2026年高考数学复习（全国）函数的单调性、奇偶性、对称性与周期性（解析版）

专题2.4函数的单调性、奇偶性、对称性与周期性（举一反三专项训练）

【全国通用】

目录

!第一部分题型专练

\【题型1函数单调性的判断及单调区间的求解】....................................................1

!【题型2根据函数的单调性求参数】..........................................................3

!【题型3函数的最值问题】.......................................................................5

!【题型4函数的奇偶性及其应用】................................................................7

'【题型5利用函数的性质比较大小、解不等式】....................................................9

：【题型6函数的周期性】........................................................................11

!【题型7函数的对称性】........................................................................13

|【题型8函数的图象问题】......................................................................14

；【题型9原函数与导函数的单调性、奇偶性】.....................................................17

第二部分分层突破

组基础跟踪练

组培优提升练

题型专练

【题型1函数单调性的判断及单调区间的求解】

I.（25-26高一上•河南驻马店•期中）函数/（x）=V3-2-5%-2的单调递增区间是（）

1

A.(-8,§B•6+8)C.co,--D.(2,+8)

【答案】D

【解题思路】先求出函数的定义域，再根据复合函数的单调性求解即可.

【解答过程】由t=3x2-5x-2>0,解得为<一：或％N2,

所以函数的定义域为（—8,一刍U[2,4-00）,

因为C在（-8,上单调递减，在（2,+8）上单调递增,

又因为y=4为单调递增函数，

所以函数y=/(无)的单调递增区间是(2,+8).

故选:D.

2.(2025・湖南永州•模拟预测)下列函数中既是奇函数又是增函数的为()

A./(X)=-x3B./(X)=2^

C./(x)=-1D./(x)=Vx

【答案】D

【解题思路】逐项判断函数的奇偶性和单调性即可.

【解答过程】对于A：函数/(幻=-二为奇函数，在(-8,+8)上单调递减，不符合；

对于B：函数/(外=2团为偶函数，不符合；

对于C：函数/(%)=-［为奇函数，在(-8,0)和(0,+8)分别单调递增，但在整个定义域上不具有单调性,

不符合：

对于D：函数/(X)=板为奇函数，在(-8,+8)上单调递增，符合题意.

故选：D.

3.(25-26高一上•广东深圳•期中)已知函数/■(%)=上-2)|3-%|,则函数f(%)的单调增区间是()

A.(一8,2.5)和(3,+8)B.(-00,2.5)

C.(2,2.5)和(3,+8)D.(2,2.5)

【答案】A

【解题思路】讨论X的取值范围，化简/■(%),结合二次函数的单调性，即可确定答案.

【解答过程】由于函数f(x)=a-2)|3I，

当％<3时，/(x)=(%-2)(3-X)=一/+5%-6,

由于/(%)=-x2+5x-6图象的对称轴为3=则函数在(一嘴)上单调递增，

当x>3时，f(x)=(x—2)(x—3)=x2—5x+6,

由于/X%)=x2-5x+6图象的对称轴为％=会则函数在(3,+8)上单调递增，

故函数/(%)=(无一2)|3—川的单调增区间是(—8,2.5)和(3,+8).

故选：A.

4.(25-26高一上•江西•期中)已知/'(%)是定义域为［0,+8)的减函数，则/(4—均是()

A.定义域为［0,+8)的增函数B.定义域为(-8,4］的增函数

C.定义域为［0,18)的减函数D.定义域为(8,4］的减函数

【答案】B

【解题思路】先根据f(x)的定义域求出/(4-％)的定义域，再通过复合函数单调性判断其单调性.

【解答过程】因为/(外的定义域为［0,+8),所以/(4一%)的定义域为(一8,4］,

令〃=4—%,M/(4-x)=/(u),

〃=4一%是一次函数，在定义域(一8,4］上是减函数；

已知“外是定义域为［0,+8)的减函数，所以f(〃)在定义域［0,+8)上是减函数，

根据复合函数“同增异减”的单调性原则，u=4-x为减函数，/(〃)为减函数，两者单调性相同，因此/'(4-x)

在定义域(-8,4］上是增函数.

故选:B.

【题型2根据函数的单调性求参数】

5.(2025・河北保定•二模)若函数/(%)=|2'一m|在［1,2］上单调，则m的取值范围是()

A.(0,2］B.［4,+8)

C.(-8,2］U［4,+8)D.(0,2］U［4,+oo)

【答案】C

【解题思路】根据指数函数y=2、的单调性可知2、€［2川.对m的取值范围进行分类讨论去绝对值，结合指数

函数的单调性即可求解.

【解答过程】当［1,2］时，根据指数函数y=2%在R上单调递增,可知2%W［2,4］.

当mW(-8,2］时,2x-m>0,所以f(%)=|2%-刈=2%-m,/(%)在［1,2］上单调递增;

当加£(2,4)时,的=|2"-皿=修二鬻：枇：鬻,用在口,2］上不单调;

当?nW［4,+8)时，2x-m<0,所以/'(x)=|2幺一zn|=m-2。/(%)在［1,2］上单调递减.

综上，mG(-00,2］U［4,4-00).

故选：C.

\x2-ax

6.(2025・山东济宁•二模)若函数f(x)=G)在［1,+8)上直调递减，则实数a的取值范围是()

A.a<2B.a>2C.a<1D.a>1

【答案】A

【解题思路】f(x)=G)/-ax是由y=G)“与〃=x2_Q%复合而成，先分析外层函数单调性，再根据复合函

数单调性确定内层函数单调性，进而求出a的取值范围.

【解答过程】/(x)=C)"2-ax是由y=G)u与a=X2-Q%更合而成，

在)，=(；)口中，b=l,,所以y=弓尸在R上单调递减.

因为/(%)=(9/-数在[1,+8)上且调递减，且外层函数y=G)“在R上单调递减，

根据复合函数“同增异减''的原则，可知内层函数〃=x2-ax在[1,+8)上单调递增.

对于二次函数〃一工2一以，K图象开口向上，对称轴为％一一三•一

二次函数在对称轴右侧单调递增，要使〃=x2-a%在[1,+8)上单调递增，

则对称轴需满足]W1,解得aW2.

故选：A.

7.(2025・河北•模拟预测)若函数/(幻=¥°及("+22-2<X-\在(—2,+oo)上单调递增，则机的取

"3>1

值范围是()

A.(-oo,l]B.[-1,1]C.[0,1]D.0+8)

【答案】C

【解题思路】根据分段函数的性质结合已知条件对函数进行分段讨论，当-2<%W1,根据对数函数性质得

出函数单调性和最大值，当x>L对函数求导，结合函数单调递增，列出关「m的不等式①并得出八%)在

(1,+8)上的最小值，再利用时的最小值不小于一2Vx<1时的最大值，列出关于m的不等式②，合并

求出H的取值范围.

【解答过程】若一2Vx&L/a)=log3a+2),因为底数3>1,对数函数/(%)为单调递增函数，

f(x)在(-2,1]上的最大值为f(1)=log3(2+1)=1.

若x>l,/(x)=x4-p求导得/(x)=l-蓑，

要使/'CO单调递增，则需满足/''(%)=1-要20①对所有%>1恒成立，解得mW/,

因为x>l,则所以mWl,

若/(外在(-2,+8)上单调递增，则1+mN1②，解得mNO,

所以0<m<1.

故选:C.

8.(2025.河北•模拟预测)已知函数/•(%)=痂高荔筋在(0,2)上单调，则实数a的取值范围为()

A.(—co,0]B.(—oo,0]u[2,+oo)

C.(-oo,2ju[2V2,+oo)D.[0,2)U(2,2阳

【答案】A

【解题思路】根据对数函数的性质可得不等式/-必+3>1在(0,2)上恒成立，利用分离参数法和基本不等

式可得Q<2或.再结合复合函数的单调性及二次函数的性质即可求解实数a的取值范围.

【解答过程】由题意可知，logzG?-奴+3)>0在(0,2)上恒成立，

所以/一ax+3>1在(0,2)上恒成立，

即a<x+:在(0,2)上恒成立.

又由基本不等式可得％+：之2口1=2混，当且仅当％=鱼时，取得等号，

所以aV2或.

因为函数/■(%)在(0,2)上单调，

2

所以g(x)=log2(x-ax+3)在(0,2)上单调,

由复合函数单调性可知y=x2-ox+3在(0,2)上单调，

所以结合二次函数的性质可得：：工0或：22,解得aW0或a24.

综上所述，实数Q的取值范围为aW0.

故选:A.

【题型3函数的最值问题】

9.(25-26高三上・甘肃白银・月考)已知函数/(无)=鼻，则/⑺在区间口,3]上的最大值、最小值分别为()

A.最大值为1,最小值为;B.最大值为:，最小值为:

442

C.最大值为1,最小值为]D.最大值为：，最小值为]

343

【答案】B

【解题思路】令t=x+l£[2,4],结合对勾函数的性质求出外层函数的最值即可.

【解答过程】函数/(口二三二(门】)2-2,+1)+1=%+1+白_2,

,X+lX+lX+1

令t=x+1E[2,4],则f(%)=g(t)=t4-；-2,

V

由对勾函数的性质得，函数g(t)在[2,4]上单调递增，

故当t=2,即％=1时，f(幻min=3当t=4,即X=3时，fCOmax=:•

故选:B.

10.(25-26高三上•安徽•期中)若八口二忱|+|%-2|+反一4|+优-6|+归一8|,则f(%)的最小值是()

A.12B.14C.16D.20

【答案】A

【解题思路】根据函数解析式作出函数图象，由图象求解.

【解答过程】由fG)=|x|+|x-2|+|x-4|+|x-61+lx-8h

当x<0时，f(x)=-x+2-x+4-x+6-x+8-x=-Sx+20,

当0<x<2时，/(%)=x+2—x+4—x+6—x+8—x=—3x+20,

当2<xW4时，/(%)=x+x—2+4—x+6—x+8—x=—x+16,

当4cxM6时，fM=x+x-2+x-44-6-x+8-x=x+8,

当6<x<8时，/(x)=x+x—2+x—4+x—6+8—x=3x—4,

当x>8时，/(x)=x+x—2+x—4+x—6+x—8=5x—20»

作出f(x)的图象如图所示，

即/(%)在(-8,4]上单调递减，[4,+8)上单调递增,

所以当％=4时，f(x)取最小值，即/"(4)=4+2+0+2+4=12.

故选:A.

11.(25-26高一上•北京•期中)已知函数/(乃二仁；]。？若函数/(幻存在最小值，则实数k的

xx~-2%+kfxN0

取值范围为()

A.(-2,1)B.[-2,1]

C.(-co,-2)U(1,4-co)D.(-oo,-2]U[l,+oo)

【答案】B

【解题思路】首先分析函数在各段的单调性，即可求出/(%)的取值范围，结合函数存在最小值得到不等式,

解得即可.

【解答过程】因为/■(%)=［一:一5“

(%2-2x+k,x>0

当％<0时/(%)=—X—k2+1,所以f(%)在(—8,0)上单调递减，则/'(%)>—k2+1；

当x>0时/(%)=x2-2x+k=(x-I)2+k-1,所以f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增，

所以/•(%)2/(1)=k-l,

要使函数/(幻存在最小值，则k—1工一/+1,解得一2WkW1,

即实数k的取值范围为

故选:B.

12.(25-26高三上.湖北武汉・月考)已知/•(%)是R上的奇函数，且/(%)=/(2-％),若f(外在［。,1］上单调递

增，且f⑴=2,则f(x)在R上的最小值是()

A.-1B.-2C.-3D.4

【答案】B

【解题思路】分析可知，函数”均是周期为4的周期函数，且该函数的图象关于直线％=1对称，只需求该函

数在［-1,1］上的最小值，结合单调性与奇偶性可得答案.

【解答过程】因为/(幻是R上的奇函数，且/(幻=/(2—%),则，(%)=/(2-幻=一/仁一2),

所以/(%+2)=-/(x)=f(x-2),即/(%+4)=/(%),

故函数/(无)是周期为4的周期函数，

又因为/(')=/(2-X),所以函数/(%)的图象关于直线％=1对称，

要求函数f(x)在R上的最小值，只需求该函数在区间［-1,3］上的最小值，

由对称性，只需求该函数在区间［-1,1］上的最小值，

因为函数/(外是奇函数目在［0,1］上单调递增，则该函数在上单调递增，

故函数f(%)在［-1,1］上单调递增,故f(%)min=/(-I)=—f(l)=-2.

故选：B.

【题型4函数的奇偶性及其应用】

13.(2025・山东・三模)已知/(%)=含+”为偶函数，则a的值为()

A.1B.-1C.2D.-2

【答案】A

【解题思路】利用偶函数的定义可求出Q的值.

【解答过程】由/一1不0可得工工0,故函数f(x)的定义域为{RXHO},

因为函数/(均为偶函数，则/•(—£)=/(%),

ari2%2X

即一E-ax=K+a”'

所以-2ax=新c^-l；+子cX-二1=告e*-vl+Je*(e：*：-11)、=告e*-7l一e等*-l;="e(x；-—l：)=-2%对任意的工不。恒成立，

故-2Q=-2,解得Q=1.

故选：A.

14.(2025•广东佛山•一模)设/(》)是定义在R上的奇函数，当》>0时，fM=3+log2x,0l!|/(-2)=()

77

A.-B.--C.4D.-4

22

【答案】D

【解题思路】根据奇函数的性质将f(-2)转化为-/"(2)即可.

【解答过程】•••/■(%)是定义在R上的奇函数，

/■(-2)=-/(2)=-(3+log22)=-4.

故选：D.

15.(2025・浙江丽水•一模)定义在R上的两个函数/(幻,g(x),恒有/^(不)=或/),则()

A./(%)为奇函数B./(幻为偶函数

C.g(x)为奇函数D.g(x)为偶函数

【答案】B

【解题思路】借助函数奇偶性定义计算即可得.

【解答过程】由产(%)=。(%2),则/3(一%)=gK*]=9(/)=/3(X),

则/(-%)=/'(%),又f(%)定义域为R,故/•(%)为偶函数,故B正确；

由已知得不到g(x)与仪-幻关系，也得不到/•(%)+/•(一%)是否为0,故A、C、D错误.

故选：B.

16.(2025・云南•模拟预测)已知/(%)是定义域为R的偶函数,且f(x+1)-1为奇函数，则/(2)+/(3)+/(4)=

()

A.6B.5C.4D.3

【答案】D

【解题思路】根据奇函数与偶函数的性质，可得函数的对称性，用得答案.

【解答过程】由函数/(%)为偶函数，则y轴为该函数图象的一条对称轴；

由函数/(%+1)-1为奇函数，则原点为该函数图象的一个对称中心.

由函数/'(x+D-i的图象先向右平移一个单位，再向上平移一个单位，可得到函数/(%)的图象，

则Q1)是函数/(%)的一个对称中心.

所以直线％=2是函数/(%)图象的对称轴，(3,1)是函数八%)图象的对称中心，

由等=3,则/(2)+/(4)=2,所以八2)+/(3)+/(4)=3.

故选：D.

【题型5利用函数的性质比较大小、解不等式】

17.(2025•云南•模拟预测)已知f(%)是定义在R上的奇函数,且/'(1)=1,若对任意的乙,X2G(0,+OO),

均有/(必)-/(乃))1成立，则不等式/(X-1)+1>》的解集为()

必一不

A.(0,1)U(2,+oo)B.(-2,0)U(2,+8)

C.(-co,-2)U(0,1)D.(-2,-1)U(0,1)

【答案】A

【解题思路】根据小上皿>1,设函数g(x)=/a)—，则9(%)=/(幻一》在(0,+8)上递增，判断g(x)=

xl-x2

f(x)-%也是是定义在R上的奇函数，可得gQ)=/(幻-%在(-8,0)上递增，分类讨论列不等式求解即可.

【解答过程】因为对任意的.,小€(0,+8),均有>1成立，不妨设小>%>0,

Xi.-X2

则勺一％2V。，所以/(%1)-f(%2)V一必</(勺)一无1<f(Q)-X2,

令0(X)=fW-X,则g(x)=/(.r)-X在(0,+8)上递增,

因为/(%)是定义在R上的奇函数，所以g(x)=/(X)-%是定义在R上的奇函数，

所以g(x)=fM一”在(-8,o)上递增，

不等式/■(%-1)+1>%化为/'(%-1)-(x-1)>0=>g(x-l)>0,

因为/"(1)=1,所以/'(1)—1=0,即g(l)=0,所以g(-l)=-g(l)=0,

则/("一?>,(1),即：俨—：>：=%>2,所以％>2,

或［g(xT)>凹一1),即：=0vxvl,所以0<xvl,

所以不等式/(x-1)+1>x的解集为(0,1)U(2,+00),

故选:A.

18.(2025♦辽宁本溪•模拟预测)已知定义在R上的函数/(%-1)的图象关于直线3=1对称，且户汉)在(-8,0)

上单调递减.设Q=/(log23),b=/(ln3),c=/(igj,则()

A.a<b<cB.b<c<aC.c<a<bD.c<b<a

【答案】D

【解题思路】通过函数的奇偶性和单调性即可判断.

【解答过程】因为/'(x-l)的图象关于直线x=l对称，所以/'(%)的图象关于y轴对称，所以/■(%)为偶函数，

又/(%)在(一8,0)上单调递减，所以/•(%)在(0,+8)上单调递增.

由题得c=/(lg^)=/(-Ig9)=/'(馆9)，

又0<lg9<1,因0Vln2<1,则log23=>ln3>1

所以/"(29)V/(ln3)V/Qog23)，

即c<b<a.

故选：D.

_2

19.(2025重庆二模)已知函数/(%)是定义在区上的偶函数，且f(x)在(-8,0)上为增函数，设a=(；厂,

d=35,c=(-3范则/(a),/(b),f(c)的大小关系是()

A.f(a)>f(b)>/(c)B./(a)>f(c)>f(b)

C.f(c)>f(b)>f(a)D./(c)>/(a)>f(b)

【答案】B

【解题思路】易得函数/(x)在(0,+8)上为减函数，再利用指数函数和累函数的单调性得到b>c>a>0求

解.

【解答过程】因为函数fCO是定义在R上的偶函数，且/■(%)在(-8,0)上为增函数，

所以函数人幻在(0,+8)上为减函数，

又a=5=2s<3s=(­3)5=c,/?=35>3s=(―3)s=c,

所以b>c>a>0,则/(a)>/(c)>f(b),

故选：B.

20.(2025•河北石家庄•三模)已知f(%)是定义在R上的奇函数,当％1、小6(。，+8)且％1W电时，都有

辿斗乜毕2>。成立，/'(2025)=2025,则不等式/(%)-x>0的解集为()

A.(-8,-2025)U(2025,+8)B.(-2025,0)U(2025,+oo)

C.(-2025,2025)D.(-短，表)

【答案】B

【解题思路】对包驾口竿>0进行变形，得出函数g(x)=®的单调性，再利用函数的单调性和奇偶性解

X1X2(X1~X2)x

不等式.

/(Xi)/(X2)

【解答过程】由应八打,一"(：2)>0可得孙X2>0,设函数g(%)=&2,xe(0,+00),

xlx2工1一切X

则C(x)在(0,+8)上单调递增，

乂因为/(幻为定义在R上的奇函数，g(—幻二止之=仪外，所以g(x)为偶函数，g(x)在(一8,0)上单调递减,

-y

而不等式f(x)-x>0=｛需2:端，

又因为/(2025)=2025,所以为2025)=g(-2025)=1,

所以不等式的解集为(一2025,0)U(2025,+8).

故选:B.

【题型6函数的周期性】

21.(2025•福建泉州•模拟预测)定义在R上的奇函数外根满足f(x4-2)=f(x),且当0<x<1时，f(x)=

-%2+x,则f(弓)=()

A-3B-C.:D.一；

【答案】D

【解题思路】根据条件，利用函数的性质，得/(2)=—/(£)，再将％=¥弋入/■(%)=—/+工，即可求解.

【解答过程】因为/(幻奇函数，又f(%+程=/"(%),知/"(%)的一个周期为T=2,

所以f管)=/(2x3-3=f(W)=vG)，

又当OVxWl时，/(x)=-x2+x,所以/©=—G)=i则/(£)=_%

故选：D.

22.(2025•福建泉州•模拟预测)已知定义域R上的函数〃幻满足fG+2)=-f(x),且当%e［0,2］时，“幻=

x2-2%,则f(2025)=()

A.-2B.-1C.0D.1

【答案】B

【解题思路】求得函数f(x)的周期，利用周期函数的性质求解即可.

［解答过程］由/(%+2)=-/(%),可得+4)=-f(x+2)=/(x),

所以/(%)是周期为4的周期函数，

所以/(2025)=/(4x506+1)=/(I)=l2-2x1=-1.

故选:B.

23.(2025・全国・模拟预测)已知函数/(%)及其导函数，(%)的定义域均为/?,记9(幻==f(2x-1)+1

是定义在R上的奇函数，且/1(2%+1)的一个冏期为2,则()

A.2为外幻的周期B./(2025)+/'(-2023)=2

C.g(-x}=gMD.。(3+幻=。(3-幻

【答案】D

【解题思路】根据函数奇偶性，得到对称性和周期性，逐个计算判断即可.

【解答过程】因为y=f(2x-1)+1是定义在R上的奇函数，

所以f(-2x-1)4-1+f(2x-1)+1=0,

所以/(-X-1)+/(x-1)=-2,

所以/(x)关于(-LT)对称，且/(-I)=-1,

又/(2X+1)的一个周期为2,

所以f\2(x+2)+1]=f(2x+1),即f(2x+5)=f(2x+1),

所以/(x+4)=/(x),所以f(x)的周期为4,所以A选项错误；

因为f(—x—1)+f(x—1)=-2,

所以f(-%)+f(x—2)=-2,

又f(%)的周期为4,即/(x-2)=/(x+2),

所以/(-X)+f(x+2)=-2,

所以/•(一2023)+“2025)=-2,所以B选项错误；

因为/(-x)+/(X+2)=-2,/(x+4)=/(x),

所以-fX-x)+fix4-2)=0,ff(x+4)=f(x),

即一9(一%)+g(x+2)=0，g(x+4)=g(x)，

所以-g(-x)+g。-2)=0，-g(-x)+g(x+6)=0，

所以g(一无)=g(无一2)，g(x+3)=g(3-%)，

所以C选项错误，D选项正确.

故选：D.

24.(2025•江苏南通•模拟预测)设f(x)是定义在R上的函数,对V%,yWR,有f(x+y)-f(x-y)=f(x+

l)/(y_1)，且f(2)=-2,贝行(/(2025))=()

A.2B.-2C.1D.-1

【答案】A

【解题思路】根据给定条件，利用赋值法探讨函数的周期，再求出函数值.

【解答过程】函数/(%),对v%,yeR,有f(x+y)-f(X-y)=/(%+Df(y-1)，

取X=y=l,得/•(2)-f(0)=f(2)/(0),而〃2)=-2,则/'(0)=2,

对WR,令y=1,得f(x+1)-f(x-1)=f(x+1)/(0)=2f(x+1),

即/(x+1)=—/(%—1),因此/Q+4)=-f(x+2)=—[—/Q)]=/(x),函数/(x)周期为4,

令《=y=0,得=0,而/(工+1)=-/(%—1),则/(1)=一/(-1)=0,

所以/。(2025))=/(/(1))=/(0)=2.

故选:A.

【题型7函数的对称性】

25.(2025・四川・三模)已知函数/(%)=/一无，则函数y=/(又+2)+2的图象()

A.关于点(—2,2)对称B.关于点(2,-2)对称

C.关于直线x=2对称D.关于直线工=-2对称

【答案】A

【解题思路】由函数的奇偶性可得人幻为奇函数，再结合函数的平移变换即可得到结果.

【解答过程】因为/(-程=(-X)3-(-X)=-X3+%=-/(X),则f(%)为奇函数,

所以/(幻的图象关于原点对称，

函数y=/(X+2)+2的图象可由f(x)的图象先向左平移2个单位，再向上平移2个单位得到，

所以函数y=f(x+2)+2的图象关于点(一2,2)对称.

故选：A.

26.(2025・辽宁•三模)已知定义在R上的函数/(外满足/X2x+1)为奇函数，且/'(%)的图象关于直线工=2对

称，则2凿5f⑴=()

A.-1B.0C.1D.2

【答案】B

【解题思路】通过已知条件推导出函数的对称中心、对称轴，进而得出函数的周期，再利用周期的性质计算

给定求和式的值.

【解答过程】由/'(2x+l)为奇函数，得/•(-2%+l)+f(2%+l)=0,

所以/(%)图象的对称中心为(1,0)，令x=0=/(I)=0

由/(%)的图象关于直线3=2对称,得/(2+x)=/(2-x),

由｛卷)(二/')二;得/(*+2)=-/(%)>所以/(%+4)=-/(%+2)=/(%),

则/(%)的一个周期为4,则/\1)+/(3)=0/(2)+/(4)=0,

则S-=15f。)=506x[/(I)+/\2)+/-(3)+/(4)]4-/(2025)=506x[/(I)+/(2)+/(3)+f(4)]+

/⑴=0.

故选:B.

27.(2025・河南・一模)已知曲线丫=历史一无+。关于点(一1,0)中心对称，则。=()

A.2B.1C.-1D.-2

【答案】C

【解题思路】由题意可知/'(-2-;v)十/•(尤)=0,计算即可得出结果.

【解答过程】因为y=ln£—x+a关于点(一1,0)中心对称，

所以/(-2—幻+/(、)=0,

所以历三三一(—2—%)4-a+】n击—x+a=0»可得Q=-1,

故选:C.

28.(2025.河南郑州.三模)已知函数/•(.*)是定义在R上的奇函数，函数g(x)=(x-3)/(幻的佟象关于x=3

对称，若仪-2)=-5,则/(4)=()

A.-3B.-1C.0D.1

【答案】D

【解题思路】由函数的对称性和奇偶性，通过赋值x=-2/=2*=4即可得到答案.

【解答过程】因为。(一2)=(-2-3)f(—2)=-5/(-2)=一5,所以f(-2)=1,

因为f(x)是奇函数，/(2)=-A-2)=-1,所以g(2)=(2-3)f(2)=l,

因为函数g(x)=(x-3)/(%)的图象关于％=3对称，所以g(4)=g(2)=1,

即g(4)=(4-3)/(4)=f(4)=1.

故选：D.

【题型8函数的图象问题】

29.(2025・四川成都•三模)函数/'a)=x的图象是()

【答案】D

【解题思路】分x>0、％<0将函数解析式化简，分别说明函数的单调性与函数的取值情况，即可判断.

【解答过程】函数/(x)=x+4的定义域为

当x>0时/•(%)=%+1,所以/'(%)在(0,+8)上单调递增，且

当x<0时/'(%)=x-1,所以f(x)在(一8,0)上单调递增，且/'(x)<-1.

所以符合题意的只有D.

故选：D.

30.(2025・贵州遵义♦模拟预测)已知函数/■(%)的部分图象如图所示，则/'(%)的解析式可能为()

【答案】D

【解题思路】利用排除法，根据函数定义域、奇偶性以及单调性分析判定即可.

【解答过程】由图可知：函数八%)的图象关于)，轴对称，定义域有两个间断点,

对于选项A：令忱|一1工0,解得％H±1,可知/(%)的定义域为

且/(一切==-rh=一/(幻，可知函数/(幻为奇函数，

|一”|一1|X|-1

其图象关于原点轴对称，故A错误：

对于选项B：令1一/工0,解得》*±1,可知/"(%)的定义域为{汨％。±1},

当时，/(X)=2=-^2=

''l-Xl-xX--X

因为y=；一%在(1,+8)内单调递臧，函数/X%)在(1,+8)内单调递增，故B错误；

对于选项C：因为反|+1>0,可知/(幻的定义域为R,故C错浅；

故选:D.

31.(25-26高一上•河北邢台・期口)函数/•(%)=%5-5炉+4%的大致图象为()

【解题思路】根据奇函数的定义，结合特殊点运用排除法进行判断即可.

【解答过程】因为/•(%)的定义域为R,

且/(r)-(-x)5-5(-x)3+4(-x)=-x5+5x3-4x=-f(x),

所以外幻是奇函数，排除D.

乂因为/(幻=x(x2-4)(/-1)=x(x4-2)(x-2)(x+l)(x-1),

所以f(1)=/(-l)=/(2)=/(-2)=0,排除A.

当父€(0,1)时，/(x)>0,排除B.

故选:C.

32.(2025・天津•二模)已知函数f(x)的图象如图所示，则该图象所对应的函数可能是()

A./(x)=B./(x)=2^1-2

C./(x)=Z|x|—x2D./(x)=e㈤—|x|

【答案】C

【解题思路】对各选项的单调性与函数值的情况一一判断，利用徘除法即可得解；

【解答过程】对于A：f(x)=矗，当工<0时，/(X)<0,故排除A；

对于B：当％NO时，函数y=2》-2为增函数，当0时，函数y=2一一2为减函数，故排除B；

对于D,当>>0时，/-(x)=ex-x,//(x)=ex-l>0,所以f(x)在(0,+8)上单调递增，故排除D：

对于C,/'(%)=2m一％2为偶函数，由/(%)=0可得％=±2,±4,满足图象，故C正确.

故选：C.

【题型9原函数与导函数的单调性、奇偶性】

33.(2025・河南信阳•模拟预测)-知函数y=f(x)的定义域为R,其导函数为广⑴，若函数y=f(2x+1)+1

与0=/。+2)都是奇函数，且/⑶=一2/⑴,则E窗5,(女)=()

A.-3B.3C.-6D.6

【答案】A

【解题思路】根据函数是奇函数求导得出2/(2%+1)=2f(-2x4-1),再结合导函数是奇函数，进而得出周

期计算求值.

【解答过程】由/(2x+l)+,为奇函数，可得

f(2x+1)+1=-/(-2x+1)-1，

两边分别求导，可得

2f\2x+1)=2/,(-2x+1),

即「(均关于直线％=1对称，

且。=/(％+2)为奇函数,

所以尸(2)=0,

且广(%)关于(2,0)对称，

故4是((无)的一个周期.

又由/•'(%)关于(2,0)对称，

所以尸(1)+/(3)=0,

又/'(%)关于直线x=l对称，

所以尸(0)=((2)=0,

即((1)+/(2)+/(3)+/(4)=0.

由/(2%+1)+3为奇函数，可得

f(l)+?=0，

故.(3)=-2/(1)=3，

所以沈曾/'(k)=506x0+/⑴=一/⑶=-3.

故选：A.

34.(2025・重庆•三模)设函数/(工)的定义域为R,(。)是/'(X)的导函数.若/'(x+1)是奇函数，则((x)的图

象()

A.关于(1,0)对称B.关于x=1对称

C.关于(—1,0)对称D.关于％=-1对称

【答案】B

【解题思路】由题意得/(x+1)+/■(-x+1)=0,求导得/(3+1)-/(一％+1)=0,即可求解.

【解答过程】因为/(%+1)是奇函数，所以/'(%+1)=-/(-%+1),即/(%+1)4-f(-x+1)=0,

对其求导，则有/(％+1)-,(一％+1)=0,所以/'(%)关于直线工=1对称.

故选：B.

35.(2025・安徽蚌埠•三模)已知函数/(%)及其导函数/'(%)的定义域都是R,若函数是偶函数，f'(x)+

眇+x也是偶函数，且/则实数。的取值范围是()

A.(-co,i)B.&+8)C.Q,1)D.(_8,?U&+8)

【答案】D

【解题思路】由偶函数的定义结合导数可得出尸(%)=一/(一外，由已知可得出产(%)+铲+%=/(-幻4-

可求出广(；0的表达式，利用导数分析函数/''(%)的单调性，可知函数/(%)在［0,+8)上为减函数，

再由/可得出/•(|。|)>/(|3。-1|),可得出关于实数a的不等式，解之即可.

【解答过程】因为fG)为偶函数，则/(%)=/(—%),等式两边求导可得/。)=-尸(一切，①

因为函数/(%)+眇+”为偶函数，则.(%)+眇+为=((—)+「一X,②

联立①②可得((%)=三苦一X,

令0(x)=f'(x)，则g'(x)=---1<0,且g'(x)不恒为零,

所以，函数g(x)在R上为减函数，即函数广(幻在R上为减函数，

故当》>0时，((幻〈((0)=0,所以，函数/(外在［0,+8)上为减函数，

由/⑷>/(3a-1)可得/(⑷)>f(\3a-1|),

所以，|Q|<|3a-1|,整理可得8Q2—6Q+1>0,解得Q<：或Q>：.

故选：D.

36.(2025•江西・一模)已知可导函数f(x)的定义域为R,/(乃是/'(%)的导函数，且/(2%-1)为偶函数

/''(2乂+1)为奇函数，/(0)=1,则，(2024)+/'(2025)十/''(2026)=()

A.-2B.-1C.0D.1

【答案】C

【解题思路】由题意可得尸(l—t)+/'(l+t)=0,由函数奇偶性的定义得出/•(一t-1)=/(£-1),求导得

出-((一-1)=:Q—1),进而可推出函数尸(%)是周期为4的周期函数，以及函数:(外的对称中心为(1,0),

求出尸(1)、尸(0)+/(2)的值,结合函数周期性可求得0(2024)+尸(2025)+f(2求6)的值.

【解答过程】因为函数尸(2%+函为奇函数,则/(一2%+1)=-/(2%+1),

BP/z(-2x+1)+f\2x+1)=0,令t=2x,则/(1一。+/(1+£)=0,

所以，函数尸⑺的对称中心为(1,0),且尸(2-£)+(«)=0,①

在等式①中，令£=1可得2，(1)=0,解得/(1)=0,

在等式①中，令£=0可得/(0)+/(2)=0,

因为函数/(2x-1)为偶函数，则/(一2%-1)=f(2x-1),

令£=2%,可得/(一七一1)二/(£一1),求导得一广(一£-1)=尸(£-1),

则广⑴+((-2-。=0,②

由①②可得尸(2-。=/(一2-。，令s=-2-则/(4+s)=/<s),

所以，函数r(x)是周期为4的周期函数，

所以，尸(2024)+f<2025)+尸(2026)=尸(0)+/(1)+/(2)=0.

故选：C.

一、单选题

1.(2025•江西•模拟预测)已知函数f(x)为偶函数，当不<0时，/(X)=M/(l)=()

A.|B.-|C.6D.—6

【答案】D

【解题思路】根据偶函数的定义得到/(-%)=/(%),代入计算即可.

【解答过程】因为函数/(%)为偶函数，所以/(-%)=/(%),当久<0时，f(x)=詈，

则/⑴=/(-1)=春=-6.

故选：D.

2.(2025・上海金山,三模)下列函数中，既是奇函数又是增函数的是()

A.y=x2B.y=x3C.y=2XD.y=Inx

【答案】B

【解题思路】由函数奇偶性和单调性的定义依次判断各选项即可.

【解答过程】对于A.、二逆是偶函数，不是奇函数，故A错误；

对于B,y="3是奇函数，且是增函数，故B正确；

对于C,y=2、是非奇非偶函数，故C错误：

对于D,y=Inx是非奇非偶函数，故D错误.

故选：B.

3.(2025・吉林长春•二模)已知函数/■(%)=(%+a-2)(/+Q-1)为奇函数，则a的值是()

A.3B.1或3C.2D.I或2

【答案】C

【解题思路】根据奇函数在原点处有意义则八0)=0求出。的值，再将a的值代回原函数检验即可得解.

【解答过程】因为/(x)=(x+a-2)(x2+a-1)为奇函数，所以f(0)=(a-2)(a-1)=0,

解得a=1或a=2.

当a=l时，/-(x)=x2(x-l),n-x)=x2(-x-l)故a=1不合题意，舍去；

当a=2时，f(x)=x(x2+1),/(-x)=-x(x2+1)=-/(X),故a=2符合题意.

故选:C.

4.(2025・吉林长春•模拟预测)函数/"(%)=：+力的对称中心为()

A.(1,0)B.(0,0)C.(2,0)D.(1,1)

【答案】A

【解题思路】首先观察函数函数的定义域，得到对称中心的横坐标，再代入/口)+/(2-切求对称中心的纵

坐标.

【解答过程】因为/(%)=2+二;的定义域为(一8,0)U(0,2)U(2,+8),根据定义域对称且有对称中心，所以

XX-Z

对称中心横坐标为1,

由/(无)+/(2—x)=-+-^―+—4-^-=0»得对称中心纵坐标为0,

所以对称中心为(1,0).

故选：A.

5.(2025・湖南•模拟预测)已知函数/(%)是周期为2的偶函数，且当xG(0,1)时，/(x)=2、—1,则/(log23)

的值为()

A.--B.--C.-D.2

433

【答案】C

【解题思路】根据函数的周期性和偶函数的性质，结合对数的运算性质、代入法进行求解即可.

【解答过程】因为函数/'(%)是周期为2的偶函数，且当x6(0,1)时，/(x)=2^-1,

log

所以/(晦3)=/(log23-2)=/(log2;)=/(-log2^)=/(log23=24_i=1_i=1.

故选：C.

6.(2025・天津•二模)函数/(x)的部分图象如