高一数学下学期寒假讲义：平面向量基本定理及坐标表示（六大考点）原卷版

专题03平面向量基本定理及坐标表示

»思维导图

平面向M［基本定理

正交分解

平面向同的坐标表示

平面向G的坐标表示

平面向量基本定理及坐/平面向量的坐标运笥平面向金壁标的加法.和故*运口

标表示

平面向员平行（共线）的坐标表示

向员数量积的坐标表示

»核心考点聚焦

考点一：平面向量基本定理

考点二：利用平面向量基本定理证明三点共线问题

考点三：平面向量的坐标运算

考点四：平面向量平行的坐标表示

考点五：平面向量数量积的坐标表示及运算

考点六：平面向量数量积的综合应用

重4点T速1记

知识点一：平面向量基本定理

1、平面向量基本定理

如果4,可是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这个平面内任一向量Z,有且只有一对实数4,4,

使a=4q+4/,称4q+4弓为q,1的线性组合.

①其中4,互叫做表示这一平面内所有向量的基底；

②平面内任一向量都可以沿两个不共线向最4,晟的方向分解为两个向最的和，并且这种分解是唯一的.

这说明如果a=4q+4/且0=4“，那么4=4',4=4’.

③当基底q,/是两个互相垂直的单位向量时，就建立了平面直角坐标系，因此平面向量基本定理实际

上是平面向量坐标表示的基础.

知识点诠释：

平面向最基本定理的作用：平面向量基本定理是建立向量坐标的基础，它保证了向量与坐标是一一对应

的，在应用时，构成两个基底的向量是不共线向量.

2、如何使用平面向量基本定理

平面向屋基本定理反映了平面内任意一个向展可以写成任意两个不共线的向显的线性组合.

（1）由平面向量基本定理可知，任一平面直线形图形，都可以表示成某些向量的线性组合，这样在解

答几何问题时，就可以先把已知利结论表示为向量的形式，然后通过向量的运算，达到解题的目的.

（2）在解具体问题时，要适当地选取基底，使其他向量能够用基底来表示.选择了不共线的两个向量

4、工,平面上的任何一个向量Z都可以用I、1唯一表示为3=41+41，这样几何问题就转化为

代数问题，转化为只含有4、1的代数运算.

知识点二；平面向量的坐标表示

1、正交分解

把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.

知识点诠释：

如果基底的两个基向量白、/互相垂直，则称这个基底为正交基底，在正交基底下分解向量，叫做正交

分解，事实上，正交分解是平面向量基本定理的特殊形式.

2、平面向量的坐标表示

如图，在平面直角坐标系内，分别取与工轴、y轴方向相同的两个单位向量7、j作为基底，对于平面

上的一个向量3,由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x,y,使得Z=，+0.这样，平面内的任

一向量Z都可由唯一确定，我们把有序数对（x,y）叫做向量［的（直角）坐标，记作Z=（x,y）,%叫做

£在x轴上的坐标，y叫做Z在），轴上的坐标.把2=",），）叫做句量的坐标表示.给出了平面问量的直角坐

标表示，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以川一有序数对唯一表示，从而建立了向量与实数的联

系，为向量运算数量化、代数化奠定了基础，沟通了数与形的联系.

Ox

知识点诠释：

(1)由向量的坐标定义知，两向量相等的充要条件是它们的坐标相等，即2=Bo%=/且y=%，

其中。=(X，y),/?=(/,%)-

(2)要把点的坐标与向量坐标区别开来.相等的向量的坐标是相同的，但始点、终点的坐标可以不同.比

如,若42,3),5(5,8),则丽=(3,5)；若C(-4,3),0(7,8),则无=(3,5),AB=CD,显然A、

B、C、。四点坐标各不相同.

(3)(x,y)在直角坐标系中有双重意义，它既可以表示一个固定的点，又可以表示一•个向量.

知识点三：平面向量的坐标运算

1、平面向量坐标的加法、减法和数乘运算

运算坐标语言

记04=(再,y),OB=(x2,y2)

加法与减法

0A+0B=(xi+.,.+%)'0B-0A=(X2-xi,y2-yl)

实数与向量的乘机记a=(x,y),则4a=(,Ay)

2、如何进行平面向量的坐标运算

在进行平面向量的坐标运算时，应先将平面向量用坐标的形式表示出来，再根据向量的直角坐标运算法

则进行计算.在求一个向量时，可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐

标得到该向量的坐标.求•个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标,但同时注意

以下几个问题：

(1)点的坐标和向量的坐标是有区别的，平面向量的坐标与该向量的起点、终点坐标有美，只有起点

在原点时，平面向量的坐标与终点的坐标才相等.

(2)进行平面向最坐标运算时，先要分清向量坐标与向审:起点、终点的关系.

(3)要注意用坐标求向量的模与用两点间距离公式求有向线段的长度是一样的.

(4)要清楚向量的坐标与表示该向量的有向线段的起点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关.

知识点四：平面向量平行（共线）的坐标表示

1、平面向量平行（共线）的坐标表示

设非零向量‘二（1,）1）1二（工22），则aHb=（%,）1）=%优,为），即“西学，或甲，2_42）1=0.

>1=2y2

知识点诠释：

若2二（%方）石=伍,％），则c；〃*不能表示成a二』■，因为分母有可能为0.

X2为

2、三点共线的判断方法

判断三点是否共线，先求每两点对应的向量，然后再按两向量共线进行判定，即已知

A（x},）,B（X2,）,C（x3,y3）,AB=（x2-x,,y2-3^）,冠=（刍一为，%一y）,

若（W一为乂为一,）一（七一再）（为一）'|）二°，则4，B,C三点共线.

知识点五：向量数量积的坐标表示

1,已知两个非零向量々二（.土，凹），b^（x2，y2）,a-b-xxx2+y\y2

2、设G=（x,y）,则IG『=/+y2或I£|=4X1+）?

3、如果表示向量Z的有向线段的起点和终点的坐标分别为（为，必）、（々，）’2），那么

|在也-小+⑶-（平面内两点间的距离公式）♦

向量在几何中的应用

（1）证明线段平行问题，包括相似问题，常用向最平行（共线）的充要条件

—>—>—>

al/boa=九b（b声0）=（玉，y）=A（x2,y2）

（2）证明垂直问题，常用垂直的充要条件

—♦—♦—•—♦

a1b<=>a'b=0<=>-hyty2=0

（3）求夹角问题，利用==/为工，十）1）、

瓦M&+一.收+月2

（4）求线段的长度，可以利用同=日或|阿卜J（/—xj2+（必一y）2

》考点剖析

考点一：平面向量基本定理

例1.（2024•河南省直辖县级单位•高一河南省济源第一中学校考阶段练习）如图，在aABC中,

AD=loC,P是线段3。上一点，若A户=〃*&+，己则实数〃，的值为（）

例2.（2024.安徽芜湖.高一安徽省无为襄安中学校考）在△A8C中，AO为8C边上的中线，石为4。的中

点，则反等于（）

3—1--|-3__3—1__1_3__

A.-AB——ACB.——AB+-ACC.--A8+-ACD.-AB--AC

44444444

例3.（2024•黑龙江齐齐哈尔・高一齐齐哈尔中学校考）设｛,晟｝是平面内所有向量的一个基底，则下列不

能作为基底的是（）

e2和q+e2q和q-e2

2q-4^2和-q+2Ge}+2e2和2et+e2

变式1.（2024・广东佛山•高一校考）如图，在"WC中，AZ）=：AB,点E是CD的中点.设C5=a，

CB=b^则丽=<）

AD

21

B.-a+-brD.-a+-b

3663

变式2.（2024.山东泰安・高一泰安一中校考）如图所示，在“3C中，点。是8。的中点，过点0的直线分

别交直线AB、AC于不同的两点M、N,若初二加而，君丽（加,〃>0）,则"+〃的值为（）

A

9

A.2B.3C.-D.5

2

考点二：利用平面向量基本定理证明三点共线问题

例4.（2024•全国•高一随堂练习）如图，在YA8CD中，点M为A8的中点，点N在8。上，3BN=BD.

例5.（2024.全国•高一专题练习）设两个非零向量Z与万不共线.

（\）^AB=a+b,BC=2a+^CD=3（a-b）t求让：三点共线;

⑵试确定实数左，使磊+弓和W反向共线.

例6.（2024•河南南阳•高一社旗县第一高级中学校联考期末）如图，在中，CD=2DB,AE=EC.

(1)/11AB,XZ5表示衣，BEx

___1一3一

(2)若点M满足AM=-/AB+wAC,证明：B,M,E三点共线.

变式3.(2024.河北张家口•高一河北省尚义县第一中学校考阶段练习)如图，在△QAA中，C是的中

点，。是线段OB上靠近点0的三等分点，设04=五。月=〃.

(1)用向量值与另表示向量沅，函；

(2)若。巨=3。C，求证：4。,£三点共线.

变式4.(2024・安徽六安・高一毛坦厂中学校考)已知向量入5不共线，AP=a-tbt丽=々+2次

BQ=3a-2b.

(1)若，=-2,AP=xBP+yBQ,求x,y的值；

(2)若A,P,。三点共线，求实数f的值.

考点三：平面向量的坐标运算

例7.(2024.天津和平.高一耀华中学校考阶段练习)YA5C。的三个顶点4(-30),8(2,-2),C(5,2),则

顶点。的坐标为.

例8.(2024.黑龙江鹤岗.高一鹤岗一中校考阶段练习)已知点A(l,-1),8(-2,3),则与向量质方向相同的

单位向量为.

例九(2024•高一课时练习)如图，向量3，B，2的坐标分别是，，.

变式5.(2024・湖北武汉•高一武汉外国语学校(武汉实验外国语学校)校考期木)已知A(2,3),

8(4,-3)，点2在线段48的延长线上，且|羽=[网，则点尸的坐标为.

变式6.(2024・辽宁抚顺•高一校联考)若4(-1,-4),5(5,-1),C为AB的中点,。为A8上更靠近A的三

等分点，则C的坐标为,。的坐标为.

考点四：平面向量平行的坐标表示

例10.(2024・贵州毕节•高一校考)已知向量£=(；,-0,力=(2,1),则与向量y+B共线的向量的坐标可

以是()

A.(-3,1)B.(-8,3)C.(-9,4)D.(3,-2)

例11.(2024•北京顺义・高一牛栏山一中校考)已知向量4=(25，b=(x-2),若日/序，则"•二()

A.(-2,-1)B.(2,1)C.(4,2)D.(<-2)

例12.(2024.四川成都•校联考一模)已知3=(1-肛2),B=机>0,〃>0,若存在非零实数2使得

[M，则上1+士?的最小值为()

mn

A.8B.9C.10D.12

变式7.(2024•黑龙江齐齐哈尔•高一齐齐哈尔中学校考)已知£=(1,0),石=(-1,6)，c=(2,l),若

伍+%)〃£,则实数加=()

A.1B.—1C.—D.一

44

变式8.(2024.贵州安顺.高一统考期末)若三点4(2,3)、8(4,7)、C(3,y)共线，则实数的值为()

A.1B.-C.3D.5

2

变式9.(2024・河北唐山•高一校联考)已知A(0,l),8(1,-3),C(2,k),且A,B,C三点共线,则

k=.

考点五：平面向量数量积的坐标表示及运算

例13.(2024•天津和平高一统考期末)已知向量力=(2,1)出=(-3,4),则向量行在万方向上的设影向量的

坐标为.

例14.(2024・湖南邵阳•高一校考阶段练习)己知向量乙=(3,-1)石-g=(T,2),则晨5=.

例⑸(2024•云南昆明淌一校考阶段练习)设工，yeR,向量五=(乂1),5=(2,)，)，”(3,6),且

ale,b//^，则向量五十3与,一的夹角大小为.

变式10.(2024.广东佛山•高一校联考阶段练习)已知向量1=(2,4)==(1,7),则Z与石夹角的余弦值

为.

变式11.(2024.河北邢台・高一统考)已知向量2=(x,l),〃=(*-9),且入方的夹角为钝角，则x的取值

范围为________

变式12.(2024.新疆喀什商一校考期末)已知1=(2,3),)=(-2,4),c=(-l,-2),分别求下列各式的

值：

⑴2仅+可+3仅-B)；

⑵油+@；

⑶伍+”.

变式13.(2024•河北石家庄♦高一石家庄市第十七中学校考)已知向量,=(-1,0),5=。儿1),且3与5的夹

角为

4

⑴求川及|〃+2均；

⑵若在+4与。+2方所成的角是锐角，求实数2的取值范围.

考点六：平面向量数量积的综合应用

例16.(2024・全国•高一课堂例题)如图，己知点O为平面直角坐标系的原点，点A的坐标为(12,8),点、B

的坐标为《⑵，作8O_LQ4,垂足为点。.

⑴求|。4|,|。叫，|明；

⑵求cos/AOB；

(3)洛0A绕点。逆时针旋转90到0A，求点A的坐标;

⑷求|叫；

⑸求SdOAB,

例17.(2024•江苏连云港•高一统考)已知直角梯形A8CO的三个顶点分别为4(7,0),8(1,2),C(4.1),

且曲/DC.

(1)求顶点。的坐标；

⑵若£为线段3C上靠近点。的三等分点，产为线段AB的中点.求|3说-2闭.

例18.（2024•广东珠海•高一统考）如图，设Qr,作是平面内相交成60。角的两条数轴，4,z分别是工

轴与N轴正方向同向的单位向量，若向量炉।）可，则把有序数对（x,y）叫做向量在斜坐标系xQv中

ia.ii

的坐标，记为OP=（.%），）

⑴在斜坐标系中的坐标，已知3=（乂），），求W

（2）在斜坐标系xOy中的坐标，已知Z=（sina2）,/；=（cos，,I）,求人同的最大值•

变式14.（2024・四川眉山•高一校考）如图，在平面斜坐标系xOy中，ZAQV=60,平面上任一点夕的斜坐

标定义如下：若丽=痴+后（其中„分别为与“轴，）'轴同方向的单位向量），则点P的斜坐标为

（尤））此时有。4=（1,2）,08=（44）,试在该斜坐标系下探究以下问题：

（2）丽=（3,4）,求8.。月的值；

（3）求与用同向的单位向量的坐标.

变式15.（2024.湖南益阳•高一安化县第二中学校考阶段练习）已知而=（2,1）,OA=（1,7）,砺二（5,1）,

设C是直线OP上的一点（其中。为原点）.

（1）若。4=%。月，4eR,求点C坐标：

⑵求忑?•而取最小值时向量玩的坐标.

变式16.（2024•福建福州•高一校联考）在平面直角坐标系xQy中,已知点4覃），8（3,2）,及1,2）,点M

是直线OP上的一个动点.

（1）若M为OP的中点，求+的值；

⑵求丽晨丽的最小值.

》过关检测

一、单选题

1.（2024•青海.高三校联考阶段练习）已知向量不二（2,—1）石=（1,2）,则,+4=（）

A.10B.5C.V10D.x/5

2.（2024.陕西西安.高三校联考阶段练习）已知向量1=（衣2）,〃=（3,1）,若3与方的夹角的余弦值为

迎,且Z_L3贝匹可以是（）

10

A.（3,4）B.（-3,4）C.D.1甘，

3.（2024♦贵州六盘水•高二统考）已知等边三角形A8C的边长为2,D,£分别是8C,AC的中点，则

ADBE=（）

31

A.—B.—1C.—D.0

22

4.（2024•全国•模拟预测）已知向量S二（一1,一2）,^=（4,-2）,若他一刀）_L（。+〃5）,则（）

A.42//=1B.4A//=-1

C.4（2+〃）=lD.4（2+/z）=-l

5.（2024.河北石家庄•高一校考）已知平行四边形A8C。中，DE=|oC,若元=4而+〃正，则

4-=（）

33

A.-B.——C.2D.-2

22

6.（2024.广西玉林.高一博白县中学校考开学考试）如图，在△XBC中，中线4。、BE、C尸相交于点G,

点G称为的重心，那么AG:GQ是（）

7.（2024•安徽•高二合肥一中校联考阶段练习）已知边长为2的菱形ABC。中，ND48=1,点E是8c上

一点，满足BE=3R，则通・丽二（）

114

A.-B.—C.—D.-3

223

8.（2024.河南省直辖县级单位.高一校考阶段练习）已知月是不共线的非零向量，则以下向量可以作

为基底的是（）

_~■-a.—•■・•

A.q=0，b=g+e、B.•=3。［+3«2，b=ei+e2

1QU一一一11111一一一

C.a=ei-2e2»b=et+e2D.a=e^-2e2>b=2et-4e2

二、多选题

9.（2024•河北石家庄•高一石家庄市第十七中学校考）已知向量万=（l,sine）,5=（cosaG）,ee（0,兀）则下列

命题正确的是（）

A.存在0,使得力活

B.当0=!■冗时，M与/；垂直

6

c.对任意巴都有m国Bi

D.当无5=6时，。=?

6

1（）.（2024.江苏淮安•高一校联考）已知△A4C为直角三角形，且血=（1,2）,冠=（d3）,则实数。的可能取

值有（）

A.-6B.6C.-ID.1

11.（2024•江苏淮安•高一校联考）下列命题正确的是（）

A.AB+MB+BC+OM+CO=AB

B.已知向量值=（6,1）与石=（-3,攵）的夹角是钝角，则k的取值范围是％<0

c.已知单位向量N&2满足Z+B+2=6,则

D.若Z/4,则［在［上的投影向量为G

12.（2024•黑龙江•高三黑龙江实验中学校考阶段练习）口知向是”（-1,3）出=。,2）,且（"2E）_LZ则下

列选项正确的是（）

A.5=