函数的零点与方程的根+函数模型的应用【知识梳理+11个题型归纳+题型方法复习】原卷版-2025-2026学年高一数学（人教A版必修第一册）

函数的零点与方程的根+函数模型的应用

【知识梳理+11个题型归纳+题型方法复习】

【知识梳理+题型方法复习】

第一部分核心知识梳理

函数零点是连接函数与方程的桥梁，核心知识围绕“定义-判定-关系”展开，是解决各类题型的基础.

一、函数零点的核心定义

L代数定义：对于函数v=/(x)(X£。)，使〃x)=0的实数X叫做函数v=/(x)的零点(注意：零点

是“数”，不是“点”).

2.几何定义：函数歹=/(%)的零点就是函数图像与X轴交点的横坐标，即方程/(x)=0的实数根.

3.等价关系：函数y=/(X)有零点=方程/(x)=0有实数根o函数y=/(幻的图像与X轴有交点.

二、函数零点的判定定理(零点存在定理)

1.定理内容：如果函数歹=/(均在闭区间口,切上的图像是连续不断的一条曲线，并且有/(〃)•/(〃)<(),

那么函数y=/（x）在区间伍力）内至少有一个零点，即存在力），使得/（c）=0（这个。也就是方程

/。）=0的根）.

2.关键说明：

（1）定理的前提：函数图像在区间［。力］上“连续不断”，缺一不可（如分段函数在分段点处不连续，可能

不满足定理）；

（2）定理的结论：“至少有一个零点”，不排除有多个零点的情况；

（3）逆命题不成立：若函数在（。］）内有零点，不一定有/（。）・/3）<0（如/（x）=/在（-1,1）内有零

点0,但八一1）・，⑴=1〉0）；

（4）补充判定：若函数在々上单调且连续，且则函数在（。/）内有且仅有一个零点.

三、常见函数的零点特征

1.一次函数/（x）=h+〃（kwO）：有且仅有一个零点x二—g.

A

2.二次函数/（x）=QX?+bx+c（4工0）:

（D零点个数由判别式△=〃-4〃c决定：A>0有2个不同零点；△=（）有1个二重零点；4<0无零点；

bc

（2）零点与系数关系（韦达定理）；若零点为阳,当，则玉+占=-一，xx=—.

a］2a

3.指对嘉函数：

（1）指数函数/（》）=优+6（〃>0,。工1）：当6<0时，有且仅有一个零点；当620时，无零点；

（2）对数函数/（x）=logqX+6（。>0,。工1）：有且仅有一个零点x=〃-J

（3）基函数/（x）=x"+c：零点个数由〃的奇偶性和。的符号决定（如〃为奇数时，无论c正负均有一个

零点；〃为偶数时，c<0有2个零点，无零点）.

四、函数零点的三大核心思想

1.数形结合思想：将函数零点问题转化为函数图像与x轴（或两函数图像）的交点问题，通过画图直观分

析；

2.等价转化思想：将复杂函数的零点问题转化为简单函数（如二次函数）的零点问题，通过换元、变形等

手段简化求解；

3.分类讨论思想：当参数的取值影响函数的单调性、图像形状时，需按参数的不同范围分类分析，避免漏

解.

第二部分11类题型解题策略

题型1：函数的零点存在定理及求参数

一、核心逻辑

利用零点存在定理的“连续+异号”核心条件，判断零点是否存在；若已知零点存在，反向列不等式求参数

范围，注意需验证函数连续性.

二、解题步骤

LL判定零点存在：

（1）判断函数/（x）在区间上是否连续（分段函数需验证分段点处的连续性）；

（2）计算/（。）和/。）的值，判断是否满足/'（〃）•/3）<0；

2

(3)若满足，则区间(。力)内至少有一个零点；若不满足，需结合函数单调性进一步分析.

2.2.求参数范围(已知零点存在)：

(1)确保函数在区间［。,切上连续(列出参数需满足的连续性条件，若函数本身连续则省略)；

(2)由/'(〃)•/'3)<0列关于参数的不等式；

(3)解不等式，结合参数的隐含范围(如指数函数底数。>0,〃工1),确定参数的最终范围；

(4)验证边界值：当/(。)=0或/(6)=0时，需判断端点是否为零点，若题目要求“区间内有零点”(不

含端点)，则排除边界值.

三、名师点睛

1.若函数在区间内不连续，即使/'(。>/(力)<0,也不能判定有零点(如/(幻='在［-覃］上，

x

/(-1)/(1)=-1<0,但无零点)；

2.已知零点唯一时，需额外添加“函数单调”的条件(可通过导数判断单调性).

四、易错规避

1.忽略函数连续性的前提条件，直接用/(〃)•f(b)<0判定零点存在；

2.求解参数范围时，漏验证边界值导致范围扩大：

3.已知零点唯一时，未添加单调性条件，导致参数范围不准确.

题型2：用二分法求方程的近似解

一、核心逻辑

二分法是基于零点存在定理的“逐步逼近”方法，核心是通过不断将区间一分为二，缩小零点所在范围，

直到达到题目要求的精确度.

二、解题步骤

LL确定初始区间:找到闭区间始，句,使/'(人)在［小句上连续，且/(0)/(始<0(即零点在(出〃)内)。

2.2.计算区间中点：令。=与，计算/(c)的值。

3.3.判断中点函数值：

(1)若/(c)=0,则c就是方程的精确解；

(2)若/(〃)•/(，)<0,则零点在3,c)内，令b=c：

(3)若则零点在(c/)内，令。=c.

4.4.重复步骤2-3：直到区间［。,回的长度|力-。|<题目要求的精确度，此时区间内的任意一个值(通常取

中点或端点)均可作为方程的近似解.

三、名师点睛

L二分法仅适用于“连续且存在异号函数值”的区间，不适用于无零点或零点为二重根的情况(如/(x)=x2

在上，无法用二分法求零点)；

2.精确度的理解：若要求“精确度为0.1”，则区间长度需小于0.L此时区间内的所有值与真实零点的差

的绝对值均小于0.1.

3

四、易错规避

1.初始区间选择不当，未满足/（口＞/3）＜0,导致无法逼近零点；

2.混淆“精确度”与“有效数字”（如精确度0.1是指误差小于0.1,而有效数字3位是指从第一个非零数

字起保留3位）；

3.计算中点函数值时出错，导致区间缩小方向错误.

题型3：二次函数的零点分布问题

一、核心逻辑

二次函数的零点分布（即根的分布）问题，核心是利用“判别式+对称轴+区间端点函数值符号”三个维度

的条件，列不等式组求解参数范围，本质是数形结合思想的应用.

二、解题步骤

1.1.标准化二次函数：设=+6（QHO）,优先保证。〉0（若。＜0,可两边乘-1转化，

方便判断函数图像开口方向）.

2.2.明确零点分布类型（常见类型及条件）：

（1）两个零点都在区间（加,〃）内：

A=Zr-4ac＞0（有两个不同零点）；

m＜一■?＜〃（对称轴在区间内）；

2a

/（〃?）＞0且/（〃）＞0（区间端点函数值均为正，结合开口向上，确保零点在区间内）.

（2）两个零点分别在区间（一8,阳）和（〃,+8）内（m＜n）：

A＞0；

/（机）＜0且/（〃）＜0（开口向上时，端点函数值为负，确保零点在区间外）.

（3）一个零点在（〃z,〃）内，另一个零点在（〃,p）内（阳＜〃＜P）：

/（机）•/（〃）＜（）（零点在（〃z,〃）内）；

f（n）f（P）＜0（零点在（〃,p）内）.

（4）零点在区间［〃八〃］上有且仅有一个（含端点）：

情况1：/（机＞/（〃）＜0（异号或其中一个端点为零点）；

情况2：△=0且对称轴-3£［加,川（二重零点在区间内）.

2a

3.3.列不等式组求解：根据上述对应条件，列出关于参数的不等式组，解不等式组得到参数范围.

4.4.验证边界值：确保区间端点对应的参数值满足题意，排除不合理解.

三、名师点睛

1.解决二次函数零点分布问题，务必先确定开口方向（。的符号），开口方向不同，端点函数值的符号要求

也不同；

2.若题目中二次项系数含参数，需先讨论二次项系数为0的情况（此时函数变为一次函数），避免漏解.

四、易错规避

1.忽略讨论二次项系数为0的情况，直接按二次函数求解，导致漏解；

2.遗漏判别式条件（如两个不同零点需△＞（））,导致参数范围扩大；

3.对称轴范围写错.或端点函数值符号判断错误,导致不等式组列错.

4

题型4：指对幕函数+二次函数零点分布问题

一、核心逻辑

此类问题是“复合函数零点分布”的基础形式，核心是通过“等价转化”，将指对事函数与二次函数的复合

关系转化为二次函数的零点分布问题，再结合指对塞函数的定义域、值域限制求解参数范围.

二、解题步骤

LL明确函数结构：常见结构为/(x)=g(/7Cr)),其中〃(x)是指对累函数(内层函数)，g")是二次函数

(外层函数，令，=/幻).

2.2.等价转化：函数/(x)=0的零点Og(<=0的根％由对应的心)=h和心)=2的根.

3.3.分析内层函数的值域：根据指对幕函数的单调性，求出，=〃(x)的值域T(如力。)=2"值域

7=(0,+8)；h(x)=logflx,值域7=质).

4.4.转化为二次函数零点分布：结合3T,分析二次函数g")=0的根/"2与值域7的关系，列出对应的

二次函数零点分布条件(参考题型3的条件).

5.5.列不等式组求解：根据上述釜件列出关于参数的不等式组，解不等式组得到参数范围.

三、名师点睛

1.内层函数的值域是关键限制条件，如指数函数的值域为(0,48),则二次函数的根必须为正数；对数函数

的定义域为(0,+8),则需保证/心)=%有解时/>0;

2.若内层函数是单调函数，则以工)=Z的根的个数由/是否在川x)的值域内决定(在值域内有且仅有一个

根，不在则无根).

四、易错规避

1.忽略内层函数的值域限制,直接按二次函数零点分布求解，导致参数范围不准确;

2未.分析内层函数的单调性,错误判断〃(工)=，的根的个数；

3对.数函数的定义域未考虑,导致h(x)=t无解的情况被忽略.

题型5：根据函数的零点个数求参数+换元型的“二次函数”

一、核心逻辑

此类问题的核心是“换元法”，通过引入新变量匕将复杂的函数(如含F+3、2'+2T等形式)转化为

x

二次函数g(/)=0,再结合换元变量/的取值范围，分析二次函数的零点个数与原函数零点个数的关系，进

而求参数范围.

二、解题步骤

1.1.识别换元特征：常见可换元的形式有：

(1)含/=工+一(则/=/+2+即/+=〃-2,i£(-o>,_2]32,+8))；

XX广

⑵含"2'+2r(M/2=22X+2+2-2Sz>2,当且仅当K=0时取等号);

(3)含f=log“x+log、a(x>0,x^l),则fe(-8,-2]D[2,4"O0)).

2.2.引入换元变量：令t=h(x)(〃(x)为上述可换元的表达式)，将原函数/(幻=0转化为关于/的二次方

程g")=。/十6十。=0(a0).

5

3.3.确定换元变量的取值范围：根据田口的单调性、定义域，求出/的取值范围r.

4.4.分析零点个数对应关系：原函数/（x）=0的零点个数O方程g"）=0在/£/内的根/对应的

力（工）=4的根的个数之和.

5.5.分类讨论求参数：根据原函数要求的零点个数，分类讨论二次方程g"）=0在7内的根的个数（如0

个、1个、2个），列出对应的不等式组（结合判别式、对称轴、端点函数值），解不等式组得到参数范围.

三、名师点睛

1.换元后务必明确/的取值范围，这是限制二次函数根的关键；

2.若力（x）=Z对应的根的个数与，的取值有关（如/=x+,，当|£|>2时，有2个根；当|，|=2时，有1个

x

根），需在分类讨论中明确区分.

四、易错规避

L换元后忽略/的取值范围，直接按二次函数的全体实数根分析，导致零点个数判断错误；

2.未正确掌握换元后t与原变量x的根的个数对应关系，导致分类讨论遗漏；

3.换元过程中变形错误（如1+3=”一2写成尸+2）,导致二次方程列错.

x~

题型6：换元型之“嵌套函数”零点问题

一、核心逻辑

嵌套函数（如/（/。））=0、/（g（x））=O）的零点问题，核心是“分层讨论”，先求解外层函数的零点，

再将其转化为内层函数的方程，通过分析内层函数方程的根的个数，确定参数范围或零点个数，本质是“由

外到内”的等价转化.

二、解题步骤

L1.明确嵌套结构：常见结构为/（/。））=。（同函数嵌套）或/（g"））=。（不同函数嵌套，/为外层,

g为内层）。

2.2.求解外层函数零点：令，=/（x）（或Z=g（x））,先解外层方程/⑺=0,得到根4由，…，*

3.3.转化为内层函数方程：嵌套函数/（/（外）=0（或/区（工））=0）的零点，等价于方程/（外二4、

/（'）=%、.•.、/*）=。（或g（x）=A、g（x）=G、.・・、g（x）=0）的根的全体.

4.4.分析内层方程根的个数：

（1）若求嵌套函数的零点个数：分别计算每个内层方程/G）=4（或g（x）=4）的根的个数，求和即可；

（2）若求参数范围（已知嵌套函数零点个数）：根据要求的总零点个数，分类讨论每个内层方程根的个数

组合（如/（x）=4有2个根，/（幻=右有1个根，总个数为3）,列出对应的不等式组，解不等式组得到

参数范围.

三、名师点睛

1.解决嵌套函数零点问题，关键是“分层”，不要将内外层函数混淆，始终遵循“先外后内”的顺序；

2.若外层方程/（。=0无根，则嵌套函数也无根；若外层方程有重根，需注意内层方程对应的根的个数是

否重复.

6

四、易错规避

1.混淆内外层函数，直接求解/(X)=0后误当作嵌套函数的零点；

2.忽略外层方程根的个数，导致内层方程分析不全面(如外层方程有2个根，只分析了其中I个对应的内

层方程)；

3.分析内层方程根的个数时，未结合函数的定义域、单调性，导致个数判断错误.

题型7：由函数的零点求解析式中的参数+函数奇偶性背景下的零点求参数

一、核心逻辑

此类问题核心是“零点条件+奇偶性性质”的结合，先利用函数的奇偶性得到解析式的隐含关系(如奇函数

/(0)=0),再结合零点条件列方程或不等式，求解参数范围，本质是奇偶性性质与零点定义的综合应用.

二、解题步骤

LL利用奇偶性化简解析式：

(D奇函数：/(-x)=-J\x),若定义域含0,则/(0)=0(可直接作为一个零点条件)；

(2)偶函数：/(-x)=/(X),零点关于y轴对称(即若％是零点，则一/也是零点).

2.2.结合零点条件列方程/不等式：

(1)已知具体零点：将零点代入解析式，结合奇偶性得到的隐含关系，列关于参数的方程，解方程求解参

数；

(2)已知零点个数/分布：先利用奇偶性确定零点的对称关系(如奇函数在正半轴有k个零点，则负半轴

也有k个零点，含。时总个数为2k+l),再结合零点分布条件(如二次函数零点分布、指对函数值域限

制)，列不等式组求解参数范围.

3.3.验证参数合理性：将求出的参数代入解析式，验证函数是否满足奇偶性和零点条件，排除不合理解.

三、名师点睛

1.奇函数定义域含0时，/(0)=。是重要的隐含条件，可直接用于求参数(如=若为奇函

数，无需额外条件，但定义域含0时/'(0)=0,可验证参数)；

2.偶函数的零点对称关系可简化零点个数分析(如已知偶函数在(0,+8)内有2个零点，则在(-8,0)内也

有2个零点，总个数为4).

四、易错规避

1.忽略奇函数定义域含0时/(0)=0的隐含条件，导致参数求解不完整；

2.未利用偶函数零点的对称关系，导致零点个数分析错误；

3.求出参数后未验证函数的奇偶性，导致参数值不满足题意.

题型8：函数的奇偶性对称性周期性背景下的零点问题

一、核心逻辑

此类问题是函数性质的综合应用，核心是利用“奇偶性+对称性=周期性”的结论，先确定函数的周期，再

结合周期性、对称性分析零点的分布规律(如零点的周期性、对称性)，进而求解零点个数或参数范围.

二、核心结论(奇偶性+对称性=周期性)

1.若函数/(x)是奇函数，且关于直线工=。对称，则/(x)是底期函数，周期『二4|〃|；

2.若函数/(x)是偶函数，且关于直线x对称，则/(x)是质期函数，周期7二2|。|；

7

3.若函数/（X）关于点（。,0）和点3,0）对称（QHb）,则/'（X）是周期函数，周期「二2|8-。|；

4.若函数/（对关于直线％=。和点3,0）对称（。/6）,则/（》）是周期函数，周期7=42-。|.

三、解题步骤

Li.推导函数周期：根据题目给出的奇偶性、对称性条件，利用上述核心结论，求出函数的最小正周期r.

2.2.分析一个周期内的零点个数：在函数的一个周期内（如［0,7）、［-（,《）），结合奇偶性、对称性，求

出零点的个数及具体位置.

3.3.扩展到全体定义域：根据周期性，将一个周期内的零点个数扩展到题目要求的定义域内（如［0,〃7）内

的零点个数为〃x一个周期内的零点个数）.

4.4.求解参数范围（若含参数）：结合周期性、零点分布条件，列出关于参数的不等式组，解不等式组得到

参数范围.

四、名师点睛

1.推导周期时，务必先明确函数的奇偶性和对称性类型，再套用对应的周期结论，避免混淆；

2.分析一个周期内的零点时，可利用对称性简化求解（如关于直线工=。对称的零点，只需找到一侧的零点,

另一侧可通过对称得到）.

五、易错规避

1.混淆不同奇偶性与对称性组合对应的周期结论，导致周期计算错误；

2.分析一个周期内的零点时，遗漏对称轴或对称中心对应的零点；

3.扩展到全体定义域时，未考虑定义域的边界值，导致零点个数计算错误.

题型9：求已知函数的零点个数+两个函数交点个数问题

一、核心逻辑

两个函数了=/。）与〉=8。）的交点个数，等价于方程/（外-g（%）=0的零点个数，核心是利用“数形

结合”思想，通过画出两个函数的图像，直观判断交点个数，或结合函数的单调性、极值等性质分析交点

个数.

二、解题步骤

1.1.等价转化：将两个函数交点个数问题转化为函数力。）=/'（外-g（x）的零点个数问题（或直接分析

/a）=ga）的根的个数）.

2.2.分析函数性质：

（1）若函数较简单（如一次函数、二次函数、指对函数），直接画出两个函数的图像，观察交点个数；

（2）若函数较复:杂（如含导数的函数），通过求导分析/?（x）=/（x）-g（x）的单调性、极值、最值，确定函

数图像的大致形状，进而判断零点个数.

3.3.结合定义域分析：注意两个函数的定义域，交点的横坐标必须在两个函数的定义域交集内，排除定义

域外的交点.

4.4.验证特殊点：对于图像交点不明显的情况，可计算特殊点的函数值（如区间端点、极值点），辅助判断

交点个数.

三、名师点睛

1.画图时务必保证函数图像的准确性，尤其是关键特征（如指数函数过点（0,1）、对数函数过点（1,0）、二

次函数的顶点）；

8

2.对于含参数的两个函数交点个数问题，可通过“动态画图”分析参数变化对函数图像的影响（如直线的

斜率变化、抛物线的顶点变化），进而分类讨论交点个数。

四、易错规避

1.画图时忽略函数的定义域，导致多算定义域外的交点；

2.未分析函数的单调性、极值，仅凭直观画图判断交点个数，导致错误；

3.对于含参数的问题，未分类讨论参数的不同取值对交点个数的影响，导致漏解.

题型10：数形结合比较零点的大小关系

一、核心逻辑

此类问题核心是“数形结合”，通过画出函数的图像，确定零点的大致位置，再结合函数的单调性、奇偶性

等性质，比较零点的大小关系，本质是函数图像与零点位置的对应关系应用。

二、解题步骤

1.1.确定函数解析式：明确需要比较零点的函数/*）的解析式（若为两个函数的交点，需明确两个函数的

解析式）.

2.2.画出函数图像：结合函数的单调性、极值、最值、特殊点（如与坐标轴的交点），画出函数的大致图像,

确定零点的个数及每个零点的人致区间（如不£（口,〃），与£（*〃），其中人＜。）.

3.3.利用函数性质细化零点位置：

（1）单调性：若函数在区间伍,力上单调递增，且＞0,则零点小£（〃力），且可通过比

较f（皇）的符号进一步缩小区间；

（2）奇偶性：若函数为奇函数，零点关于原点对称（%是零点，则―/也是零点），可通过正半轴零点位

置判断负半轴零点位置.

4.4.比较零点大小：根据零点所在的区间范围，直接比较大小（如玉w（0,l）,占£（1，2）,则王＜吃）；

若零点在同一区间，可构造新函数或利用函数单调性进一步比较.

三、名师点睛

1.画图时重点关注函数的“变号点”（即函数值由正变负或由负变正的点），变号点所在的区间即为零点所

在区间；

2.对于无法直接画图的复杂函数，可通过求导分析单调性和极值，确定函数图像的大致趋势，进而判断零

点位置.

四、易错规避

1.函数图像画得不准确，导致零点所在区间判断错误；

2.未利用函数的单调性、极值等性质细化零点位置，导致无法比较同一区间内的零点大小；

3.忽略函数的定义域，将定义域外的点误当作零点进行比较.

题型11：二次函数+指数函数+对数函数模型的应用

一、核心逻辑

此类问题是函数零点的实际应用，核心是“建立函数模型-转化为零点问题-求解参数/实际意义”，即先根

据实际问题的数量关系，建立二次函数、指数函数、对数函数或其复合函数的模型，再将实际问题中的“最

值”“达标”等条件转化为函数的零点问题，进而求解.

9

二、解题步骤

1.1.审题建模：

（1）明确实际问题中的自变量、因变量（如“时间t”为自变量，“产量/利润/浓度”为因变量）；

（2）根据题目给出的数量关系，建立函数模型（如利润问题常用二次函数，增长/衰减问题常用指数函数,

对数刻度问题常用对数函数）；

（3）确定函数的定义域（结合实际问题的意义，如时间t20,产量20）.

2.2.转化为零点问题：将实际问题中的目标条件（如“利润为。时的产量”“浓度达标时的时间”）转化为

函数的零点问题（即求解/（幻=0的根）.

3.3.求解零点：根据函数模型的类型（二次、指数、对数），选择对应的求解方法（如二次困数用求根公式，

指数/对数函数用换元法或对数运算性质）.

4.4.检验实际意义：将求出的零点代入实际问题中，检验是否符合题意（如时间不能为负，产量不能超过

最大产能），排除不合理解。

5.5.回答实际问题：根据检验后的零点，给出实际问题的答案（如“利润为。时的产量为200件“）.

三、名师点睛

1.建立函数模型时，务必注意变量的实际意义，确保定义域符合要求（这是实际应用问题的关键，也是容

易出错的地方）；

2.对于指数、对数函数模型的零点问题，常通过取对数、换元等手段转化为二次函数或一次函数的零点问

题，简化求解.

四、易错规避

1.建立函数模型时，数量关系分析错误（如利润:收入-成本，误写成利润;收入+成本），导致函数解析式列

错；

2.忽略函数的实际定义域，求出的零点不符合实际意义（如时间为负）；

3.求解指数、对数函数模型的零点时，对数运算性质使用错误（如log“C^）=log“x+log"V误写成

log“"og,j）.

题型分举

【题型1:函数的零点存在定理及求参数】

（24-25高一上•江西吉安•期末）已知函数f（%）=log（x+1）—2，则/（x）的零点所在

经辑倒败3

大致区间为（）

A.(2,3)B.(1,2)C.(0,1)D.(-1,0)

S•钱牛乃1（25-26高一上・辽宁•月考）已知函数/（x）=ln（x+l）+2%—4的零点在区间

（72,冗+1）内，且71WZ,则九的值为（）

A.0B.1C.2D.3

(23-24高一下•海南海口・期末)已知函数/(%)=2x-^,g(x)=logx4-sin^.

小孩牛刃22

10

(1)根据定义判断/•(%)的奇偶性和由调性：

(2)求函数或幻的零点个数：

⑶设出为g(x)的一个零点，证明：0</(sin^)<1.

►小钱牛丸3(25-26高一上•全国•期末)已知函数/'(%)=>ogl(ax2一%+2a—3),g(x)=/+厂”.

(1)直接写出％>0时,。乃的最小值.

(2)若°=2,求证：F(x)=f(x)十log43在上存在唯零点.

(3)若或2)=a/(g。))有且仅有两个零点，求。的取值范围.

【题型2：用二分法求方程的近似解】

•经典例题(25-26高一上•安徽•期末)在用二分法求方程3、+2%—10=0在［1,2］上的近似解时,

构造函数f(%)=3*+2%—10,依次计算得/(I)=-5<0/(2)=3>0/(1.5)<0,/(1.75)>0/(1.625)<0,

则该近似解所在的区间是()

A.(1,1.5)B.(1.5,1.625)C.(1.625,1.75)D.(1.75,2)

A小微牛刃1(24-25高一上•贵州毕节・期末)已知函数/(%)=%3一2%一1,现用二分法求函数f

(x)在(1,3)内的零点的近似值，则使用两次二分法后，零点所在区间为()

A.停,2)B.(1,1)C.(弱D.(1,3)

►小锹牛力2(24-25高一上•广东惠州期末)已知函数/'(%)=2、一?在区间(1,2)上有一个零点3°,

如果用二分法求孙的近似值(精确度为0.01),则应将区间(1,2)至少等分的次数为

►S•锹牛》M【多选题】(23-24高一上•浙江宁波・月考)某同学利用二分法求函数/(x)=ln

x+2x-6的零点时，用计算器算得部分函数值如表所示:

/(2)»-1.307/(2.5)=-0.084/(2.5625)%0.066

/(2.625)a0.215/(2.75)x0.512/⑶x1.099

则函数/■(x)=hu:+2x-6的零点的近似值(精确度0.1)可取为()

A.2.49B.2.52C.2.55D.2.58

【题型3:二次函数的零点分布问题】

►俊翼州做(25・26高一上・江苏泰州•期中)方程/—4%+a=0的两根都大于1的一个充分不必

要条件是()

A.3<a<4B.3<a<4C.a>3D.a<4

II

A小祺牛力1(25-26高一上・甘肃白银•期中)已知二次函数/(%)=x2+(1-m)x4-27n在区间

(L2)上有且只有一个零点，则实数机的取值范围为

小林牛R2(24-25高一上•上海宝山•期末)关于x的方程/一”+1=0有两个不同的正实数

根，则实数。的取值范围是

(24-25高一上•上海虹口•期末)已知关于”的方程_(_l)x4-4-7n=0的一个

►小锹牛刀3♦m

根大于1,另一个根小于1，则实数m的取值范围为.

【题型4:指对嘉函数+二次函数零点分布问题】

►住嘉例题(24-25高一上•黑龙江哈尔滨•期末)设函数f(%)={2；/:°，若关于x的函数

。(%)=/2(x)-(a-2)/(x)+4恰好有五个零点，则实数a的取值范围是.

A小钱牛力1(24-25高一上•浙江杭州•期中)己知函数/1(幻=-m-2x+1+m2—3,若f(x)的图

象匕存在不同的两个点关于原点对称，则实数m的取值范围为.

►不被牛力2(24-25高二下•安徽六安•期末)已知函数g(x)=x+：—2,若关于工的方程g

(|21一1|)+瞪?1-34=0有三个不同的实数解，实数片的取值范围是()

A.(0,+8)B.(—8,0)C.(0,+8)u｛得｝D.(-oo,0)U

►小祺牛刃5(24-25点一上•贵州遵义•期末)已知函数/(x)=2、+。-2-、为定义在R上的奇函数.

(1)求a的值;

(2)判断并证明函数/(%)的单调性；

(3)记g(x)=2-2X-f(x),若e&1)，使得？ng(2x)+2/(x)—2m—1=0成立，求实数m的取值范围.

【题型5：根据函数的零点个数求参数+换元型的“二次函数”】

(24-25高一上湖北期末)已知函数f(x)=|配力二?弁＜。，若关于x的方程

、2”

[/(x)]2-afM+3—a=0有6个不同的实根，则实数a的取值范围是.

►S•戳牛乃Z【多选题】(24-25高一上•浙江宁波・期末)已知函数/㈤={需三卷,，铲，

若美于x的方程[/(x)]2+a./■(%)+a=0有四个不同的实数解，它们从小到大依次记为不，如右，右，则

()

12

A.0<Xi%2<1B.1<x3<e

2

C.0<x1x2x3x4<eD.—1<a<0

>小斌牛力2(24-25高一上•河南郑州•期末)己知函数/⑺=厂除正弓:丫/。，若关于无的

方程2[f(x)]2+(8a-3)/(x)-12a=0有3个不同的实根，则实数a的取值范围是()

A-B.(-go)C.(-1-?D.G，3

>小锹牛乃3(24-25高一上•辽宁•期末)已知/CO=(7[啜jUZ0，方程产⑺一2m/(x)

+m+2=0有6个不同实数解，则6的取值范围()

A.2<m<^-B.2<m<y

C.mV?D,m>2

【题型6：换元型之“嵌套函数”零点问题】

(2025•四川巴中•一模)已知函数/X%)=[2+^2,x<0，则方程/V。)-2)=2实

•俭兽的做x

数根的个数为()

A.6B.7C.10D.II

|lnxLx>0,

小铁牛万1【多选题】(24-25高二下•河北保定•期末)已知函数/(%)=

x24-2|x|+3,/i(x)=f(g(X))—m,则下列结论正确的是(

A.当zn=0时，/i(x)有1个零点

B.当OVmVl时，九(乃有4个零点

C.八(%)可能有6个零点

D.当九。)的零点个数最多时，m的取值范围为Qn3,ln4)

»小微,牛力2(24-25高一下•湖南衡阳・期末)已知函数/㈤=，丁三:学之三七，g(%)=

{|1S/>O,若关于X的方程[g(/a))]2—(l+m)g(/(x))+m=0有19个不等实数根，则实数胆的取值

范围是()

A.(0、)B.(1,1)C.(0,e)D.(l,c)

(24-25高一上,湖南邵阳•期末)己知函数/㈤=12mH之1若关于X的方程

►小铁牛D3I4*A-I/JL,

/(/(%))=a有4个不相等的实数解，则实数a的取值范围为.

13

【题型7：由函数的零点求解析式中的参数+函数奇偶性背景下的零点求参数】

(24-25高三上•河北秦皇岛•期末)已知函数/(无)=2VFK+|%—1|一4恰好有3个零

点，则实数。的取值范围为()

A.(-2,1]B.(-3,1]C.(-3,-2)D.(-2,0)

小锹牛»1(2025•云南•三模)已知定义在R上的函数/(%)=3反-1|与函数h(%)=mcos(l-x)

的图象有唯一公共点，则实数用的值为()

A.-2B.-1C.1D.2

►小就牛力2(2025•云南昆明•模拟预测)设函数/'(%)=ex+ax2,g(x)=a-e~x,若曲线y=f(x)

—

与y=。(%)恰有一个交点，则实数。=

►小被牛乃m(25-26高三上•贵州•月考)若函数/(无)=x2—mcosx+m2-+2m-12有且仅有一个

零点，则实数机的值为()

A•罕B.年C.3D.一4

【题型8:函数的奇偶性对称性周期性背景下的零点问题】

【多选题】(24-25高一下•广东揭阳・期末)已知函数/lx)是定义在R上的奇函数,

►.经典的发

/Q+1)是偶函数，当％W［0,1］时，/(%)=V?+x,则下列说法中正确的有()

A.4是/(%)的一个周期B./■(%)的图象大于直线％=2对称

2025

/(0=2D.方程f(%)=In恰有8不同的实数根

Z«=1

小钱牛才1【多选题】(24-25高二下・费州费阳•期末)已知函数f。)的定义域为月/Q+1)

为奇函数,为,+2)为偶函数,当％W(0,2］时,为乃=%—1.则下列结论正确的是()

A./(2024)+f(2025)=—1B.f(x)在区间(6,8)上单调递增

C.f(x)的图象关于直线3=5对称D.函数y=f(x)-1。期"有5个零点

小钱牛丸2【多选题】(24-25高一下•广东•月考)已知定义在［1,+8)上的函数/'口)满足

［l,+oo),2/(x)=/(2x),且当％W［1,2)时,/(X)=-x2+3x-2,则下列结论正确的是().

A./(6)=1

B.f(%)在［8,12］上单调递增

C.函数/(X)=f(x)—。的零点从小到大依次记为％1，孙X3,…，若勺+%2=12，则a的取值范围为G，l)

14

D.若函数Rx)=f(x)-Q在⑶16］上恰有4个零点，贝必的取值范围为片1)

小微牛乃m【多选题】(24-25高一上•广东深圳•期末)已知函数/(©是定义域为R的奇函数,

/(x-1)=/(3-x),当。W[O,1]E寸,/(x)=2x-l,则()

A./(x)=/(%+4)B./(log35)>/(log58)

C.当x€[2,3]时，f(x)=1-2X-2D.方程l/(x)l—lgx=O恰有10个解

【题型力求已知函数的零点个数।两个函数交点个数问题】

►经再州必(24-25高一下•贵州六盘水•期末)已知函数/(%)={炉二,g(x)=/(x)+八一乃，

则函数9。)的零点个数为.

►S•戳牛力1(24-25高二下•湖南•期末)当［0,2n：时，曲线y=sinx与y=2sin(3x—的交

点个数为()

A.0B.2C.4D.6

»小钦,牛力2(2025・湖南长沙•三模)已知函数/(%)={/(二牙%o，方程/⑵二一圣+^

的根的个数为()

A.2B.3C.4D.5

►小锹牛刃3(24-25高一下•江西•期中)已知函数/Q)=0，则函数g(x)=/

(/(%)—1)—2的零点个数为()

A.5B.6C.7D.8

【题型10：数形结合比较零点的大小关系】

,检典例题(24-25高一上•云南昆明・期末)已知函数/(x)=e2+2x,g(x)=Inx+2x,h(x)=+2x

的零点分别为a,瓦。，则a,b,c大小顺序为.(按由小到大排列)

►命就牛力1(24-25高一上•四川广元•期末)【多选题】若函数/•(%)=2飞也%—1(0<“〈?的

零点为％]，函数g(x)=2"cosx—1(0vx<1)的零点为冥2，则)

A.2VlB.%i+%2〈苧

C.sin/—cos%2>0D.cos%1-sinx2<0

(2024•江西南昌•三模)若(；)=loga,G)“二川，2~c,则正数a,b,c大小关

►小被牛力22=

系是()

15

A.c<a<bB.c<b<a

C.a<c<bD.a<b<c

（高一上•甘肃庆阳•期木）已知瓦均大于满足‘，瓦-

►小钱牛刃323-24a,c1,/TyI=log2a7J]w=wI=10831I

=logm,则下列不等式成立的是（）

A.c<b<aB.a<b<cC.a<c<bD.c<a<b

【题型11:二次函数+指数函数+对数函数模型的应用】

♦住共刎题（25-26高一上•安徽•期末）某公司生产一类电子芯片，且该芯片的年产量不超过35万

件，每万件电子芯片的计划售价为16万元.已知生产此类电子芯片的成本分为固定成本与流动成本两个部分,

其中固定成本为30万元/年，每生产工万件电子芯片需要投入的流动成本为了（无）（单位：万元），当年