数列的递推关系 -高考数学二轮专项复习

微重点1数列的递推关系

[考情分析]数列的递推关系是高考重点考查内容，作为两类特殊数列——等差数列、等比数列，可直接

根据它们的通项公式求解，但也有一些数列要通过构造转化为等差数列或等比数列，再利用公式求解，体

现出化归思想在数列中的应用.

考点一构造辅助数列

例1(1)(多选)已知数列｛〃"｝,下列结论正确的是()

A.若幻=2,a,lf]=an+n+],则。2。=211

B.若川=1,。〃-]=2。”+3,贝lj

C.若。尸1,，则。”十二

l+3an3n-z

D.若#=2,则

答案ACD

解析A项，4”+15=〃+1,

a2Q=(a2o-a19)+(a19-t/1s)+,,,+(a2-aii=20+19+184-,,+2+2=211,故A正确;

B项，方法一Van+1=2斯+3,

.•・a”+]+3=2(a〃+3),

.••数列｛外+3｝是以s+3=4为首项，2为公比的等比数列，

.•0+3=42"=2向，

故如=2向.3,故B错误；

方法二若为=2〃4-3,

则m=253=-2HL故B错误；

C项,〈a肝,m=l,则。,¥0,

1+3即

.」一0一+3,

aa

。几十】nn

・・・一LJ~=3,

斯+1即

・・・数列《；｝是以1为首项，3为公差的等差数列，

・・.Ui+(u・i)x3=3〃2

an

，服一一故C正确；

on-Z

D项，•.,2(〃+1)。”-〃01+1=0,

•。八十12。„

n+ln

・♦・数列愕是以十2为首项，2为公比的等比数列，

=2”，

n

.\an=n2",故D正确.

(2)已知数列｛斯｝满足m=£,即+2斯=・〃+1,若｛&｝是递减数列,则实数f的取值范围为()

A.(-l.1)B.(-oo,0)

C.(-l«1］D.(l,+8)

答案B

解析将an+\-2an=-n+\整理得。用-(〃+1)=2(。〃-〃),

又加1=卜1,易知当片1时，a\=\,念=2,不满足伍〃｝是递减数列，故#1,

因此数列｛斯-〃｝是以Z-1为首项，2为公比的等比数列,

故斯平=(1-1)2叫

因此”“=〃+(/-1)2%

由于m〃｝是递减数列,故〃眉〈小，恒成立,

得〃+1+"-1)2"<〃+(/-1)2%

化简得故1-%工，

因此1语=1,解得"0.

［规律方法］⑴形如如-1-4〃=抓〃)的数列，利用累加法求an.

⑵形如&!!=/(〃)的数列，利用累积去求所

an

(3)形如加］喘甘#,夕#))的数列，取倒数构造等差数列求通项.

(4)若数列｛々“｝满足4”+i=pa〃+q(/#0,1;行0),构造a〃+i+7=p(a”+a).

(5)若数列｛〃“｝满足a”+i=p。力5)。依,1),构造a”-i+g(〃+1)=p[ar+g(n)].

跟踪演练1(1)已知数列｛〃〃｝满足皿Y，其中0=1，则。8等于()

an九十1

A.28B.220C.225D.228

答案C

解析由题意，容X22,…，”=927.

CL\L。24。78

由累乘法，得以为…X%X2旧X2?x…X'X27,

Cl2Q7238

1++7

即Qx21x22x…x272^2^-3=225,

32

又41=1,所以08=225

(2)(2024・晋中模拟)若数列｛〃“｝满足m=l,6=4,且对任意的〃？2(〃£旷)都有如+|-2的+.=2,则

1

----------1F•••-等于()

。2・1江311Q4-1。2024-1

A/岛+总)

Bl

曙盛+康)

Da

2025

答案C

解析因为对于任意的〃力2(〃£N*)都有an+\-2an+an.\=2,

则(即1“)・(。"・即1)=2,

令bn=an+\-an,

所以儿£N=2(〃22),又仇=。2-。1=3,

所以数列｛儿｝是以3为首项，2为公差的等差数列,

所以b〃=3+(〃-1>2=2〃+1,

所以a.i=a1+伍2-〃।)+(。3-。2)+…+(a”-a〃-1)=m+/力+仿+,,•十%”“

卜(n-l)(3+2n-l)工叭〃22),

111

则2

an-ln-l(n+l)(n-l)

三(『・)(〃》

所以+++…T~!—

。2-1。3-1。4-1。2024-1

成1后+»9+9",・・++202312025)

20222024

71+」」——L)

2\220242025/

-^(2024+2025)

考点二利用。“与S〃的关系

例2已知数列｛〃“｝的前〃项和为S”，且Si号%4

(1)证明：数列｛S翁是等差数列:

(2)设数列｛儿｝的前〃项积为7”，若求数列｛儿｝的通项公式.

⑴证明当〃=1时，0号J,

得城=2,即S台2,

当心2时，工―,

所

2Sf-i'

所以S*S3=2,故数列屏｝是以S、2为首项，2为公差的等差数列.

⑵解由⑴知，S£=2+(〃-l)x2=2%

得Tn=2n,

当G2时，乩-4

当刀=1时,b\=T\=2,不符合上式,

(2,n=1,

故瓦=1"

>n>2.

n-l

［规律方法］在处理S”，。〃的式子时，一般情况下，如果要证明/(〃“)为等差(等比)数列，就消去£,如果

要证明/⑸)为等差(等比)数列，就消去。〃.但有些题目要求求出｝的通项公式，表面上看应该消去S,,但这

会导致解题陷入死胡同，这时需要反其道而行之，先消去知，求出S,,然后利用诙=£-£/("22)求出

跟踪演练2(1)(2024・天津模拟)设数列｛〃“｝满足0+2〃2+3的+・・・+〃斯=2〃+l(〃£N)则数列｛悬｝的前10

项和为()

A20R11

A-TTBT

C旦23

=22DT

答案c

解析由题意。1+2a2+3s+…+〃。〃=2〃+1,

贝！］Q1+2。2+343+…1)。〃+1=2(〃+1)+1,

两式相减得(〃+1)知+尸2,

所以飙+1=高，所以小一(〃12),

又41=2x1+1=3/1，

3,n=1,

所以加

-,n>2,

|,n=1,

n+1、；^=2G—左)，几之2,

所以数列｛含｝的前1。项和为1H6V+1*+•••+看一・)争2噜一书噂

(2)(2024•佛山模拟)设数列出｝的前〃项之积为满足。〃+2兀=1(〃£N)则c/2024等于()

A10H

A1012B揣

r4047n4048

J049“4049

答案c

解析因为m+27；=1,

所以。1+27=1,即。1+2。|=1,所以内三,

所以口■2北=1（〃22）,显然7；*。,

zn-l

所以

'n/n-1

1

所以数列拈｝是首项为=3,公差为2的等差数列,

所以93+2（〃-1）=2〃+1,

•n

即力磊

RCI'Jr_J2024_2x2024+1_4047

所以<72024-7-----------------i--------7；示

/2023-------------4049

2x2023+1

专题强化练

（分值:70分）

一、单项选择题（每小题5分，共20分）

1.（2024•唐山模拟）已知数列｛«”｝满足a“+i=a”+ai+2〃,aio=13O,则m等于（）

A.lB.2

C.3D.4

答案D

解析由题意，得。〃+]-a”=m+2〃，

则a2-a]=a\+2,

s-〃2=m+4,

410/9=41+18,

将以上等式左右两边分别相加，

得a\（ra\=9a\胃*®-%7।+90,

即^10=10a1+90,

又mo=13O,所以m=4.

2.（2024・合肥模拟）已知数列｛〃“｝的前n项和为S”，首项内=-1,且满足*=+2=呢（〃22）,则&等于（）

Ai

呜D指

答案D

解析由£曰2=/(〃22),得£怖+2=£6N=>£=忌？〃22),

所以由a\=-\,得S?-：-1,

,1_1c，_1_3

2+S23'42+S37'

1_7o1-17

Ss=6

2+〃17'2+S541'

3.（2024•西安模拟）若数列｛为｝满足川=4,产焉匕（〃22）,则评焉…等于（）

20211012

A,2025B.

2025

2023

CiD；

4048

答案B

解析就；-“一；［：一2化简为鬻十2（〃2）,所以数列囹是以十4为首项，2为公差的等差数列,

所以』+2（〃-1尸2〃+2,

即；「2"；+1）一；（卜击）

所以壮力弋

用（1后）+（冷）+…+&_W）］

弓（1-目号，

所以』20241012

。202440502025

4.（2024•衡阳模拟）已知数列｛飙｝满足勿=1,s=l，斯+i=2a”+3aw：〃22）,数列｛〃”｝的前〃项和为S〃，则S2023

等于（）

32024_ID32024—4

A.-2-

32025_232023+1

C.D.

24

答案D

解析由已知得ai=2a2+3ai=5,

因为册+1=2。”+3味(〃22),

所以<?/»+1+an=3(an+an-\),

所以的+2+%+1=9(“+。〃-1).

因为。2十。3=6,

所以数列｛⑸+。2血｝是以6为首项，9为公比的等比数列.

所以52023=。1+02+03+44+45+••・+。2022+〃2023

=。1+(。2+。3)+(。4+。5)^------022+改023)

,6x(l-91011)

=II-----------------

1-9

_32023+1

4~,

二、多项选择题(每小题6分，共12分)

5.已知数列｛〃〃｝的前〃项和为S〃，ai=l＞若S"+i=2S〃+〃-l(〃£N)则下列结论正确的是()

A.数列｛Sa+〃｝为等比数列

B.数列｛为｝的通项公式为

C.数列｛为+1｝为等比数列

D.数列｛2S〃｝的前〃项和为2/2.小加4

答案AD

解析•・・Sa=2S”+〃-l,

s

S”+]+(〃+l)=2(Sn+w),

又S+l=2和,

・••数列｛£+〃｝是首项、公比都为2的等比数列，故选项A正确;

又S“+〃=2",.・・2S〃=2〃+L2〃，

•••数列(2SJ的前〃顶和为空>_2*吟故选项D正确;

又•:5〃+〃=2"，,S„=2n-n,

当〃22时，a〃=S〃-S〃4=2"-l,

当〃=1时，41=1,不满足上式,

匕二；,九之2故选项B错误;

2,n=1,

Va„+1=-

2n-\n>2,

•。2+1#+1

。1+1。2+1’

，数列｛飙+1｝不是等比数列，故选项C错误.

6.(2024•鹰潭模拟)己知数列｛。“｝满足〃1=1,j2f3+…贝U()

an

A.«2=lB.-n

an-in-4

沱(4,71=1,

仁飙二D>2

答案AD

解析对于AB,因为数列｛m｝满足苗=1,a“=aij2f3+…①

所以当〃=2时，s=ai=l,此时也1片故A正确，B错误；

ai1

对于CD,当〃力2时，a〃+i=ai+|a2+|a3+…、”，②

②-①得an+\-an=^ani

整理得常今，

又十1,畀，即当片1时，不满足上式，

所以数列｛中｝从第二项起是首项为争勺常数列，

故当〃22时，纥=|,则小吟

nz/

(l,n=1,

综上,。产也川之？,故C错误，D正确.

三、填空题(每小题5分，共10分)

7.(2024・乐山模拟)在数列｛〃“｝中，已知(〃+2)%+尸〃d”则数列｛〃”｝的前2024项和52024=__________.

答案2024

2025

解析因为(〃+2)小+尸〃%所以如三;

ann+Z

所以…髭.•••$芸…鬻忌冷

因此/启器翳

8.(2024・茂名模拟)已知。为正项数列｛〃〃｝的前〃项的乘积，且的=2,T±a”，则。尸.

答案32

解析由新=—+1,得容+i=Q此彳，

于是城+1=%第，贝!)Q；：+i=Q；r，

又a„>0,两边取对数得川ga“+i=(〃+l)lgan,

因出殴马"」g&

71+1n

所以数列｛等｝是常数列，

则喂手吆2,

即lg%=〃lg2=lg2",

所以。”=2",⑥=32.

四、解答题(共28分)

9.(13分