高考数学备考考点 等比数列及其前n项和 知识点冲关 （附解析）

专题--一等比数列及其前〃项和

（1）理解等比数列的概念.

（2）掌握等比数列的通项公式与前〃项和公式.

（3）能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题.

（4）了解等比数列与指数函数的关系.

窗知识整令

一、等比数列

1.等比数列的概念

如果一个数列从第2项起，每一项.与它的前一项的比等于同一个常数以4工°），那么这个数列叫做等比

数列，这个常数叫做等比数列的公比.

注意：（1）等比数列的每一项都不可能为0；

（2）公比是每一项与其前一项的比，前后次序不能颠倒，旦公比是一个与〃无关的常数.

2.等比中项

如果在〃与〃中间插入一个数G，使。，G"成等比数列，那么G叫做。与〃的等比中项，此时G?=而.

3.等比数列的通项公式及其变形

首项为力,公比为4的等比数列的通项公式是4=aqi（4,4工0）.

m

等比数列通项公式的变形：勺=amcr.

4.等比数列与指数函数的关系

等比数列｛q｝的通项公式%=还可以改写为4=］•，，当"1且。尸。时，yT是指数函

数，是指数型函数，因此数列｛〃”｝的图象是函数y=§•"的图象上一些孤立的点.

a.>04<0

①当1或，［。<内时’｛吗是递增数歹小

匕〉1

67]>04<°r、

②当《或，g〉］时，｛"J是递减数列;

0<^<1

③当“=1时，｛4｝为常数列3”。0)：

④当9<0时，｛4｝为摆动数列，所有的奇数项(偶数项)同号，奇数项与偶数项异号.

二、等比数列的前〃项和公式

叫国=1

首项为q,公比为4的等比数列｛叫的前〃项和的公式为s“=4(1—4〃)_q一％夕

-i\-q=-i\-q~/I

(1)当公比g=l时,因为qwO,所以S“=叫是关于〃的正比例函数,则数列$5,S3,L,S“,L的

图象是正比例函数y=a.x图象上的一群孤立的点.

(2)当公比qwl时，等比数列的前〃项和公式是5"=’"一')，即S“二一/-p"+'L,设

\-q\-q\-q

/〃二」!一,则上式可写成S〃=-〃?/+，〃的形式，则数列，，%S3，L,S〃,L的图象是函数

"q

y=-mqx4-m图象上的一群孤立的点.

由此可见，非常数列的等比数列的前〃项和S”是一个关于〃的指数型函数与一个常数的和，且指数型函

数的系数与常数项互为相反数.

三、等比数列及其前〃项和的性质

若数列｛2｝是公比为4的等比数列，前〃项和为S“，则有如下性质：

(1)若〃2+〃=〃+q,则4%=4必；若加+〃=2厂，则=Y(〃2,〃，PU/WN*).

推广：①。陷〃=a2an_｛=L《4+1=L;②若加+〃+J=〃+g+r，则4,44=apaqar.

(2)若利用〃成等差数列，则4”,〃“,％,成等比数列.

(3)数列｛阳J(/lwO)仍是公比为夕的等比数列；

数列｛一｝是公比为一的等比数列；

anq

数列｛Iql｝是公比为©I的等比数列；

若数列也｝是公比为的等比数列，则数列｛。也｝是公比为的'的等比数歹I」.

（4）6,4+〃,M*2〃,，4+3,”L成等比数列，公比为

（5）连续相邻上项的和（或积）构成公比为「（或”二）的等比数列.

（6）当4=1时，7^=-；当4H±1时，V=

S”，ms>fl"qm

mn

（7）Sn+In=Sm+qSn=Sn+qSm.

（8）若项数为2〃，则券=q,若项数为2〃+l,则与乌=心

3奇3偶

（9）当4工-1时，连续〃2项的和（如Sm，S2nl-S-Ssm-SznpL）仍组成等比数歹U（公比为/，〃此2）.注

意：这里连续，〃项的和均非零.

点考向.

考向一等比数列的判定与证明

等比数列的判定与证明常用的方法：

（1）定义法：野L=q（q为常数且夕工0）0数列｛〃”｝是等比数列.

（2）等比中项法：。,\=%・凡.25£E,对¥0）=数列｛凡｝是等比数列.

（3）通项公式法：凡=国”（国w0,〃eN・）O数列｛%｝是等比数列.

（4）前〃项和公式法：若数列的前〃项和S〃=—+A（Ax（）MW0,qwl）,则该数列是等比数列.

其中前两种方法是证明等比数列的常用方法，而后两种方法一般用于选择题、填空题中.

注意：

（D若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续一罚不成等比数列即可.

（2）只满足的数列未必是等比数列，要使其成为等比数列还需要。尸0.

典例引领

S______________r

典例1设｛q｝为等比数列，给出四个数列：①｛24｝,②忖｝③｛2%｝,④｛logzlql｝.其中一定为等

比数列的是

A.①③B.(2X4)

C.②③D.®@

【答案】D

【解析】设

①2a”=2a©z,所以数列｛2。/是等比数列；

②吃二%2六-2=《2（12严,所以数列｛确是等比数列；

③24二2""\击=条＞=2的"~尸不是一个常数，所以数列｛2,｝不是等比数列；

④噫“1=噫必闻二!不是一个常数，所以数列｛log21《|｝不是等比数列.

log21atl_｝|log21a｝q1

故选D.

【名师点睛】本题主要考查等比数列的判定，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.求解

时，设〃“二aq"T,再利用等比数列的定义和性质逐一分析判断每一个选项得解.

典例2已知数列｛《J满足S”

（1）证明：｛%+1｝是等比数列；

（2）求,十％十%+…+a2”+i（〃wN*）.

02"+3_o_s

【答案】（1）证明见解析；（2）-~7〃一。

3

【解析】（1）由S[=2。]一1得：a｝=\,

因为S"一5〃_]=（2。“一〃）一[2c*——1）]（〃22）,

所以4=2。“_]+1,

从而由q+l=2（《i+l）得上三=2（〃之2）,

所以｛q+1｝是以2为首项，2为公比的等比数列.

(2)由(1)得%=2"-1,

2（1-4,,+,）

2Z,1

所以q+6-----=(2+2,4------------F2'j—(«+1)_(〃+1)

1-4

_22n+3-3/?-5

3

【名师点睛】本题考查了数列中递推公式的应用，通过构造数列证明等比数列，分项求和等知识点.形如

%“=%《,+〃（：工1），件构造数列时.可在等式两边同时加上-^一构成等比数列一

A—1

（1）利用递推公式可以得到S,I的表达式，两个式子相减即可得到%与4-的表达式；构造数列｛M+1｝,

即可证明｛4+1｝为等比数列.

（2）利用｛%+1｝为等比数列，可求得｛%｝的通项公式；将｛）分为等比数列和等差数列两个部分分别求

和，再相加即可得出奇数项的和.

变式拓展

1.已知数列｛q｝满足4=1,4+|=4。“+3〃-1,2二〃〃+〃.

（1）证明：数列｛"｝为等比数列：

（2）求数列｛4｝的前几项和.

考向二等比数列的基本运算

等比数列基本量的计算是解等比数列题型时的基础方法，在高考中常有所体现，多以选择题或填空题的形

式呈现，有时也会出现在解答题的第（1）问中，属基础题.

（1）等比数列的基本运算方法：

①等比数列由首项q与公比4确定，所有关于等比数列的计算和证明，都可围绕q与9进行.

②对于等比数列问题，一般给出两个条件，就可以通过解方程（组）求出q与“，对于几S“五个基木

量，如果再给出第三个条件就可以“知三求二”.

（2）基本量计算过程中涉及的数学思想方法：

①方程思想.等比数列的通项公式和前〃项和公式联系着五个基本鼠，“知三求二”是一类最基本的运算，通

过列方程（组）求出关键量q和心问题可迎刃而解.

\navq=\

②分类讨论思想.等比数列的前〃项和公式为S〃=]q(l-q")_q-凡夕，所以当公比未知或是代数

1-------二--------,gw1

f1-qi-q

式时，要对公比分9=1和9=1进行讨论.此处是常考易错点，一定要引起重视.

③整体思想.应用等比数列前〃项和公式时，常把q",并一当成整体求解.

'-q

典例引领

S________r

典例3已知｛可｝是等比数列，且〃2+牝=3,%+《o=12,则〃8+牝等于

A.12&B.24

C.24忘D.48

【答案】B

【解析】由题意知4+4。=生豕+444=7="=4,则/=2,

%+44+43

所以火+“2=+《()=夕2(4+4o)=2x12=24,故选B.

典例4各项都是正数的等比数列｛《J中，〃2，!%，4成等差数列，则义善的值为

2。4十"5

A.四B.星

22

C.上好D.回或!一-

222

【答案】B

【解析】设｛q｝的公比为小4>0,4W1),根据题意可知%=的+4,得92-q一1=0,解得q二今]

(负值舍去)，而生旦=4=或二1,故选B.

4+火q2

【名师点睛】该题考查的是数列的有关问题，涉及的知识点有：三个数成等差数列的条件，等比数列的性

质等，注意题中的隐含条件.

变式拓展

2.数列忆｝中，4=2,。向=2（,S"为｛%｝的前〃项和，若S〃=62,则〃=.

考向三求解等比数列的通项及前〃项和

1.求等比数列的通项公式，一般先求出首项与公比，再利用〃”二q/i求解.但在某些情况下，利用等比

数列通项公式的变形q二为〃"-"'可以简化解题过程.求解时通常会涉及等比数列的设项问题，常用的设项

方法为：

（1）通项法.设数列的通项公式q来求解；

（2）对称设元法：若所给等比数列的项数为2〃（〃iN*）且各项符号相同，则这个数列可设为俞，…，

aaai

—.1,aq,aq,…，aq~：

qq

若所给等比数列的项数为2〃+l（〃？N’），则这个数列可设为，y,…，Ja,aq,…,aqn].

qq

2.当“wl时，若已知则用=）求解较方便;若已知4国,。“，则用s〃=e-求

1-q1-q

解较方便.

3.（1）形如。用二〃。”+讥/―1,/%=0）的递推关系式，①利用待定系数法可化为。向一

/一=〃（％—产），当4一二”工°时，数列｛%一丁幺一｝是等比数列：②由乙+LP%+4,

q=〃凡.1+4522）,两式相减，得。“+[-。“二〃（4”-41）,当的-4/°时.，数列｛q川-4』是公比为〃

的等比数列.

（2）形如。=。%+4”（。工/0/工0）的递推关系式，除利用待定系数法直接化归为等比数列外，也可以

两边同时除以小用，进而化归为等比数列.

典例引领

典例5若等比数列｛〃”｝的前〃项和为S“，且率=5,则含等于

A.5B.16

C.17D.25

【答案】C

【解析】当公比q=l时，号=2=5,故公比不为1,

q(i-0q(W)

当公比qw1时，口=­；~=I+g?=5,，疗=4,・鸟_=

尸I、=]+q』7,故选C.

s2.(ip)4(1-。)

i-q1-4

【名师点睛】本题重点考查了等匕数列的前“项和，注意对公比4的分类讨论，这是一个易错点，同时注意

首项与公比均不为零.解决本题时，对公比。进行分类讨论，利用前〃项和公式及条件，求出/二4,从而

得到结果.

典例6己知等比数列｛4｝的各项均为正数，且生=6,%+%=72.

（1）求数列｛q｝的通项公式；

（2）若数列低｝满足：勿=可-〃（〃£川），求数列｛2｝的前〃项和S“.

2

【答案】（1）/=2X3"T（〃£N'）；（2）

2

【解析】（1）设等比数列｛斯｝的公比为q,

V632=6,〃3+。4=72,

.,•69+6才=72,即才+夕一］2=0,解得q=3或q=-4.

又・・・斯>0,

，9>0,

，q=3,q=丝=2.

q

:.a”=4夕"“二2x3””(〃GN*).

(2),・,a=2x3””—〃，

・•・*=2(1+3+32+…+3〃r)_(l+2+3+…+m=2x^^_〃a；〃)3“-七

变式拓展

3.已知等比数列｛q｝是递增数列，且q+4=弓，a2a=4.

(1)求数列｛4｝的通项公式；

(2)若2=〃q(〃£N)求数列出｝的前〃项和S”.

考向四等比数列的性质的应用

等化数列的性质是高考考查的热点之一，利用等比数列的性质求解可使题目减少运算量，题型以选择题或

填空题为主，难度不大，属中低档题，主要考查通项公式的变形、等比中项的应用及前〃项和公式的变形

应用等.

注意：(1)在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若冽+〃=〃+%

则。“S=SW，可以减少运算量，提高解题速度.

(2)在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形.此外，解题时注意设

而不求思想的运用.

典例引领

典例7在等比数列｛叫中，/，45是方程f—6x+8=0的根，则组工二

A.2y[2B.2

C.1D.-2

【答案】A

=%=2&,故""'7=8=2及,

【解析】由等比数列的性质知=8=.放选A.

2夜

典例8己知等比数列｛q｝的前〃项和为S”，若4。=20,§20=60,则§30=

【答案】140

【解析】方法1：由，o=2O,$20=6(),易得公比9工±1,

c1_,2。601_42°

根据等比数列前〃项和的性质，可得萨=丁%，即右=7%=1+解得，°=2,

S］。\~q20\-q

又率子’所以畜注=7—4。.

方法2：根据等比数列前〃项和的性质，可得S2o=S1o+"5o,即60=20+2（）d°,解得夕饰=2,

,O

所以SJO=510+^520=20+2X60=140.

方法3：根据等比数列前〃项和的性质，可知百0，S20-510,S30-S20成等比数歹U，

则（S2O-S1O）2=S1O（S3O—S2O）,即（60-20）2=20（§30—60）,解得%=140.

变式拓展

4.等比数列｛〃”｝的各项均为正数，且4%=4,则log?。1+log2%+…+bg24=

A.7B.8

C.9D.10

考向五数列的新定义问题

数列新定义问题能充分考查对信息的阅读、提取及转化能力，综合性强，难度较高，在实际问题中往往需

要对题目进行阅读，再借助定义进行转化即可进行求解.对卜此类问题，应先弄清问题的本质，然后根据

等差数列、等比数列的性质以及解决数列问题时常用的方法即可解决.

典例引领

S________r

典例9若数列｛AJ满足=则称数列｛A,J为“平方递推数列”.已知数列｛凡｝中，q=9,点

（《，4+J在函数/（x）=f+2x的图象上，其中〃为正整数•

⑴证明:数列｛凡+1｝是“平方递推数列”,且数列｛lg（a“+D｝为等比数列;

（2）设（1）中“平方递推数列”的前〃项之积为7；,求lg（：

IsT

（3）在（2）的条件下，记〃=.（；/；1）,设数列｛"｝的前〃项和为S”，求使S“〉4032成立的〃的最

小值.

【答案】(1)见解析；(2)2"-1；(3)2017.

【解析】(1)由题意得。田=。j+2%,即6向+|=(%+1)2,则｛4+1｝是“平方递推数列”.

对4句+1=3”+1)2两边取对数得1g(。向+1)=2lg(〃“+1)，

所以数列｛联勺+1)｝是以联4+1)=1为首项,2为公比的等比数列.

⑵由⑴%ng(〃e+D=lg(G+l)・2"T=20T,

则lg(=lg〔(4+D(以2+1)…+1)]=lg(q+1)+展电---卜lg(%+1)=—~~-~~-=2"-1.

1—2

1-

⑶由⑵知心哉万登"一弓尸，S“=2〃-F=2〃-2+」

2〃一

2

又S”＞4032,

所以2〃-2+与＞4032,即〃+二＞2017,

乂

所以〃min=2017，

故使S”>4032成立的〃的最小值为2017.

变式拓展

5.将正整数12分解成两个正整数的乘积有1x12,2x6,3x4三种，其中3x4是这三种分解中两数差的绝对

值最小的，我们称3x4为12的最佳分解.当pxq(pq且p、g£N*)是正整数〃的最佳分解时，我们

定义函数/(〃)=q-p,例如/(12)=4-3=1,则数列(/(3")｝的前2019项和为___.

、学点冲关上

1.在等比数列｛〃〃｝中，若。3%=64,则%的值为

A.8B.±8

C.4D.16

2.已知等比数列｛4｝的前〃项和为S〃，公比为/若％+%=5,q=2,则54等于

A.7B.13

C.15D.31

3.已知｛%｝为等比数列，4+%=2,%。6=-8,则q+4o=

A.7B.5

C.-5D.-7

4.在数列｛〃”｝中，q=3q，则知等于

A.9B.10

C.27D.81

5.等比数列｛%｝中，4=2,%=5,则数列｛1g%｝的前8项和等于

A.6B.5

C.4D.3

6.已知数列｛〃〃｝的前〃项和是5,1,数列｛4｝满足点(外，5")(%..1)在直线y=3x-2上，则前5项和为

D211

A.生B.---

3216

211「211

C.D.----

~64~32

7.在重大节口里，从古至今我国有悬挂灯笼增加节日气氛的习俗.据文献记载，古代有一座〃层的塔共挂了

127盏灯笼，相邻两层中的下一层灯笼数是上一层灯笼数的2倍，且底层的灯笼数与顶层的灯笼数之和

为65,则塔的底层共有灯

A.27盏B.81盏

C.64盏D.128盏

8.已知等比数列｛4｝的公比为外前〃项和是S",则“4>0"是'§016+52018>252017”的

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

9.“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书目出现，它比

西方的“帕斯卡三角形”早了300多年，如图是杨辉三角数阵，记。”为图中第〃行各个数之和，S〃为｛q｝

的前〃项和，则Si。

A.1024B.1023

C.512D.511

11.已知等比数列｛q｝的前几项和为s〃，且§3=74,则数列｛q｝的公比g的值为

12.已知数列｛JZ-“是等比数列，且4=9,%=36,则％=.

13.设各项都是正数的等比数列｛q｝,S”为前〃项和，且So=l(),530=70,那么5折

14.若数列｛an｝的前〃项和S〃满足S〃=2an+n.

(1)求证：数列｛%一1｝是等比数列;

(2)设包=log,(l-q),求数列，丁的前〃项和1

也%J

15.已知等比数列｛。〃｝满足=一;M="•

(1)求｛4｝的通项公式；

〃+1〃+1〃+1

⑵设〃=----1----+…+丽而,求数列%》的前〃项和.

1x22x34

3通高考必

1.（2019年高考全国IH卷文数）已知各项均为正数的等比数列｛%｝的前4项和为15,且％=3%+4%,

则％=

A.16B.8

C.4D.2

2.（2018北京卷文科）设好cd是非零实数，则％d二队”是“她媪成等比数列”的

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

3.（2018北京卷文科）“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载埴最早用数学方法计算出半音比例，为

这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第

二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于蚯.若第一个单音的频率为/，则

第八个单音的频率为

A.啦fB.行了

C.历/D.啊f

4.i2017江苏）等比数列｛为｝的各项均为实数，其前〃项和为S”，己知其=1,S6=与，则例=

5.（2019年高考全国I卷文数）记S”为等比数列｛斯｝的前〃项和.若q=1,则S4=

6.（2018新课标全国I文科）已知数列｛风｝满足q=l,〃。同=2（〃+1"“，设

n

（i）求a,4,A；

（2）判断数列｛d｝是否为等比数列,并说明理由;

（3）求｛4｝的通项公式.

7.（2018新课标全国川文科）等比数列伍/中，q=l,%=4%.

（1）求｛可｝的通项公式；

（2）记S”为｛〃“｝的前〃项和,若黑63,求m.

8.（2019年高考全国【I卷文数）已知｛6,｝是各项均为正数的等比数列，4=2,%=24+16.

（I）求｛〃“｝的通项公式；

（2）设d=log24，求数列｛〃』的前〃项和.

@二参考答案,

变式拓展

1.【答案】（1）见解析；（2）-Un-\\--tr--n.

3、722

【解析】（1）*/bn=〃”+〃,

=q川+〃+L

又・・4=44,+3〃-1，

...媪=4—+〃+1=(也+3〃-1)+〃+1=4(/+〃)=4

,•24+〃凡+〃氏+〃

乂・.・4=q+1=1+1=2,

:.数列｛2｝是首项为2,公比为4的等比数列.

(2)由(1)知，a=2x4”，

an=bn—zz=2x4"-'—〃,

2(1-4")〃(/7+1)

,,_|

,,Sn=4+%+…+。“=2(1+4+4~H---F4)—(1+2+3+…+〃)=

1-42

=-（4n-\｝--n2--n.

3V722

【名师点睛】本题主要考查等比数列的证明和数列求和，一般地，数列求和时要根据数列通项公式的特

征来选择合适的方法，侧重考查数学运算的核心素养.

（1）利用等比数列的定义可以证明；

（2）由（1）可求力的通项公式，结合"=〃“+〃可得%,结合通项公式特点选择分组求和法进行求

和.

2.【答案】5

【解析】因为〃向二24，所以黄=2,

又因为q=2,所以数列｛q｝是以2为首项，2为公比的等比数列，

2x12

所以由等比数列的求和公式得S=（-）=62,解得〃=5.

"1-2

【名师点睛】本题考查等比数列的定义以及等比数列的求和公式，属于简单题.求解本题时，由已知条件

中4=2,。e=2。〃，结合等比数列的定义可知数列｛〃“｝是以2为首项，2为公比的等比数列，代入等

比数列的求和公式即可求解.

3.【答案】（1）%=2"2：⑵"=；+（〃-

17

【解析】（1）由｛〃“｝是递增等比数列，a｝+«5=—,a2aA=a｝a5=4,

1714二8

4+仆=—

671.=—

联立《।,2,解得，2或,1»

《6=4%二8年5

•・•数列｛2｝是递增数列,

=1_

・•・只有〈4-5符合题意,

%二8

则。4=2=16,结合夕＞0可得4=2,

a\

・•・数列｛〃”｝的通项公式为勺=2"2.

(2)由得"=62"-2,

•・•SQ[-12；

那么S”=lx2“+2x20+3x2i+・・・+〃・2"-2,①

则2s〃=1X2°+2x2+3x2?-1)2"2+n.2"'②

②-①得：

S“=—(2―+20+2+2?+2"2)+〃.2,a-'=--2K+n-2n-,=-+(/?-1)-2"”.

22

【名师点睛】本题考查r等比数列的性质，考查r等比数列的通项公式，考查了利用错位相减法求数列

的前〃项和.

(1)先利用等比数列的性质，可分别求出的值，从而可求出数列｛为｝的通项公式；

(2)利用错位相减求和法可求出数列｛"｝的前〃项和SH.

4.【答案】B

【解析】根据题意，等比数列〔4｝的各项均为正数，且4为=4,

则有46=。必==4%=4,

所以log,%+log2a2+...+log,%=log2647a8)=晦4,=8.

故选B.

【名师点睛】本题考查等比数列的性质以及对数的运算，属于基础题.

5.【答案】31010T

【解析】由题意可知，当〃为偶数时，/(3〃)=0,当〃为奇数时，/(3”)=2x3学，

则/(3)+/(32)+/⑶)+…+/(320,9)=/⑶+/⑶)+/3)+…+/(32019)

1_ol010

=2x30+2x3,+...+2x3KKW=2x(30+3,+...+3KKW)=2x-iY-^-=3,0,0-l.

故答案为3⑼°一1.

【名师点睛】本题主要考查了数列的求和问题，其中解答中根据题意，得到数列的计算规律，合理利用

等比数列的求和公式计算是解答的关键，着重考查了推理能与计算能力，属于中档试题.

专题冲关

1.【答案】B

【解析】等比数列｛q｝中，<=64,火=±8,故选B.

【名师点睛】本题考查等比数列的通项公式和性质，此题也可用通项公式求解.熟记等比数列的性质：若

，n+〃=p+q,则册qnapq.

2.【答案】C

【解析】由题得4(1+/)=5,即4=1,则S4=l+2+4+8=15.

故选C.

【名师点睛】本题主要考查等比数列通项基本量的计算，考查等比数列的前〃项和的计算，意在考查学

生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.

3.【答案】D

【解析】:为等比数列，%〃6=-8,.”仍二一8,乂%+%=2,・・・〃4，〃7是方程f一2工一8二0

a.=-2[a.=A.ia.•>

的两个实根，・•・《,，或〈-，解得[二一2或一一，・,.％+qo=T+%4=-7.

%=4=-2?2q

故选D.

【名师点睛】等比数列的基本量运算问题的常见类型及解题策略：

①化基本量求通项.求等比数列的两个基本元素％和V,通项便川一求出，或利用知三求二，用方程求解.

②化基本量求特定项.利用通项公式或者等比数列的性质求解.

③化基本量求公比.利用等比数列的定义和性质，建立方程组求解.

④化基本量求和.直接将基本量代入前〃项和公式求解或利用等比数列的性质求解.

4.【答案】C

【解析】由题意，在数列也｝中，4=1,。e=3氏，即4=1,乎=3,

可得数列｛〃,,｝是首项4=1,公比9=3的等比数列.

所以％=。/3=1x3,=27,故选C.

【名师点睛】本题主要考查了等比数列的定义，以及等比数列的通项公式的应用，其中解答中熟记等比

数列的定义和等比数列的通项公式，准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.

5.【答案】C

［解析］由等比数列的性质知“a2a3…出=（4%）4=10“，所以尼力+怆七+…+炒/

=吆（4生…仆）=电1°4=4.故选C.

6.【答案】B

【解析】数列｛凡｝满足点（可，5）（“..1）在直线），=31一2上，则5“=3%一2,

当〃=1时，S,=3«,-2,得4=1,

a3

当〃..2时，S〃-S“T=3a,「2-34T十2,即％=34-3%7,得%,=3%—即n"=

u

n-\乙

?211

则数列｛6,｝是首项q=l，公比9的等比数列，则前5项和为------,

2］_916

2

故选B.

【名师点睛】本题考查利用和项与通项关系求通项以及等比数列定义与与前〃项和公式，考查基本分析

求解能力，属中档题.求解时，先根据条件得七=3凡-2,再利用和项与通项关系得24=3%t，最后根

据等比数列定义与与前〃项和公式得结果.

7.【答案】C

【解析】设从上到下每层的灯笼数构成公比为2的等比数列/〃｝,

q+〃“=65,

由已知得,

+a2+•••+〃”=127,

q(l+2”1=65,

所以解得『7,q=1,

=127,

1-2

所以的=26=64,故选C.

【名师点睛】本题主要考杳等比数列的性质，属于基础题型.求解时，先设从上到下每层的灯笼数构成公

比为2的等比数列｛q｝.由题意和等比数列的性质.列方程组,求解即可.

8.【答案】D

【解析】由52016+52018>2520]7得。238>〃2。17，・・・卬夕如7>。冈刘6,・・・4夕2。"9一])>0,解得

4>0应>1或4<0,q<1.“§2016+$2018>2s2tH7”等价4>0,夕>1或4<0,4<1故p>0”

是“5刈6+邑018>252017”的既不充分也不必要条件•故选D.

【名师点睛】先求出“52016+52018>25刈7”的等价条件，再根据题意作出判断.等比数列的单调性除了

和公比9有关外，还与数列的首项q有关.当4>0,q〉l或4<0,0<g<l时，数列为递增数列；当

q>0,0<q<l或q<0,9〉1时，数列为递减数列.

9.【答案】B

M234

【解析】由鹿可得：=1=2,=2=2-',a3=4=2-*,a4=8=2-1,%=16=2'T,依次

类推可得：q,=2"T(〃£N"),所以｛为｝为首项为1,公比为2的等比数列，

故S1°=^^^=210—1=1023.

101-2

故选B.

【名师点睛】本题主要考查杨辉三角的规律特点，等比数列的定义以及前〃项和的求和公式，考查学

生归纳总结和计算能力，属于基础题.求解时，依次算出前几行的数值，然后归纳总结得出第〃行各个

数之和。〃的通项公式，最后利用数列求和的公式，求出5Kl.

10.【答案】C

【解析】设等比数列｛q｝的公比4>0国工1,,・•$6-253=5,..4,7)24(q叫小,

q-\q-\

亚」£=5,，"lnd>则…=，（八］）一4（…「底一）,八里

夕一1q-\q-\q-\-1

=53_1）+，_丁+1（＞5乂2/（43-1）.彳1+1（）=2（）,当且仅当/=2,即4=正时取等号,

••.S「E的最小值为20，故选C.

【名师点睛】本题考查了等比数列的前八项和公式，利用基本不等式求最值，属「难题.利用基本不等式

求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正，即首先要判断参数是否为止;

二定，即其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等，即最后一定要验证等号能

否成立（主要注意两点，一是相等时参数是否在定义域内，二是多次用N或工时等号能否同时成立）.

解本题时，利用等比数列的前〃项和公式求出Sg-Ss，由数列的单调性可得夕＞1,根据基本不等式的

性质求解即可.

11.【答案】2或-3

【解析】因为等比数列｛4｝满足S3=7q,所以4+%+%=74=＞q+4夕+。4=74,即

1+4+/=7=夕=2或-3.

【名师点睛】本题主要考杳了等比数列的前〃项和S”以及通项公式.能够熟练地应用等比数列的前〃项

和S”以及通项公式是解决本题的关键.本题属于基础题.

12.【答案】（〃+2"『

【解析】将4=9代入数列｛向一〃｝的通项公式，可以得到数列｛向一”的首项为2,将。2=36代

入数列｛JZ-〃｝的通项公式可以得数列｛疯-〃｝的第2项为4,所以数列｛疯-〃｝的公比

夕=g=2,所以疯一〃二2x2"T=2",所以疯=2"+〃，所以数列｛4｝的通项公式为

.“=（2"+/），所以a"=（2"+〃）.

【名师点睛】本题考查/等比数列的定义、通项公式的求法，灵活运用公式进行变形求解，属于中档

题.解本题时，根据数列｛向一〃｝是等比数列，将q=9、fl2=36分别代入，可以得到数列｛阮一〃｝

的公比4=2,从而求得通项公式?.

13.【答案】150

【解析】根据数列｛4｝是等比数列，S”为前〃项和，且S『10翔可得数列SmS20-&0,S3O-S2O,

S40-530成等比数列，

因此有($20■Sio)2=So(Sso-S20),即(5zo-10)2=10(70-S20),

故S20=-20或S2O=3(),乂凡>0,.-.S20>(),因此S2O=3O,S20-Sio=2O,S30-S2o=4O,

故S40-Sso=80,S4o=150.

故答案为：