2026年高考数学复习（全国）重难点11 三角函数的图象与性质的综合应用9大题型（解析版）

重难点11三角函数的图象与性质的综合应用

【全国通用】

1、三角函数的图象与性质的综合应用

三角函数是高考考查的重点和热点内容，从近三年的高考情况来看，三角函数的图象与性质主要从以

下几个方面进行考查：

(1)三角函数的图象，涉及三角函数图象变换问题以及由部分图象确定函数解析式问题，主要以选择题、

填空题的形式考查，试题难度较低；

(2)利用三角函数的图象与性质来求解三角函数的值域、最值、单调性、奇偶性、对称性、周期性、零

点等问题，主要以选择题、填空题的形式考查，试题难度中等。

(3)三角恒等变换的化简求值是高考命题的热点，常与三角函数的图象与性质结合在一起综合考查，如

果单独命题，多以选择题、填空题的形式考查，难度较低；如吴三角恒等变换作为工具，将其与三角函数

及解三角形相结合来研究最值、范围问题，多以解答题形式考察，此时要灵活求解，试题难度中等。

知识梳理

知识点1各函数的图象变换规律

1.平移变换与伸缩变换法则

⑴垩移变换

函数图象的平移法则是“左加右减、上加下减”，但是左右平移变换只是针对X作的变换；

(2)伸缩变换

①沿x轴伸缩时，横坐标x伸长(0<<。<1)或缩短(①>1)为原来的、(倍)(纵坐标y不变)；

②沿)，轴伸缩时，纵坐标y伸长(人>1)或缩短(0<4<1)为原来的A(倍)(横坐标工不变).

2.三角函数的图象变换问题的求解方法

解决三角函数图象变换问题的两种方法分别为先平移后伸缩和先伸缩后平移.破解此类题的关键如F：

(1)定函数:一定要看准是将哪个函数的图象变换得到另一个函数的图象；

(2)变同名:函数的名称要变得一样；

(3)选方法:即选择变换方法.

知识直2三角函数的单调性问题的求解策略

1.三角函数的单调区间的求解方法

求较为复杂的三角函数的单调区间时,首先化简成尸Asin(sx+夕)形式，再求尸4sin(s+9)的单调区间，只

需把(…看作一个整体代入y=sinx的相应单调区间内即可，注意要先把s化为正数.

2.已知三角函数的单调性求参数的解题思路

对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数/。的范围的问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单

调区间的子集，其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解，另外，若是选择题,

利用特值验证排除法求解更为简捷.

知识点3三角函数的值域与最值问题的求解策略

1.求解三角函数的值域(最值)常见的几种类型：

⑴形如)=asiiu+〃cosx+c的三角函数化为产Asin(5+p)+c的形式，再求值域(最值)；

(2)形如)，=(屈114+加iiir+c的三角函数，可先设sin.t=/,化为关于t的二次函数求值域(最值)：

(3)形如_v=«sin.vcos.v+Z?(sinricosx)+c的三角函数，可先设sinvicosx,化为关于t的二次函数求值域(最值).

2.求三角函数最值的基本思路

(1)瘠问题化为产Asin(公什8)+8的形式，结合三角函数的图象和性质求解.

⑵洛问题化为关于siiu♦或cosx的二次函数的形式，借助二次函数的图象和性质求解.

(3)利用导数判断单调性从而求解.

知识点4三角函数的周期拄、对称性、奇偶性的求解策略

1.二角函数周期的一般求法

(1)公式法；

(2)不能用公式求函数的周期时，可考虑用图象法或定义法求周期.

2.三角函数的对称轴、对称中心的求解策略

⑴对于可化为小尸4sin(s+9)(或yU)=Acos(s+0))形式的函数，如果求/U)的对称轴,只需令①+

E(N£Z)(或令s+p二E(A£Z)),求工即可；如果求/U)的对称中心的横坐标，只需令cox+w=E(A£Z)(或

令(t)x+(p=-y+kit(k£Z))»求x即可.

(2)对于可化为,*x)=4an(①x+8)形式的函数，如果求./U)的对称中心的横坐标，只需令COX+Q=丁(Z《Z)),

求I即可.

3.三角函数的奇偶性的判断方法

三角函数型奇偶性的判断除可以借助定义外，还可以借助其图象与性质，在产AsiMs+9)中代入尸0,若产0

则为奇函数，若y为最大或最小值则为偶函数.

若产4sin(@x+。)为奇函数，则(p=kn(kEZ)：若产Asin(s+0)为偶函数，则%，+kn(k£Z).

知识点5三角恒等变换的综合应用

1.三角恒等变换的综合应用的解题策略

三角恒等变换的综合应用的求解策略主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为

凡丫尸Asin(cox+e)+〃的形式再研究其性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征，注意利用整体思想解

决相关问题.

举一后二

【题型1三角函数的图象识别与应用】

【答案】A

【解题思路】根据函数的奇偶性以及函数值的正负即可排除求解.

【解答过程】由于/(r)=x+(e-x+ex)sin(-x)=-[-%+(e*+e-x)sinx]=-/(x),

故/(%)为奇函数，其图象关于原点对称，此时可排除CD,

乂•■・sin3.2<0,.*./(3.2)=-3.2+(e3-2+e-3-2)sin3.2<0,故排除B,

故选：A.

【变式1-1】(2025•河北秦皇岛•模拟预测)函数/(无)=2sin(2%+»与函数g(x)=In无的图象交点个数为()

A.3B.5C.6D.7

【答案】B

【解题思路】在同一坐标系内作出函数y=f(x),y=g(x)的图象即可得解.

【解答过程】函数/(x)=2sin(2x+；)定义域为R,最小正周期为TT,f(x)max=2,当0<xWl时，/(x)>0,

函数g(无)=Inx在定义域(0,+8)上是增函数，当0<无工1时，g(x)<0,当xAe?时，g(x)〉2,

因此函数/O)=2sin(2x+2)与函数g(x)=Inx的图象交点横坐标只能在区间Qe?]上，

在同一坐标系内作出函数y=f(x),y=g(x)的部分图象，如图：

观察图象知，函数/(%)=2sin(2%+；)与函数g(x)=Inx的图象交点个数为5.

故选：B.

【变式1-2](2025•贵州黔东南•模拟预测)函数/(%)=鹭产十sinx的大致图象为()

【答案】D

【解题思路】根据函数的奇偶性，排除C,再由当工€(0,9时，/(%)>()排除A,B,即可求解.

【解答过程】由题意，函数/(%)=5xcosx+5皿工的定义域为(-8,+8),关于原点对称,

el*l

且/(_%)=5(-7篙(r)+sin(_%)=_sinx=—/•(%)所以函数/•(、)是奇函数，其图象关于原点中心对

称,排除C；

又由当刀€(0j)时，/(x)>0排除A,B;

故选：D.

【变式1-3](2025・贵州安顺・模拟预测)曲线3/=28$(2%+9与直线丫=%-1的交点个数为()

A.3B.4C.5D.6

【答案】A

【解题思路】作出y=2cos仅x+9与y=x-l的大致图象，由图象即可判断交点个数.

【解答过程】2cos卜X(~y)+^]=-2>1,2cos(2x曰+])=2>y-1,

2ccs(2x?+9=2〈弓-匕

作Illy=2cos(2x+§与丫=%-1的大致图象，易知共有3个交点.

故选：A.

y=x-l

/^=2COS(2X+4)

【题型2三角函数的图象变换问题】

【例2】(2026.浙江•模拟预测)将函数/(%)=sin但+匀的图象向左平移沙单位，得到函数g(x)的图象,

则小)=()

A.1B--i

C.3D.-3

22

【答案】A

【解题思路】先求出平移变换后函数g(x)的解析式，然后计算即可.

【解答过程】函数/(幻=sin(2%+J的图象向左平移g个单位得到:

,9«=sin[2(x+^+^]=sin（2x+)=cos2x,

所以gG）=COs":

故选：A.

【变式2-1]（2026•山东威海•一模）将函数/'（X）=cos（2x+<p）（0<cp<TT）图象上的所有点向左平移!个单位

6

后，得到的函数图象关于点（：,o）中心对称，则火=（）

AHR-r-n—

A，633U，6

【答案】C

【解题思路】先求得平移后的函数解析式y=cos（2x+；+s）（0<0vTT）,再结合对称中心求解即可.

【解答过程】函数/（幻=cos（2x+0）（0<（p<n）图象上的所有点向左平移m个单位得：

y=cos[2（x++@]=cos卜x+g+9）（0<@Vn）,此函数图象关于点（；,0）中心对称，

所以2x：+g+0=]+kn,kGZ,即9=-^+kn,keZ,

因为0<9<TT,所以k=1,（P=~-

故选：C.

【变式2-2]（2026•陕西咸阳,一模）为了得到函数y=sin2x的图象，只需将函数y=sin（2%-胃的图象（）

A.向左平移5个单位B.向右平移5个单位

c.向左平移m个单位D.向右平移m个单位

66

【答案】A

【解题思路】根据三角函数的图象变换规则进行选择.

【解答过程】因为y-sin2x-sin[2（*+工）一弓，

所以将y=sin（2x一9的图象向左平移巳个单位，可得函数y=sin2x的图象.

故选:A.

【变式2-3]（2026•重庆九龙坡・一模）将函数/（%）=sinaxMco>0）的图象平移得到g（x）=sin（3X+g）的图

象，且直线x为曲线y=g（x）在），轴右侧的首条对称轴，则上述的平移方式可以是（）

A.向左平移T个单位B.向右平移5个单位

C.向左平移;个单位D.向右平移;个单位

【答案】C

【解题思路】根据题意结合函数对称性可得曰3+^=%解得进而图象变换逐项分析判断即可.

4323

【解答过程】若xe［o(］,则3"+与€L彳3+弓，

因为直线工=:为曲线y=g(x)在y轴右侧的首条对称轴，

则?3+；=今解得3=:得/(E)=sin),g(%)=sin(9+)

A：将函数/(x)的图象向左平移软单位，得)7二加“无+9=讷(|工+高，不合题意，故A错误；

B：将函数/(%)的图象向右平移三个单位，得丁=sin|(x—f=sin(|%—§),不合题意，故B错误；

C：将函数/(%)的图象向左平移於单位，=sin1(x+H)=sin(|x+0,符合题意，故C正确；

D：将函数/"(%)的图象向右平移:个单位，得、=4!^1一3=sinG%-f,不合题意，故D错误；

故选：C.

【题型3三角函数的定义域、值域和最值】

【例3】(2025・甘施武城•模拟预测)已知函数fa)=3sin(MV十］(3>0)在区间(—^JL单调递增，则当

G取最大值时，/(幻在区间惇江)上的值域为()

人(-泮］B.(-渭】C.(若(JD.(-黑

【答案】C

【解题思路】先由正弦函数的单调性和/•(%)在区间(-2W)上单调递增确定3的最大值，再由正弦函数的单调

性求出值域即可.

【解答过程】因为3>0,所以当XE(-黑)时，如+打(一詈+或?+*

因为/(幻在区间(一猊)上单调递增，所以合(一9二三$则7之外即皆

-3-TT-+—IT>——TT

所以0<3工2,所以京:一江2,解得0<341,则侬的最大值为］,

—+-V-

63~2

此时f（x）=3sin（%+§，

当口咤同时,工+司降》则f（x）在区间版）上的值域为（一苧4

故选：C.

【变式3-1]（2025•湖北黄冈•模拟预测）已知函数/（%）=38$（3：+93：>0）的最小正周期为拳则/Xx）在

[—,弓上的最大值为（）

A.IB.1C.2D.3

【答案】D

【解题思路】由周期公式求得3,然后由换元法即可求解.

【解答过程】由题意丁二空=?，解得3=3,xG[-^^]=>t=3x+^G[-^^],

33Io6J6L33J

所以/（无）=3cost,tG[冶当]的最大值为3.

故选:D.

【变式3-2]（25-26高一上.全国.单元测试）已知函数/•G）=2cosg-2x）,则函数/⑺在卜?曰上的值域

为（）

A.[-V3,l]B.[-73,2]

C.[-1,2]D.[-2,2]

【答案】B

【解题思路】应用整体法，结合余弦函数的性质求函数值域.

【解答过程】因为工£卜已3,所以合程€卜号寻则8s（合2%）d-4斗

所以/（X）=2cos-2%）€[-V3,2].

故选:B.

【变式3-3]（2025•黑龙江哈尔滨•模拟预测）已知函数/Xx）=sim：2x+g）+75cos（2%+?）为奇函数，则y=

i/a）i在卜仁到上的最大值为（）

A.—B.V3C.V3+1D.迫或

22

【答案】D

【解题思路】首先化简函数的解析式，然后根据f（x）是奇函数求出9的值，然后根据正弦函数的性质和X的范

围确定y的最大值.

【解答过程】因为/Xx)=sin(2x+<p)+75cos(2%+cp),

所以/(%)=2[|sin(2x+9)+ycos(2x+*)]=2sin(2x+@+().

因为/•(%)为奇函数，所以9=WZ.

所以f(x)=2sin(2x+kn),kGZ.

当%w[—'到时，2%+/nrW[—kir泻+/cnjWZ,

所以|sin(2x4-ZCTT)|6[o,sin1^j,

所以f(口的最大值为2si忐=2sin&+3=2x当xf+2x袅；手.

1Z\4ozZZZZZ

故选：D.

【题型4三角函数的单调性】

【例4】(2025・陕西汉中・三模)瘗数/(幻=85(2%-9的一个单调递减区间为()

A.(碧)B,(0,K)C.舟高D,黯)

【答案】C

【解题思路】利用整体代入法结合余弦函数的性质可求单调减区间.

【解答过程】由2kn<2'—?<2/cn十wZ,得kn十白v%<kn十二，keZ,

61212

故/(x)的单调减区间为(kn+巳，"71+I2),€Z，

对比各选项，只有C符合.

故选：C.

【变式4-1](2026・江西九江•一模)下列函数中，在（0,9上单调递增的是（）

A.f(x)=cos(x+B.fW=Sin（x-9

C./(x)=sin(x+D.fM=tang-x）

【答案】B

【解题思路】整体法逐一判断各选项中的函数在(05)上的单调性即可.

【解答过程】当“€((),；)时，

由氽弦曲线知y=cost在上单调递减，乂t=x+T是增函数，由复合函数单调性的“同增异减”原则知

/«=cos（x+9在（0,9上单调递减，故A不符合题意；

由正弦曲线知y=sint在上先单调递增再单调递减，又t=%+三是增函数，由亚合函数单调性的“同增

异减”原则知/（x）=sin（x+f在（0（）上先单调递增再单调递减，故C不符合题意；

当“£（0,（）时，由正弦曲线知y=sint在（一29上单调递增，又t=是增函数，由复

合函数单调性的“同增异减''原则知/'（X）=5皿G一9在（0,9上单调递增，故B符合题意；

当XE（O,9时，合工4一玩），由正切曲线知y=tant在（一屎）上单调递增，又£=合不是减函数，由复

合函数单调性的“同增异减”原则知/（%）=tanQ-%）在（0,§上单调递减，故D不符合题意.

故选:B.

【变式4-2】（2025・辽宁・二模）己知函数/•（%）=3（3%+习（3>0）在区间6患）上单调，则㈤的取值范围

为（）

A.仔1）B.仁,1）C,（04）D.（0,|]

【答案】D

【解题思路】结合题设和函数的周期公式可得0<341,再根据余弦函数的性质可得?+!三口，进而求解

26

即可.

【解答过程】由题可知/（幻的最小正周期为7二今因为/'（%）在区间上单调，

所以;—5=则乙2n，解得0<3工1,

2220）

当%/G号）时，"+江然+2,等+）

且？+襄&胃等+旌（胃卜

所以等+三m解得3W支结合0V3W1,得3的取值范围为（0怖.

故选：D.

【变式4-3】（2026・湖北荆州•一模）将函数〉=2而（2>一9的图象向左平移：个单位长度，得到函数/（x）的

图象，则函数/（幻的一个单调增区间为（）

A4**]B.

7nSir

c.24,24D・R用

【答案】A

【解题思路】根据三角函数图象的平移变换，可求出f(x)的表达式，结合正弦函数性质，求出该函数的单调

递增区间，即可判断A,结合正弦函数的单调性可一一判断BCD,即得答案.

【解答过程】由题意知将函数、=2$而卜％-3的图象向左平移：个单位长度，得到函数/'(%)的图象，

故/(%)=2sin［2(X+：)_,=2sin(2x+)

令2ATT—；工2x+gW2/CTT+kEZ*即Au—~%<kit+6Z,

即函数/(幻的单调递增区间为［而—瑞,小+总,々6Z,

当A=0时，/(幻的单调递增区间为卜工，盘，A正确；

对于B，当％十需时,2%+问誉,胃

由于y=sinx在卜上不单调，故卜日,才不是/(%)的单调地区间，B错误；

对于C,xe［-黯］时,2x+汨-消，

由于y=sinx在［一：，¥］上不单调，故卜黄，,］不是/Xx)的单调增区间，C错误；

对于D，工€玲图时,2X+?喏，牛

由于y=sinx在惇引上单调递减，故片用是/⑴的一个单调减区间，D错误;

故选：A.

【题型5三角函数的奇偶性】

【例5】(2026•陕西西安•三模)若函数/(%)=sin%+cos(2x+0)(0<0VTT)是奇函数，则/(*)=()

A.0B.=C.廿D.上更

222

【答案】D

【解题思路】根据奇函数得出3=再代入结合特殊角三角函数值求解.

【解答过程】因为/(%)=sinx+cos(2x+@)(0<(p<n)是奇函数,

故/(O)=cosg=0,3=；,检验符合，所以fg)=sin.+cosg=与叵.

故选:D.

【变式5-1](2025•全国•二模)函数/1(%)=sin卜》—己+(0</<IT)是R上的偶函数，则尹=()

A.0B.-C.三D.-

326

【答案】D

【解题思路】根据偶函数性质，结合正弦函数对称性解题即可.

【解答过程】/'(x)=sin(2x—g+8)(0vsVTT)是R上的偶函数，即关于x=0对称，则/'(0)=±1,

贝iJsin(-；+g)=±1,则一;+9=；(2k+l),(k6Z),解得9=An+(A6Z).

0<(P<n,则9=-TT.

6

故选：D.

【变式5-2](2025•上海普陀•一模)下列函数中，周期为口的奇函数是()

A.y=|sinx|B.y=cos2x-sin2x

C.y=cos(--x)D.y=sinZx

Z\2/J1+COS2X

【答案】D

【解题思路】利用三角函数的周期公式及奇函数的定义，结合诱导公式和二倍角公式逐项分析即可求解.

【解答过程】对于A,根据y=f(x)=|sin%|图象可知T=n,函数的定义域为R,/(-％)=|sin(-x)|=|sinx|=

f(x)，

所以/'CO以TT为周期的偶函数，故A错误；

对于B,y=f(x)=cos2x—sin2x=cos2x,T=y=TT,函数的定义域为R,/(—x)=cos2(—x)-sin2(—x)=

cos2x-sin2x=/(x),所以/(x)以n为周期的偶函数，故B错误；

对于C,y=/(x)=cos—x)=sinx,T=午=2TT,函数的定义域为R,/(—X)=sin(—x)=—sinx=

一/⑺，

所以/(x)以2n为周期的奇函数，故C错误；

对于D，'=/(')=/悬=器母=卷鬻=tag函数的定义域为｛加工h+关于原点

对称，

且/(k)=tan(-x)=-tank=-/(x)»

所以/(%)以IT为周期的奇函数，故D正确.

故选：D.

【变式5-3](2025・安徽・模拟预测)函数/(%)=(x-2)3coso)x.若存在aeR,使得f(x+a)为奇函数，则

实数3的值可以是()

A.--B.-C.-D.-

4423

【答案】C

【解题思路】求出+Q)，结合奇函数的定义可得Q=2或8S3Q=0,再分类探讨得解.

【解答过程】函数/(x)=(x-2)3COS3X的定义域为R,/(%+a)=(x+a-2)3cos(tox+a)a),

存在a6R,函数/(x+a)为奇函数，则a=2或cos3a=0,

当a=2时，/(%+2)=/cos®%+2co)为奇函数，则函数y=cos(cox+2g)是偶函数，

于是2a)=kn,kWZ,解得3=把,kEZ,当k=l时，o)=-,C符合，ABD不符合；

22

当cos3a=0时，3a=g+Zcrr,kEZ,此时/'(%+a)=(x+a—2)3sina)x

或/(%+Q)=-(工+Q-2)3sin3X,当且仅当3=0时为奇函数，与cos3a=0矛盾，

所以实数3的值可以是今

故选：C.

【题型6三角函数的对称性与周期性】

【例6】(2026•河南郑州•模拟预测)已知函数/(x)=sin(5+以(3>0)在(一黑)上单调递增，且其图象

关于直线％=三对称，则/16)=()

A.一"B.C.；D.”

2222

【答案】D

【解题思路】利用对称轴得出3=3攵+1,结合单调性得出3=1,代入数值可得答案.

【解答过程】因为/(无)的图象关于直线％=9寸称，所以？3+!=/nT+2k€Z,即3=3k+l,

3362

因为人幻在(一黑)上，即ST+统(*3+玩上单调递增，

--6)+->--

显然—V0Vg则nn2»可得3工2,故0V①W2

3666-60+-<-

66~2

综上，3=1,则/(%)=sin(%+?,故fg)=sinC+己)=£

故选：D.

【变式6-1](2025•福建泉州•模拟预测)已知函数/'(%)=85(2%+/)的图象关于点&0)中心对称，则其图

象的一条对称轴方程可以是()

_nn_n万Tt_IT

AA.X=B.X=一--C.X=—D.X=-

612126

【答案】c

【解题思路】由对称中心求出0,再结合余弦曲线的对称轴，利用整体的思想即可求/(无)图象的对♦称轴方程.

【解答过程】因为函数/■(%)的图象关于点居,0)中心对称，

所以2x2+0=kn+F(攵wZ)，有(p=kn—~(kEZ),

326

k为偶数时，所以f(x)=cos(2x一J，k为奇数时,所以f(x)=—cos(2x—[).

令2x-g=7H1T,THWZ,得X=巳+詈,mWZ,

所以f。)图象的对称轴方程为X=己+詈,771ez,

当n=0时，f(x)图象的一条对称轴方程为x=

故选:C.

【变式6-2](2025•海南•模拟预测)已知函数八幻=sin(3%+；)(3>0)图象的相邻两条对称轴之间的距离

为;,g(%)=sin(2x+g),则()

A./(%)的最小正周期为2ir

B.外外的图象关于点(g,0)对称

C.将g(x)的图象向左平移;个单位长度可得到/(%)的图象

D./(%)与g(x)的图象关Fy轴对称

【答案】D

【解题思路】根据相邻对称轴之间的距离求出周期后可判断A的正误，利用代入检验法可判断B的正误，利

用平移变换的规律求出平移后图象对应的解析可判断C的正误，利用坐标变换可判断D的正误，

【解答过程】对于A,因为相邻对称轴之间的距离为;，故最小正周期为V=2x；=m

ZCO2

故A错误;

对于B,由A可得o>=2,故/'(x)=sin(2x+；),

而/(g)=sin(2xg+9=-苧H0,故/(无)的图象不关于点(g,0)对称，

故B错误；

对于C,将g(x)的图象向左平移单位长度后，

所得图象对应的解析式为y=sin(2x+§+=sin(2x+=-sinD"),

故0(x)的图象左平移?个单位长度得不到/(幻的图象，故C错误；

对于D,g(x)=sin(2%-:+口)=-sin^2x-；),

而/(一%)=sin(-2x+以=-sin\2x-§=g(x)，

所以/a)与g(x)的图象关于y轴对称，故D正确；

故选：D.

【变式6-3](2025・云南昆明•一模)若函数/(X)=tan(2x+与函数g(x)=cos(tox+@)3>>0,0<<IT)

图象的对称中心完全一致，则卬=()

A-n—r—n-

3366

【答案】D

【解题思路】易得函数/(%)与g(x)的周期相等，从而可求出必再根据余弦函数和正切函数的对称性分别求

出两个函数的对称中心，进而可得出答案.

【解答过程】因为函数y=cosx,y=tanx的相邻对称中心的距离都是半个周期，

且函数f(x)=tan(2x+；)与函数g(x)=cos(cox+w)图象的对称中心完全■致，

所以函数外切与0(幻的周期相等，

则函数/(幻的周期7=:即4=，所以幻=4,

232

则g(x)=cos(4%+(P),

令〃+；=_(k€Z),故％=—：+?(k£Z),

令4x+0+€Z),则％=—?+：+?(《6Z),

故Y+r=-7+i+v^^eZ）,解得9=9+（?f）n（A'，kWZ）,

因为0<9<n,所以

故选：D.

【题型7三角函数中①的最值与范围问题】

【例7】（2025北京平谷一模）已知函数fO）=2sin（s:—9（3>0）,若/（>）在区间（―；4）」二没有最值，

则3的最大值为（）

A.|B.IC.ID.2

【答案】A

【解题思路】由无6（一3j），得3%一（€一（弓3—9，进而结合题意可得（―（3—g,，G）-g）U

（一曷），进而求解即可.

【解答过程】由XW（-3/），3>0,

3\43237

因为/•（%）在区间（-%I）上没有最值，

所以G（_,9，

（nITn

,解得0V3〈g

23—2§

to>0

所以3的最大值为生

J

故选：A.

【变式7-1］（2025.甘肃白银.三模）已知函数/（%）=35吊即+力3>0）在（0刀）上恰有两个零点，两个极

值点，则3的取值范围是（）

【答案】A

【解题思路】根据在区间（0,元）上恰有两个极值点、两个零点，结合正弦函数图象列式进行求解即可.

［解答过程】由f(x)=3sin(a)x+：)(3>0)

令£=3X+W（O,TT）,贝IjtW（；,3TT+：）.

4\44/

设nQ）=sint,则mQ）在£€（：,①n+：）上恰有两个极值点和两个零点，

如图，+

解得彳V3W

故选：A.

【变式7-2]（2025•陕西西安・二模）已知函数/X%）=sin（sr—»（3>0）,外外在[。用上单调，则3的最大

值为（）

A.-B.3C.2D.-

22

【答案】B

【解题思路】法一：由一三+2kTTW3%--wm+2/nr,求得单调湾区间，再结合集合包含关系印可求解.，法

242

二：由xw[o用得到心一；€卜猊3一斗，再结合集合包含关系即可求解.

【解答过程】方法一：由正弦函数的单调性，令—5+2/arW3X-；w5+2/nr,

242

解得一二十四Wx工史+四，kez

4a）o）4a）o）

又/（x）在[o,；]单调，

所以当A=0时，俄]二卜卷制,即泮总

解得343,所以3的最大值为3.

方法二：xG[0,[--，,/⑺在[。用单调,

I；FnTTn]-「nn]nTT.TT

故卜口泮卜7小.•泮1句⑷工3,

所以3的最大值为3.

故选：B.

【变式7-3]（2025・四川绵阳•模拟预测）函数/（%）=sin（o）x+@）（3>。且©eR在信号）上单调，且/6）+

f得）=0,若f（x）在管,n）上恰有2个零点，则3的取值最准确的范围是（）

A・玲勖B•职］C.4（消

【答案】B

【解题思路】由f(9=一/(3)结合函数单调性，即可确定f(x)的一个对称中心为(g，0)，即可求得弓)=0：

利用函数的对称中心和单调区间，结合周期可得:二勺-求出0V3W：,再结合函数零点个数，列出不

4394

等式求得gV3工蓝，综合，即可求得3的取值范围.

【解答过程】因为函数f(x)=sin3；"3)3>0，weR)在区间售，笋上单调，

且满足花)=一噜)，而孽若，软管，等

即/(%)的一个对称中心为(m,0),故/'(£)=0；

而生得号)，故/⑴在区间得，m)上单调，

设函数的最小正周期为T,则1之g一?==,.•.军工1,o<3嵋；

4399394

函数/(幻在区间(gm)上恰有2个零点，则蓑恰好为第一个零点，

相邻两个零点之间相距半个周期夕

故工VTT-包工7\即Lavn-把式空，

292(1)9O)

解得9V3工蓝，结合0V3工算

可得3的取值范围为(缴卜

故选:B.

【题型8三角恒等变换与三角函数综合】

【例8】(2026.河北邢台.一模)若函数/(X)=Bsin23X-2cos23%(e>0)在(0,g)上恰有两个零点，则

实数3的取值范围为()

【答案】A

【解题思路】运用降呆公式和辅助角公式把函数的解析式化成正弦型函数的解析式形式，结合函数零点的定

义、换元法，特殊角的正弦函数值进行求解即可.

【解答过程】/(x)=V3sin2o>x-2cos2cox=V3sin2a>x—2x"。源人"_百sin2o>%—cos2tox-1

令/(x)=0，得2sin(23%--1=0=>sin(2a)x-J二%

因为函数/(%)在(0,g)上恰有两个零点，

所以方程f(x)=0在(0,g)内有两个不相等的实根，

因为％6

所以2g-江(-也等-富

O\O5OZ

r-r-1,1-A-5IT_4wnn_13TT3一-7

636644

故选：A.

【变式8-1](2026•安徽宿州•一模)已知函数/"(%)=gsinxcosx一fcos2x+1,当，时，f(x)的最

小值为()

A.-B.iC.--D.--

4224

【答案】B

【解题思路】利用三角恒等变换思想化简函数的解析式为/Xx)=1in伽-§+1,然后再利用正弦函数的

基本性质可求出函数/(%)的最小值.

【解答过程】由/(%)=gsinxcosx+1—日cos2x,

根据二倍角公式得f(x)=^sin2x-ycos2x+1=1sin(2x4)+1,

当X6卜得时,所以一詈42%冶建，结合正弦函数图像可知,

2x-gW[-系用时，sin(2x—2)的最小值为sin(-欧=

最大值为sin：=点故一1Wsin(2x-三)工土

因此/■(%)6悖，斗所以/W的最小值为去

故选：B.

【变式8-2](2026•新疆•二模)已知函数f(%)=cos4x+2sinxcosx—sin4%,%ER.

⑴求/(%)的最小正周期；

(2)若％c[0,n],求不等式/•(%)>-1的解集.

【答案】(l)7T

(2)[0曰U净

【解题思路】(1)根据题意，化简函数为/•Q)=&sin(2x+>，结合正弦函数的性质，即可求解：

(2)由(1)知/(幻=&sin(2x+,把不等式转化为sin伽+；”一圣结合正弦函数的性质，进而求

得不等式的解集.

【解答过程】⑴解:由函数/(外=cos,x+2sinxcosx—sin4=(cos%—sin%)+2sin%cosx

=(cos2x+sin2x)(cos2x-sin2x)+2sinxcosx=cos2x+sin2x=V2sin(2x+》，

所以/(%)的最小正周期为7=-=^=K.

32

(2)解：由(1)知：函数/(%)=应sin(2x+》，

则不等式/(幻之一1,可得或sin(2%+：)N—1,即sin(2%+：)N—日，

可得2/HT--<2%4--<2Zen+—,ZcGZ,解得％Gf/cn--,Zen+-,k€Z,

444L42J

因为％w[0m],当k=0时,可得%w„；当k=l时，可得％6降TT]，

所以不等式f(x)>一1的解集为便q]u降叶

【变式8-3](2025•广东•模拟预测)己知函数/(%)=sin2cox4-2\/3cos2cox-百®>0)的部分图象如图所示.

(1)求/(%)的解析式；

(2)把/'(X)的图象向右平移已个单位长度，得到函数g(x),求使g(x)N-1成立的％的取值集合.

[答案】(1)/(%)=2sin(2x+§

(2){x|-^+/cu<x<^+/cnJ(/ceZ)

【解题思路】(i)首先根据恒等变换公式化简函数解析式，再通过函数过点(十,百)求出3的值，进而求解

出函数解析式；

(2)通过三角函数图像变化求解g(x)的解析式，再通过整体代换的方法求解三角函数不等式即可.

［解答过程】(1)/(x)=sin2o>x+2A/3COS2COX-V3=sin2cox+V3cos2o>x=2sin(2a)x+,

由图知，f(x)过点管,8)，即2sin(geo+§=存则sin管s+9=浮

由图得，^6O+J=^+2TT.解得3=1.

所以/(x)=2sin(2x+；).

(2)由题得,g(%)=2sin(2(%_1)+；)=2sin(2x+J

由g(x)之一1，得2sin0”+§之一1,则sin(2%+9z—土

所以--+2krc<2x+-<—+2/nr,keZ,

666

解得—F+kn<x<-+kn,kGZ.

62

因此,使O(x)>—1成立的X的取值集合是｛x|—^+Zen<X<^+/CTTj(/tGZ).

【题型9三角函数新定义问题】

【例9】(2025•陕西咸阳・模拟预测)音乐喷泉曲线形似藤蔓上挂结的葫芦，也可称为“葫芦曲线［它的性质是

每经过相同的时间间隔，它的振幅就变化一次.如图所示，某条曲芦曲线的方程为|y|=(2-

!［^］)|sino)x|(0<x<2K),其中口］表示不超过x的最大整数，如［一2.1］=-3,1<3工3且3€2,且经过

点则该条葫芦曲线与直线x二|n交点的纵坐标为()

A.+亚B.+V2C.+、'D.+—

~2—2—4—4

【答案】C

【解题思路】将点时(：71,1)代入葫芦曲线的方程可得3=2,再代入X=|lT即可得解.

【解答过程】将点M(K，1)代入葫芦曲线的方程可得(2—需］)卜也久|二1，即卜i吟H=l,

由0V3W3,a)EZ,可得3=2,因此曲线方程为|川二(2g］)|sin2x|,

当x=泗・，可得|y|=(24子)|sin(2x讨=(2一消］)|sin-^7r|=||sin^|=手，

所以交点的纵坐标为土”.

4

故选：C.

【变式9-1］(2025・河南•三模)定义2x2行列式辑二咏…2a3,已知函数f(%)=|产区界sx+

*«5Q'乙乙>111人

产广(00-9‘若在区间［0,：］上，始终存在两个不相等的实数对，科满足fai)f3)=£

则，的取值范围是()

【答案】C

【解题思路】根据定义运算，利用三角恒等变形化解可得/(x)=3+2a+后新卜》-力，分析/⑴在区间

的值域，结合二次函数性质，建立不等式可解.

22

【解答过程】由题中所给定义可知，/(x)=4sinx+2cos2%+2sinxcosx+2Q=2sinx+2+sin2x+2a

=3+2a+sin2x—cos2x=34-2a+V2sin(2x—：),

当%60,：]时,2x-；w|-罚,

所以V^sin(2x—§6[—1,1]，所以/'(x)E[2Q+2,2Q+4],

22

当aN-l■时,2a+2NO,/(xi)；(x2)e((2a+2),(2a+4)),

所以(2a+2)2<-<(2a+4)2,解得一1<a<--；

44

当一gVaV-l时，-IV2a+2VO,l<2a+4<2,/(xj/fe)[0,(2a4-4)2),

所以2V(2a+4尸，解得一与Va<-1,

44

综上，a的取值范围是(一：,一》.

故选：C.

【变式9-2](2025・广东江门•模拟预测)若Q,瓦c,dWR,且aVbVcVd,则d-c+b-a的值叫做[a,b]u[c,d]

的“区间长度已知函数/•(%)=(cosx_9(