二次根式的加法与减法（八大题型）原卷版-2024人教版八年级数学下册

专题03二次根式的加法与减法

（九大题型）

•题型梳理

【题型1同类二次根式】..........................................................1

【题型2二次根式的加减运算】...................................................2

【题型3二次根式的混合运算】...................................................3

【题型4分母有理化】...........................................................5

【题型5已知字母的值，化简求值】..............................................5

【题型6已知条件式，化简求值】................................................6

【题型7比较二次根式的大小】...................................................6

【题型8二次根式的应用】.....................................................7

【题型9复合二次根式的化简】.................................................9

端专题训练

【题型1同类二次根式】

1.下列各组二次根式是同类二次根式的是（

A.%EB

D.%W

2.下列二次根式中与2是同类二次根式的是（

3.下列各式与优可以合并的是（）

V12V24V5oV7S

A.B.C.D.

\fjn—A/8A/2ZTI—1

4,若最简二次根式V」与V。可以合并，则、''的值是()

A瓜V2「°ce

A.BD.C.D.

A/3fl~~45/20Q

5.已知最简二次根式V与另一个二次根式合并后的结果为，则的值

为.

【题型2二次根式的加减运算】

L计算：3V2+73-(5^/2-273)

2.计算：

反一唔+回通+2b-(旧

(1),(2)•

V50+V45-VI8+4V2V12+s^4+V36+V48

(3)(4)

3.计算下列各式：

⑴2V3-3V12+5V27⑵聪+瓜一(屈-%

4.计算下列各式：

V48+2V3-V75萍+J-6*

(1)；(2)VV;

闻—2艮+原

小2我-5夜-3吞

(3)⑷

5.计算:

一703+2同一信一石)

⑴V3-4V3+V27

⑵

|2企-3|+64屋博+3)

IoJ

6.计算:

2

⑴阿而-呵()\/8+|—V,3|+(v3—l)

【题型3二次根式的混合运算】

L计算IT2Tx阳罂

7184-76-V12+V24XJI

2.计算:

3.计算:

⑴（屈()(V24-x/3)(V3—V2)—(V6)-

4.计算:

()(3&+VS)?一(V5+vTI)(VII-V5)

(2)

>/27-后+屈+居

5.计算:

>/12x+企

⑴小(2)

(V5-砌百+V3)-(V2-1)2

6.计算:

通—4：+>/2⑵(々+司2-(b+V3)(V7-V3)

⑴、2

7.已知六岛我，求「+y的值

8.已知”二杵/=布.

⑴计算，+y=_________

⑵求好一49+好的值.

【题型4分母有理化】

/_=」x（、'T）=—=N/5-X/4

1.阅读下列解题过程：""遍（肉"）（再M）（问一（网,

_J_=」x（NM）_=—=瓜_妈

（M中田5由一同，请回答下列问题:

⑴观察上面的解答过程，请写出

⑵利用上面的解法，请化简：

1]111T卜1I1

1+V2V2+V3V3+V4……廊+回V99+V100

(百+V3)(V5-V3)=(V5)2-(V3)2=2

2.先阅读，再解答.由可以看出，两个含有二次

根式的代数式相乘，积不含有二次根式，称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次

根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如：

1

、％(=V3-V2

(V3+W—V2)请完成下列问题:

3

V2—13-/6

(1)的有理化因式是；化简

募+募+岛T+…+焉

⑵计算:

…V2023-V2022,V2024-V2023,…皿…

⑶比较v与v的/z大小，并说明理由.

【题型5已知字母的值，化简求值】

2V2

2,已知："一千则一2"+8。+2024的值为

a=V7+V6b=na2025b2026

3.设VV,V,则的值是

V2-16+1

x=-^—，y=—求M江的值.

4.已知

【题型6已知条件式，化简求值】

1.已知a=3+&J=3-&,求代数式炉一岫十"的值.

2.已知。=旧+4,b=E-4求下列代数式的值.

a2—b2

(1)；

a2+b2+ab

(2)

3.已矢产73+2,求代数式-4%+3的值.

4,已知无二百+&,卜二、5-近，求下列各式的值：

x2+y2

⑵

【题型7比较二次根式的大小】

V72&><=

1.比较大小：（填""""或"

—2V5—J15

2.比较大小：（填〃>〃“<〃或"=〃）

821

3.比较大小看

4.课堂上，数学老师出了一道题：比较与3的大小.小明的解法如下：

VI^-2_2_6-2-2_VI^-4

解：33-3-3.

19>16V19>4.>/19-4>0

因为，所以，所以，

/19-^、cVI9-2、2

■—?■->u--->-

所以3，所以33.

我们把这种比较大小的方法称为作差法.请你仿照上述方法，比较下列各组数的大小:

⑴1-6和1-色

・6-■IV7・，.3

（2）5和5.

5.先观察解题过程，再解决问题.

।izl-&XV2-1

比较与的大小.

(6-⑨(vG+鱼)=1(V2-1)(V2+1)=1

nrr：13,

6一&=盛收一1=磊

dV3+V2>V2+1

V3-V2<V2-1

0

试用以上方法，比较"V5-VV3与">/3-VV2的大小.

【题型8二次根式的应用】

1.交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆行驶的速度，所用的经验公式是

17=16可，其中-表示车速（单位：km/h）,d表示刹车后车轮滑过的距离（单位：

m）,/表示动摩擦因数.若在某次交通事故调查中，测得，'，则肇事汽

车行驶的速度约为（）

16km/h32km/h48km/h口96km/h

A.B.（

2.如图，从一个大正方形中裁去面积分别为15cm2和24cm2的两个小正方形，剩余部分的

面积是（）

H15cm

.

6V10cm29V10cm2、12x/10cm:20\/10cm:

A.B.（.*•D.

3.如图，将一个半径为3a的圆环铁丝展开，重新围成一个矩形.若矩形的长为通力，则

矩形的宽是（）

O-

V8ny/2n、2V3n3V2n

A.B.（・•L/•

4.我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长

5

分别为a，b,c,则其中三角形的面积.此公式与古希腊几何

_a+b+c

学家海伦提出的公式如出一辙，如果设2,那么其三角形的面积

S=4（p—a）（p—b）（p—c）这个公式便是海伦公式，也被称为“海伦一秦九韶公

Q=5b=6c=7,

式”.若，，，则此三角形面积为（：）

6V69V66V39H

A.B.C.D.

5.如图，李明家有-块矩形空地"吗已知”=现要在空地中挖

•个矩形水池（即图中阴影部分），其余部分种植草莓.其中矩形水池的长为（E+l）m

宽为（g-）m

AD

C

ABCD

⑴求矩形空地的周长.（结果化为最简二次根式）

（2）己知李明家种植的草将售价为7元”电，且每平方米产草辖15kg.若李明家

将所收获的草莓全部销售完，销售收入为多少元？

【题型9复合二次根式的化简】

T.阅读材料:

小李同学在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如

3+2V2=（1+

.善于思考的小李同学进行了以下探索：

设a+W2=（m+nV2）2（其中小〃、小〃均为整数），则有

a+b42=m2+2n2+27nnV2a=m2+2n2b=2mn

.0m,

这样小李同学就找到了一种把类似a+从〃的式子化为平方式的方法.

请你仿照小李同学的方法探索并解决下列问题:

2

a+b^3=(TH+九⑸”

⑴当a、b、加、〃均为正整数时，若，用含〃1、〃的式子分

Q—b=

别表示a>b,得：

2

Q+4\5=(m+九百);

(2)若且〃、〃?、〃均为正整数，求。的值.

V25+4V6

⑶化简:

2.观察下面的运算，完成计算：

V5-2V6=V3-2V6+2=J(V3)2-2x73x^2+(0尸=J(V5-V2)2

=|6一a|=73-夜

(2)卜+4八+26

3.数学教育家波利亚曾说："对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有

价值的东西，这是数学解题的一个重要原则

材料一：平方运算和开方运算是互逆运算.如a2±2ab+b2=(a±b)2,那么

J-2±2aJ+属=|a±b|Js+2x/6

一，如何将双重二次根式一化简.我们可以把

5+2V6(^3)-±2V6+(