第一章（基础过关）空间向量与立体几何（解析版）-高二数学单元A卷（人教A版选择性必修第一册）

第一章空间向量与立体几何（A卷）

_、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的.

1.已知向最。=（0』,一1）,匕=（2,1,0），且。+心与2。一/?互相垂直，则k的值为（）

11

A.1B.-1C.-D.--

【答案】A

【解析】解:因为G=（0J-l）,5=（2,1,0）,

所以〃+%/?=（22次+1,-1），2a—b=（—2,1,-2）>

因为4+心与2。一/?互相垂直，

所以-4Z+（Z+l）+2=0,解得％=1,

故选：A

2.已知平面%夕的法向量分另」为〃=（2,3,4）和〃=（4,小一2）（其中若a//，则2+〃

的值为（）

A.--B.-5C.1D.5

22

【答案】D

2=4女

〃=6

【解析】a〃2，则:〃力，故（2,3,%）=&（4,〃,一2）,即・3=上〃,解得

A=-1

2=-2k

故;i+〃=5.

故选：D.

3.与向量。=（2,3,6）共线的单位向量是（）•

3色、(236

亍可B.，，

<"7­7-7

23236、236\f23

C.丁于一句和「于于为D.于于可和「于7

【答案】D

【解析】解:(Z3,6)=7修碧,(2,3,6)=-7

故与向量a=(2,3,6)共线的单位向量是修翡)或

故选：D

4.如图所示，在正方体ABCD-AB'CZ)'中，点E是棱8C的中点，点G是棱。。的中点，则异面直

线G3与笈上所成的角为()

A.120°B.90°C.60°D.30°

【答案】B

【解析】以。为原点，建立如图所示的空间直线坐标系。一书，

设正方体ABCD-的棱长为2,

则G(0,0,1),8(2,2,0),斤(2,2,2),即，2,0),

AGB=(2,2,-1),B名=(T,0,-2),

G8•用石=-2+0+2=()，

GB±B'E，

••・异面直线GB与B'E所成的角为90°.

故选：B.

5.在空间四边形Q45C中，点历在线段OA上，且点、N为BC的中点.若0A二〃，

2

OB=b，OC=c，则MN等于（）

1-1r1

A.B.—a—b—c

222

I1,1

C.--a+-b+-cD.——a+-b+-c

322222

【答案】C

【眸析】解：如图所示:

在空间四边形。钻C中，点M在线段OA上,

且点N为8C的中点.

2

且：OA—a.OB=b，OC—c»

所以：OM=\,ON=-(OB+OC)=-b+-c,

3222

所以：MN=ON-OM=-b+-c--a,

223

故选：C.

6.如图，空间四边形A3co中，E,尸分别是AC,CO的中点,AB-^-BC+-BD=()

22

A

【答案】C

【解析】解：连接Ab，E，尸分别是3C，。。的中点,

则A8+g3C+；5O=A8+；(3C+8O)=A8+3b=A〃.

故选：C.

7.如图，在正方体A8CQ-481aoi中，E,尸分别是上底棱的中点，A以与平面凡。石尸所成的角的大小

【答案】B

【解析】以G为坐标原点，DiA,D1C1,。1。为x,»z轴建立空间直角坐标系,

则A(l,(),1),4(1,1,0),D、(0,0,0),E(0,-J),

所以〃耳=(1.1,0).。七=(0.\1).

n-DB=x+y=0

}11

设平面DiBiE的法向量为n=(x,y,z)，则<1»可取—二)，

nDlE=—y+z=02

又做=(0,1,-1),

8.已知A8C-A4c是各棱长均等于。的正三棱柱，。是侧棱CG的中点，则平面ABC与平面所

成的锐二面角为()

A.45°B.60°C.75°D.30°

【答案】A

【解析】以A为原点，以垂直AC的直线为X轴，以AC为y轴，以为z轴，建立空间直角坐标系，

:ABC—A由C是各条棱长均等于a的正三棱柱，D是侧棱CC,的中点，

・•・・4(0,0,0),4(冬,务),。(0,a,9，C,(0,afa),

*'•AB1=，AD=(0,<z,—),DC}=(0,0,—),

设平面ABQ的法向量〃=(x,y,z),

n-=0,〃•AD=0，

~2~

a八

+—z=()

又天1为平面ABC向量法m=（0,0,1）

cos(/〃,〃)=m-n旦

|〃?||〃Ix/3+1+4~2,

则平面ABC与平面A与。所成的锐二面角为45。

故选：A.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全

部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.已知点尸是平行四边形A8CQ所在的平面外一点，如果A3=（2,-1,T）,AD=（4,2,0）,

=对于结论：①APA.AB；②AP1AD：③AP是平面A3CQ的法向量；④

AP//BD•其中正确的是（）

A.①B.②C.③D.@

【答案】ABC

【解析】4P.4/?=-2—2+4=0,所以AP_LAB，所以AP_L，故①正确；

4。=一4+4+（）=0，所以APJLAO，所以AP_LA£），故②正确；

因为A3与AO不平行，APLAB>APJ_A£>所以APJ_是平面A3CD

所以AP是平面48c力的法向量，故③正确.

因为8D=AD-AB=（4,2,0）-（2,TT）=（2,3,4）,AP=（-1,2,-1）

3

因为--工5,所以AP与8。不平行，故④错误.

所以选项ABC正确,

故选：ABC

10.如图，点N为正方形4BCO的中心，△ECO为正三角形，平面ECQ_L平面A3CQ,M是线段的

中点，贝I（）

A.直线BM,EN是相交直线

B.直线EN与直线44所成角等于90。

C.直线EC与直线43所成角等于直线EC与直线A。所成角

D.直线BM与平面ABCD所成角小于直线EN平面ABCD所成角

【答案】ABD

【解析】解：•・•点N为正方形A5c。的中心，AECO为正三角形，平面ECQ_L平面48CQ,M是线段E。

的中点，

・・・BMu平面8DE,ENu平面BDE,

,••8”是48OE中。E边上的中线，EN是〉8OE中边上的中线，

；・直线AM,EN是相交直线，故A正确；

取CO中点G,连接NG,可知NG_LC。，MEN1.CD,

又A4〃C。，・・・EN_L4从即直线EN与直线A3所成角等于90。，故B正确；

由迦意，/ECD=60。为直线EC与直线A8所成角，由ADJ_平面ECO,可知直线EC与直线AO所成角为

90°,

故C错误；

过M作MH_LC。于"，连接则NMB”为直线8M与平面ABC。所成角，NENG为直EN平面44CO

所成角.

由图可知，直线9股与平面ABCD所成角小于直线EV平面八BC7）所成角，故D正确.

故选：ABD.

H.将正方形A3CO沿对角线5。折成直二面角A-6。一C,有如下四个结论：①AC_L%>；②

△4CD是等边三角形；③A8与平面88所成的角为60；④A8与。。所成的角为60.其中正确的

结论有()

A.①B.②C.③D.@

【答案】ABD

【解析】解：取5。中点O，由正方形的性质得：AO工BD.CO上BD,

所以N4OC为二面角A—5。一。的平面角，

因为二面角力一C是直二面角A-BD-C,

所以如图所示，建立空间直角坐标系Oxyz,

设正方形ABCD的边长为近，

则£>(1,0,0),B(-l,0,0),C(0,0,l),A(0,l,0)

所以A"=(0,_1,1)，访=(2,0,0)'cb=(l,0,-l)>AD=(l,-l,0)»AB=(-l,-l,0)•

因为由)=0二仇故AC_LBO,①正确.

又a=品,CD=y[2,AD=y/2,

所以AACO为等边三角形，②正确.

对于③，d为平面8CO的一个法向量，04=(0,1,0)

C°s伉词小一也

'/OA-AB62

因为直线与平面所成的角的取值范围是[o,90],

所以A4与平面BCO所成的角为45，故③错误.

—>—>GDXB\_

乂costCD,AB)=

2,

CD-AB

因为异面直线所成的角为锐角或直角,所以4B与。。所成的角为60，故④正确.

故选：ABD

12.设〃，儿「是空问一个基底，下列选项中正确的是（）

A,若a,/?_Lc»则〃_Lc

B.则a,/?,c两两共面，但a,/?,。不可能共面

C.对空间任一向量p,总存在有序实数组（x,》z）,使〃=•+）协+zc

D.则a+匕，b+c，〃+c'一定能构成空间的一个基底

【答案】BCD

【解析】由凡氏i是空间一个基底，知：

在A中，若皿,〃_Lc，则〃与c的夹角不一定是万，故4错误；

在8中，a,Z?,c两两共面，但a,b,c不可能共面，故8正确：

在。中，根据空间向量的基本定理可知C正确；

在。中，因为a,c不共面，假设a+8，/?+c，〃+c共面，设a+力=xS+c）+（1—x）（a+c），化简得

c=xa-¥（\-x）b,可得a,〃,c,共向，与已知矛盾，所以。+〃，％十°,〃+c不共面，可作为基底，故D

正确.

故选：BCD.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知A(2,-5,1),B(2,-4,2),C(l,-4,1),则AB与AC的夹角为

【答案】600

【解析】由题意得AB=(0,l/)，AC=(-l,l,0),

|AB\-|AC\\/2xv22

<AB,AC>G[0,180],

•••AB与AC的夹角为60。.

故答案为：60°.

14.如图，在四棱锥S-ABC。中，底面A8C。为矩形，5'。_1_底面44。。，AD=血,DC=SD=2,点M

在侧棱SC上，NA8M=60。.若以D4,DC,DS,分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间宜角坐标系

D-xyzf则M的坐标为.

【答案】(0,1,1)

【解析】解：・・・SO_L底面ABCD底面ABC。为矩形，

・・・D4,DC,DS两两垂直，

如空以。为原点，以DA,DC,DS分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系.

则。(0,0,0),B(0,2,0),S(0,0,2),C(0,2,0),

BA=(°，-2,0)CS=(0，-2,2).8A=(0,—2,0),8C=(—&,0,0)

设CM=4CS=(0，-2A,2x),BM=BC+CM=(-日-2x,2A).

BABM14711i

Z.ABM—60°,可得：cos6()°=-----------------=/,>=一,

IM|||BM|2-j2+(—2/l)-+4/l-2

1___

解得7=5，CM=<0,-1,1),DM=(0，I，I)，M(O,1，1).

故答案为：(0,1,I).

15.已知向量机二(a,b,0),n=(c,d,1),其中。2+按=/+[2=1,现有以下命题:

①句量〃与Z轴正方向的夹角恒为定值(即与C,d无关);

②n的最大值为;

③(“7,的夹角)的最大值为宁；

④若定义=〃•usin(〃,u),则的最大值为J?.

其中正确的命题有.(写出所有正确命题的序号)

【答案】©©④

na_1_1_也

【解析】①取z轴的正方向单位向量”=(0,0,1),则cos(〃,4)

x/H+c尸+]2xi422

因为G，a)e[0,司，所以向量〃与z轴正方向的夹角恒为定值：，故正确;

②…诙鹏亨+号=”+。27+建二号二1,当且仅当时取等号，因此…

的最大值为1,故错误；

③由②可得卜八〃W1,所以所以

ac+bd-马丁-乎，所以M〃>的最大值是年

故正确;

“2+庐后十八]22

所以;WMW与,*Wsin(m,n^<\,所以

④由③可知:

2'/2

/??x/?=|/w|-p?|sin^77,^<lx>/2xl=72,故正确.

故答案为：①③④.

16.已知P是棱长为1的正方体/WC7>-4BIGQI内(含正方体表面)任意一点，则APAC的最大值为

【答案】2

【解析】由题意画出图形，如图所示,

Dx

G

因为4P・AC=|AP|・|A^lcoscAP,AC>,且|AP|-cosvAP,AC>是向量4P在AC上的投影，

所以当P在棱GC上时，投影最大，所以A尸•AC的最大值为|AC『=(+，y=2.

故答案为：2

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.如图，在平行六血体A8CD-4SG。中，设AA=〃，AB=b，AO=c，〃，N,P分别是A4,

BC,GO的中点，试用国表示以下各向量：

（I）AP；（2）MP+NC1.

-1--3-1-3-

【答案】（1）ciH—%+c；（2；—ClH—bH—C.

2222

【解析】解:（I）•・•在平行六面体ABC£M向C口中,P是CQi的中点,

AP=AA[+AR+P=AA1+AD+—D、C、

――•11

=AA.+AD+—AB=a+—h+c

,22

（2）•・,在平行六面体ABCD-AiBCQi中,M是的中点，

•••I••[——]]—I-1——

：,MP=MA+AP=-A,A+AP=一一a+（a+-b+c）=-a+-b+c

,—.-.1___«1_1.

又：NC、=NC+CC\=-BC+AA.=-AD+AA.=-c+a

1121212

1-1——1-—3—1-3―

/.MP+NCi=(―a+—b+c)+(—c+a)=—a+—b+—c

222222

18.如图，在四棱锥尸-ABC。中，底面4BC。为直角梯形，AO//BC,ZADC=90°,平面％O_L底面ABC。,

Q为4。的中点，M是棱PC(不与端点重合)上的点，PA=PD=2,BC=^-AD=\,CO=JJ.

（I）求证：平面口?CJ_平面PQB；

（2）当PM的长为何值时，平面QMB与平面PDC所成的角佗大小为60°?

【答案】（1）证明见解析：（2）当二立时，平面QMB与平面POC所成的角大小为60。.

2

【解析】（1）VADIIBC,Q为A。的中点，BC=^AD,

・：BC//QZ）,BC=QD,

・：四边形8CDQ为平行四边形，・：8Q〃CD

：24QC=90。，・：BC工BQ.

:•展P。，AQ=QD,/.PQ1AD

又丁平面以。，平面ABCD,平面外。n平面AACO=A。，

•:PQ_L平面ABC。，,PQ_L8C.乂：/QA4Q=Q,・：4C_L平面PQA

:'BCu平面P3C,•:平面05cL平面PQ8.

（2）由（1）可知PQ_L平面A8CD如图，以。为原点，分别以Q4,QB,QP所在直线为x轴，），轴，z

轴，建立空间直角坐标系，

则。(0,0,0),0(-1,0,0),P(0,0,G),8(0,60),C(-l,JJ,0),

・：Q8=(0,50),DC=(。，G0)，DP=(1，0,y/3),PC=(-1,G，-5,

PC=

j(-l)2+(扬2+(・G)2=a.

设尸M，PC，则尸M=(乩G九-Qi)，且0QV1，得M(乩G九JJ-JJQ，

r.QM=(-2,百九75(1->.)).

设平面M8Q的法向量为7=(x,y,z),

QM-m=0,f-Ax+\/3Ay+>/3(l-2)z=0,

则广.，即〈L

QB，tn=0,[J3y=0.

令x=8,则y=0,z=4，

1-Z

•:平面M8Q的一个法向量为盛=(百，0,).

设平面PQC的法向量为：=(/,y',z),

DCn=OVJy=o,

则(即＜

DPn=0£+石z=0.

令广:3,则y=0,z=-G，

•：平面尸。。的一个法向量为7=(3,0,-拒).

」平面QMB与平面PDC所成的锐二面角的大小为60°,

Zcos60°=

PC=—.

22

即当PM二五时,平面QMB与平面PDC所成的角大小为60°.

2

19.已知三棱柱48C-A^IG中，ZAC8=90，A}BlAC]fAC=AAt=4,BC=2.

（I）求证：平面AACC_L平面ABC：

（2）若NAAC=60,在线段47上是否存在一点P,使二面角8—A/—C的平面角的余弦值为立？

4

若存在，确定点P的位置；若不存在，说明理由.

11M3101

【答案】（1）证明见解析；（2）在线段4c上存在一点?，AP=-4C.

4

【辞析】（1）在三棱柱力BC-a4G中，四边形MGC为平行四边形，

•••AC=A4,所以，四边形为菱形，

连接AC,则ACJLAG，又48，AG，且ACQ48=4，AGJ-平面A8C,

♦.•8。（=平面48。，..8。_14。1,

又NAC8=90,即BC_LAC,・・・ACnAG=A,.•.AC_L平面AACG，

BCu平面ABC,••・平面A/CG_L平面ABC；

（2）以C为坐标原点，分别以C4、C3所在直线为工、＞轴，面A/CC内过点C且垂直于4C的直线

为z轴建立如图所示的空间直角坐标系,

•.•4C=AA=4,BC=2,N4AC=60,

/.C（0,0,0）,3（0,2,。）、A（4,0,0）、A（2,0,2@,

设在线段AC上存在一点尸，满足AP=4AC（0<2Wl）,使得二面角。一4尸一。的余弦值为乎，

则AP=（Y%0,0）,

BP=BA+AP=（4,-2,0）+（-42,0,0）=（4-42,-2,0）,

AP=44+”=仅,。，-2@+（",0,0）=（2-4月0,-2#）,CA=（2,0,2>/3）,

fin-BP=（4-4A）x-2y.=0

设平面网尸的一个法向量为“Gy“4），由2⑥=0,

取A=6,可得y=2g（1-2）,4=1-2%,得〃?=（6,26（1-4）,1—24）,

平面4PC的一个法向量为n=（0,1,0）,

|力〃|_2何-川

由COS<〃2,〃>=],

小+12（1-4+（"24）24

整理可得1222-252+12=0,即（34-4）（42-3）=0,

3

­.•0<2<1,解得4二一.

4

nin3i11rA

故在线段AC上存在一点P,满足AP=-AC,使二面角B-AP-C的余弦值为工2.

44

20.在多面体48co石中，平面4CDEJ•平面ABC,四边形4CDE为直角梯形，CD//AE,AC1.AE,

AB±BC,CD=\,AE=AC=2,/为OE的中点，且点E满足EB=4EG.

E

(l)证明：G/7//平面ABC.

(2)当多面体A5CQK的体积最大时，求二面角A—8E—。的余弦值.

【答案】(I)证明见解析；(2)-且.

7

【辞析】(1)分别取4a中点M,N,连结CM、MN,ND.

在梯形ACT)/?中,DC//EA^DC=-EA,口M.N分别为BA3E中点

2

/.MN//EA,MN==EA:・MN"CD、MN=CD

2

・•・川边形CDW是平行四边形••・CM//DN

—1—

又EG=^EB,N为仍中点，・・・G为EN中点，

4

乂产为EO中点・•・GF//DN・•・GF//CM

又CA/u平面4BC,G/a平面48。^GF//^ABC

(2)在平面ABC内，过8作14c交AC于

•.平面平面ABC,平面4。。后。平面/15。=4。，5"u平面ABC,BH±AC,

・•・8”_L平面ACDE•••BH即为四棱锥8-4COE的高，

又底而ACDE面积确定，所以要使多面体48CDE体积最大，即BH最大,此时A8=8C=J5

过点H作HP〃AE,易知HB，HC,"P两两垂直，

以｛“B,"C,"P｝为正交基底建立如图所示的平面直角坐标系”一平

则4(0,TO),B(l,0,0),E(0,-l,2),£>(0,U)

AB=(1,1,0),BE=(-1,-1,2),DE=(0,-2J)

u

设4=a，y,zj为平面ABE的一个法向量，则

•AB=Ox+y=°

，所以〈,取—o）

•BE=O+2Z|二o

设公=32，K，Z2）为平面的一个法向量，则

一2K+z2=0-

1，所以[-「O'取%=(3/，2)

%BE=()

所以cos〈％,〃2）二“•叼_V7

八|帆一7

由四，二面角A-BE-O为钝二面角，所以二面角人一/七一。的余弦值为一立

7

21.如图，在正四棱柱ABC。一AMG。中，AA=2,A3=l,点N是BC的中点，点M在CG上,

设二面角A-ON-M的大小为夕

（I）当。=90时，求AM的K：（2）当cos6=必时，求CM的长.

6

【答案】（1）叵;（2）!

52

【解析】以点。为坐标原点，DA.DC、。。所在直线分别为工、）'、z轴建立空间直角坐标系，设

CM=/（O</<2）,

(I)A(LO,O)、40,0,2)、A/(O,l,r),

(1、null

DM=(O,l,f),DN=-,l,0,DA,=(1,0,2),