=45。，求证：DC=DE.

【变式练习】

10.（2025•福建度门•模拟预测）如图，四边形A8CO是正方形，点E在。。上，点尸在C8的延长线上，且

DE=BF,连接AE,AF.证明：AELAF.

11.（2025・湖南益阳•二模）如图，在正方形A8C。中，点M是边A8上一点，连接CM,点E是CM的中

点，连接AE并延长交。C的延长线于点G,将线段£4绕点E顺时针旋转90。得到打，连接DP.

（1）求证：DE=EF；

（2）求NCD厂的度数.

12.（2024•安徽六安•模拟预测）点E是正方形A3C。的对角线80上一点，过点£作EE_LAE交CO于点

F,AE的延长线交3c于点G,AF交BD于点H.

（2）如图2,若AD=DE,AB=2,求CT的长.

航量题型05正方形的判定条件

【典例5】（2025•上海•模拟预测）在平行四边形A8C。中，ZA3C=90°,对角线AC、8。相交于点O.若

要添加一个条件使四边形A3CZ）为正方形，这个条件可以是.

【变式练习】

13.（2024.山西.模拟预测）我们知道，当图形的组成元素及相关元素之间的关系特殊化时，图形也从一般

图形变为特殊图形.下图是小颖从“对角线”的角度对平行四边形、矩形、菱形、正方形之间关系的梳理，

图中“▲”处应填写的内容是（）

A.对角线互相平分B.对角线相等

C.对角线垂直且相等D.对角线互相垂直

14.（2025.山西长治.二模）如图，已知V/WC,在4c边的同侧作正△A3。、正△AC"和正连接

DE，EF,则下列选项中不正确的是（）

A.一定会出现平行四边形AD瓦'

B.当N8AC=150。时，四边形八。£尸为矩形

C.当N8AC=150。，且A8=AC时四边形4/）所为正方形

D.当A3=AC,且NEACwSO。时，四边形ADEb为菱形

15.（2025・四川乐山♦中考真题）如图，在oABCD中，对角线4c与8。相交于点0.小乐同学欲添加两个

条件使得四边形A4CO是正方形，现有三个条件可供选择：®ACJ.BD；②AC=4£＞；③NADC=90°.则

正曲的组合是（只需填一种组合即可）.

腼题型06证明一个四边形是正方形

【典例6】（2025•山东青岛•一模）如图，在平行四边形A8CD中，ACA.BC,M、N分别是AB和的

中点.

AD

⑴判定四边形AMCN的形状并证明；

(2)给VA8C补充一个条件，使得四边形AMCN是正方形，并证明.

【变式练习】

16.(2025・江苏盐城•一模)如图，四边形A4CO是菱形，点G、”在线段AC上，且AG=GH="C.

(1)判断四边形力G8H的形状，并说明理由：

r\ir

(2)当黑的值为时，四边形/WC。是正方形(直接写出结果，不需要证明)

17.(16-17九年级上・甘肃张掖・期中)如图，在RtZ\A8C中，ZAC5=90°,过点C的直线MV〃A8,D为

八3边上一点，过点。作。E_L8C,垂足为尸，交直线于6,连接CO,BE.

(1)求证：CE=A。；

(2)当。为AA中点时，四边形5ECO是什么特殊四边形？说明你的理由；

⑶在满足(2)的条件下，当V/1BC满足什么条件时，四边形8EC。是正方形？说明你的理由.

18.(2025•河南郑州•二模)如图，在四边形ABC。中，E是线段AO上的任意一点(点E与点A、。不重

合)，G、F、H分别是班:、BC.C石的中点.

D

(1)求证：四边形EGF"是平行四边形.

(2)连接E尸，若石尸且石产=3氏7,求证：四边形EGQ是正方形.

酷题型07正方形的性质与判定

【典例7】(2025•安徽滁州•三模)如图，在矩形48co中，或:平分NA8C交AD于点E,连接CE,点产

在BC边上，且所=EC,过点C作律的垂线交8后于点G,垂足为点儿连接AG.

(1)求证：BG=y/2DE.

(2)若点尸为3C的中点，求要的值.

Hr

【变式练习】

19.(2024.安徽.模拟预测)如图，在矩形ABCZ)中，点E为边人。的中点，点产为人6上的一个动点，连

接房并延长，交的延长线于点G,以AG为底边在AG下方作等腰RtVHZG,fLZFHG=90°.

(1)如图①，若点"恰好落在BC上，连接BE,EH.

①求证：AD=2ABx

②若tan/8E〃=2,GD=1,求△H7G的面积

(2)如图②，点”落在矩形48co内，连接C",若AO=8,A8=6,求四边形修。3面积的最大值.

20.(2025•河北邯郸•三模)如图，四边形A3c。是正方形，点E,K分别在3C,A3上，点G在明的延

长线上，旦CE=BK=AG.

G

（1）直接写出0E和OG的数量关系及位置关系;

（2）尺规作图：以线段OE,DG为边作出正方形。底FG（要求：只保留作图痕迹，不写作法和证明）；

（3）连接（2）中的K”,猜想并写出四边形CE/X是怎样的特殊四边形，并证明你的猜想：

21.（24-25八年级下.安徽蚌埠•期末）如图，在正方形A4C。中，对角线AC,3。相交于点0,P是。B上

的一个动点，连接CP,作PEJ.CP,交的延长线于点E,以PC和QE为邻边作。PEFC,对角线CE,

P尸相交十点G

（1）连接。G,若OG=，n,则AK=一（用含加的代数式表示）；

（2）证明：AP=PE；

（3）若点尸为。4的中点，求B歌F的值.

AB

醮题型08正方形与折叠问题

【典例8】（2024.湖北•三模）有一张矩形纸片/WCD,已知AB=10,AD=\2,现将纸片进行如下操作：

先将纸片沿斯折叠，使点A落在边上的点E处，点”在40上（如图1）:然后将纸片沿D”折叠，使

点C落在第次的折痕叱上的点G处，点”在6C上（如图2）,则3”的长为.

4.........vr—iDAr..........yi-^D

【变式练习】

22.（2025•黑龙江哈尔滨•模拟预测）如图，在正方形ABC。中，E是边A。的中点，将△4/组沿直线跖翻

折，点4落在点尸处，连接。凡那么/瓦W的正切值是（）

A.2B.1C.正D.毡

255

23.（2024.辽宁•模拟预测）如图，正方形纸片A8CO的边长为4,七是边AO的中点，连接鹿，折叠该纸

片，点A落在4处，连接AC,则AC的长为.

24.（2025・安徽•模拟预测）如图，在矩形ABC。中，A8=：3cm,4c=4cm,点M,N分别在边人/）,4C上,

沿着MV折叠矩形ABC。，使点A,8分别落在E,E处，且点尸在线段C。上（可与点C,。重合），过点

M作MHtBC于点、H,连接8。

（1）当F与。重合时，MN=cm；

（2）若四边形CDW7为正方形，则NC=cm.

E

师|题型09正方形与动点问题

【典例9】（2025•吉林松原•模拟预测）如图，在四边形中，AB//CD,NA=90。，4B=8cm,AO=3cm,

CO=5cm.动点?从点A出发，以2cm/s速度沿线段AB向终点B运动.过点P作夕Q工A8交折线/X7-CB

于点Q,以P。为边向右侧作正方形PQMN.设点P的运动时间为人（1>0）,正方形PQMN与四边形438

重叠部分图形的面积为ycm」.

（2）当点M与点。重合时，求大的值.

（3）求），关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围.

【变式练习】

25.（2023・江苏无锡•三模）在四边形A8CO中，AB//DC,/C=/O=60。，A8=6cm,CD=12cm,

点P从A点出发，沿AfOfC以Icm/s的速度运动；点。从B点出发，沿。以2cm/s的速度运

动，直到。与。相遇就停止运动.在运动过程中，四边形A3。尸的面积的最大值为（）

A.185/3cm2B.21\/3cm'C.仆池?D.159G叩?

88

26.（2025•江西抚州•一模）如图，在平行四边形A8CO中，ZB=60°,AB=6cm,BC=12cm.点。从点A

出发，以Icm/s的速度沿4-0运动，同时点Q从点C出发，以3cm/s的速度沿C->8->C->…往复运动，

当点P到达端点。时，点。随之停止运动.设点P，Q的运动时间为，s,在此运动过程中，当。Q=C。时，

整数/的值为.

27.（2025♦吉林长春•模拟预测）如图，在矩形8c4。中，ZACB=90°,BC=6,AC=8.动点，从点。出

发，沿C4的方向以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，以。为腰作等腰直角三角形CP。，使点Q，B

在AC同侧.设ACPQ与VA8C重合部分的面积为S,点P运动的时间为［秒（/>0）.

⑴当点Q落在A4上时，求r的值；

（2）在点p运动的过程中，求s与，的函数解析式;

⑶当1WK5时，直接写出线段A。扫过的面积.

鹏题型10正方形与最值问题

【典例10］（2024•海南・三模）如图，正方形A8C。的边长为4,点E为边AD上一个动点，点尸在边CO上,

且线段律=4,点G为线段E/的中点，连接8G、CG、QG,则QG=；BG+gCG的最小值为.

【变式练习】

28.（2024•广东•模拟预测）如图，在平行四边形488中，ZC=120°,U>=2,伤=4,点”、G分别是

边A。、8c上的动点.连接A"、HG,点E为4”的中点，点尸为G”的中点，连接E尸.则EF的最大值

与最小值的差为（）

A.1B.V3-1C.正D.2-73

2

29.（2026•陕西•一模）如图，矩形A4CO中，入8=8,BC=I5,若点P为线段8c上动点，以5P为斜边

向矩形A8CO内部作等腰直角V8PQ,N8QP=90。，连接。夕，当。P+尸。有最小值时，点。到直线8C的

距离为.

30.（2026•陕西西安•一模）如图，在四边形AACO中，AB=6,BC=5,/M）C=90。，AD=2CD,连接

AC,BD,延长8。至点E,使DE=BD,连接AE,则AE的最大值为.

熊题型11中点四边形问题

【典例1。（2025•云南•模拟预测）如图，已知四边形A8C。中，点、E、F、G、H分别是A3、CD、AC.

5Z）的中点.求证：EF和GH互相平分.

【变式练习】

31.（2025・吉林长春•模拟预测）如图，在四边形A8C。中，E、F、G、〃分别是边AB、BC、CD.DA

中点，ACJ.BD.下列结论：

①连接EG,",则有EG=F”；

②若BD=&AC，则以石、F、G、〃为顶点的四边形为正方形:

③连接£G,",相交于点。，则OK=O产=0G=0"；

④若政=3,/G=4,则£G=5.

上述结论中，正确结论的序号有.

32.（2025•河南南阳•二模）（I）如图①点E、F、G、，分别是菱形各边中点，可判定四边形EFGH的形

状为：

（2）如图②点£,F,G,”分别是四边形A8CQ各边中点，且对角线AC/8D,判定四边形瓦6”的形

状，并证明；

（3）在（2）的条件下，请对四边形ABC。增添一个条件，使四边形EFG”为正方形.（直接写出所添条

33.（24-25八年级下•河南漂河•期中）定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四

边形叫做原四边形的“中点四边形、'，如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中

方四边形

（1）下列四边形中一定是“中方四边形”的是.

A.平行四边形B.矩形C.菱形D.正方形

（2）如图，已知四边形ABCO是“中方四边形”、M、N分别是A3、8的中点.

①若线段的长度为6,求的长；

②若线段8。的长度为8人，请直接写出AA+6的最小值.

醒题型12正方形与几何探究问题

【典例12]（2025•河南平顶山•模拟预测）已知A,C关于直线/对称,在直线/上取两点B,。，使得

是以为底的等腰三角形，旦/胡。的度数为。，在4。上取点连接AM,过点C作CV〃4M,CN

交直线/于点N.

【发现】

（I）如图1所示，若夕=90。，请直接写出80，BN,明之间的数量关系

【探究】

（2）如图2所示，若a=120%其余条件不变，请问（1）中的结论还成立吗？并说明理由.

【拓展】

（3）在（2）的前提下，已知4?=4,点M为直线/上一点，且4/）=4AM,请直接写出线段BN的长.

图1图2图3

【变式练习】

34.（2025•河南濮阳•一模）在矩形488中〃是边4B上一点，以BE为边在矩形ABCD内部构造矩形EBFG,

mABBE

使得——=——=k,连接DG.

ADEG

ADL

EK

BCGC

F

F

图2图3

AE

(1)如图1,当&=1时,

DG

【类比探究】

将矩形EMG绕点B顺时针旋转。（0。＜。＜30。），连接AE,当人立时，求普;的值;

(2)如图2,

3DG

【拓展运用】

3

(3)如图3,矩形断G在旋转的过程中，当点G落在叱边上时,G「三点共线.若人“BE=3,

请直接写出AE的长.

35.（2025•四川甘孜•三模）如图I,点E为正方形ABC。内一点，AE=2,BE=4,NA£B=9O。，将RtzM班;

绕点A逆时针方向旋转。（0工。580。），点从E的对应点分别为点B'、E!.

（1）如图2,在旋转的过程中，点6,落在了AC上，求此时C9的长;

（2）若a=90。，如图3,得到△ADE*（此时夕与。重合），延长昭交。£于点入试判断四边形AEFF的

形状，并说明理由;

（3）在RtZVlBE绕点A逆时针方向旋转过程中，直接写出线段CE'长度的取值范围.

36.（24-25八年级卜・江苏镇江•期中）在止方形48C。中:

垂足为那么GEBF（填

“v”）,

（2）如图2,如果点E、F、G、，分别在BC、CD、DA.AB上，且GE工HF,垂足为M,那么GE

HF（填“；

（3）如图3,在（2）的条件下，当点M在正方形ABCO的对角线B。上时，连接G/，将AGM厂沿着G尸翻

折，点用落在点N处.那么四边形GWW是正方形吗？若是，请证明；若不是，请说明理由.

熊.题型13正方形与函数综合问题

【典例13］（2025•河南驻马店•三模）如图，在平面直角坐标系中，正方形/WC7）与抛物线

产加一2工+3,<0）有交点.

(1)若其中一个交点为8(-2,3).

①求a的值；

②求抛物线与x轴的交点坐标;

⑵若点C(-2,1),。(-4,1),抛物线产加-2%+3的图象与正方形ABC。的边有两个交点，求〃的取值范围.

【变式练习】

37.(2022•辽宁沈阳•三模)如图，在平面直角坐标系中，直线/平行于x轴，交)，轴于点A,第一象限内的

点B在/上，连接04.动点P满足N4PQ=90。，P。交x轴于点C

(1)当动点夕与点4重合时，若点4的坐标是(4.1),%的长为」

⑵当动点夕在线段。4的延长线上时，若点A的纵坐标与点8的横坐标相等，求以：PC的值；

⑶当动点P在直线OB上时，点。是直线OB与直线C4的交点，点E是直线CP与)，轴的交点.若

ZACE=ZAEC,PD=2OD,求E4:PC的值.

38.(2025•广东揭阳•三模)如图：在平面直角坐标系中，点8在直线丁=式上，矩形O48C的顶点A,C在

图(1)图(2)图⑶

(1)如图(1),当时，求点M的坐标;

(2)如图(2),连接AM,将AW绕点A顺时针旋转90。得到AN,若“(2,2),求点N坐标；

(3)如图(3),点E在04上，M/垂直平分CE交OC于点尸，当=时，求粤的值.

013

39.(2025・湖北・二模)抛物线)，=♦+--■!与x轴交于点4(T0),以3,0),与y轴交于点C.

⑴直接写出结果a-*b-：

(2)如图，过点4的直线与y.轴交于点。，与抛物线交于另一点£若D£=4AO,求tanNEX3的值;

(3)如图，点N是抛物线上异于点。的动点，线段仞V与丁轴交于点“，且“是MN的中点.以点N为

中心，将线段MN顺时针旋转90。，得到线段PN,以MN,PN为边作正方形MNPQ.设点M的横坐标为

①当正方形MNPQ的面积为18时，求小的值；

②点M,N在运动的过程中，当抛物线在正方形MNPQ内的部分对应的函数y随汇的增大而减小时，请直

接写出”的取值范围.

备用图

腼题型14四边形与新定义问题

【典例14](2025・山东聊城•三模)我们定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做“神奇四边形

(1)在我们学过的下列四边形①平行四边形，②矩形，③菱形，④正方形中，是“神奇四边形”的是(填

序号)：

(2)如图1,在正方形A8C。中，E为BC上一点,连接AE,过点B作BG_LAE于点儿交CQ于点G,连

AG,EG,

①判断四功形A8EG是否为“神奇四功形”，并说明理由：

②如图2,点M,N,P,。分别是，的中点.判断四边形MNPQ是否是“神奇四边形”，并

说明理由.

【变式练习】

40.(2025•江苏南通•模拟预测)定义：有一组对角互余的四边形叫做对余四边形.

①②

(1)若四边形A3CO是对余四边形，则/A与-C的度数之和为

(2)如图①，MN是0。的直径，点4、B、。在00上，AM、CN相交于点。.求证：四边形4BC。是对余

四边形.

(3)如图②，在对余四边形A6CZ)中，A6=6C,ZAfiC=60",ADC=30,探究线段A。、CD和之

间有怎样的数量关系？写出猜想，并说明理由.

41.(2025•宁夏中卫・一模)阅读材料，解决问题

在数学探究中，我们常从特殊情况入手，归纳出一般规律.例如在研究几何图形性质时，通过对特殊多边

形的分析来了解多边形的普遍性质.我们规定：有一组邻边相等且有一组对角互补的四边形叫做”等补四边

形

(1)初步认识：在以下常见四边形中，一定是“等补四边形”的是()

A.平行四边形B.矩形C.菱形D.正方形

(2)性质探究：已知四边形A8C。是“等补四边形"，AB=AD,N5+ND=180°,如图1,连接AC,试探究AC

是否平分N8CQ,并说明理由.

(3)应用拓展：在“等补四边形"ABC。中，A4=AO=2,?B90?,/BCD=120。,如图2,求AC的长.

05

一J辨•易混易错

区易错点01混淆正方形的判定条件

【错因】对于正方形的判定条件掌握不熟练

【避错关键】在判断一个四边形是否为正方形时，易忽略某个条件，致使判断失误.要避免这种错误就必须

熟记正方形的定义和判定定理，认真分析定义及各个判定定理的条件，不要混淆各自的判定条件。

【典例】

1.如图，四边形A/3CQ是平行四边形，下列结论错误的是()

A.当时，oAACD是菱形

B.当时，口ABCD是菱形

C.当NA3C=90。时，oABCD是矩形

D.当人。=8。时，口A8CZ)是正方形

2.在口A8CD中，已知AC、80为对角线，现有以下四个条件：①NA8C=90。；®AC=BD；③AC_Z8D；

®AB=BC.从中选取两个条件，可以判定oABC。为正方形的是_______.(写出一组即可)

3.如图，在等边三角形ABC中，点P在边AC上，点Q、R在边A8上，点S在边8C上，下面四个结论中,

①存在无数个三角形PQR是等腰直角三角形.

②存在无数个四边形PQRS是正方形.

③存在无数个三角形PQS是等边三角形.

④存在无数个三角形PQS是等腰直角三角形.

正确的是—.（填写序号）

4.如图，以VA4C的三边为边在3C上方分别作等边△ASsABE'3b,且点A在V4C户内部.给出以下

结论：

①四边形AOPE是平行四边形；

②当/84C=130。时，四边形40底石是矩形；

③当A3=42时，四边形AO正是菱形；

④当A3=AC,且N3AC=150。时，四边形AOFE是正方形.

其中正确结论有（填上所有正确结论的序号）.

区易错点02利用正方形的性质求角时漏解

【错因】没有进行分类讨论

【避错关键】根据所给的条件，全面考虑点和线的所有情况，画出正确的图形

【典例】

5.正方形A8C。中，点M是边BC上一点，连接AW,/M4B=20。，点N是直线。。上的一点，DN=BM,

连接MN,则NMNC=度.

匡易借点03正方形中的图形变换问题

【错因】对于正方形的图形变换找不到变化过程中的角、边的规律

【避错关键】图形的平移、折叠、旋转不改变图形的形状、大小，仅改变位置.在此类题目中，要抓住图形

变换过程中的对应边(或角)，进而利用不变性解决问题，

【典例】

6.如图，把正方形A8C。绕着它的对称中心。沿着逆时针方向旋转，得到正方形A'8'C'D,ATT和9C分

别交A8于点E,F,在正方形旋转过程中，NEO产的大小()

A.随着旋转角度的增大而增大

B.随着旋转角度的增大而减小

C.不变,都是60。

D.不变，都是45。

7.问题背景：在课外小组活动中，“创新小组”对“正方形旋转'悯题进行了探究，如图1,边长为8的正方形

48C。的对角线相交于点E，分别延长后1到点F,到点〃，使人尸=加/,再以防，EH为邻边做正方

G

D

HH

图1图2图3

(1)解决问题：人〃与。尸之间的数量关系是，位置关系是

(2)深入研究：如图2正方形EFG/固定不动，将正方形ABC。绕点E顺时针方向旋转判断AH与。尸的

关系，并证明:

(3)布展延伸：如图3,在正方形ABCD旋转过程中(0°<a<90。)，AB,8c分别交所，EH于点M,N,连

接MN,EC.当AA/=3时，求S“MY+S“EN的值•

8.【问题情景】

数学实践小组的同学利用两个正方形进行了如下的探究与操作：

将正方形ABC。的点。和正方形EFG”的点E重合，并旋转正方形EFG，同时确保点H在正方形A8C。内

部，在旋转中同学们尝试对此情景进行画图，提出了不同的研究方向.

图1图2图3

(1)【思考尝试】

如图1,同学们发现，连接A"、CF后,随着旋转，A”和C尸有着一定的数量关系，请在图1中补全图形,

并证明A”和C”的数量关系；

(2)【应用迁移】

如图2,励志小组继续旋转及，发现A5三点共线时，可以由正方形ABC。和正方形EFG”的边长求

出A”的长，若AB=2&，EH=近,请你思考并求A4的长.

(3)【拓展探究】励志小组在旋转正方形EFG”时，发现并提出新的探究点：如图3,连接AG、BG,当正

方形瓦GH旋转时，"BG的形状和面积也随之改变，若AB=26,EH=6,直接写出的面积的

取值范围.

区易错点04正方形中的动点探究问题

【错因】对于正方形的动点问题，找不到解题的思路

【避错关键】解决动点问题的关键是抓住题中的变量和不变量，同时应注意解决这类问题时，分析方法可

“执果索因”，而在说明理由时需要“由因索果”，有据推理，

【典例】

9.如图，在oABC。中，N6=45c,A6=夜，BC=2.动点户从点台出发，以每秒1个单位长度的速度

沿边BC运动.过点“作PQ，4c交折线8A-干点Q,当点尸与点C重合时，点，停止运动.以PQ为

边向其右侧作正方形PQMN,设点尸的运动时间为f(s),正方形PQMN与口人4C。的重叠部分图形的面积

为S.

AD

(1)当点。与点A重合时，f的值为；

⑵求S与f之间的函数关系式，并写出自变量/的取值范围；

(3)连接4C,当AC平分正方形PQWN的边时，直接写出f的值.

10.如图，在菱形A8CD中，A3=4,NBAD=60。.尸，2两点分别从点A,C同时出发，

点P以每秒2个单位长度的速度沿射线方向匀速运动；点Q以每秒1个单位长度的速度沿边C4方向向

终点8匀速运动.当点。到达点5时停止运动，点P也同时停止运动.连接PQ,设点P的运旬时间为x秒

(x>0)0BPQ的面积为)'平方单位.

(1)菱形ABCD的周长为.

(2)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围.

(3)当△P8Q为直角三角形时，直接写出x的值.

11.如图，在oABC。中，AB=13,8C=60,8C边上的高为时.点尸从点4出发，沿人一。

以每秒5个单位长度的速度运动.点。从点8出发沿以每秒10个单位长度的速度运动.P、。两

点同时出发，当其中一点到达终点时，尸、。两点同时停止运动.设运动的时间为f(秒)(/>0),连接P0.

APDAL

(备用图)

(1)当点。与点。重合时，，的值为.

(2)直接写出Q8的长(用含，的代数式表示)；

⑶当P。平分oABC。面积时，求f的值；

(4)当尸。=13时,直接写出/的值.

拓•方法技巧

|国|技巧01：添加条件证明四边形是正方形

《方法技巧》

判定一个四边形为正方形的常用方法

(1)根据定义，先判定其为平行四边形，再证明它有一组邻边相等，且有一个角是直角：

(2)先判定它是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直：

⑶先判定它是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等

【典例】

1.如图，在平行四边形A8C/)中，NBAD的平分线交BC于点E,/DCB的平分线交AD于点F,

点G,“分别是AE和CF的中点.

⑴求证：AABEgACDF；

(2)连接EF.从下面两个问题中选择其中一个进行解答，(若多选，按第一个解答计分)

我选______.(填写序号“①”或“②。

①当AA"满足什么条件时，四力形GEHF的形状为菱形？请加以证明.

②当△AE“满足什么条件时，四力形GEHF的形状为矩形？请加以证明.

(3)在(2)的条件下，对石添加一个条件时，四边形GEHF为正方形？不需证明.

2.四边形/WCD是边长为&的正方形，点£是对角线AC上的一个动点(点£与A、C不重合)，连接座,

将8E绕点B顺时针旋转90。得到BP,连接CF、EF,EF与BC交于点G,用延长线与线段从。交于点从

(1)求证：AE=CF,AELCF^

(2)猜想：当AE=_时，四边形C即尸是正方形；

⑶设="的面积为.、，，确定y与x的函数关系式，并求出.V的最大值.

飒技巧02：利用正方形的性质求面积

《方法技巧》

求几何图形面积的两种方法

方法1：根据几何图形的面积计算公式，找到相应线段的长度，直接套用公式求出.

方法2：对于一些不规则图形或面积计算公式中所需线段长度计算过于烦项的几何图形，其面积可通过相

关几何图形面积的和或差间接求出，

【典例】

3.如图，一个边长为8m的正方形花坛由4块全等的小正方形组成.在小正方形A8C。中，点G、E、尸分

别在8,4),A8上，且06=血,.钻=/1尸=X，在△