第六章 平面向量及其应用（思维导图+知识清单）-2024-2025学年高一数学（人教A版必修第二册）

第六章平面向量及其应用(思维导图+知识清单)

【人教A版(2019)]

向星：既有大小又有方向的星叫做向星

测量问题

〉知识清单

6.1平面向量的概念

【知识点1向量的概念】

1.向量的概念

(1)向圜：既有大小又有方向的量叫做向量.

(2)数量|：只有大小，没有方向的量(如年龄、身高、长度、面积、体积和质量等)，称为数量.

注：

①本书所学向量是自由向量，即只有大小和方向，而无特定的位置，这样的向量可以作任意平移.

②看一个量是否为向量，就要看它是否具备了大小和方向两个要素.

③向量与数量的区别：数量与数量之间可以比较大小，而向量与向量之间不能比较大小.

2.向量的表示法

(1)有向线段：具有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度.

(2)向量的表示方法：

①字母表示法:如…等.

②几何表示法：以A为始点，3为终点作有向线段标(注意始点一定要写在终点的前面).如果用

一条有向线段方表示向审，通常我们就说向量方.

3.向量的有关概念

(1)向最的模：向量的大小叫向最的模(就是用来表示向量的有向线段的长度).

(2)零向量：长度为零的向量叫零向量.记作0,它的方向是任意的.

(3)单位向量：长度等于1个单位的向量.

(4)相等向量：长度相等且方向相同的向量.

(5)相反向量：长度相等且方向相反的向量.

注：

①在画单位向量时，长度I可以根据需要任意设定.

②在平面内，相等的向最有无数多个，它们的方向相同且长度相等.

->

③非零向量3与符的关系：卷是与3同方向的单位向量.

知识点2相等向量与共线向量】

1.向量的共线或平行

方向相同或相反的非零向量，叫共线向量(共线向量又称为平行向量).规定:0与任一向量共线.

注：

①零向量的方向是任意的，注意。与0的含义与书写区别.

②平行向量可以在同一直线二，要区别于两平行线的位置关系；共线向量可以相互平行，要区别于在

同一直线上的线段的位置关系.

③共线向量与相等向量的关系：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等的向量.

2.用共线(平行)向量或相等向量刻画几何关系

⑴利用向量的模相等可以证明线段相等，利用向量相等可以证明线段平行且相等.

(2)利用向量共线可以证明直线与直线平行，但需说明向量所在的直线无公共点.

⑶利用向量可以判断图形的形状(如平行四边形、等腰三角形等)、证明多点共线等.

3.平行向量有关概念的三个关注点

⑴相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性.

(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关.

(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的平移混淆.

6.2平面向量的运算

【知识点1平面向量的线性运算】

1.向量的加法运算

(1)向量加法的定义及两个重要法则

定

求两个向量和的运算，叫做向量的加法.

义

向前提已知非零向量3九在平面内任取一点人

量

加作法作方=［数=九连接AC

法

的结论向量力C叫做〃与匕的和，记作a+方，即a+方=44+AC=/C.

角

形

图形

法

a'B

则

向

前提已知两个不共线的向量1九在平面内任取一点0.

量

加

作法作a=a^B=九以0A.0B为邻边作四边形0ACB.

法

的

平结论以O为起点的向量5?就是向量2与1的和，即1=a^b.

行

四,---------7c

边

图形

形

法

则()aA

规

对于零向量与任一向量〃，我们规定。+6=64-a=tz.

定

(2)多个向量相加

为了得到有限个向量的和，只需将这些向量依次首尾相接，那么以第一个向量的起点为起点，最后一

个问量的终点为终点的向量，就是这些向量的和，如图所示.

2.向量加法的运算律

(1)交换《：:+力=力+。；

(2)卜合彳(Z+1)+%=:+0+2).

3.向量的减法运算

⑴相反向量

我们规定，与向量々长度相等，方向相反的向量，叫做〃的相反向量，记作-1.零向量的相反向量仍是

零向量.

(2)向量减法的定义：

向量。加上各的相反向量，叫做。与］的差，即a—7=a+(-右).求两个向量差的运算叫做向量的减

法.

(3)向量减法的三角形法则

如图，已知向量：,九在平面内任取一点。，作万=7OB=b,则无？=而一为=:一］.即：一力

可以表示为从向量B的终点指向向量Z的终点的向量，这是向量减法的几何意义.

4.向量的数乘运算

(I)向量的数乘的定义

一般地，我们规定实数4与向量「的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作它的长度与

方向规定如下：

①|闷=|川向；

②当2>()时，的方向与々的方向相同；当2<0时，的方向与Z的方向相反.

(2)向量的数乘的运算律

设人"为实数，那么①2("。)=(勿)。；②(4+〃)：=筋+〃：；③骑+%)=筋+注

特别地，我们有(一地1=一(需)="(一1)，:(1—［)=>：一4方.

(3)向量的线性运算

向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.对于任意向量1九以及任意实数尢他,仅，恒有

2(4】a±42垃=44a±2/z2b.

5.平面向量线性运算问题的求解思路：

(1)解决平面向最线性运算问题的关键在于熟练地找出图形中的相等向品，并能熟练运用相反向最将加

减法相互转化：

(2)在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则及三角形中

位线定理、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为用已知向量线性表示.

【知识点2向量共线定理】

1.向量共线定理

(1)向量共线定理

向量“Iwo)与B共线的充要条件是：存在唯一一个实数/，使力=筋.

(2)向最共线定理的应用一求参

一般地，解决向量之3共线求参问题，可用两个不共线向量［如H)表示向量3加设不=。0芋0),

化成关于的方程“a)3=一夕⑶］,由于不共线，则［解方程组即可.

2.利用共线向量定理解题的策略

⑴：//右=之=父0H6)是判断两个向量共线的主要依据.注意待定系数法和方程思想的运用.

(2)当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线，即A,从C三点共线=刀，就共线.

⑶若。与B不共线且2。=4，则2=〃=0.

(4)苏=/1五为实数)，若A,BC三点共线，贝"+"=1.

6.3向量的数量积

【知识点1向量的数量积】

1.向量的数量积

(1)向量数量积的物理背景

在物埋课中我们学过功的概念：如果一个物体在力的作用下产生位移1,那么力声所做的功w=

FIN(x)se,其中。是了与；的夹角.

我们知道力和位移都是矢量，而功是一个标量(数量).这说明两个矢量也可以进行运算，并且这个运算明

显不同于向量的数乘运算，因为数乘运算的结果是一个向量，而这个运算的结果是数量.

(2)向量的夹角

已知两个非零向量43,如图所示，0是平面上的任意一点，作04=a,08=b,则/AOB=〃(0《夕忘乃)

叫做向量Z与1的夹角，也常用G3〉表示.

B

A,

Q?p°br.■^

・a/»0B*ab

(1)(2)(3)

(3)两个向最数最积的定义

已知两个非零向量"与B,它们的夹角为氏我们把数量同张os。叫做向量/与B的数量积(或内积),

记作晨X,即a.5=时网cos。。.

规定：零向量与任一向量的数量积为0，即0r/=0.

(4)向量的投影

如图，设二力是两个非零向量，AB=a,CD=h,我们考虑如下的变换：过方的起点A和终点8,

分别作而所在直线的垂线，垂足分别为4,田，得到7商，我们称上述变换为向量［向向量％投影，病

叫做向量。在向量Z上的投影向品.

2.向量数量积的性质和运算律

(1)向量数量积的性质

设3力是非零向量，它们的夹角是0，"是与了方向相同的单位向量，则

①a•e=e'a=acos。.

②a〃•b=0.

③当〃与［同向时，a•=|a|\b\；当〃与［反向时，a.>=一同网.

特别地，a.a=a-=卜「或同=段•a.

④口j闫同网,当且仅当向量力共线，即时,等号成立.

⑤cos夕=

向印

(2)向量数量积的运算律

由向量数量积的定义，可以发现下列运算律成立：

对于向量和实数X，有

①交换律：a,Z=Z,a:

②数乘结合律：（筋）•力=2（〉力）=>（闷;

③分配律：（a+力）•c=4•c+1•c.

3.向量数量积的常用结论

⑴G土口土司2=同2±2〉7+同2=7±2>；；+尸;

⑵7—尸=0+办9_3=同2_郎；

（3）（1+犷+（力）』（即+肝卜

（4）。2+82=0a=I）=o.

（5）|同一向归口+Z归同一问，当且仅当」与Z同向共线时右边等号成立,"与否反应共线时左边

等号成立.

以上结论可作为公式使用.

4.向量数量积的两大应用

（1）夹角与垂直

根据平面向量数量积的性质：若［与B为非零向量，则cosJ=（夹角公式），a_L/>•力=0等,

丽

可知平面向量的数量积可以用来解决有关角度、垂直问题.

（2）向量的模的求解方法：

①公式闻利用向=及（I±犷=同2±2〉］+网2,把向量的模的运算转化为数量积运算;

②几何法：利用向量:的几何意义，即利用向显加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利

用余弦定理等方法求解.

6.4平面向量基本定理及坐标表示

【知识点1平面向量基本定理】

1.平面向量基本定理

（1）平面向量基本定理

如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量％,有且只有一对实数

>.I,A2,使。=21%+心二.若修,二不共线，我们把｛修小｝叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.

（2）定理的实质

由平面向量基本定理知，可将任一向量Z在给出基底｛3,3｝的条件下进行分解——平面内的任一向量都

可以用平面内任意不共线的两个向量线性表示，这就是平面向量基本定理的实质.

2.用平面向量基本定理解决问题的一般思路

用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一个基底，并运用该基底将条件和结论表示成向

量的形式，再通过向量的运算来解决.注意同一个向量在不同基底下的分解是不同的，但在每个基底下的分

解都是唯一的.

【知识点2平面向量的坐标表示】

1.平面向量的正交分解及坐标表示

(1)正交分解

不共线的两个向量相互垂直是一种重要的情形，把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量

作正交分解.

(2)向量的坐标表示

如图，在平面直角坐标系中，设与x轴、)，轴方向相同的两个单位向量分别为;取作为基

底.对于平面内的任意一个向量工，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，)，，使得；=£+/二

这样，平面内的任一向量)都可由x,丁唯一确定，我们把有序数对历叫做向量"的坐标，记作；=(x,y)

①洪中x叫做「在x轴上的坐标，y叫做「在)，轴上的坐标，①叫做向量]的坐标表示.

显然，7=(1,0),)=(0,1),6=(0,0).

(3)点的坐标与向量的坐标的关系

表示形

向量；=(x,y)中间用等号连接，而点&XJ)中间没有等号.

式不同

区点A(xj)的坐标(XJ)表示点A在平面直角坐标系中的位

别意义置，a=(x,y)的坐标(x,y)既表示向量的大小，也表示向量

不同

的方向.另外，(xj)既可以表示点，也可以表示向量，叙

述时应指明点(XJ)或向量(X').

向量的坐标与其终点的坐标不一定相同.当平面向量的起

联系

点在原点时，平面向量的坐标与向量终点的坐标相同.

2.平面向量线性运算的坐标表示

(I)两个向量和(差)的坐标表示

由于向量：=(X|M，力=(x“2)等价于：+凹7，b=x2i+y2^/,所以a+石=(x/+九/)+

(工2i+yij)=(汨+必)i+3+玖)九即a+否=(xi+4)+(凹+%).同理得〃一%=(汨-xj+3—尢).

这就是说，两个向量和(差)的出标分别等于这两个向量相应坐标的和(差).

(2)向量数乘的坐标表不

由a=(x,v),可得a=xi+yj,则Aa=2(xz+yj^=AXI+kyj,即痴=(%又办，).

这就是说，实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.

3.平面向量数量积的坐标表示

(1)平面向量数量积的坐标表示

由于向量4=(为加)，]=(心,乃)等价于a=x"+yj,b=x2i+y2j»所以。,力=(x/+M/)•

(a+、2：)=而12尸+人仍，•]+必4]•i+凹处尸.又；•；=1,>•)=1,；•]=]•；=(),所以

a•b=xxx2-\ryxy2.

这就是说，两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘枳的和.

（2）平面向量长度（模）的坐标表示

若之=（X,y），则向2=.十了2或问=，炉+/.

其含义是：向量"的长度（模）等于向量"的横、纵坐标平方和的算术平方根.

如果表示向量。的有向线段的起点和终点的坐标分别为（M，Y）,（小,心），那么Z=（x2-xhy2-yl）,

|«|=7（小一而）2+（必一%）2.

4.平面向量位置关系的坐标表示

（1）共线的坐标表示

①两向量共线的坐标表示

设：=a,M）,5=（4,必），其中Zwo.我们知道，共线的充要条件是存在实数几，使；=%.如果

用坐标表示，可写为«,珀=2（M以），即｛;二废，消去义，得X必一MM=0.这就是说，向量力G.。）

共线的充要条件是X1为一必必=0.

②三点共线的坐标表示

若力（冬,珀，8（必,珀,C*3,8）三点共线，则有方=XBC,从而（处一汨,”一凹）=213—必/3—乃），

即（“2-M）（为一y2）=（x3-x2）（y2—凹），

或由蒜=〃就得到（必一M）（为一y）=（4一X,）（y2—必）,

或由就=yBC得到（不一而）（%一心）=（勺一4）（力一凹）.

由此可知,当这些条件中有一个成立时，4BC三点共线.

（2）快角的坐标表示

设了都是非零向量，a=（Xi，K）,力=（心,％），。是“与）的夹角，根据向量数量积的定义及坐标表示

->->

-rzq,n_a•b_♦小+%乃

COS同同，k+讨.'君+运•

（3）垂立的坐标表示

设a=（xi,j））,h=（x2,y2）»则。_L力0M必+必外=0.

即两个向量垂直的充要条件是它们相应坐标乘积的和为0.

5.平面向量坐标运算的技巧

（1）向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的

坐标，则应先求向量的坐标.

（2）解题过程中，常利用向品相等其坐标相同这一原则，通过列方程（组）来进行求解.

6.5平面向量的应用

【知识点1平面几何中的向量方法】

1.平面几何中的向量方法

(1)用向量研究平面几何问题的思想

向量集数与形于一身，既有代数的抽象性乂有几何的直观性.因此，用向量解决平面几何问题，就是将

几何的证明问题转化为向量的运算问题，将“证”转化为“算”，思路清晰，便于操作.

(2)向量在平面几何中常见的应用

①证明线段平行或点共线问题，以及相似问题，常用向量共线定理：

aHb0a=2b0%丫2—x2yt=0(b¥=0).

②证明线段垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形，判断两直线(或线段)是否垂直等，常用向量垂直

的条件：。♦b=00而、2+M%=0.

->->

③求夹角问题，利用夹角公式：cosG，"=船=-/七今之，..

④求线段的长度或说明线段相等，可以用向量的模：同=行=〃尸谟或

22

\AB\=\AB\=(X)—x2)+(yi-y2).

(3)向量法解决平面几何问题的••三步曲”

第一步，转化：建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转

化为向量问题；

第二步，运算：通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；

第三步，翻译：把运算结果“翻译”成几何关系.

【知识点2向量在物理中的应用】

1.力学问题的向量处理方法

向量是既有大小又有方向的量，它们可以有共同的作用点，也可以没有共同的作用点，但力却是既有

大小，又有方向且作用于同一作用点的量.用向量知识解决力的问题，往往是把向量平移到同一作用点上.

2.速度、位移问题的向量处理方法

速度、加速度与位移的合成和分解，实质就是向量的加减法运算，而运动的叠加也用到向量的合成.

3.向量与功、动量

物理上力做功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，它的实质是向量的数量枳.

⑴力的做功涉及两个向量及这两个向量的夹角，即％=|同冏.cos〈K；).功是一个实数，它可正，可

负，也可为零.

(2)动量涉及物体的质量用，物体运动的速度1因此动量的计算是向量的数乘运算.

6.6解三角形

【知识点1余弦定理、正弦定理】

1.余弦定理

(1)余弦定理及其推论的表示

三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它

文字表述

们夹角的余弦的积的两倍.

公式表述a2=b2+c2-2bccosA,b2=a2+c2-2accosB,c2=a2+b2-2abcosC.

.b2-^-c2—a2_a2+c2—h2a2-Vb2—c2

推论cosA=-----------------,cosB=------------------,cosC=------z—7-------.

2be2aclab

(2)对余弦定理的理解

①余弦定理对任意的三角形都成立.

②在余弦定理中，每一个等式都包含四个量，因此已知其中三个量，利用方程思想可以求得未知的量.

③余弦定理的推论是余弦定理的第二种形式，适用于已知三角形三边来确定一:角形的角的问题.用余弦

定理的推论还可以根据角的余弦值的符号来判断三角形中的角是锐角还是钝角.

④余弦定理的另一种常见变式：Z>2+C2-«2=2/?CCOSA,672+C2-Z?2=^CCOSB,a2+h2-c2=2u/x:osC.

2.正弦定理

(1)正弦定理的表示

在AA8c中，若角4,B,C对应的边分别是为则各边和它所对角的正弦的比相等，即告=，五二

sinAsinB

sinC'

(2)正弦定理的常见变形

在AA8C中，由正弦定理得."/=F==k(QO),则听左sin/,b=ks'inB,c=ks'\nC,由此可

sinAsinBsinC

得正弦定理的下列变形：

sinAasinCcsinBb.

©――^=H，―—r=—,——>asinz?=npsin//,«sinC=csin/l,/?sinC=csin«n；

sinBbsinAasinCc

笃、a_b_c_a+-_a+c_b+c_a+力+c

sinAsinBsinCsinA4-sinBsinA+sinCsinB+sinCsin/!+sinB+sinC'

@a\b.c=s\x\A:sin^:sinC；

LL

@^-=^1T=^-7.=2R,(R为4A8c外接圆的半径).

sinAsinBsinC

(3)三角形的边角关系

由正弦定理可推导出，在任意三角形中，有“大角对大边，小角对小边”的边角关系.

3.解三角形

(1)解三角形的概念

一般地，三角形的三个角4/3C和它们的对边ahc叫做三角形的元素.在三角形中，已知三角形的几个

元素求其他元素的过程叫做解三角形.

(2)余弦定理在解三角形中的应用

利用余弦定理可以解决以下两类解三角形的问题：

①已知两边及它们的夹角，求第三边和其他两个角；

③已知三边，求三角形的三个角.

(3)正弦定理在解三角形中的应用

公式七二当二一下反映了三角形的边角关系.

sinAsinBsinC

由正弦定理的推导过程知，该公式实际表示为：万，-4-=^—,右二二广.上述的

每一个等式都表示了三角形的两个角和它们的对边的关系.从方程角度来看，正弦定理其实描述的是三组方

程，对于每一个方程，都可“知三求一”，于是正弦定理可以用来解决两类解三角形的问题：

①已知两角和任意一边，求其他的边和角，

③已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角.

4.对三角形解的个数的研究

已知三角形的两角和任意•边，求其他的边和角，此时有唯•解，三角形被唯•确定.

已知三角形的两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解.、两解或无解的情况，三

角形不能被唯一确定.

(1)从代数的角度分析“已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角”时三角形解的情况，下面以已知

〃力和A,解三角形为例加以说明.

由正弦定理、正弦函数的有界性及三角形的性质可得：

①若sin4二”生且>1,则满足条件的三角形的个数为0；

a

②若="=L则满足条件的三角形的个数为k

③若5出8=/产<1,则满足条件的三角形的个数为1或2.

显然由0<4]8=缙4<1可得8有两个值，一个大于90。，一个小于90、考虑到“大边对大角”、“三

角形内角和等于180。”等，此时需进行讨论.

(2)从几何的角度分析“已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角“时三角形解的情况，以已知〃力和

(2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁.

无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能.注意

挖掘隐含条件，重视角的范围对三角函数值的限制.

6.三角形的面积公式

(1)常用的三角形的面积计算公式

①ga•4,=-hb=yc--h(.{ha,hb,he分别为边a,b,c上的高).

②将儿=6sin。，hh=csinJ,儿.=asinb代入上式可得S.48c=；1〃sinC=；AcsinX=；acsinN，即二

角形的面积等于任意两边与它们夹角的正弦值乘积的一半.

(2)三角形的其他面积公式

①S△册=尸其中匚/分别为AA4C的内切圆半径及△A3C的周长.

6_1,sin5sinC1,sinAsinC_1,sinAsinB

②S△/二E。-如4'SMBCR-皿4，$△杵sinC

【知识点2测量问题】

1.测量问题

⑴测量距离问题的基本类型和解决方案

当AB的长度不可直接测量时，求AB的距离有以下三种类型:

类型筒图计算方法

测得AC»,BC=a,C的大小，则由余弦定理

A,B间不可达

也不可视