弧长及扇形的面积 课后培优提升训练-2025-2026学年北师大版数学九年级下册

3.9弧长及扇形的面积课后培优提升训练北师大版2025-2026学年九年级下册

一、选择题

1.若一个圆锥的母线长为8,它的侧面展开图是半圆，则这个圆锥的高为（）

A.4B.4万C.472D.272

2.如图，分别以等边三角形ABC的三个顶点为圆心，以等边三角形的边长为半径画弧，三

段圆弧所围成的封闭图形叫做“莱洛三角形若等边三角形A8C的边长为1,则该“莱洛三

角形''的周长为（）

A.nB.—C.27rD.3兀

2

3.如图1,在正方形铁皮上剪下一个圆形和扇形，使之恰好围成图2所示的一个圆锥模型,

设圆的半径为八扇形半径为七则圆的半径，,与扇形半径R之间的关系为（）

图1图2

A.R=2rB.R=3rC.R=4rD.R=5r

4.如图，以AB为宜径作半圆0,。是半圆上一点，以点A为圆心，AC的长为半径画弧交

直径A3于点。，若NC4B=45。，A/3=4,则图中阴影部分的面积为（）

5.如图，在正五边形A8CDE中，连接8DBE,以点8为圆心，8。长为半径作圆弧，得

到。E，若AO=3,则OE的长为（）

二、填空题

6.如图，在矩形A38中，AB=4,BC=26,以“为圆心，A8长为半径画弧交边CO于

点E,连结跖，则图中阴影部分的面积为.（结果保留兀）.

7.如图，正方形的边长为6,以各边为直径在正方形内画半圆，则图中阴影部分的面积

为•

8.如图，在扇形84。中，ZABC=30°,以雨为直径在48上方作半圆，交BC于点、D,

若45=4,则阴影部分的面积是.

9.如图，在RtZ\A8C中，ZBCA=90°,ZBAC=30°,BC=3,将RtZXABC绕A点顺时针

旋转90。得到RJAOE,则8c扫过的面枳为.

10.如图，在纸上剪下一个圆形和一个扇形的纸片，使之恰好能围成一个圆锥模型.若扇形

的半径为5,扇形的圆心角等于90。，则该圆锥底面圆的半径为.

三、解答题

11.如图，BE是。的直径，A和。是。上的两点，延长解到点C,连接。E,AE,AC,

且/£4C=/A£>£.

⑴求证：AC为。的切线.

(2)已知BO=CE=2.

①求阴影部分的面积(结果保留不).

②连接QC，若NADC=90。，求AD的长.

12.如图，在V/WC中，ZC-90°,*/WC的平分线比)交/AC于点心点。足边A3上一

点，以点。为圆心、。8长为半径作圆，。恰好经过点。，交AB于点£

A£'

(1)求证：直线AC•是O的切线；

⑵若点E为AO的中点，AD=3,求阴影部分的面积.

13.如图，己知VA3c是等腰三角形，其中AC=BC,以3C为直径作。。，。交AC延

长线于点。，交AB边于点E,过点E作EFLAC于点F.

(I)判断瓦'与。的位置关系，并说明理由;

(2)若点C为QE的中点，8=6.

①求一人的度数；

②求由线段CF,£尸与CE围成的阴影部分的面积.

14.如图，V48c是《。的内接三角形，AC是直径，。是8C的中点，DE〃8c交力C的

延长线于E.

⑴求证：OE是。的切线；

⑵点尸是。。上一点，连接A/，CF,以尸为圆心，A/长为半径画圆弧，使点。在该圆弧

上，再将分别沿A尸，向内翻折，若AC=2,求国中阴影部分的面积和.(结果保留

15.如图，点A在O上，点8在。外，线段08与。交于点C,过点C作。的切线交

直线A8于点。，且A£>=8.

(I)判断直线A4与。的位置关系，并说明理由；

⑵若N8=30。，CD=5,求图中阴影部分的面枳.

参考答案

一、选择题

1.B

2.A

3.C

4.C

5.B

二、填空题

6.6G占

3

7.18万一36

8.2万-

三、解答题

11.【详解】（1）证明：如图，连接0人,

：OA=OB,

二NOBA=NBAO,

•:*=M，

:.")BA=ZADE,

：.ZBAO=ZADE,

:/£4。=NAOE,

:.ZBAO=ZEAC,

〈BE是直径，

/.ZZM£=90°,

AZBAO+ZE4O=90°,

:.NE4C+N£4O=90。，

，ZCZ4C=90°,

，O4_LAC,

・・・AC为。的切线；

⑵①解：•：BO=CE=2,

：,OA=OE=CE=2,

：・OC=OE+CE=4,

•••ZOAC=90°，

・•・AE=-OC=OE=2

2t

***AC=VOC2-OA2=74:-22=2G，

•••QA=2,AE=OE=2,

：,OA=OE=AE,

•••AHOE是等边三角形，

NAOE=60。，

：,S阴影=SOAC-S扇形AOE

2

1A-，〜60^,x2

=—ACZ-OA-------------

2360

」x2x2G-2乃

23

=2yj3——7T.

3

②解：作。，_L/W于点尸，并延长。，与/AC交于点。,

则OP平分A。，ZAPO=ZAP。=90。，

AAP=-ADVZAZX?=90°,

2t

PQ//CD,：.△"—△ADC,

?.AQ:QC=AP:PD=\,

AQ=-AC=-x2y/3=43f

22

:.OQ=yjo^+AQ2=,2?+(可=币,

,/NQAQ=90。，

・・・NAPO=N(MQ=90。，

・•・ZAOP=^OQ,

：.LAOPsXQOA,

：.OA:OQ=AP:AQf

：・2:币=AP：6,

：.AP=^^-,AAD=2AP=^^-

77

12.【详解】（I）证明：连接O。，如图所示:

・「4力是/ABC的平分线.

，NOBD=/CBD,

•：OD=OB

，NODB=NOBD

，40DB=4CBD.

：,OD//BC

/.Z4DO=ZC=90°.

C.ODVAC

・•・直线AC是。的切线；

(2)解：设O的半径为R

/.OD=OE=OB=R,

•・•点E是A0的中点，

，AE=OE=R,

/.AO=2R,

由(1)可知：ODLAC,

，在RtZXAO。中，sinA=—=—

AO2R

AZA=30°,

ZAOQ-60。，

:.tanA=

OD=AD•tan4=3xtan300=>/3,

=-ADOD=-x

・•・阴影部分的面积为：SiS…=更三

13.【详解】（1）解：E/与GO相切，理由如下:

如图，连接

VAC=I3C,

：・ZA=/CBE,

•：OE=OB,

・•・40EB=4CBE,

JZA=NOEB,

：.AC//OE,

,/EF1AC,

：.EFLOE,

又・；OE是。的半径,

・••切与C)o相切；

(2)解：①如图，连接以),

D

:RC为O的直径，

/.NO=90。，

•:点c为DE的中点，

:・CE=CD'

/.NCBE=/CBD,

由(1)得，ZA=NCBE,

设Z4=NCBE=a,则NC3O=&,

在..84。中，ZA+ZABD+ZD=180°,

•••2a+a+90°-180°,

解得a=30。，

AZA=30°；

②如图,连接CE,

•；BC为O的直径，

・•・NBEC=/BDC=90°,

•，点。为DE的中点，

[CE=CD，

：・CE=CD=6,

■:EFLAC,

:.ZAFE=ZCFE=90°,

由①得，ZA=ACBE=Z.CBD=30°,

ABC=2CD=\2,ZA£F=90。-30。=60。，

工BE=』BC'-CE?=6耳，ZCEF=9()°-6()°=30°,

・'•SCE8=；CEBE=；X6X6X/5=I8X/5，CF=；CE=3.

・'・EF=>JCE2-CF2=373，

s=-CFEF=-x3x3y/3=­

CFF222f

,:OC=-BC=6

2t

•,*SCOE=~S.CEB=9>/5,

*/ZCOE=2ZCBE=60°,

60乃x62..

**S成形off---------=6万，

360

••・阴影部分的面积=5CEF+SCOE~S的形oc£

=迥+96-6兀

2

276八

2

14.【详解」(1)证明：如图，连接O。，

A3。是。的内接三角形，AC是直径，

.\Z4BC=90°,

在VA8C中，ABAC+ABCA=180°-ZABC=90°,

。是3c的中点,

:.CD=；BC,OO是CO的半径，

根据圆周角和圆心角定理得ND0C=ABAC,

•・・DE〃BC交AC的延长线于E,

:.ZE=ZBCA,

:.ADOC+NE=NBAC+/BCA=90°,

在“中,Z.ODE=180°-(ZDOC+ZE)=90°.

:.ODIDE,

乂;。。是。的半径，

.DE是。的切线：

(2)解：如图，连接。尸，

「点尸是：。上一点，以尸为圆心，4尸长为半径画圆弧，使点C在该圆弧上,

:.AF=CF,

•・•,A8C是。的内接三角形，AC是直径，4c=2,

：.OA=OC=OF,=-AC=1,ZAFC=90°,

2

.•工A”是等腰直角三角形，

..OFA.AC,

••“乂尸。是等腰直角三角形，

由勾股定理得AF=JQY+O产=7l2+l2