计数原理、概率与统计（十一大题型）原卷版

专题06计数原理、概率与统计（理）

题型一：排列组合

1.（陕西省汉中市2025-2025学年高三下学期教学质量其次次检测理科数学试卷）继淄博烧烤、哈尔滨冻梨

后，最近天水麻辣烫又火了.据了解，天水麻辣烫店内菜品一般由竹签串起成捆摆放，人们依据自己的喜

好选好后递给老板，进行调制，某麻辣烫店内有牛肉、羊肉、鸡肉、萝卜、木耳、菠菜、豆腐、香菇等菜

品，一游客打算从以上8种菜品中选择一荤两素，其中萝卜，木耳只能选一种，菠菜，豆腐只能选一种，

且羊肉必需与萝卜搭配，则他选择的种类共有种.

2.（四川省泸州市2025届高三其次次教学质量诊断性考试数学（理科））某校支配高一班级（1）〜（4）

班共4个班去A,B,C三个劳均教育基地进行社会实践，每个班去一个基地，每个基地至少支配一个班,

则高（1）班被支配到A基地的排法总数为（）

A.9B.12C.18D.24

3.（陕西省咸阳市2025届高三下学期高考模拟检测（二）数学（理科））为了强化同学平安意识，落实“12530”

某学校让同学用这5个数字再加一个0来设定自己教室储物柜密码，若两个。之间至少有一个

数字，且两。不都在首末两位，可以设置的密码共有（）

A.72B.120C.216D.240

4.（陕西省榆林市2025-2025学年高三其次次模拟检测数学（理科））甲、乙、丙、丁四人方案一起去陕西省榆

林市旅游，他们从榆林占城、镇北台、红石峡、榆林沙漠国家森林公园、红碱淖、白云山、易马城遗址这7个景

点中选4个游玩（依据游玩的挨次，最先到达的称为第一站，后面到达的依次称为其次、三、四站），已知他

们第一站不去榆林沙漠国家森林公园，且第四站去红碱淖或白云山，则他们这四站景点的选择共有（）

A.180种B.200种C.240种D.300种

题型二：二项式定理

5.（四川省绵阳市2025届高三二模数学（理））（«-千］的开放式中，x的系数为（）

A.-5B.-10C.5D.1（）

6.（陕西省汉中市2025-2025学年高三下学期教学质量其次次检测理科数学试卷）已知

425

（X4-1）（X-2）=«0+«1（jf+l）4-a2（x+l）4----+a5（x+I）,则％+2%+3%+4/+54=（）

A.32B.48C.16D.-16

7.（四川省德阳市重点高中2025届高三诊断模拟考试（二）数学（理科））在（x+y-2）$的开放式中，/）,的

系数是（）

A.-40B.-20C.20D.40

8.（四川省凉山州2025届高三二诊理科数学）已知X~N（1,4），且1）=尸（xZ2）,则在（4+24

的开放式中，V的系数为（）

A.5B.10C.15D.20

，2}

9.（四川省遂宁市2025届高三其次次诊断性考试数学（理））x~——的开放式中/的系数为（）

X)

A.80B.40C.10D.-40

题型三：回归分析

10.（内蒙古自治区呼伦贝尔市2025届高三下学期二模理科数学）已知变最工与），具有线性相关关系，在争

辩变量x与y之间的关系时，进行试验后得到了一组样本数据。/）,（毛，52）/、伍，生），（6,28）,（0,28）,利

用此样本数据求得的线性回归方程为$=义X+写，现发觉数据（628）和（0,28）误差较大，剔除这两对数据

后,求得的线性回归方程为>以+〃7,且£>=140,则加=（）

/=1

A.8B.12C.16D.20

题型四：条件概率

11.（陕西省宝鸡市2025届高三下学期高考模拟检测（二）数学（理科））某位同学家中常备三种感冒药,

分别为金花清感颗粒3盒、莲花消瘟胶囊2盒、清开灵颗粒5盒.若这三类药物能治愈感冒的概率分别为

323334,他感冒时，随机从这儿盒药物里选择一盒服用（用药请遵医嘱），则感冒被治愈的概率为（）

345

1■34

A.—B.-C.-D.一

10245

12.（青海省西宁市大通县2025届百三其次次模拟考试数学（理））在某电路上有M、N两个独立工作的元

件，每次通电后，需要更换M元件的概率为0.3,需要更换N元件的概率为0.2,则在某次通电后M、N有

且只有一个需要更换的条件下，M需要更换的概率是（）

A.竺B.史C.之D

19195-t

题型五：信息图表处理及抽样调查、频率分布直方图

13.（四川省南充高级中学2025后高三其次次模拟（理）试卷）2025年冬，甲型流感病毒来势汹汹.某科研

小组经过争辩发觉，患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异.在某地的两类人群中各随机抽取2（）人的

该项医学指标作为样本，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图，利用该指标制定一个检

测标准，需要确定临界值将该指标小于"的人判定为阳性，大于或等于〃的人判定为阴性.此检测标准的

漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为M。）；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为夕3）.假设

数据在组内均匀分布，用频率估量概率.

上频率/组距木频率/组距

-

O.07-0.07------1---1

OS.060.06b

-0.05—1~~

。05

S04一0.04-.....~~

03一0.031

0.02---------------

OS.02

001一°°4IIIIL

2025303540指标0510152025指标

未患病者患病者

（1）当临界值a=20时,求漏诊率P（a）和误诊率冢;

（2）从指标在区间［20,25］样本中随机抽取2人，求恰好一人是患病者一人是未患病者的概率.

14.（陕西省榆林巾2U25-2U25学年高二具次次模拟检测数学（埋科））某_E厂要对111。个零件进行抽检,

这1110个零件的编号为0001.0002,…,1110.若接受系统抽样的方法抽检30个零件，且编号为0005的零件被

抽检，则下列编号是被抽检的编号的是（）

A.0040B.0041C.0042D.0043

15.（陕西省2025届高三二轮复习联考（-）理科数学（全国卷））某校对全校的1000名同学的秋季体测

得分状况进行了统计，把得分数据依据[50,60）,[60,70）,[70,80）,[80,90）,[90,100]分成5组，绘制了

如图所示的频率分布直方图.依据图中信息（同组数据取中间值），可知下列说法正确的是（）

B.«=0.004

C.平均成果为72分

D.从该校全部同学中随机抽取一名同学，其体测成果不小于70分的概率为0.6

16.（四川省德阳市重点高中2025届高三诊断模拟考试（二）数学（理科））某校秋季运动会中A4两班的

各个单项得分（满分5分，分值高者为优）的雷达图如图所示，则下列说法不正确的是（）

100米

$

1000米

A.在200米项目中，A班的得分比8班的得分高

B.在铅球项目中，A班的得分比6班的得分高

C.在跳高项目中，8班的得分比A班的得分高

D.A班的总分比A班的总分高

题型六：古典概型与几何概型

17.（陕西省部分学校2025届高三下学期二模考试（理科）数学）从甲、乙、丙、丁.4名同学中任选2人,

则甲未被选中的概率为.

18.（陕西省咸阳市2025届高三下学期高考模拟检测（二）数学（理科））已知平面区域C中的点满足

［卜5+1卜一），］］.（&+1）），］＜0,若在圆面f+产42中任取一点P,则该点取自区域C的暇率为（）

A.—B.—C.—D.一

3467

19.（2025届内蒙古自治区包头市高三下学期二模数学（理））将2个4和3个b随机排成一行，则2个“不

相邻的概率为（）

A.0.3B,0.5C.0.6D.0.8

20.（四川省南充高级中学2025届高三其次次模拟（理）试卷）甲乙两位游客慕名来到百色旅游，预备分

别从凌云浩坤湖、大王岭原始森林、靖西鹅泉和乐业大石围天坑4个景点中随机选择其中一个，已知甲和

乙选择的景点不同，则甲和乙恰好一人选择乐业大石围天坑的概率为（）

A.-B.C.~D.一

4824

21.（四川省宜宾市2025届高三下学期其次次诊断性考试理科数学试卷）为确保马拉松赛事在某市顺当进

行，组委会在沿途一共设置了7个饮水点，每两个饮水点中间再设置一个服务站，一共6个服务站.由含甲、

乙在内的13支志愿者服务队负责这13个站点的服务工作，每一个站点有且仅有一支服务队负责服务，则

甲队和乙队在不同类型的站点服务且不相邻的概率为（）

A.—B.—C.—D.—

13131313

22.（四川省凉山州2025届高三二诊理科数学）为了传承和弘扬雷锋精神，分散榜样力气.3月5日学雷锋

纪念日来临之际，凉山州某中学举办了主题为“传承雷锋精神，践行时代力气”的征文竞赛.此次征文共5

个题H,每位参赛同学从中随机选取一个题目预备作文，则甲、乙，丙三位同学选到互不相同题FI的概率

为（）

34（）I?

A.-B.-C.-D.—

552525

23.（四川省凉山州2025届高三二诊理科数学）若实数x,y满足不等式凶+|）|«2,则f+y。的概率为

)

B'?-7D-?

x+y<6

24.（四川省南充市2025届高三高考适应性考试（二诊）理科数学）已知点『（线,九）为可行域内

任意一点，则%-%>0的概率为（）

25.（四川省成都市2025届高三下学期其次次诊断性检测理科数学）现有四种不同的颜色要对如图形中的

五个部分进行着色，其中任意有公共边的两块着不同颜色的概率为（）

26.（四川省遂宁市2025届高三其次次诊断性考试数学（理））某校甲、乙、丙、丁4个小组到A,B,C这

3个劳动实践基地参与实践活动，每个小组选择•个基地，则每个基地至少有1个小组的概率为（）

题型七：两点分布、二项分布、超几何分布、正态分布

27.（陕西省西安市部分学校2025届高三下学期二模考试理科数学）某校组织同学进行跳绳竞赛，以每分

钟跳绳个数作为竞赛成果（单位：个）.为了解参赛同学的竞赛成果，从参赛同学中随机抽取50名同学的竞

赛成果作为样本,整理数据并按竞赛成果分成[60,80),[80,100),[100,120),[120,140),[140,160),[160,180]

这6组，得到的频率分布直方图妇图所示.

（I）估量该校同学跳绳竞赛成果的中位数;

（2）若跳绳竞赛成果不低于140分的为优秀，以这50名同学跳绳竞赛成果的频率作为概率，现从该校同学中

随机抽取3人，记被抽取的竞赛成果优秀的同学人数为X,求X的分布列与期望.

28.（陕西省汉中市2025-2025学年高三下学期教学质量其次次检测理科数学试卷）2025年03月04日《人

民口报》发表文章《开展全民健身实现全民健康》，文中提到：与育熬炼要从小抓起.“让孩子们跑起来"要

长得壮壮的、练得棒棒的”“体育熬炼是增加少年儿童体质最有效的手段”…….

牢牢印刻在宽敞教育工作者和孩子们的心中.某学校为了了解同学体育熬炼的状况，随机抽取了八名同学，

统计了他们每周体育熬炼的时间，作出了频率分布直方图如图所示.其中体育熬炼时间在（4,6］内的人数为

u24681012体育锻炼

时间"卜时

⑴求〃及。的值（。的取值保留三位小数）；

（2）试估量该校同学每周体育熬炼时间的平均值（同一组数据用该区间的中点值作代表）：

⑶以频率估量概率，在该校同学中任取4人，设X为这4人中每周体育熬炼时间在（8.12］内的人数，求X

的分布列及数学期望.

29.（四川省成都市2025届高三下学期其次次诊断性检测理科数学）某省举办了次高三班级化学模拟考

试，其中甲市有10000名同学参考.依据阅历，该省及各市本次模拟考试成果（满分100分）都近似听从

正态分布N（〃,b）

（1）已知本次模拟考试甲市平均成果为65分，87分以上共有228人.甲市同学A的成果为76分，试估量同

学A在甲市的大致名次；

（2）在该省本次模拟考试的参考同学中随机抽取40人，记X表示在本次考试中化学成果在（〃-35〃+3。）之

外的人数，求P(XNl)的概率及X的数学期望.

参考数据：0.99744OB0.90II

参考公式:若X~N(〃Q2),有P(〃-crvXK〃+b)=0.6826,

-2。<XK〃+2(T)=0.9544,P(〃-3b<XK〃+3。)=0.9974.

30.（四川省泸州市2025届高三其次次教学质量诊断性考试数学（理科））统计学中有如下结论：若

X~N出吟,从X的取值中随机抽取M&eN'次N2）个数据•，记这k个数据的平均值为V,则随机变量

/2X

y：N出亍.据传德国数学家希尔伯特宠爱吃披萨.他每天都会到同一家披萨店购买一份披萨.该披萨

店的老板声称自己所出售的披萨的平均质量是500g,上下浮动不超过25g,这句话用数学语言来表达就是：

每个披萨的质量听从期望为500g,标准差为25g的正态分布.

⑴假设老板的说法是真实的，随机购买25份披萨，记这25份披萨的平均值为丫，利用上述结论求尸（Y49O）；

（2）希尔伯特每天都会将买来的披萨称重并记录，25天后，得到的数据都落在（475,525）上，并经计算得到25

份披萨质量的平均值为488.72g,希尔伯特通过分析举报了该老板.试从概率角度说明希尔伯特举报该老板

的理由.

附：①随机变量77听从止态分布N|*,o■2）,则尸（〃-bW/7W〃+b）=。.6827,2（〃—2bW〃W〃+2b）=0.9545,

<〃+3b）=0.9973；

②通常把发生概率小于0.05的大事称为小概率大事，小概率大事基本不会发生.

31.（四川省凉山州2025届高三二诊理科数学）常言道：文史不分家，其实数学与物理也不分家.”近代物

理学之父’,_牛顿大约在1671年，完成了《流数法和无穷级数》这部书，标志着微积分的正式创立.某

学校课题小组针对''高中同学物理学习成果与数学学习成果的关系“进行了一系列的争辩，得到了高中同学两

学科的成果具有线性相关的结论.现从该校随机抽取6名同学在一次考试中的物理和数学成果，如表（单

（2）若要从抽取的这6名同学中随机选出3名同学参与一项问卷调查，记数学成果不低于100分的同学人数

为X,求X的分布列和数学期望.

题型八：平均数、中位数、众数、方差、标准差、极差

32.（四川省德阳市重点高中2025届高三诊断模拟考试（二）数学（理科））某中学为了解大数据供应的共

性化作业质量状况，随机访问〃名同学，并对这〃名同学的共性叱作业进行评分（满分：100分），依据得分

将他们的成果分成[40,50）"50,60）,[60,70）,[70,80）,[80.90）,[90,100]六组，制成如图所示的频率分布直方

图，其中成果在[70,80）的同学人数为30人.

（1）求的值；

（2）估量这〃名同学成果的平均数（同一组数据用该组数据的中点值代替）和中位数.

33.（陕西省咸阳市2025届高三下学期高考模拟检测（二）数学（理科））已知总体的各个个体的值由小

49

到大依次为2,4,4,6,“反12,14,18,20,且总体的平均值为10,则一+1的最小值为______.

ab

题型九：独立性检验

34.（陕西省西安市未央区、莲湖区等区2025届高三下学期二模模拟检测文科数学试卷）民航招飞是指一

般高校飞行技术专业（本科）通过高考招收飞行学员，据统计某校高三在校同学有1000人，其中男同学600

人，女同学400人，男女各有100名同学有报名意向.

（1）完成给出的列联表，并分别估量男、女同学有报名意向的概率；

有报名意向没有报名意向合计

男同学

女同学

合计

（2）推断是否有99%的把握认为该校高三同学是否有报名意向与性别有关.

附：K2=---------〃（""一历）----------，其中：n=a+b+c+d,

（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）

耳十次）0.100.050.0250.0100.001

k。2.7063.8415.0246.63510.828

35.（陕西省西安市临潼区2025后高三其次次模拟检测数学（文科））某工厂用A,8两台机器生•产同一种

产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机器生产的产品质量，分别用两台机器各生产了100

件产品，产品的质量状况统计如表；

一级品二级品合计

A机器7030100

8机器8020100

合计15050200

（1）若用A,8两台机器各生产该产品5万件，用频率估量概率，试估算此次生产的一级品的数量有多少万件？

⑵能否有90%的把握认为A机器生产的产品质晟与8机器生产的产品质量有差异？

n(ad-bcy

附：K2=其中n=a+b+c+d.

(a+/?)(c+d)(a+c)(/?+d)

尸（土之七）0.150.100.05

k。2.0722.7063.841

36.（陕西省咸阳市2025届高三下学期高考模拟检测（二）数学（理科））陕西省从2025年秋季启动新

高考，新高考“3+1+2”模式中“3”为全国统一高考科目的语文、数学、外语，“1”为首选科目，要求从物理、

历史2门科目中确定1门，“2”为再选科目，要求从思想政治、地理、化学、生物学4门科目口确定2门，

共计产生12种组合.某班有同学50名，在选科时，首选科目选历史和物理的统计数据如下表所示:

历史物理合计

男生22325

女生81725

合计104050

_n(ad-bc')2

2其中〃=〃+/?+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

a0.1000.0500.0100.0050.001

2.7063.8416.6357.87910.828

(1)依据表中的数据，推断是否有99%的把握认为同学选择历史与性别有关;

(2)从选择历史的10名同学中任意抽取3名同学参与学校“牢记历史，强国有我''演讲竞赛，设X为抽取的三

名同学中女生的人数，求X的分布列，并求数学期望和方差.

题型十：求离散型随机变量的分布列与期望

37.(四川省遂宁市2025届高三其次次诊断性考试数学(理))某校在课外活动期间设置了文化艺术类活动

和体育熬炼类活动，为了解同学对这两类活动的参与状况，统计了如下数据：

文化艺术类体育熬炼类合计

男100300400

女50100150

合计150400550

(1)通过计算推断，有没有90%的把握认为该校同学所选择课外活动的类别与性别有关系？

(2)“投壶”是中国古代宴饮时做的一种投掷玩耍，也是一种礼仪.该校文化艺术类课外活动中，设置了一项“投

壶”活动.已知甲、乙两人参与投壶活动，投中1只得1分，未投中不得分，据以往数据，甲每只投中的概

率为!，乙每只投中的概率为:，若甲、乙两人各投2只，记两人所得分数之和为4，求彳的分布列和数学

3一

期望.

附表及公式:

pgk°)0.150.100.050.0250.010

k。2.0722.7063.8415.0246.635

n(ad-bc)2

其中K?,n=a+b+c+d.

(a+b)(c+d)[a+c)(b+cl)

38.（四川省成都市成实外教育集团2025届高三联考数学理科（二））某校体育节组织定点投篮竞赛，每位

参赛选手共有3次投篮机会.统计数据显示,每位选手投篮投进与否满足:若第k次投进的概率为/X0<p<i）,

当第&次投进时，第k+1次也投进的概率保持〃不变，当第攵次没能投进时，第々+1次能投进的概率为音.

（1）若选手甲第1次投进的概率为g,求选手甲至少投进--次的概率；

（2）设选手乙第1次投进的概率为:，每投进1球得1分，投不进得。分，求选手得分X的分布列与数学期

望.

题型十一：概率综合问题

39.（四川省南充市2025届高三高考适应性考试（二诊）理科数学）已知某科技公司的某型号芯片的各项

指标经过全面检测后，分为1级和n级，两种品级芯片的某项指标的频率分布直方图如图所示：

405060708090100指标

1级品n级品

若只利用该指标制定一个标准，需要确定临界值K按规定须将该指标大于K的产品应用于A型手机，小

于或等于K的产品应用于B型手机.若将I级品中该指标小于或等于临界值K的芯片错误应用于A型手机

会导致芯片生产商每部手机损失800元；若将II级品中该指标大于临界值K的芯片错误应用于B型手机会

导致芯片生产商每部手机损失400元；假设数据在组内均匀分布，以大事发生的频率作为相应大事发生的

概率.

⑴设临界信K=70时，将2个不作该指标检测的I级晶芯片直接应用于A型手机，求芯片牛产商的损失小（单

位：元）的分布列及期望;

⑵设K=x且xe[50,55],现有足够多的芯片I级品、II级品，分别应用于A型手机、8型手机各1万部的

生产:

方案一：将芯片不作该指标检测，I级品直接应用于A型手机，I【级品直接应用于/3型手机;

方案二：重新检测该芯片【级品，II级品的该项指标，并按规定正确应用于手机型号，会避开方案一的损

失费用，但检测费用共需要130万元:

恳求出按方案一，芯片生产商损失费用