相交线与平行线（知识+13大题型+分层检测）解析版-2025-2026学年七年级数学下册（人教版）

相交线与平行线（必备知识+13大题型+分层检测）

区区

单元目标聚焦•明核心

1.了解邻补角、对顶角、垂线、点到直线的距离、平行线、命题、平移的意义，体会相交线与平行线相关

概念之间的整体联系。

2.能用对顶角相等、垂线的性质、平行线的判定与性质进行简单的推理和计算：能用平移的性质分析图形

的变换。

3.理解并利用同位角、内错角、同旁内角的数量关系，解决两直线平行的判定与性质相关问题；能区分命

题的题设与结论，判断命题真假。

又又

知识图造梳理•固基础

I.邻补角：有一条公共边，另一边互为反向延长线的两个角（互补）

2.对顶角：两边互为反向延长线的两个角（相等）

相交成直角时，两条直线互相垂直

--------------------------------

一、相交线-3.垂线过一点有且只有一条直线与已知直线垂直

垂线段最短

4.点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度

相L定义：在同一平面内，不相交的两条直线

交2.基本事实：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行

二、平行线及其判定-同位角相等一两直线平行

线

3.判定方法内错角相等一两直线平行

与

同旁内角互补一两直线平行

平

I.两直线平行一同位角相等

行

T三、平行线的存鬲，2.两直线平行一内错角相等

线

2.两直线平行—内错角相等

定义：判断一件事情的语句

1.命题组成：题设（条件）+结论

真假命题：判断是否正确的命题

四、命题与平落｝定义：在平面内，图形沿某一方向移动一定距商

2.平移平移前后，图形的形状、大小不变

演对应点连线平行（或在同一直线上）且相等

对应角相等，对应线段平行且相等

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教材要点精析•夯重点

一、相交线

1.邻补角：有一条公共边，另一边互为反向延长线的两个角（互补）。

2.对顶角：两边互为反向延长线的两个角（相等）。

3.垂线：

-相交成直角时.，两条直线互相垂直。

-过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。

-垂线段最短。

4.点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度。

二、平行线及其判定

1.定义：在同一平面内，不相交的两条百•线c

2.基本事实：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。

3.判定方法（满足其一即可）：

-同位角相等一两直线平行。

-内错角相等一两直线平行。

-同旁内角互补一两直线平吁。

三、平行线的性质

1.两直线平行一同位角相等,

2.两直线平行一内错角相等,

3.两直线平行一同旁内角互补。

（判定：由角的关系推平行；性质：由平行推角的关系。）

四、命题与平移

1.命题：

-定义：判断一件事情的语句。

-组成：题设（条件）+结论。

-真假命题：判断是否正确的命题。

2.平移：

-定义：在平面内，图形沿某一方向移动一定距离。

-性质:

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-平移前后，图形的形状、大小不变。

-对应点连线平行（或在同一直线上）且相等。

-对应角相等，对应线段平吁且相等。

五、核心要点总结

•相交线：关注“角的关系”（邻补角、对顶角）。

-垂线：关注“最短距离”。

-平行线：

判定：看角一证平行。

性质：有平行一得角关系。

-平移：图形运动，形状大小不变，位置改变。

■2,a

考点题型突破•拓思维

题型一对顶角、邻补角的识别

【例1】（25-26七年级下•全国•单元测试）下列选项中，N1与/2是对顶角的是（）

【答案】D

【分析】本题主要考查了对顶角的定义，准确识图，熟练掌握并运用定义是解决本题的关键.

由对顶角的定义去进行逐一判断即可.

【详解】解：A、B、C三个选项中N1与N2不符合“互为对顶角的两个角的两边应互为反向延长线”的定义,

错误，不符合题意；

选项D中的N1与N2符合对顶角的定义，正确，符合题意；

故选：D.

【变式1-1］（24-25七年级下•全国•课后作业）下列图形中，/与N2是邻补角的是（）

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【答案】D

【分析】本题考杳邻补角的判定，掌握邻补角需同时具备公共顶点、公共边、另一边互为反向延长线是解

题的关键.

先明确邻补角的条件：两个角需有公共顶点、一条公共边，且另一边互为反向延长线，再逐个分析选项，

判断是否满足这些条件.

【详解】解：邻补角需同时满足：有公共顶点、一条公共边、另一边互为反向延长线.

A:41与N2无公共顶点，不符合题意；

B：N1与K2无公共顶点，不符合题意；

C：与乙2的和小等十180。，小符合题意；

D：3与42有公共顶点、公共边，旦另一边互为反向延长线，符合邻补角定义，符合题意.

故选:D.

【变式1-2]（25-26七年级上•吉林长春•期末）下列图形中，N1与N2是对顶角的是（）

【答案】A

【分析】本题考查了对顶角的定义，熟悉对顶角定义是解题关铤.

【详解】解：根据对顶角性质，两个角只有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角两边的反向

延长线：

故选:A.

【变式1・3】（24-25七年级下•全国•单元测试）如图，下列各组角中，是邻补角的一组是（）

A.N1和N3B.N3和N4C.N2和/3D.N2和N4

【答案】C

【分析】此题考查了邻补角：只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角,

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互为邻补角.根据邻补角的定义求解判断即可.

【详解】解：A、N1和N3是对顶角，不是邻补角，故此选项不符合题意:

B、N3和N4不是邻补角，故此选项不符合题意；

C、N2和N3是邻补角，故此选项符合题意；

D、N2和N4不是邻补角，故此选项不符合题意.

故选：C.

题型二利用对顶角的性质求角

【例2】（25-26七年级上•全国•单元测试）如图，直线人力相交于点。，Zl=50°,Z2=度.

【分析】本题主要考查了对顶角的性质，解题的关键掌握对顶角的性质.

利用对顶角相等进行求解即可.

【详解】解：•・•/1与N2是对顶角，

.•.Z2=Z1=5O°,

故答案为：50.

【变式2・1】（25-26七年级上•江苏南京•月考）如图，直线〃，△相交于点。，将量角器的中心与点。重合,

发现表示60。的点在直线。上，表示135。的点在直线力上，则/1=。.

1

【答案】75

【分析】本题考查了角的计算，对顶角相等，熟练掌握对顶角相等这条性质是解题的关键.

先计算的度数，后利用对顶角相等确定即可.

【详解】解：如图，

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根据题意,得408=135,60。=75°,

vZ.AOB=Z1,

21=75°,

故答案为：75.

【变式2・2】（25-26八年级上•新强吐鲁番・期中）如图，若加油站E到公路的距离是8（）m,到公路C。

的距离也是80m,且/力OE=24。，则ZBOC的度数为.

【答案】48。/48度

【分析】本题考查了角平分线的判定，先根据题意得OE是乙4OD的角平分线，再根据角平分线的定义求解

即可.

【详解】解：•••加油站E到公路力8的距离是80m,到公路CZ）的距离也是80m,

.•.OE是/力OO的角平分线，

Z.AOD=2ZAOE=48°,

.•.NBOC=N/1OD=48。,

故答案为：48。.

【变式2・3】（25-26七年级上•山东东营•月考）将一个含30。角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置,

若Nl=40。，则N2的度数是.

【答案】50。/50度

【分析】本题主要考杳了对顶角的性质，直角三角形的性质，解题的关键是掌握以上性质.

根据对顶角相等和直角三角形的两个锐角互余进行求解即可.

【详解】解:如图所示，

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B

v21=40°,

；./BED=Z1=40°,

vza=90°,

：.4BDE=900-ZZ?ED=50°,

N2=NBDE=50°,

故答案为：50。.

题型三利用垂线段最短

【例3】（25-26七年级上•全国・单元测试）如图运动会上，甲、乙两名同学测得黎明的跳远成绩分别为

Dd=4.56米，03=4.15米，XC=4.70米，则黎明的跳远成绩应该为米.

【答案】4.15

【分析】本题考查了垂线段最短，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解.

根据垂线段最短求解.

【详解】解：•.・甲、乙两名同学测得黎明的跳远成绩分别为。力=4.56米，08=4.15米，40=4.70米，

••.黎明的跳远成绩应该为Q8=4.15米，

故答案为:4.15.

【变式3・1】（2025七年级上•全国•专题练习）投壶是我国古代宴会时礼节性的游戏.如图，游戏时宾客依

次将箭矢投入一个特制的壶中，投中多者为胜.若四位投壶者分别站在直线/上的点力，B,C,。处往点

P处的壶内投箭矢，小明认为站在点C处的投壶者更容易获胜，其中蕴含的数学道理是.

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【答案】垂线段最短

【分析•】本题主要考查了垂线的性质.根据直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短求解

即可.

【详解】解：若四位投壶者分别站在直线/上的点力，B,C,。处往点尸处的壶内投箭矢，小明认为站在

点。处的投壶者更容易获胜，其中蕴含的数学道理是垂线段最短，

故答案为：垂线段最短.

【变式3・2】（25-26七年级上•北京昌平・期末）如图，某条公路可视为直线/,从公路外一点P向公路前进,

三条路线〃4尸&PC中最短的是，依据是.

【分析】本题考查了垂线段最短，解题的关键是掌握垂线段最短.

根据垂线段最短进行解答即可得.

【详解】解：•.•线段收是垂线段，.••线段尸8最短，

故答案为：PB,垂线段最短.

【变式3・3】（25-26七年级上•江苏宿迁月考）如图，CD上AB,垂足是点。，AC=8,BC=6,CD=4,

点E是线段48上的一个动点（包括端点），连接CE,那么CE的长为整数值的线段有条.

【分析】此题考查垂线段最短，关键是根据垂线段最短解答.根据垂线段最短解答即可.

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【详解】解：•.•CQ_L/3,垂足是点。，4C=8,80=6,8=4,

••.CE长的范围是4KCEK8,

当点£由4向8运动时，所得CE的整数值线段长度分别为：8、7、6、5、4、5、6,

.•.符合题意的共有7条，

故答案为：7.

题型四相交线中求角的度数问题

【例4】(25-26七年级上•江苏淮安•月考)如图，直线48,CD相交于点。，过点。作且。产

平分ZAOD.

(1)求i正：/COF=/BOF；

(2)若NBOD=26。,求/E0户的度数.

【答案】(1)见详解

(2)/EO尸=13。

【分析】本题考查了儿何图形的角度运算，与角平分线有关的计算，对顶角相等，正确掌握桂关性质内容

是解题的关键.

(1)先根据OF平分乙40。，得乙=〃，再结合对顶角相等，得

N4OC+NAOF=NDOB+/DOF,即/CO"=N80"；

(2)结合4?0。=26。，得N4OQ=154。，根据。产平分N/O。，得NA0F=T7。,又因为OEJ■川九得

ZAOE=90°,再把数值代入“(阴=N/OE-/力■进行计算，即可作答.

【详解】(1〉证明：尸平分40。，

：.U0F=/DOF,

•：40C=NDOB,

4OC+NAOF=/DOB+/DOF,

即LCOF=ZBOF；

(2)解：vZBOD=26°,N40Q+N/。。=180°,

ZAOD=180"-26"=154w

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VOF平分^AOD,

154°

ZAOF=4DOF=—=77°,

2

•：0EA.AB,

.♦ZOE=90°,

则/EOF=Z.AOE-ZAOF=90°-77°=13°.

【变式4・1】（25-26七年级上•江苏泰州・期末）如图，己知直线力氏CO相交于点O,OF1AB,点O为

垂足，OE平分4coB.

⑴若NBOE=67°,求/CO尸的度数；

(2)若NBOE:NCOF=5:4,求/EO/的度数.

【答窠】(1)44。

⑵：5。

【分析】本题考查了角平分线的定义，角的和差计算，一元一次方程的应用，解题的关键是正确理解角度

之间的和差关系.

(1)先由角平分线求出N8OC,即可求解N4OC,再结合垂直的定义求解即可；

(2)由题意可设N8OE=5x,则/(7。/=4》，则/COE=/80E=5x,然后表示出/8O尸=5x+x=6x,

再由垂直的定义建立方程求解.

【详解】(1)解：:OE平分NC08,ZBOE=67°,

••.NBOC=2N8OE=134°,

ZJOC=1800-NBOC=46°,

•；0hAB,

NAOF=90°,

Z.COF=900-ZAOC=44°:

(2)解：•；NBOE:NCOF=5:4,

.•.设N8OE=5x,则NCO/=4x,

•：OE平分乙COB、

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：.NCOE=NBOE=5x,

.'.AEOF=5x-4x=x,

:.Z.BOF=5x+x=6x,

•・/BOF=90。,

.-.6x=90°,

x=15。，

.•"0=15。.

【变式4・2】(25-26七年级上•江苏无锡月考)已知，点。为直线18上一点，过点。作射线OC,=11()°.

(1)如图1,则/40C的度数为；

(2)如图2,过点。在直线48下方作射线使OQ_LOC,作“40c的角平分线0M,求/MO。的度数;

⑶在(2)的条件下，作射线。尸，若ZBOP与/AOM互余,求NCOQ的度数.

【答案】(1)70。

(2)55°

(3)55°或165。

【分析】(1)根据邻补角的性质求解即可；

(2)首先由(1)可知乙4OC=70。，结合垂直的定义可得NCOQ=90。，再结合角平分线的定义可得

4coM=Z.AOM=35°,然后由ZMOD=ZCOD-ZCOM求解即可；

(3)由(2)知//0.”=35。，结合/30尸与/力。,必互余，可求得N800=55。，然后分射线。尸在“8OC

内部和射线OP在/BOC外部两种情况，分别求解即可.

【详解】(1)解：；/6OC=ll0<>,

:.Z.AOC=\80°-Z.BOC=70°.

(2)解：由(1)可知，ZAOC=70°,

•••OD1OC,

：.CCOD=90°,

♦.•QW为//OC的角平分线，

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:"COM=AAOM=-ZJOC=-x70°=35。,

22

/.ZMOO=4cOD-4coM=90。-35°=55。；

（3）解：由（2）知N//OM=35。,

•••/BOP与/AOM互余,

.•.NBOP+N4OM=90°,

乙BOP=90°-乙AOM=90°-35°=55°，

当射线OP在N8O。内部时，如下图所示:

Z.COP=Z.BOC-4BOP=110°-55°=55°:

当射线。尸在N3OC外部时，如下图,

ACOP=NBOC+4BOP=1100+55°=1650.

综上所述，NC。尸的度数为55。或165。.

【变式4・3】（25-26七年级下•全国•课后作业）如果两个角的差的绝对值等于90。，就称这两个角互为垂角,

例如：Zl=120°,N2=30。，|/1-/2|=90。，则/I和/2互为垂角（本题中所有角都是指大于0°且小于180。

的角）.

（1）如图，。为直线4?上一点，0C_L/8于点。，OE1O。于点。，的垂角是,N8OE的

垂角是

（2）在（1）的条件下，若/4。£的垂角比/8OE大40。，求的度数.

【答案】（1）/力。。/BOD、ZCOE

(2)65°

【分析】本题考查了角的相关定义以及角度计算，一元一次方程求解等知识点，解题的关键是准确埋解垂

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角的定义，并根据题H条件列出一元一次方程来求解角度.

（1）根据垂角定义两个角的差的绝对值等于90。，就称这两个角互为垂角，即可求得：

（2）设/49E的度数为x,则4OE的度数为。80。-力，根据//OE的垂角比N8OE大40。，列方程进

行求解即可.

【详解】（1）解：N4OD：Z.BOD,ZCOE.

•・•OEA.OD,

NOOE=90。，

ZAOD-ZAOE=/DOE=90°,即ZJOE的垂角是40。.

/.£BOE-ZBOD=/DOE=90°,即/BOE的垂角是ZBOD.

OC1AB,

NBOC=9。。,

/./BOE-/COE=4BOC=90°,即/BOE的垂角是/COE.

.•.44OE的垂角是4。。，NBOE的垂角是NBOD和NCOE.

（2）解：设/力。/的度数为％,则4OE的度数为（180。-%）.

•••NAOE的垂角比NBOE大40°,

.•.90°+x-（180o-x）=40°,

解得x-65。，则/4OE的度数是65。.

题型五画垂线、平行线并求点到直线的距离

【例5】（25-26七年级上•吉林长春•期末）如图是10x10的网格，其中每个小方格都是边长相等的正方形,

其顶点称为格点.点小。、B、户均在格点上，点尸在/404的边04上.

（1）过点尸画O/的垂线，垂足为〃.

（2）过点。画O?的垂线，交04于点C.

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（3）线段尸〃的长度是点〃到的距离.线段尸C、PH、这三条线段大小关系是（用号

连接），依据是.

【答案】（1）见解析

（2）见解析

（3）0/1；PH<PC<OC-垂线段最短

【分析】本题考查垂线的定义，熟练掌握其定义是解题的关键

（1）根据垂线的定义画出图形；

（2）根据垂线的定义画出图形；

（3）利用点到直线的距离的定义，利用垂线段最短判断即可.

【详解】（1）解：如图，直线即为所求：

（3）解：由（1）和（2）的图像可得，线段物的长度是点尸到。的距离，

根据垂线段最短可得：PH<PC<0C,

故答案为：。力；PIf<PC<0C；垂线段最短.

【变式5・1】（2025七年级上•江苏南京•专题练习）如图，点P,。分别是/力。6的边。4,04上的点.

（1）过点。圆"4的垂线，交。4于点C;

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(2)过点P画。4的垂线，垂足为〃，连接PQ；

⑶线段。。的长度是点。到的距离，的长度是点尸到直线08的距离；

(4)线段也、尸〃的大小关系是(用“v”号连接).理由.

【答案】(1)图见详解

(2)图见详解

(3)射线。/,线段PH

(4)P”〈尸。，点到直线的距离，垂线段最短

【分析】本题主要考查垂线的定义及点到直线的距离，熟练掌握垂线的定义及点到直线的距离是解题的关

键：

(1)根据格点特征及垂线的定义可进行作图；

(2)根据格点特征及垂线的定义可进行作图；

(3)根据点到直线的距离可进行求解：

(4)根据点到直线的距离，垂线段最短可进行求解.

【详解】(1)解：所作图形如图所示：

(2)解：所作图形如图所示；

(3)解•：线段。。的长度是点。到射线04的距离，线段的长度是点尸到直线。〃的距离；

故答案为射线。4,线段PH；

(4)解：由图可知：PH<PQ,理由是点到直线的距离，垂线段最短；

故答紧为PH<PQ,点到直线的距离，垂线段最短.

【变式5・2](25-26六年级上•吉林长春期末)在如图所示的方格纸中，。是/力。8的边上的一点，按

下列要求画图并回答问题.

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（1）过点C画08的垂线，交04于点。，该垂线若经过格点，请在图中标出垂线所经过的格点；

（2）过点。画。力的垂线，垂足为E.

①线段CE的长度是点。到的距离，是点D到OB的距离；

②线段8、CE、OD、OC的大小关系是（用“V”号连接），依据是：.

（3）过点。画直线（点"与点O在直线的同侧）若NOQM=x。，则NOC£=—（用含x

的代数式表示）.

【答案】（1）图见解析

（2）图见解析•：①04,CD；②CEVCOVOCV。。，直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段

最短

（3）l：90-x）。

【分析】此题考查的是网格作图，点到直线的距离，垂线的性质，掌握垂线的性质是解决此题的关犍.

（1）画出垂线，然后根据图形即可推出结论；

（2）画出垂线，然后根据点到直线的距离以及垂线段最短可得结果；

（3）作出图形后，再根据余角的定义即可解答.

①;CE1OA,CD1OB,

线段CE的长度是点C到OA的距离，CD是点、D到OB的距离.

故答案为：OA,CD.

②如图，•/CD1OC,CD<OC.

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:.CD<OC<OD.

CEA.OA,

:.CE<CD.

CE<CD<OC<OD.

依据是：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短.

故答案为：CE<CD<OC<OD,直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短.

(3)如图所示，

,:CD1.MN,

,-.ZCDA/=90°.

/.ZODC=90°-/ODM=(90-x)°.

CE±OA,

/.ZECD=90°-NODC=x0.

vCDlOC,

ZOCE=90°-ZECD=(90-x)0.

故答案为：(90-x)°.

【变式5・3】(24-25七年级下•河南郑州,期中)如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1,三角形

的顶点均为格点.在方格纸中，完成下列作图.

(1)过点力画8c的垂线4，与C6交于点。；

⑵过点8画力C的平行线上

(3)线段/C、AD.44中最短的线段是,依据

【答案】(1)见解析

(2)见解析

(3)4。，垂线段最短

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【分析】本题考查了作图一基本作图：熟练掌握基本作图是解题的关键.

（I）作垂线4交8C卜点。即可；

（2）根据平行线的作图方法作图即可:

（3）根据垂线段最短解答即可.

【详解】（1）如图，直线4即为所作;

（2）如图，宜线人即为所作；

（3）根据垂线段最短得到最短的线段是力力,

故答案为：AD,垂线段最短.

题型六同位角、内错角、同旁内角的识别

【例6】（25-26七年级上•江苏淮安・月考）下列图形中，N1和N2不是同位角的是（）

【分析】根据两条直线被第三条直线所截,两个角都在截线的同旁，乂分别处在被截的两条直线同侧的位

置的角叫做同位角；根据同位角的定义对各个选项中N1和N2H勺位置进行分析即可得出答案.本题考古了

同位角的定义，正确理解定义是解题的关键.

【详解】解：根据题意,得:

A.N1和N2是同位角,不符合题意;

B.N1和N2是同位角,不符合题意:

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C.N1和N2是同位角，不符合题意；

D.中的/I和N2不是同位角，符合题意;

故选：D.

【变式6・1】（25-26七年级下•全国•课后作业）下列图形中，N1与/2是内错角的是（）

【分析】此题主要考查了内错角，关键是掌握内错角的边构成形.

根据内错角定义：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直

线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角进行解答即可.

【详解】解：A、N1和/2是内错角，正确：

B、N1和N2不是内错角，错误：

C、/I和N2不是内错角，错误；

D、N1和N2不是内错角，错误;

故选：A.

【变式6・2】（24-25七年级下•山西阳泉•期末）如图，直线。，3被直线c所截，则下列说法正确的是（)

A.N1与N2是同旁内角B.N3与/4是内甯角

C.N1与/5是同位角D.N2与25互补

【答案】C

【分析】此题主要考查了对顶角、同位角、内错角，根据对顶角、同位角、内错角对选项进行判断.

【详解】解：A、N1与N2是内错角，说法错误:

B、N3与N4不是内错角，说法错误；

C、N1与N5是同位角，说法正确；

D、N2与N5是对顶角不一定互补，说法错误；

故选：C.

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【变式6・3】（24-25七年级下•广西崇左•月考）如图，下列结论正确的是（）

B.N1与N6是内错角

C.N3与N4是同旁内角D.N6与N2是同旁内角

【答案】D

【分析】本题主要考查了相交线及其所成的角等知识点，熟练掌握相关定义是解题的关键：同位角：两个

角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角：内错角：两个角在截线的异侧，且在两

条被截线之间，具有这样位置关系的一对角互为内错角；同旁内角：两个角都在截线的同一供!，且在两条

被截线方间，具有这样位置关系的一对角互为同旁内角.

根据同位角、内错角、同旁内角的定义进行判断即可.

【详解】解：A、N5与N2不是同位角，该结论错误，故选项不符合题意；

B、/I与N6不是内错角，该结论错误，故选项不符合题意；

C、N3与N4不是同旁内角，该结论错误，故选项不符合题意；

D、N6与N2是同旁内角，该结论正确，故选项符合题意：

故选：D.

题型七判断条件是否使两直线平行

【例7】（25-26七年级下•全国•课后作业）如图，下列条件中，不能判定直线4的是（）

A.ZI=Z5B.Z4=Z2C./2=/3D.Zl+Z4=180°

【答案】B

【分析】本题考查了平行线的判定，直接利用平行线的判定方法分别分析即可得出答案，掌握平行线的判

定方法是解题的关键.

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根据平行线的判定方法去判定每项的正确与否即可得到答案.

【详解】解：A、=.•.直线川小，故此选项不合题意;

B、Z4=Z2,不能得出直线川人,故此选项符合题意；

C、•••/2=/3,.••直线川|（故此选项不合题意；

D、•.•/1+/4=180。，.•.直线川出，故此选项不合题意；

故选：B.

【答案】B

【分析】本题考查平行线的判定定理，准确识别角的位置是解题关键.

根据平行线的判定定理对选项依次进行判断即可.

【详解】解：选项A：N1和/2是由两条不同的截线形成的角，无法推导出力8〃8；

选项B：N1和N2是48和。。被4c所截形成的内错角，根据“内错角相等，两直线平行“，可推出

AB//CD-

选项C：N1和N2的两条边所在的直线没有公共截线，不构成同位角、内错角或同旁内角，无法判定平行;

选项D：N1和N2的位置不构成同位角、内错角或同旁内角，不能判定力8〃CO.

故选：B.

【变式7・2】（25-26七年级上•江苏苏州•月考）如图，点石在8c的延长线上，对于给出的四个条件：

®Z1=Z3；②N2+N5=180';③N4=NB；@ZD+Z5CD=180°.

其中能判断力。〃8c的条件有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】B

【分析】此题考查了平行线的判定.同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补,

两直线平行，据此进行判断即可.

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【详解】解：①•••Nl=/3,

AD//BCx

②•••42+45=180。，Z5=ZAGC,

.•./2+N/GC=180°,

ABHDC.

③•••N4=/8,

AB//DC-

④•••/£）+N4CQ=180。，

AD//BC,

•••能判断力。〃4c的条件有①&共2个

故选:B.

【变式7-3]（25-26八年级卜.•河北张家口•期末）将一块含有30。、60。、90。的三角尺如图放置,点力、8分别

在直线〃八〃上，下列条件中一定能判断用〃〃的是（）

C.Z2=2Z1D.4c8-3

【答案】D

【分析】本题考查了平行线的判定，掌握平行线的判定方法是关键.

如图所示，过点C作。。11小，得到N8CO=N1,CD||nt可判定D选项；当ZACD=NBCD时,Zl=Z3,

此时帆II〃，但48与4CQ不一定相等，可判定A选项；同理可判定B选项，由平行线的判定方法得到

当N2=48。+4=30。+/1时,〃?||〃，可判定C选项，由此即可求解.

【详解】解：如图所示，过点C作。。11小，

•ZCB=NACD+NBCD,4CB=Nl+/3,

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.-.Z3+ZZ?CD=Z1+Z3,

；./BCD=Nl,则CZ)||〃，

.•."HIn,

：・"B=Z1+Z3一定能判断mII*故D选项符合题意；

当乙4CD=N8C0时，Zl=Z3,此时加||〃，但48与NBCQ不一定相等，故4=/3不一定能判断

〃“1〃，

••.A选项不符合题意；

vZ5JC=90°,

.-.Z2+Z3=90°,

若Nl+N2=90。，则Nl=/3,由A选项可得，B选项不符合题意；

•••48C=30。，

.•.'N2=/Z8C+N1=3O0+N1时，〃HI〃，

vZ1,22的度数不确定，故C选项不符合题意；

故选：D.

题型八平行线的性质与判定

【例8】(2026七年级下•全国•专题练习)如下图，在三角形中，CDLAB,点、E在BC上,过点E

作EFLAB.

(1)试探究8与EE的位置关系，并说明理由.

(2)若NCZX7=/SE尸，且乙46。=115\求Z/CS的度数.

【答案】(1)CD〃E尸.理由见解析

(2)Z4CB=115°

【分析】(1)根据垂直于同一条直线的两条直线互相平行进行解答即可；

(2)先根据平行线的性质得出NB£F=N8C。，根据/a>G=N5E产，得出NC0G=N5CO,i正明

0GliBC,根据平行线的性质即可得出乙4a=NAG。=115。.

【详解】(1)解：•.(。_1,川九EFLAB,

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："BFE=NBDC=90。,

.'.CD//EF.

(2)解：-.-CD//EF,

/BEF=ZBCD.

♦:4CDG=4BEF,

NCDG=/BCD,

DG//BC.

•.4G。=115。，

••ZC8=4GO=115。.

【变式8・1】(25-26八年级上•贵州贵阳,期末)如图，在一副三角板中，4=/。=90。，4=45。,

Z£=30°.解答下列问题：

(1)当三角板按如图①的方式摆放时，若//。£=105。，求证：AB\\DC；

(2)当三角板按如图②的方式摆放时，若AB//EC,求N/CO的度数.

【答案】(1)见解析

(2)/48=15。

【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定、直角三角形的性质.

(1)根据直角三角形的性质可以求出NOCE=60。，又因为乙4虑=105。可以求出乙4CO=45。，根据内错

角相等，两直线平行，可证结论成立；

(2)根据两直线平行，内错角相等可知N4CE=N4=45。，再根据角之间的关系求出N4CO的度数.

【详解】(1)证明：・••/。=90。，NE=30。,

/.ZDCE=60°,

又7Z/4CE=105°,

二N/4CO=105。-60。=45。

又丁4=45。，

4=/ACD

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AB〃DC；

(2)解：•：AB〃EC,

••・^A=ZACE=45°

又•"=90。，/E=30。，

.•""=60。，

ZACD=NDCE-ZJC£，=60°-45°=15°.

【变式8・2】(25-26七年级下•河南周口•期中)如图：已知，〃ICO=4EBC,NBHC+NBEF=180。.

⑴求证：EF\\BH.

Q)若8“平分NEBO,EFJ.力。于尸，/HCO=64。,求/CHO的度数.

【答案】(1)证明过程见解析：

⑵/C77O的度数为58。.

【分析】本题考查平行线的判定和性质，角平分线的定义.

(I)由NHCO=NEBC彳导EB〃HC,进而得NEBH=NBHC；结合+N8E/=180。，得

NEBH+NBEF=180。,即可证得结论；

(2)由NHCO=64°得ZEBC=64。，由BH平分2EB0,可得ZEBH，由EB〃HC,可得NCHB；由石厂，力0

且EF〃BH，可得NBH4,可得“HC,即可得的度数.

【详解】(1)证明：••・N"CO=NE8C,

EB//HC,

:"EBH=NBHC.

•；NBHC+NBEF=180°,

."EBH+NBEF='80。,

EF//BH.

(2)解：Y/HCO-EBC,

：.4HCO=ZEBC=64。.

••・BH平分NEBO,

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/EBH=ZCBH=-NEBC=32°,

2

.•.由£3〃HC得ACHB=ZEBU=32°.

•；EF工AO于点F,EF〃BH,

BHLAO,即N4H/=9()°,

4FHC=NBHA4-ZCHB=122°,

Z.CHO=180O-Z.FHC=180°-l22°=58°.

.・.NC〃O的度数为58。.

【变式8-3](25-26七年级下•全国•课后作业)如下图，在四边形48CO中，AB//CD,石是C。上一点,

连接85并延长分别交8C,.4。的延长线于点M,N,已知NBAD=NBCD.

(1)请判断直线加V与8M的位置关系，并说明理由.

(2)若/。力石=30。，ZCBE=20°,/DEN2CEM=8:5,求NMEN的度数.

【答案】(1)4N〃朋W,见解析

(2)/MEN=50。

【分析】本题主要考查平行线的性质和判定定理，解题的关键是掌握平行线的性质和判定定理.

(1)利用平行线的性质和等量代换得到同旁内角互补，进而判定两直线平行；

(2)根据平行线的性质建立角度关系，设4DEN=NABE=3x。,NCEM=N84E=5x。，根据两直线平行,

同旁内角互补，得到关于工的方程，解方程，最后通过角度的和差关系求出NMEN的度数.

【详解】(1)解：AN//BM.理由如下：

'：AB||CD,

/.Z5JZ)+ZJZ)C=180o.

ABAD=4BCD,

ZZ?CD+Z/iDC=180°,

:.AN||BM.

(2)解：NDEN:NCEM=8:5,

ADEN=Z.ABE,ZCEM=NBAE,

:.NABE.NBAE=8:5.

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设乙DEN=/ABE=8x°,NCEM=NBAE=5x°.

vAN||BM,

NBAD+/ABC=180°,

NDAE+Z.BAE+NABE+NCBE=180°,

即30。+5x°+8x0+200=180。，

解得x=10,

/.ZDEN=SO0,Z.CEM=50°,

NMEN=180。—ADEN-NCEM=180°-80°-50°=50°.

题型九判定命题的真假

【例9】（25・26八年级上•山西太原•期中）对于命题“如果N1与/2互补,那么Nl=/2”,能说明这个命题

是假命撅的反例是（）

A.Zl=Z2=90°B.Zl=Z2=45°

C.Z1=60°,Z2=30°D.Z1=60°,Z2=120°

【答案】D

【分析】本题考查了举反例，反例需满足两角互补（和为180。）但两角不相等，由此即可得出结果，理解

题意是解此题的关键.

【详解】解：由题意可得：命题条件为N1与N2互补，即N1+/2-180。；结论为N1=N2,

A、Zl+Z2=180°fiZl=Z2,满足结论，不是反例；

B、Zl+Z2=90°*180°,不满足条件,不是反例;

C、Zl+Z2=90°^180°,不满足条件，不是反例；

D、Nl+N2=18（）。，但/1=6（）。/120。=/2,满足条件但不满足结论，是反例；

故选：D.

【变式9・1】（25-26七年级上•江苏无锡•月考）下列命题中正确的是（）

A.同位角相等

B.在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行

C.两点之间，直线最短

D.过一点作已知直线的平行线，有且只有一条

【答案】B

【分析】此题考直真假命题的判断，根据相关知识逐项进行判断即可.

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A选项同位角相等需两直线平行才成立，否则不一定；C选项应为两点之间线段最短；D选项过一点作已知

直线的平行线，需分点在直线上或外，不一定有且只有一条；B选项根据平行线的判定定理，在同一平面

内，垂直于同一条直线的两直线平行，正确.

【详解】解：A选项：只有当两直线平行时，同位角才相等，否则不一定，二A错误.

•••在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条宜线，那么这两条直线平行，.'B选项正确.

C选项：两点之间，线段最短，直线是无限长的，•・.（：错误.

D选项：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行；但过直线上一点，不存在与已知直线平行的

直线（除本身），，D错误.

故选:B.

【变式9・2】（24-25七年级下•湖北襄阳•期中）下列命题为真命题的有（）

①内错角相等；②对顶角相等；③在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；④过一点有

口只有一条直线与已知音线平行.

A.I个B.2个C.3个D.4个

【答案】B

【分析】本题考查了真假命题的判断，平行线的性质，对顶角的性质等知识点.

逐•判断命题真假：①内错角相等需两直线平行，否则不成立；②对顶角相等恒成立；③垂直公理成立:

④平行公理要求点不在直线上，否则不成立.

【详解】解：①内错角相等只有在两直线平行时成立，故①为假命题；

②对顶角相等是固有性质，故②为真命题；

③在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直是公理，故③为真命题；

④过一点有且只有一条直线与已知直线平行要求点不在直线上，故④为假命题.

，真命题有2个，

故选:B.

【变式9・3】（25-26八年级上•辽宁铁岭•期木）下列各命题是假命题的是（）

A,两个锐角之和一定是钝角B.同角的余角相等

C.平行同一直线的两条直线平行D.两直线平行，同旁内角互补

【答案】A

【分析】本题考查的是命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题.选项A错误，因为两

个锐角之和不一定为钝角，可能为锐角或直角：选项B、C、D均为真命题，符合几何性质.

【详解】解:A、两个锐角之和能小于90。（如3。。+40。=70。），不一定为钝角，是假命题，符合题意；

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B、同角的余角相等，是真命题，不符合题意；

C、平行于同一直线的两条直线平行，是真命题，不符合题意:

D、两直线平行，同旁内角互补，是真命题，不符合题意；

故选：A.

题型十生活中的平移现象

【例10】（25-26七年级上•上海松江•期末）中式连续纹样是一种独特的艺术形式，不仅承载着吉祥和美好

的寓意，还展现了古人对自然和生活的深刻理解，下面四个连续纹样中，属于四方连续纹样的是（）

D.ITO

【答案】D

【分析】本题考查了利用平移设计图案，熟练掌握平移的性质是解题的关键.四方连续纹样是指一个单位

纹样向上下左右四个方向反复循环排列形成的装饰图案，根据平移的性质判断即可.

【详解】解：属于四方连续纹样的是选项D,

故选：D.

【变式（25-26七年级上•上海宝山•月考）下列生活现象中是平移的是（）

A.钟摆的运动B.汽车雨刷的运动

C.过安检时传送带上行李箱的运动D.骑自行车时前后轮的转动

【答案】C

【分析】本题主要考查了平移的定义，

平移是物体沿直线