2026年大学强基计划自主招生数学试题（含答案详解）

2026年高中数学强基计划模拟卷(三)

一、填空题

1.在数字3加和10J证中，更大的数字是.

2.设空间区域｛(.1,)»)*+、2+22小"？0｝中存在四个点两两距离都是d,则d的最大值为.

〃7-1,用为奇数2024

3.已知./■(〃1)二«m伸将，若%=2"，"向=/(q)满足为=°的最小&为.

一，，小为数i-0

2

4.已知凸四边形A8C7)满足NA6O=/6DC=50,/CA£>=NXC6=40,则符合题意且不相似的凸四边形

4BCO的个数为

5.将1,2,3,4,5,6,7,8,9,10这10个数字进行重新排列,得到新排列4，%，…若对于X/l/VlO,

则新排列的个数为

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6.正三棱锥S-A4C,底边长4,SA、SB、SC中点分别为4、B'、C,4®中点为。，S-ABC外接

球球心为。，OC2-OD2=AB2,则匕Tse为.

7./（刈=皿4+^^的所有极值点依次为的。］,4，…，。”，…，则!吧|%/一。/=

8.四面体丫一/WC中，l64=VB=2x/2,vc=3,CA=CB=4,求。与V3所成角的余弦值的取值范围

二、解答题

9.已知z=c°s2isin%求备+吕+三的值.

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10.方程/+冲+），2=4有多少对整数解.

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11.设/(“是〃次实系数多项式，其中〃21,g(汇)=/(力-r(x).证明：若的〃个根都是实数，则g(x)

的〃个根也都是实数.

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一、填空题

1.在数字3加和10所中，更大的数字是

【答案】3加

【分析】同时取e为底的对数，则转换为比较JIUln3和3h】J记的大小，设/(x)=W，根据函数的单调

性即得.

【详解】同时取e为底的对数，得后3加=Mln3，lnl0ji6=ln(M)'=31n而，

则转换为比较Ji61n3和3In的大小，

设"幻=叱，则/(力=上坟，当xe(e,+8)时，ff(x)<0.

XX

即f(x)在(e,+oo)上单调递减，

由3<\/70，所以——>x/Fo，刻VToIn3>31nx/fo»即3屈>1()\/?0>

3x/10

所以在数字3屈和10所中，更大的数字是3对.

故答案为：3M.

2.设空间区域｛(乂叱犷+),2+22«1,2之0｝中存在四个点两两距离都是4,则”的最大值为.

【答案】2^/176

22

【分析】根据区域要求，可将问题转化为求能放进单位半球内的正四面体的棱长最大值再进行求解.

故问题等价于求能放进单位半球内的正四面体的棱长最大值,

不妨设正四面体的顶点A为z坐标最大的顶点，

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我门首先考虑底面△BC。在平面X”上的情形，

此时易得正四面体A-88的高为1,

令边长为〃，则有/=与a+12,

XZ

解得〃=如，

2

当底面△台。。不在平面及丁L时，

此时显然有正四面体A—88的高力＜1,

进而棱长小于如，故4的最大值为直.

22

故答案为：叁

2

为奇数2024

=

3.已知/(w)(加加将，若％=fX,c*=/(«„)满足at=0的最小k为______.

一偶数i=0

12

【答案】6073

【分析】根据递推公式，逐步计算各项分析即可.

2024

【详解】由题意，/=，4/=1+4、42+...+4初4为奇数，

i=0

4=/&)=1+4+42+...+42024-1=4,+42+...+42024为偶数，

41+42++4202441+42++42024

生=/(©)=,；二一为偶数，％=+—二+4_=1+才+4?+...+42023为奇数，

2

4=4+4?+...+42。23…

故〃7=4'+42+...+421'22,%。=4'+42+...+4"m….

=

则“10+3K2020=4»W,'a60To=4,“6071=2,。6G??=।,^6073°.

故满足4=。的最小k为6073.

故答案为:6073

4.已知凸四边形A8CO满足/45。=/8。。=50,/。。=/力CB=40,则符合题意且不相似的凸四边形

/WC。的个数为.

【答案】2

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【分析】先说明凸四边形ABC/）是平行四边形，然后设对角线4c中点为。，固定对角线AC,则点。在固

定的射线4。上，只需求出该射线上满足/COO=50的点。个数即可.由此借助圆辕定理以及正弦定理进

行说明，可得到结论.

【详解】对凸四边形ABC。，由NC4£＞=乙4C8，有AD〃BC;

由ZABD=/BDC,有A8"CO,故四边形力8co为平行四边形.

如图，设对角线AC中点为。，下面固定对角线AC,则点O在固定的射线AD上，

只需求出该射线上满足/C/）O=50的点。个数即可.

记过CO且与射线4。相切的圆为3（这样的圆存在且唯一），切点为加，

由圆哥定理知AD,2=AOAC,从而ADf=y/2AO.

首先说明/CD'。＞50.

该结论等价于180-/C4O'-2/AD'O＞50,即/AD'Ov45•

设/A力'0=9,知夕＜90.在，4〃。中，

A。AD1sin（140-f）\

由正弦定理,ksin（吟，即R叽夜，

注意至I」近二刨MO_叽},所以sin"sin45,且当。=45时等号不成立.，

sin。sin。

故。＜45，结论得证.

则射线A。上在ZX的左右两侧各有一个满足ZCDO=50的点。，

故满足条件的形状不同的凸四边形有两个，

故答案为：2.

5.将1,2,3,4,5,6,7,8,9,13这10个数字进行重新排列，得到新排列4%，…吗。，若对于VlWiWlO,

何-/|41,则新排列的个数为.

【答案】88

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（分析】记1,2,3,的有效新排列的个数为考虑数字〃在排列中的位置，根据递推法确定J；=Ei+工_2，

进而可得新排列的个数.

【详解】由于对于向一心1,则每个数字4可以是，-罩,或j+1

记1,2,3,，〃的排列的个数为考虑数字八在排列中的位置：

（1）如果6=〃，则剩下的排列个数为

（2）如果＜*=〃，则/=〃-1；因此剩下的排列个数为£.2，

八乂fn—fn-\+fn-2,

由于£=I/=2,故八=3/=5/=8/=13/=21/=34/=55J。=89.

故这10个数的新排列的个数为89-1=88.

故答案为：88.

6.正三棱锥S-A8C,底边长4,必、SB、■中点分别为4、B'、C,AE中点为D,S—A8C外接

球球心为。，OC2-OD2=AB2，则VSTBC为.

【答案】哈即

【分析】利用球的累可求侧棱长，从而可求体积.

【详解】如图，如果尸在球外，则过。作球的切线PT,切点为r,作球的割线尸MV,

由圆中切割线定理可得PM.PN为定值，且定值为PT1=PAPB=PO1-R1.

而当P在球的内部时，MN为过户的动弦，则由圆中相交弦定理可得=W一产oL

...-……/-7用

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在上述两种情况种，我们把定值定义为乃关于球0的哥，记为

设正三棱锥的侧棱长为/,

B

由题设。在球。的内部，而C在球。的外部,

222

故必(O)=R2_O02MC(O)=OC-R=CCCS=-1T

又D为的中点，设射线与球0的球面的交点为T,

射线4方与球。的球面的交点为U,

则R2-OD2=TD\而A4'•AS=A7・A'U=77)2-1=J_/2,

4

i3

故R2-OZ)2=I+：/2,故16=1+：/即广=20即/=26，

44

故正三棱锥的高为卜’半、二信故体积为gx,xl6xg=平，

故答案为：血.

3

7./(x)=lnx+cosx的所有极值点依次为的卬,生,…,％，…，则则|%+「％|=.

【答案】尤

【分析】先证明/(司=1门+85”的所有极值点恰为其导函数的零点，然后研究广(“在卜++60。+8)上

的零点的性质，即可得到结果.

【详解】由于尸(x)=L-*inx,而当Ourvl时/'(x)=，-&inx>l-l=O,所以〃x)的极值点都不小于1

XX/

同时，由于当/'(x)=O时，有」-sinx=O,即l=sinx.

X

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/"㈤=--v-cosx=-sin'x-cos^=cos2x-cosx-1=-；+

COSX——工

2J0.

这表明，/（x）的全体极值点就是r（”的全体零点.

由干题目所求的是也1k用一41,而r（x）在有限区间上只有有限个零点，故我们可以只考虑/,a）在

)19

一击+6。兀,+8）上的零点.

x>——1—+60;t>100-n->fsin—!—•111

此时，若八力二。，则由,4nsinx=-G0,sin-----,

1032100Jxiooj

从而由工>一；；1+60兀，知xc一诉+班赤+丘（A:GZ,A>60）.

100\100100）

1-(-1VCOS—!—,

而对XW—+/cn,—+kn(k&Z,k>60)行/"(x)=--y-cosj<[sin

100100\7100

f"(X)=--cosx>-(一琰cos与,其符号,++&兀(A:€Z,^>60)

.V100

单调.

(-1Vsin—!—<f\-+^r|<]了+（小备"(-1/Isin—!—

结合')100I100)

1'))100,

sin——

100

-(-iVsin—<f-+履]<]--(-1/sin-----=(1-(-1/)sin—!—

v7100

100)1J'100I'"100,

sin

100

」一+4兀]<0.

知r------FkitIf

1(X))100J

这表明，当x>-++60兀时，/'（X）的零点均落入某个+亿击+也）（火£2/260）,且在每个

法+^+履）伏£Z460）上恰有一个零点.

设++（*ZMN60）上的零点为外，则四|%+「%|=!山瓦「4|.

\100100y

而小）「（»八加）=。，故卜帅一2二卜岫号〈七屋生

r人-----rATI

100

,故4一桁-arcsin，,arcsin—.

而a-Ec

Too,Too1kk)

(-arcsin*arcsinarcsinl.arcsini.

同理有4+i-。+1）江wU

kk)

所以4+i-4一兀=(4+1一仕+1)兀)_(々_&兀)612arcsin(,2arcsin").

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这就得到!吧1加一如=兀，所以!吧-幻=吧—幻=冗.

故答案为：兀.

8.四面体V-/WC中，E4=V7?=2&，VC=3,C4=CB=4,求C4与V8所成角的余弦值的取值范围.

t分析】根据几何关系求PQ的范围，再通过平行关系构造异面直线所成的角，根据余弦定理，即可求解.

【详解】如图，取，，。分别为VC,A8的中点.

32+42-8

cosZVCB=

2x3x4

^VAC=^VBC,所以==

在"IBP中，PQ<PA=^,当A,H聿合时取等.

4

过8作8H"LVCJ”,设HP=x，则1^2-17/2=4。2一HQ?,即6c?—4已=〃。2一〃P，即g=6x,得x=q.

所以PQ>x.当人，B,V,C共面时取等.

取BC中皮M,则PM//8V,Q""AC,所以所求的角即为NPMQ或其补角,

于是

PM2+MQ2-PQ22+4-Pg26-PQ2

cosZPM(2=

2PMMQ472472

由*PQ岑哈P°W，于是-嚼〈cosNPMQ〈嚼，

所以CA与以所成角的余弦值的取值范围为

二、解答题

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9.已知z=cos-;r+isin—兀，求2，+'+」的值.

77I+z21+z3I+z4

【答案】-1

【详解】

解：由题意可知z7=lnz+z2+z3+z4+zS+z6=-l

Z3_zZ3(z7z2)?(l?)

Z+++

此时TT74

(i+?)(i+2)

1Z+Z3+Z4+z6_1_1+z24-Z5

26+Z+2+Z3+Z4~Z6+Z~2+Z3+Z4

2+z3+z4-(z6+z)(l+z2+z5)_2(1-zfi-z)

(Z6+Z)(2+Z3+Z4)Z6+Z-1

10.方程外+V=4有多少对整数解.

【答案】6

【分析】丁+D+),2一4=0可以看作是关于X的二次方程，由题意A=16-3)，2之。必须是完全平方数，不妨

设外=16-3)，220,其中AwZ,注意到ywZ,由此可得)，可能为：0,±1,±2,对'分类讨论即可得解.

【详解】方程/+个+丁=4即W+冲+)尸一4=0可以看作是关于x的二次方程，

此时△=),2_4(9_4)=16-3/，为了使x为整数，则△=16-3/必须是完全平方数，

不妨设公=16-3丁20,其中hZ,所以八字”Z,

所以)'可能为：0,±1,±2,当y=O时，Z=±4是整数，满足题意，

当了=±1时，代=13不是完全平方数，不满足题意，

当》=±2时，攵=±2是整数，满足题意，

当7=0时，方程寸+冲+9=4即f=4,解得户±2,所以(±2,0)是方程Y+孙+丁=4的两个整数解，

当了=2时，方程£+9+),2=4即1(1+2)=0,解得1=0或工=-2,所以(0,2),(—2,2)是方程/+切，+)，2=4

的两个整数解，

当了=一2时，方程/+不，+),2=4即4"-2)=0,解得X=0或X=2,所以(0,—2),(2,-2)是方程

/+d+/=4的两个整数解，

综上所述，方程f+9+丁=4有：(2,0),(-2,0),(0,2),(-2,2),(0,-2),(2,-2),共六对整数解.

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11.设/(X)是〃次实系数多项式，其中*l,g(x)=/(x)-F(x).证明:若/(X)的〃个根都是实数，则g(x)

的〃个根也都是实数.

【答案】证明见解析

【分析】借助两个引理：引理1：若尸("="了("有两个根。与0，其中/(力为实系数多项式且4V。，

则存在cw(a,b)使得C是其导函数尸'(X)的根;引理2：设。是实系数多项式/“)的k重根，k>2,则。也

是其导函数/'(力的攵-1重根；即可证明.

【详解】我们首先证明两个引理.

引理1：若押(%)=//(%)有两个根。与6,其中/(x)为实系数多项式且avb,则存在c«a,b)使得c是其

导函数F(x)的根;

证明；若广(%)在区间(ag)有正有负，则由零点存在定理知结论成立；

若不然，口同在区间(。力)恒正或恒负，则〃力在区间(。㈤上单调，这与/。)=/(〃)=0矛盾；

引理2：设。是实系数多项式f(x)的左重根，k>2,则。也是其导函数f'(x)的％7重根