高考数学复习讲义：等差数列和等比数列的计算和性质 （原卷版）

解密13等差数列和等比数列的计算和性质

【考点解密】

1.数列的有关概念

概念含义

数列按照一定顺序排列的一列数

数列的项数列中的每一个数

数列的通项数列｛斯｝的第n项an

如果数列｛m｝的第〃项斯与序号〃之间的关系能用公式〃“="〃)

通项公式

表示，这个公式叫做数列的通项公式

前n项和数列｛%｝中，S〃=0+s+…+。〃叫做数列的前〃项和

2.数列的表示方法

列表法列表格表示n与小的对应关系

图象法把点(〃，外)画在平面直角坐标系中

通项

公把数列的通项用公式表示

公式

式

递推使用初始值a\和+1=/(“〃)或，。2和(In♦1=f3”，。“-1)等表

法

公式示数列的方法

3.%与&的关系

Si,〃=1,

若数列｛如｝的前〃项和为5,则知=。°

Sn—Sn-I>〃三2.

4.数列的分类

分类标准类型满足条件

有穷数列项数有限

项数

无穷数列项数无限

递增数列a〃十

项与项间的

递减数列4〃+|〈斯其中〃£N*

大小关系

常数列

5.等差数列的定义

an—an.\=d(n22)

6.等差数列的通项公式

an=4[+(〃-l)d

=4"+(〃—.

7.等差中项

若a,h，c成等差数列，则2b=a+c.〃叫做〃与c的等差中项.

8.等差数列的下标和公式

若A+/=〃z+〃，则ak^rat=am-\-an.

9.等差数列的前〃项和公式

斯)।1).

Sn—2或S”一na\+,d.

10.等差数列的前〃项和公式与函数的关系

5.=恭+(。|一物.数列｛〃”｝是等差数列<=>£=4〃2+B〃(A,8为常数).

II.等差数列的常用性质

⑴数列S,”S2m-Sm，S3”「S2,“，…构成等差数列.

⑵若｛斯｝是等差数列，则榭也是等差数列，其首项与｛〃”｝的首项相同，公差为，.

12.等差数列的前〃项和的最值

在等差数列｛小｝中，«!>0,衣0,则£存在最大值；若mvo,C/X),则S”存在最小值.

13.等比数列的定义

—=q(〃22).

14.等比数列的通项公式

n]

an=a\-([~=.

15.等比中项

若4,b,C成等比数列，则〃=4.c.b是。与。的等比中项.

16.等比数列的下标和公式

若/〃+及=〃+4,则cim-a,,=ap-a(i.

17.等比数列的前n项和公式

〃41(q=l),

S“=缶(L0。。\一。4一、

一(qWl).

।1—q।I—q'

18.等比数列的常用性质

在等比数列｛〃“｝中，若S”为其前〃项和，则S〃，SLS”,S3”一S2.也成等比数列(〃为偶数且q=-1除外).

【方法技巧】

♦♦♦解决数列的单调性问题的三种方法

(1)用作差比较法，根据如+i—%的符号判断数列｛小｝是递增数列、n减数列还是常数列.

⑵用作商比较法，根据色口(%＞0或为＜0)与1的大小关系进行判断.

(tn

(3)函数法.

白仁力求数列的最大项与最小项的常汨方法

(1)函数法，利用函数求最值.

a"'。”一］,

(2)利用)、(〃22)确定最大项，利用'x(〃22)确定最小项.

a6“+i

(3)比较法:

若有an+1—an=j[n+\)—fi〃)>0(或当a„>0时，詈与1)，则小+＞。〃则数列｛为｝是递增数列,所以数列｛〃〃｝的最小项

为«i；

若有0H1)—/(〃)V。(或当为>0时，则为+|%〃,则数列｛q｝是递减数列,所以数列｛〃〃｝的最大项

\c/〃

为a\.

【核心题型】

题型一：等差数列的基本计算

1.（2023.四川南充.四川省南充高级中学校考模拟预测）已知等差数歹」｛叫的前〃项和为S”，若$=1且少牛=14,

则（）

A.3/1-2B.4〃-3C.5〃-4D.6/?-5

2.（2023・湖南岳阳•统考一模）已知两个等差数列2,6,10,…及2,8,14,…，200,将这两个等差数列的公共

项按从小到大的顺序组成一个新数列加“｝,则数列｛q｝的各项之和为（）

A.1666B.1654C.1472D.1460

3.（2023・重庆・统考一模）设等差数列｛q｝的前"项和为S„,5s9%-36,则为=()

A.-2B.-1C.1D.2

题型二：等差数列的基本性质

4.（2022・浙江•模拟预测）已知等差数列｛4｝中,%>。，公差4>0,若cosZqWO,

I

sin(q+4+%)+4+6+%一兀)+/，则(

江711,71

A.46（。后B-叫词C.a€一,+ooD.可训

4

5.（2022・甘肃张掖・高台县第一中学校考模拟预测）已知｛%｝是各项不全为零的等差数列，前〃项和是S.，且

§2000=1^2040»若=^2022»则正整数，〃=（）

A.2020B.2019C.2018D.2017

6.（2022・全国•高三专题练习）设正项等差数列｛q｝的前〃项和为S.，若S刈3=2013,则工+」~的最小值为（）

a2a2O\2

A.1B.2C.4D.8

题型三：等差数列的函数

7.（2022,全国•校联考模拟预测）设S.为等差数列乩｝的前〃项和，_Hv〃eN.,都有，〈籍・若言•<一，则（）

A.S”的最小值是£B.S”的最小值是几

C.S”的最大值是用D.S”的最大值是7

8.（2022・浙江绍兴・统考一模）已知数列｛q｝为等差数列,前〃项和为S”,则“2S.<S"+%2”是“数列｛S.｝为单增

数列''的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

9.（2019・福建福州・统考模拟预测）设正项数列｛%｝的前〃项和S“满足S"=；（q+1八记国表示不超过x的最大整数，

2=［盏］+1.数列也』的前〃项和为「，则使得。之2019成立的〃的最小值为（）

A.1179B.1178C.2019D.2018

题型四:含绝对值的等差数列前项和

10.（2022•宁夏石嘴山•石嘴山市第三中学校考三模）已知数列｛%｝的前〃项之和S.二M一4〃十1,则同十⑷十…十|叫

的值为（）

A.61B.65C.67D.68

11.（2019秋・福建福州•高三校考期中）已知直线x+2），+石=0与直线x-d），+11石=0互相平行且距离为加.等差数

列｛4｝的公差为d,且%q=35,44+aio<。，令S“=|%|+1%I+1%I+…+14,1，则S,”的值为

A.60.B.52C.44D.36

12.（2023•高三课时练习）设等差数列为,“2，…,an（,〃wN"）的公差为d,满足闻+|叼卜--*同=1《-1

+|。2-1|■1---I。"-1|=|。1+N+|%+N十,,，+\an+2］=“7,则下列说法正确的是

A.|r/|>3B.〃的值可能为奇数

C.存在iwN',满足-2<%<1D.”的可能取值为11

题型五：等差数列奇数或偶数和问题

13.（2022・全国•高三专题练习）已知等差数列也｝的项数为奇数，其中所有奇数项之和为319,所有偶数项之和为290,

则该数列的中间项为（）

A.28B.29C.30D.31

14.（2020春・全国•高三专题练习）在数列｛。〃｝中，q=l,%=2,且（晶一4=1+（-1）"N.）,则=（）

A.0B.1300

C.2600D.2602

15.（2021•全国•统考模拟预测）等差数列｛q｝的前〃项和为5.，已知%>0,59=516,当5“=。时，则〃=（）

A.13B.12C.24D.25

题型六：等差数列前n项和的性质

2n

16.（2022♦四川・四川师范大学附属中学校考二模）设等差数列｛q｝,｛〃,｝的前〃项和分别是S.，7；,若

3〃+7

Tn

则上=（）

%

11

B.

17

D.3

17.（2022・全国•高三专题练习）设等差数列｛q｝的前〃项和为S”，若兀=20,$20=30,则%=（）

A.20R.30C.40D.S0

18.（2020・安徽淮北•统考一模）设等差数列应｝的公差不为0,其前〃项和为S”，若3-2）3+sin（%-2）=2020,

=

（4018-2）+sin（6t20lg-2）=-2020,则^2020

A.0B.-2020C.2020D.4040

题型七：等比数列的基本计算

19.（2023•河南郑州•统考一模）记S“为等比数列｛q｝的前〃项和.若6-a=12,凡-4=24,则&=（）

A.32B.31C.63D.64

20.（2023•吉林・长春十一高校联考模拟预测）已知｛可｝为等比数列，S”是它的前〃项和，若4恁=。4,且的与生的

9

等差中项为3,则S,等于（）

333129

A.35B.—C.—D.—

444

21.（2023・贵州毕节•统考一模）已知数列｛《,｝的通项公式为凡=2",则4-4+/-4+…+%-须的值为（）

,0,0

A.2（2-1）B,2（2+1）C.2（1+2）D20-严）

题型八：等比数列的性质

22.（2022・四川遂宁•射洪中学校考模拟预测）｛4｝为公比大于1的正项等比数列，且的和电4是方程f-5x+4=0

的两根，若正实数-y满足x+y=《，则的最小值为（）

3「

A.J+x/2B.-+V2C.2+V2D.3+2正

，、1111

23.（2022•山东•统考模拟预测）己知等比数列｛%｝满足：%+卬+必+/=20,%.%=2,则一+—+—+—的值

“204。6%

为（）

A.20B.10C.5D.-

2

24.（2022・全国•高三专题练习）已知数列｛4｝为等比数列,%，%为函数〃x）=f+18x+16的两个不同的零点,

则外+外的值为（）

A.-18B.-12C.12D.18

题型九：等比数列前n项和的性质

25.（2022・湖北襄阳・襄阳五中校考模拟预测）在数列｛q｝中，6=1,卅用=2"，若品+品讨+…+4+9=248,则机二

()

A.3B.4C.5D.6

26.（2022•全国•高三专题练习）己知S.是等比数列｛%｝的前〃项和，若存在meN',满足不”=9,4=，则

，“m

数列｛《｝的公比为（）

A.-2B.2D.3

晶-2s4

27.（2021・陕西安康・统考二模）已知等比数列｛2｝的前〃项和为S”，若4+4=5,S”2O,贝IJ)

§6-S4-52

A.9B.10C.12D.17

题型十：等差等比的实际应用

28.（2。23・陕西咸阳•武功县普集高级中学统考一模）古希腊大哲学家芝诺提出一个有名的悖论，其大意是：“阿喀

琉斯是古希腊神话中善跑的英雄，在他和乌龟的赛跑中，他的速度是乌龟速度的10倍，乌龟在他前面100米爬行，

他在后而追，但他不可能追上乌龟，原因是在竞赛中，追者首先必须到达被追者的出发点，当阿喀琉斯追了100米

时，乌龟已在他前面爬行了10米，而当他追到乌龟爬行的10米时，乌龟又向前爬行了1米，就这样，乌龟会制造

出无穷个起点，它总能在起点与自己之间制造出一个距离，不管这个距离有多小，只要乌龟不停地向前爬行，阿喀

琉斯就永远追不上乌龟.“试问在阿喀琉斯与乌龟的竞赛中，当阿喀斯与乌龟相距0.01米时，乌龟共爬行了（）

A.11.1米B.10.1米C.11.11米D.11米

29.（2022春•新疆•高三校考阶段练习）北京2022年冬奥会开幕式用“一朵雪花”的故事连接中国与世界，传递了“人

类命运共同体”的理念.“雪花曲线”也叫“科赫雪花”，它是由等边三角形三边生成的科赫曲线组成的，是一种分形几

何.图1是长度为1的线段，将图1中的线段三等分，以中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分

的线段去掉得到图2,这称为“一次分形”；用同样的方法把图2中的每条线段重复上述操作，得到图3,这称为“二

次分形”；L.依次进行“〃次分形规定：一个分形图中所有线段的长度之和为该分形图的长度.若要得

到一个长度不小于4（）的分形图，则〃的最小值是（）（参考数据lg3H（）.477,怆2。0.301）

_A__A_A_A_

图1图2图3

A.11B.12C.13D.14

30.（2022秋•湖南永州•高三永州市第•中学校考阶段练习）如图是标准对数远视力表的一部分.最左边•列“五分

记录''为标准对数视力记录，这组数据从上至下为等差数列，公差为（）.1；最右边一列“小数记录''为国际标准视力记

录的近似值，这组数据从上至下为等比数列，公比为而J.已知标准对数视力5.0对应的国际标准视力准确值为1.0,

则标准对数视力4.8对应的国际标准视力精确到小数点后两位约为（）

（参考数据：＜/10«1.58,,^10^1.26）

标准对数视力表

小

数

记

录

4.0EO.

SUJO2

Em.On5

A.0.57B.0.59C.0.61D.0.63

【高考必刷】

一、单选题

31.（2023・贵州贵阳・统考模拟预测）等差数列｛《,｝中，生+%+2%=12,则数列｛凡｝的前9项之和为（）

A.24B.27C.48D.54

32.（2023♦河南•校联考模拟预测）记公差不为0的等差数列｛q｝的前〃项和为3.若生，%吗。成等比数列，$=160,

则4=（）

A.17B.19C.21D.23

33.（2023•新疆乌鲁木齐・统考一模）中国古代数学名著《算法统宗》中有一道题：“今有七人差等均钱，甲乙均七

十七文，戊己庚均七十五文，问乙丁冬若干？”，意思是甲、乙、丙、丁、戊、己、庚这七个人，所分到的钱数成

等差数列，甲、乙两人共分到77文，戊、己、庚三人共分到75文，问乙、丁两人各分到多少文钱？则下列说法正

确的是（）

A.乙分到37文，丁分到31文B.乙分到40文，丁分到34文

C.乙分到31文，丁分到37文D.乙分到34文，丁分到40文

34.（2023・广东深圳•统考一模）将一个顶角为120。的等腰三角形（含边界和内部）的底边三等分，挖去由两个等分

点和上顶点构成的等边三角形，得到与原三角形相似的两个全等三角形，再对余下的所有三角形重复这一操作.如

果这个操作过程无限继续下去…，最后挖剩下的就是一条“雪花”状的Koch曲线，如图所示已知最初等腰三角形的

面积为I,则经过4次操作之后所得图形的面积是（）

35.（2023・四川绵阳•统考二模）已知等比数列｛q｝的各项均为正数，前〃项和为S“，§3=56,£=63,则使得

/9,/,Lq<l成立的最小正整数”的值为（）

A.10B.11C.12D.13

36.（2023・上海•统考模拟预测）已知数列｛凡｝的各项均为实数，S”为其前〃项和，若对任意攵〉2022，都有图>|既川|,

则下列说法正确的是（）

A.%,%必，…，%-为等差数列，/，/，《，…，⑸为等比数列

B.4必，出一・，生,1为等比数列，%，4,4,…，生”为等差数列

C.4，。2，。3,…，。2022为等差数列，。2022M2023M2O24，LM“为等比数列

D.4，町，。3门、生022为等比数列，限，%023，%024，L，。“为等差数列

37.（2023•广东梅州・统考一模）某软件研发公司对某软件进行升级，主要是软件程序中的某序列A=｛%,%，％，…｝重

新编辑，编辑新序列为4•，生，…|,它的第〃项为也，若序列（A）'的所有项都是2,且％=1,卬=32,

生生Jan'，

则卬=（）

A.--B.----C..----D.----

25651210242048

38.（2023•福建漳州•统考二模）大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传

统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文

化中