2026高二数学寒假复习讲义：数列通项公式的求法（原卷版）

专题08数列通项公式的求法

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成］串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢

卫重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺

也考点巩固：必考题型讲透练透，能力提升

母复习提升：真题感知+提升专练，全面突破

核心考点

重难知短

阳知识点1:由册与二关系求通项公式

由题目给出巴与S“（或者直接给出多项数列相加）关系式求通项公式，可以考虑退位相减，构造S“_1

然后根据Sn-S-l二%化简。

1、消L得到斯的关系式

2、消时得到S”的关系式

3、根据题目给出的几项求和公式或者求积公式，构造n+1项后做差或作商，求通项。

注意：构造SnT后，nN2,所以求出通项公式后，记得验证首项是否满足通项公式。

四知识点2：累加法求通项公式

%+i=即+f(n)型(f(n)是关于n的函数)：

an-an-l=f(.n-1)

一册—2=/S—2)=Q”=f(九一1)+/(〃-2)+…/(2)+/(I)+%,(九N2)

(。2-=/⑴

注意：

①若/何)是关于71的一次函数,累加后可转化为等差数列求和;

②若/'(九)是关于九的指数函数,累加后可转化为等比数列求和;

③若/■(>)是关于九的二次函数,累加后可分组求和；

④若/⑺是关于"的分式函数,累加后可裂项求和.

验证首项是否满足通项公式。

这知识点3：累乘法求通项公式

詈=/5)型(/(九)是关于n的或数)：

=价-1)

an-l

%—2=/3-2)=%。一D./①一2)./(2)/(1)%,(n>2)

a2

六aif⑴

注意：

f(〃)的连乘一般可以上下抵消，注意隔项相消的时候，要留意保留的项。

验证首项是否满足通项公式。

120知识点4,构造数列法求通项公式

1、%+]=pa“+q(当p=1时，为等差数列，q=0时，为等匕数列，所以pHl,pH0,q工0)

目标把%+1=p%+q拆分成的+1+加=口(即+4)的形式，使得®+4｝为公比为p的等比数列(其中

的力满足P4一力=q=4=7p-7i)

2、an+1=pan+kn+b(p。1,pH0,kH°)

目标把%+1=pan+kn+b拆分成(%+i+A(n+1)+8)=p(an+An+8)的形式，使得｛的+An+B]

为公比为p的等比数列(其中的48满足p(4〃+B)—04(〃+1)+8)=kn+b

n

3、即+[=pan+q(pH1,0,qH0,1)

两边同时除以严i,得施二等+；，然后按照“+】=pa〃+q的方法去求通项。

注意：

通过待定系数法，构造等比数列，最后来确定系数。

验证首项是否满足通项公式。

知识点5：倒数法求通项公式

%-1-%=P%-lQn(P羊0)型

2

化成2-£=p形式，得｛2｝为等差数列

四知识点6：递推式求周期性数列

同函数的周期性一致，数列也具有周期性。以下举出几个常见周期数列的特征。

a

1、n+l=普型（。=0）分式递推式，可能为周期数列，可计算出几项来证实一下周期性。

2、0n+1+0^=上或4+2+an+l+%=Z或%+2-%+1+%=A（k是常数）（k是常数）

3、即+＞即=k或即+2.%+].%=k或等中=Z

4、分段式数列

注意：

以上几种数列，当觉得可能为周期数列时，可计算出几项来验证一下周期性。

必考题型

【题型1】消％或消册得通项公式

高妙技法

退位构造S“T，然后根据Sn-SnT=a〃化简。通常都是由消S”得到斯的关系式，但是若式子的其余项都

是Sn相关项，也会由消册得到又的关系式。注意检验首项

1.（25-26高三上•湖南长沙•月考）已知数列｛黑｝的前〃项和为s“，q=2,且%S.”=%（s.+1）-I,则$6=

（）

A.3B.6C.9D.12

s

2.（24-25高二下•广东•月考）记S,为首项为1的数列｛《,｝的前〃项和，且==〃?，则鼠=（）

凡

60「50〃60r50

A.—B.—C.—D.—

29293131

3.（24-25高二下•北京•期中）设数列｛/｝的前〃项和为S”.若％=2,S'=（〃[:"，则4=（）

A.18B.12C.6D.3

4.（242S高二下•黑龙江绥化•期中）已知S,为数列｛凡｝的前〃项和.ai=\,凡“+2邑=2〃+1,贝I]

*^2024=•

【题型2由公式递推式求项】

高妙技法

若题目给出的是n项相加或相乘的格式，也可以构建n+1项，然后两式相减或者相除，得第n+1项，注

意检验首项

3

1.（25-26高二上・甘肃兰州•期中）已知数列｛q｝满足q+2%+3%+…+〃q设。=鬲声F，>

为数列也｝的前〃项和.若S,々对任意〃eN恒成立，则实数/的最小值为（）

2.（25-26高二上•江苏苏州・月考）数歹必/｝满足6+2%+3。3+…+〃%=2〃一l（〃wN,1）,则数列f>

*I•4

的前9项和为（）

161八106c49>72

A.——B.——C.—D.—

1651656655

3.（2025高三•全国•专题练习）已知数列｛4｝满足6+1，+:%+—+,4“=〃2+〃（〃64），设数列也｝满

足4=如1,数列｛"｝的前〃项和为7；,若7；4Vx恒成立，则实数力的取值范围为（）

一,4<O一,+oo

48

4.（24-25高二下•广东深圳•期末）已知数列｛叫满足q+3%+…+3"%=〃.3",则生。”=.

【题型3累加法求通项公式】

高妙技法

右边项求和时，可以使用求和的几种方法。注意检查首项是否满足最后的通项公式

1.（2025高二•全国•专题练习）在数列｛/｝中，卬=2,4=%+ln（l+,），则a”等于（）

〃+1nn

A.2+〃InnB.2〃+(〃-l)ln〃

C.2/z+nInnD.1+〃+〃ln〃

2.（24-25高二上•湖北孝感・月考）数列｛q｝满足：4=1,an+l=an+log2|,则知=（）

I〃/

A.2上D.4应

3.（2025高三・全国•专题练习）已知数列｛牝｝满足叼=2,5川+51=25“+104。+£|（〃22）,则%=（）

A.2衣

4.（2025高三上•广东中山•专题冻习）已知数列｛勺｝满足q=2,%=4+ln[l+]｝则%=；

【题型4累乘法求通项公式】

高妙技法

右侧的累乘项一般是分式可以上下消除，但要注意隔项消除时最后剩下的项。注意检验首项是否满足通项

公式。

4

1.（多选）（24-25高二下•辽宁期中）已知数列｛叫满足〃%=2（〃+1）%T（〃€N）则（）

A.｛凡｝是递减数列

B.

C.当,一!一-2万1的前〃项和取得最小值时，〃=6

D.对任意〃wN*，不等式（一1）"〃?。“Wa”+i,则一;Wmw;

2.（多选）（24-25高二下•辽宁期中）已知数列｛%｝满足4=6,%”=一为，则（）

A.VnGN*,an＜（n+\）B.V//GN*,工2025

C.%为完全立方数D.V〃eN・，数列｛%｝的前〃项和S”=M〃+1）（"；2）（〃+3）

3.（24-25高二下•上海奉贤•月考）已知数列｛q｝满足4=1，勺讨=子匕牝，则口｝的通项公式为—

4.（2025高三・全国•专题练习）己知％=4，%="（：："〃小（〃22）,求数列｛%｝的通项.

2（/?-1）（/?+2）

【题型5一次/二次/常数型用构造法求通项公式】

高妙技法

%+i=P/+/（n）当/1（几）为常数或者一次函数或者二次函数，用待定系数法构即+i+g（n+1）=p（即+

9（玲）使得pg（n）-g（n+1）=/（n）,数列｛册+gS）｝为等比数列。

1.（2026高三・全国•专题练习）己知数列｛〃“｝满足/+i=20“+”,°]=2,则/=.

2.（25-26高二上・甘肃平凉•月考）已知q=l,当〃22时，an=^an_,+2n-\,则｛为｝的通项公式为

3.（多选）（25・26高三上•黑龙江•月考）设首项为1的数列｛q｝前〃项和为S“，已知S"+1=2S.+〃-l,则

下列结论正确的是（）

A.数列｛£+〃｝为等比数列B.数列｛%｝的前〃项和S.=2"-〃

C.数列｛%｝的通项公式为a“=2“T-1D.数列｛对+1）不是等比数列

4.（多选）（25-26高三上•辽宁・期中）记'为数列｛%｝的前〃项和，且q=l,2s“”-S“=2〃+2,则（）

A.a2=jB.｛%-2｝为等差数列

C.数列｛%｝单调递减D.1=2〃-2+，）

【题型6指数型用构造法求通项公式】

5

高妙技法

先除以式子中的指数，把这项变成常数项，然后按照常数的待定系数法去分配。

1.（25-26高二上・江苏镇江•期中）已知数列｛〃“｝中，卬=3,且％=34+3"“，则生。26=（）

A.2026x32026B.2025x32025C.2026x32025D.2025x32026

2.（25-26高二上•甘加月考）已知单调递增数列血｝满足《用=2"-2勺，且q=%则4=（）

11cl1

A.7B.--C.-D.--

3.（多选）（25-26高三上•湖北荆州•月考）已知数列几｝的前〃项和为S.,q=3,且，=3S“_1+2x3"（〃22）,

则下列说法正确的有（）

c、

A.才是一个等差数列

B.是一个等比数列

4〃

C.对3%>2S”.

D.数列|士必的前〃项和为9,则r=_2+且工

S£+i｝n32/1+1

4.（25-26高三上•河南新乡•期中）在数列｛q｝中，《=0,=2/-3"-/?+2〃+],则氏=.

【题型7倒数型求通项公式】

高妙技法

构造倒数数列，然后求倒数数列的通项公式。

1.（24-25高二上•江苏镇江•期中）已知在数列｛4｝中，4=2,。N二2支。匚，+数

列也｝的前〃项和为S.，则品K,=（）

400400,408408

A.B.---C.---D.

而101101而

2.（多选）（25-26高二上•江苏南京•月考）数列｛6｝的前〃项和为S"（S-0）,%=^^+4S„.A=（）（/?>2）,

则下列命题正确的是（）

口。“4〃（〃-1）

C.数列｛%｝的最小项为-之

8

6

D.数列1+J+…4”为等比数列

3.（25-26高二上•黑龙江哈尔滨月考）已知数列｛%｝满足6=1,%-。用=2%/用，则%=（）

rt+11

A2o1c2-1c

A，2,,-1+1B，产•2"+lD，2n-l

4.（2025高三•全国•专题练习）已妇在数列｛q｝中，％=2,且满足/“+a/用一2%=0,求证：（%-1）<3.

A=l

【题型8递推式求周期数列的通项公式】

高妙技法

可以列出数列中的几项来发现数列是否是周期数列，并找出其最小周期。

1.（25-26高二上•江苏苏州•期中）数列｛q｝满足％=&，〃川=三工-（〃eN’），则

aI+a2+a3HF%024+-

2.（25・26高二上・福建芾田•期中）设数列｛《,｝满足。川=产，且％=：,则，02，=（）

1一%2

A.-2B.--C.yD.3

3.（25-26高二上•山西•月考）已知数列㈤｝中，q=3,an=an-an+i+1,则。2025=（）

A.3B.1C.-；D.-1

4.（25・26高三上•辽宁•月考）考知数列｛凡｝满足凡总+%%,=**.，4=1,%=2,则下列说法正确

的是（）

B.%+%+…+%)26=1

1II1

D.—I------1-------1-----1-------=1

“Ia2。3。2026

g复习提升

一、单选题

I.（25-26高三上•山东泰安・月考）已知数列｛%｝的前〃项和为邑，满足J+2〃=2%，则。2025=（）

A.22025-2B.22026-2C.22027-2D.22024-2

2.（25-26高三上•广东肇庆・开学考试）已知数列｛%｝的前〃项和为S.，4=2,且/邑川=（（邑+1）-1,

则$2025=（）

2025

A.1012B.2024C.-D.2025

9

7

3.（25-26高三上•四川成都•开学考试）已知数列｛%｝满足q=l,%=4+2”（〃wN）,则/=（）

A.210-1B.2"+1C.2,0+1D.2"-1

4.（25-26高二上•重庆•月考）已知数列｛叫满足为=4,、1

=2----,(/：>2,//GN*)，则％)

%

A色

A,51C.1D.2

二、多选题

5.（25-26高三上•辽宁•期中）记S,为数列｛叫的前〃项和，且q=l,2S,I+1-=2/7+2,则（）

A.g=|B.｛%-2｝为等差数列

/］、〃T

C.数列｛%｝单调递减D.S”=2〃-2+-

4

6.（24-25高二下•广东深圳•期中）已知数列｛%｝,也｝满足q=2,（1+〃此=%*也=——,记2,7；分别

%%+i

为数列应｝,也｝的前〃项和，则­：)

A.an=2/7B.当〃之44时,Sn>2025

仁—=霰D.当〃？2时，^<TnTn_{<\

7.（25-26高三上•福建莆田•期中）已知数列｛见｝满足％+2%+-+2〃-4=小2-1则（）

A.%=4

B.｛4｝的前8项和为86

C.｛（-1）"%｝的前12项和为—14

D.的前16项和为168

三、填空题