2026年高考数学复习（全国）重难点06 导数中的不等式问题8大题型（解析版）

重难点06导数中的不等式问题

【全国通用】

1、导数中的不等式问题

从近几年的高考情况来看，导数中的不等式问题在高考中占有很重要的地位，是高考的热点和重难点

问题，高考常考查两大类型，•类是：利用导数研究不等式恒（能）成立问题；另•类是导数中的不等式证明

问题。

不等式的恒（能）成立问题经常与导数及其几何意义、函数、方程等相交汇，综合考查分析问题、解决问

题的能力，一般作为压轴题出现，试题难度较大，解题时要学会灵活求解。

导数中的不等式证明是高考的常考题型，导数中的不等式证明常与函数的性质、函数的零点与极值、

数列等相结合，虽然题目难度较大，但是解题方法多种多样，如构造函数法、放缩法等，针对不同的题目，

灵活采用不同的解题方法，可以达到事半功倍的效果，复习是要加强这方面的训练。

知识梳理

知识点1不等式恒（能）成立问题的解题策略

1.不等式恒（能）成立问题的求解方法

解决不等式恒（能）成立问题主要有两种方法：

（1）分离参数法解决恒（能）成立问题

①分离变量：根据不等式的性质将参数分离出米，得到一个一端是参数，另一端是变量衣达式的不等式,

构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题，进而解决问题.

②a2/(x)恒成立a力/(.r)niax；

。W/(X)恒成立<=>4&/(%)min;

a2/(x)能成立<=>a2/(x)min;

aW/(x)能成立—aW/(x)皿.

(2)分类讨论法解决恒(能)成立问题

分类讨论法解决恒(能)成立问题，首先要将恒成立问题转化为最值问题，此类问题关键是对参数进行分

类讨论，在参数的每一段上求函数的最值，并判断是否满足题意，若不满足题意，只需找一个值或一段内

的函数值不满足题意即可.

知识点2双变量的恒(能)成立问题的解题策略

1.双变量的恒(能)成立问题的求解方法

“双变量”的恒(能)成立问题一定要止确理解其实质，深刻挖掘内含条件，进行等价变换,常见的等价变换

有：

对于某一区间/，

⑴V、,X2€/,/«)>g(X2)/(A-)min>g(x)max.

(2)VX,e/1,SX2e/2,/(.V|)>g(X2)f(X)min>gCOmin.

(3)3x1eA,Vx2e/2,fM>g(M)fMmax>g(x)皿.

知识点3导数中的不等式证明的解题策略

1.导数中的不等式证明的解题策略

(1)一般地，要证yu)>g(x)在区间(“，加上成立，需构造辅助函数F(K)=AX)—"X),通过分析厂(工)在端点处的

函数值来证明不等式.若尸3)=(),只需证明尸(x)在3，份上单调递增即可；若尸(〃)=(),只需证明尸(x)在3,

份上单调递减即可.

(2)在证明不等式中，若无法转化为•个函数的最值问题，可考虑转化为两个函数的最值问题.

2.移项构造函数证明不等式

待证不等式的两边含有同一个变量时，一般地，可以直接构造“左减右”或“右减左”的函数，利用导教

研究其单调性等相关函数性质证明不等式.

3.分拆函数法证明不等式

(1)若直接求导后导数式比较复杂或无从下手时，可将待证式进行变形，构造两个函数,从而找到可以传递

的中间量，达到证明的目标在证明过程中，等价转化是关键，此处g(X)min//(X)nm恒成立，从而加)0。)

恒成立.

(2)等价变形的目的是求导后简单地找到极值点，一般地，1与hu要分离，常构造X”与hu-，廿与1的积、

商形式.便于求导后找到极值点.

4.放缩后构造函数证明不等式

某些不等式，直接构造函数不易求其最值，可以适当地利用熟知的函数不等式e'2x+1,1-!WlnxS

X-1等进行放缩,有利于简化后续导数式的求解或函数值正负的判断；也可以利用局部函数的有界性进行

放缩，然后再构造函数进行证明.

举一反三

【题型1利用导数研究不等式恒成立问题】

m

【例1】(2025•全国•模拟预测)若对任意[e,+8),满足瓶一段二0恒成立，则实数比的取值范围

是()

A.(―oo,e]B.(—00,e2]

C.[e2,4-co)D.[e,4-co)

【答案】B

【解题思路】先证明mW0时，对任意％w[e,+8),满足eTInx-黄NO恒成立，当m>0时，将不等式

0-热四一鬟之0变形为四限工/聂设/«)=心，t£(0,+8),利用导数判断函数/⑴的单调性，由条

件结合单调性可得mW%25%(汇之e)恒成立，设g(x)=/5武%之e),利用导数求函数g(x)的最小值，由此

可得结论.

【解答过程】若771工0,则对任意kW[e,+8),—<0,e~^>0sInx>0,

m

所以对任意％W[e,+8),不等式e-迈Ex-段NO恒成立，

若m>0,则要>0,

不等式eFnx—黄N0(x>e)可化为xlnx>变

minm,n

故dn/x>黄田,即】nx•elnx

m

由已知In%•e,nx>—•eK在[e,+8)恒成立,

令/⑴=tec,te(0,4-co),则/(Inx)>f偿),%W[e,+8)恒成立,

因为te(0,+8)时，ff(t)=ef+ref=(t+l)ef>0,

所以函数/(t)=/在(0,+8)上单调递增，乂InxZIne=1>0,黄>°，

所以InxZ要恒成立，其中m>0,xG[e,+00),

即m<x2lnx(x>e)恒成立.

令g(x)=x2lnx(x>e),g'(x)=2xlnx+x>0,

所以g(%)在[e,+8)上单调递增,Qijg(x)min=g(e)=e2,

所以0<ntWe?.

综上可得mWe2,

故选:B.

【变式1-1](2025•海南•模拟预测)已知当％W(0,+8)时,函数/(%)=。%的工一(%+l)ln%+QX工0恒成立,

求实数〃的取值范围是()

B.卜+8)

A.[-《+8)

CR+8)D.[e,+8)

【答案】B

【解题思路】由题易知Q<0时不成立,a>0时,由指对同构转化为axe。*+ax>xlnx+lnx,令g(x)=xex+

x,即g(ax)Ng(lnx),运用单调性解不等式得到QXNInx在(0,+8)上恒成立，利用参变分离，接着求函数

最值即可.

【解答过程】当QW0时，/(e)=oe-eae-(e+1)4-ae<0,所以Q40不符合题意;

当a>。由/(x)=axeax—(%+l)lnx4-ax>0,即axe。"+ax>elnxlnx+Inx,

令g(%)=xex+x(x>0),g'(x)=(x+l)ex+1>0.

所以g(x)在％e(0,+8)上单调递增,

vaxeax+ax>e,nxlnx+inx,即g(a%)>g(\nx),

ax>In%在(0,+8)上恒成立,

•••a>阴，令3)=?(》>0)，

x」maxx

"(x)=1；厂=0=x=e,

所以％W(0,e)时,>0,M>)单调递增,

%W(e,+8)时,h'(x)<0,九(%)单调递减，

即M%)max=h(e)=;»

、

a>r—inxl=1

L%Jmaxe

故选:B.

【变式1-2](2025.吉林长春•模拟预测)已知函数/(x)=xlnx+/-2%+2.

(1)求函数/(%)在％=1处的切线方程；

⑵若/(%)之依恒成立，求实数A的取值范围.

【答案](l)x-y=0

(2)(-a),1]

【解题思路】(1)求导，根据导数的几何意义求解即可；

(2)分离参数，令g(x)=lnx+x-2+：,根据导数求得最小值，结合题意即可求解.

【解答过程】(1)函数/G)的导函数为/(%)=lnx+2%-l,所以r(1)=1,

又/⑴=1，所以/(%)在欠=1处的切线方程为、=%,即X-y=0；

(2)函数/'(%)的定义域为(0,+8),

由/(x)>依恒成立，得k<号=Inx+x-2+:恒成立，

设心)=lnx+x_2+”>0,则“⑶=：+1—>=a+2尸),

当《6(0,1)时，g\x)<0,所以函数g(x)在区间(0,1)上单调递减;

当%G(1,+8)时,g\x)>0,所以函数g(%)在区间(1,+8)上单调递增,

所以g(x)min=。(1)=lnl+1-24-2=1,所以k<1,

故实数k的取值范围是(一8,1].

【变式1-3](2025・四川泸州•一模)已知函数/(%)=xex.

(1)求曲线y=/(%)在点(0,/(0))处的切线方程；

(2)若g(x)=/(x)-x-Inx,对任意xe(0,e),都有g(x)>m恒成立，求m的取值范围.

【答案】(l)y=x

⑵(-8,1]

【解题思路】(1)先求出该点的函数值与函数在该点的导数值，再利用点斜式直线方程化简求解即可.

(2)要使g(x)>m恒成立，只需m<g(x)min,令g(x)=/(x)-x-Inx,求导结合零点存在定理得g(%)的

单调区间，进而求得g(x)在(0,e)上的最小值9(%)=1即可得解.

【解答过程】(1)已知/'(>)=xe",将％=0代入函数可得/(0)=0xe°=0.

又f，(x)=1xex+xxex=(x+l)ex,

将x=0代入导数尸(%)中，得到切线的斜率k=/(0)=(0+l)e°=1.

已知点(0,0),斜率k=1,代入可得切线方程y-0=1x(%-0),g|jy=%.

(2)要使g(x)>771恒成立，只需n<gQQmin.

9W=f(x)—x—Inx=xex—x-Inx,则g'(x)=(x+l)ex—1—

令/i(x)=(x+l)ex-1-pxe(0,e),»(x)=(%+2)ex+

因为％6(0,e)时，，(x+2)ex>0,->0,所以/f(x)>0,即h(x)在(0,e)上单调递增.

乂力⑴=(1+l)e】-l-l=2e-2>0,

/iQ)=Q+l)e2-1—2=|Ve-3<|x2—3=0»

所以存在%。e(1,1),使得力(%)=0.

当％e(0,殉)时，h(x)<0,即g'(x)<0,g(%)单调递减;

当%e(&,e)时,h(x')>0,即g'(x)>0,g(x)单调递增.

由上述分析可知，g(x)在x=%处取得最小值，即0(X)min=,。(工0).

x

因为/i(&)=0,gp(x0+l)eo-i--L=o,整理得(a+1)^。=1+工=包％,

X。40XQ

两边同时除以%o+l(x+1*0),可得e*。=—,即&=-\nx,

0XOQ

将e》。=2代入g(%o)中：

XO

1

9(而)=xeY°-x_Ex。=xx----x-(-x)=1-x+x=1.

o0oxo0000

所以，要使g(x)>m对工e(0,e)恒成立,只需m<1.

【题型2利用导数研究能成立问题】

【例2】(2025•辽宁大连•三模)已知/"(》)=-Inx-ax,若存在qER,使得/(而)=1,则实数a的取

值范围是()

A.(-co,l)B.H，+8)C.(-；,0)D.(0用

【答案】B

【解题思路】通过同构，令ln&+a&=t得到e=y1,通过确定g(t)=e-T单调性，得到t=0,问题

转化成。=一3，在/£/?有解，进而可求解.

x0

【解答过程】由题意可得：

axlnx+ax

xoe°—lnx0—ax0=1,BPe°°—(lnx04-ax0)=1,

令In%+ax0=t,即存在£使得6Jt=1,

构造g(t)=ec-t,g，(t)=e(-1,

由g'H)=e'-1V0，可得t<0,由g'(t)=e，-1>0,可得£>0,

所以g(£)=e'一£在(一8,0)单调递减,在(0,+8)单调递增,

又g(0)=1,

所以In%+ax0=t=0,即存在%oGR,使得In》。+axQ=0,

参变分离得到a=-西，

*。

令/i(x)=~~>x>0,hr(x)=>0

易得当％W(0,e)时,h!(x)<0,当％W(e,+8)时,h'(x)>0,

所以/i(x)=一>0在(0,e)单调递减，在(e,+8)单调递增，

最小值为九(e)=一：,当％10十时，h(x)t4-00,

所以九(%)=-等,％>0的值域为：卜：,+8),

所以实数a的取值范围是卜：,+8),

故选:B.

【变式2-1](2025・湖北•模拟预测)已知函数/(无)=axex+ln^,(/(%)=x2-x,若存在实数%,使得/(右)<

。(的)，则实数Q的取值范围为()

A.(0刀B.(-co,0)U(0,l]C.(0,曰D.(-oo.O)u(o^]

【答案】D

【解题思路】对a分类讨论，通过同构可将问题转化为a<仁)，构造九(切=%利用导数求解最值即可.

【解答过程】当Q<0时，x<0,/(a)=a2ea<a2<a2-a=g(a),合题意.

当a>0时，x>0,/(x)<g(x)即axe*+ln^<x2-x<=>axex+x4-ln^<x2

=axex+x+In£+Inx2<x2+Inx2oex+,n(ax)+[%+ln(ax)]<x2+In/,

•••y=x+Inx为(0,+8)的增函数，1+皿8)4gp^<x2<=>a<

axeex

由题意，只需。4仔)，

9/max

记力⑺=9"(%)=£,

当%>l,/iz(x)<0,无(>在(1,+8)单调递减,0<x<i,h'M>o,M>在(0,1)单调递增,

故M%)max=九(1)=%所以。vQW5

综上，a的取值范围为(一8,0)u(0，l，

故选：D.

【变式2-2](2025•安徽•模拟预测)已知函数/(x)=(3—a)lnx-3Q%+3Q+6-3其中aER.

(I)讨论函数f(%)的单调性;

(2)若存在x>0,使/'(%)2a?成立，求实数a的取值范围.

【答案】(1)当QW0时，函数/(幻在(0,+8)上单调递增.当Q>0时，函数f(x)在(03)上单调递增，在弓,+8)

上单调递减.

⑵(-8,3]

【解题思路】(1)对函数求导，对参数分类讨论，根据导数判断函数单调性；

(2)结合(I)进而求得函数的最大值，再结合不等式求解参数取值范围.

【解答过程】(1)函数/1(%)=(3-a)ln无一3QX+3Q+6—：的定义域(0,+8),

对函数求导得广。)=与巴—3a+9=-3弋一+1=一(3X+：)，.】),

①当Q=0时，/(%)=等，因为X>0,所以3x+1>0,/>0,则广(幻>0,

函数/(%)在(0,+8)上单调递增.

②当Q>0时，令/(x)=0,即上吗丝22=o,解得％=(舍)或

当所以QX-lV0,3x+l>0,%2>0,则((%)>o,函数f(x)单调递增.

当天wg,+8),所以以一1>0,3%+1>0,*2>0,贝”•，(％)<0,函数f(%)单调递减.

③当QV0时，令/(%)=0,即一(>+：1(内-1)=0,解得％=一：(舍)或％

因为4>0,所以ax-1<0,3%4-1>0,x2>0,则/'(%)>0,函数/(%)在(0,+8)上单调递增.

综上，当a40时，函数f(%)在(0,+8)上单调递增.

当a>0时，函数/(切在(0、)上单调递增，在+8)上单调递减.

(2)由(1)知,当QJ0时,函数f(x)在(0,+8)上单调递增,

所以当XT+8,/(幻T+8,则存在％>0,使/(无)之小成立

当。>0时，函数/(%)在(0、)上单调递增，在+8)上单调递减.

所以f(%)max=f(!)=(3-a)ln^-3ax^+3a+6-T

a

=(3-a)(-lna)-3+3a+6-a=(3-a)(-lna)+2a+3,

若存在>>0,使/。)之。2,即(3—a)(-lna)+2Q+3NQ?

令0(a)=(3-a)(-lna)4-2a+3-a2,a>0,

求导g，(a)=Ina—+2—2Q=Ina—^+3—2a,

A,x、13,rrL，/、l,3r-2a2+a+3(-2a+3)(a+l)

令Ma)=Ina--+3-2a,=-+—-2=————=---------,

令//(a)=0,解得a='或Q=-1(舍)，

当口€(0弓)，/iz(a)>0,函数h(a)单调说增.

当a€(|,+8),»(a)<0,函数h(a)单调递减.

所以九(。)有最大值h0=11^-9+3-2乂：=11^一2<0,

可知g，(Q)V0,g(a)在(0,+8)单调递减，且g(3)=0,当0Va<3,g(a)>0,

当a>3时，g(a)<0.

综上，实数。的取值范围(一8,3].

【变式2-3](2025・甘肃白银•模拟预测)已知函数/"(均=51X-2)那一1,且/(外在％=0处取得极值.

(1)求相的值及/(%)的单调区间；

(2)若存在XWR,使得/'(%)W2ex—a—l,求实数。的取值范匡.

【答案】(1)答案见解析；

(2)。<2e.

【解题思路】(1)对困数求导，由广(0)=0求参数，进而研究函数的单调区间；

(2)问题化为a<2(xe4-ex-xe")在xGR上能成立，利用导数求g(x)=xe4-ex-无e"的最大值，即可得范

围.

【解答过程】(1)由题设/(%)=(nix-2+m)e。且/''(0)=m—2=0,即血=2,

x

所以尸(%)=2xef当%<0时尸(%)<0,当%>0时尸(%)>0,

所以/•(%)的递减区间为(一8,0),递增区间为(0,+8),即％=0处取得极小值，满足，

综上，m=2,/(%)的递减区间为(一8,0),递增区间为(0,+8)；

(2)由题设(2%-2)e*-1W2ex-e-1,即aW2(xe+e，-xe")在％WR上能成立，

令g(x)=xe4-ex—xex,则g'(x)=e—xex,

令力(%)=g'(x),则/i'(x)=-(x4-l)ex,

当x<-l时，h!{x}>0,即九(x)=g'(x)在(一8,-1)上单调递增，

当x>一1时，"(x)<0,即h(>=g'(x)在(一1,+8)上单调递减,

由xt-8时g<x)te,g'(l)=0,

当％<1时，g'(x)>0,g(x)在(-8,1)上单调递增,

当x>l时，/(%)V0,g(x)在(L+8)上单调递减，

所以9(%)W9(1)=e,则a<2e.

【题型3导数中双变量恒(能)成立问题】

【例3】(2025・海南•一模)已知函数/(无)=1一不m工-4。-1)工2,对任意与>必>0,都满足":二：)>

lna-1,则正数。的最大值为()

A.-B.eC.-D.2e

e2c

【答案】B

【解题思路】构造函数g(x)=/(x)-(Ina-l)x,进而结合题意得函数g(x)在(0,+8)上单调递增，进而得

ex+lnex>ax+ln(ax)恒成立，只要e*>ax,求解函数的最大值即可得答案.

【解答过程】由题意可知/'(%)的定义域为(0,+8),a>0,

由条件可得/(修)-f(%2)>(Ina-l)(xi-x2),

所以f(%i)-(Ina-1)%1>/(x2)-(Ina-l)x2.

设0(x)=fM~(Ina-l)x=ex-xlnx-1(a-l)x2-(Ina-l)x,

则,q(x)在(0,+8)上单调递增.

求导得g'(x)=ex-Inx—(a-l)r—Ina=(ex+x)—[ax+ln(ax)],

则g'(%)>。在(0,+8)上恒成立,所以e*+x>ax+In(ax),即铲+lnex>ax+ln(ax)恒成立,

易知y=x+Inx在(0,+8)上单调递增，故只需即亍工a在x>0时恒成立即可.

设t(x)='/>(),则1(%)=哼色，可知£(%)在(0,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增，

则t(%)>t(l)=e,所以a<e,即a的最大值为e.

故选:B.

【变式3-1](2025•河北保定•三模)已知定义在R上的奇函数/(%),当％V0时,/(X)=(x+1)e\若%

x2€R,都有|/(与)一/(0)1<Q，则实数Q的取值范围为()

A.信，+8)B.(l,+oo)

C.[2,4-oo)D.[e,4-oo)

【答案】C

【解题思路】通过求导判断函数/(£)在(-8,0)上的单调性和最值，求得值域，再利用奇函数的图象对称性,

求出函数在R上的值域，继而可求出参数范围.

【解答过程】由/(%)=(x+l)ex(x<0),求导得/(%)=(x+2jex,

则当%<一2时，f'M<0，当一2V%V0时,尸(%)>0,

故函数/(%)在(-8,-2)上单调递减，在(-2,0)上单调递增，

所以/■(无)工/(一2)=—己，当％TO-时，f(X)T1,即当％<0时，/(x)G[-^,1)，

由奇函数的性质可知%>0时，故x€R时有/■(无)€

如图所示，vxnx2eR,都有[7:，所以一2<fM~八小)<2,

V-l<-J{x2)<1,

故由IfOl)-f(%2)l<2恒成立可得Q>2.

【变式3-2](2025•山东泰安•模拟预测)已知函数/■(%)=；/-以+(a—l)lnx,a>1.

⑴讨论函数/(幻的极值点情况；

(2)设a=2,若对任意%1，孙e(0,+8),与#x2,有八必—>匕恒成立，求实数b的取值范围.

X1~X2

【答案】(1)答案见解析

⑵(一8刈

【解题思路】(1)根据函数极值点和函数导数之间的关系，分类讨论函数导数的情况，分别判断每种情况

下的单调性和极值点取值情况.

(2)根据题目构造函数，可知构造函数单调递增，由此得函数导数大于零恒成立，列出不等式，求出参数

范围.

【解答过程】(1)函数/(%)的定义域为(0,+8),/，(幻=%一。+?=三生二二色吟”必，

令/'(X)—0，则X—1或X=Q—1,

因为Q>1,所以。一1>0,当Q-1=1,即a=2时，/(%)=史卢N0,

所以/(幻在(0,+8)单调递增，无吸值点，

当即。>2时，在(0,1)和(a-L+8)上/(%)>0,/'(x)单调递增；在(l,a-1)上/(Y)V0,/(%)

单调递减，

所以％=1是极大值点，％=。-1是极小值点，

当a-1VI,即aV2时,在(0,a-1)和(1,+8)上((%)>0,f(%)单调递增;在(Q-1,1)上fG)V0,f(x)

单调递减，

所以X=Q-1是极大值点，X=1是极小值点，

综上，当a=2时，无极值点，

当a>2时，x=1是极大值点，x=a-1是极小值点，

当a<2时，x=a-1是极大值点，x=1是极小值点，

(2)当“=2时，/'(x)=^x2-2x+hix,

不妨设/>x>0,则>匕恒成立，等价于f(右)一>f(&)—b%2恒成立，

2Xl-X2bXl

令g(%)=f(x)-bx=1x2—(2+b)x+Inx,xE(0,+co),则g(x)在(0,+8)上单调递增，

所以g'(x)=x-(2+b)+：N0在(0,+8)上恒成立，即bWx+：-2在(0,+8)上恒成立，

由均值不等式x+2之2「3=2(当且仅当x=l时取等号)，

r-Mr

所以工+：—2Z0,则匕工0,故实数匕的取值范围是(一8,0].

【变式3-3](2025•湖南•三模)已知函数f(%)=M21n%+a),aER.

(1)若函数/(%)在(e2,+8)上单调递增，求实数0的取值范围；

(2)若％=e为函数/■(%)的极值点，求。的值：

⑶设函数g(x)=4x2-4bx,当a=-2时，若对于任意与E(0,+8),总存在小e[-2,4],使得g(%2)W/(%])，

求实数〃的取值范围.

【答案】(1)[-6,+8)

(2)a=-4

⑶(一8,一问U[V2,4-00)

【解题思路】(1)求导得函数的单调递增区间，由此即可列出不等式求解；

(2)求导得函数单调性，进一步得极值点，由此即可列方程求解；

(3)首先求得/(x)min=-2,从而问题可以转换为存在必€使得g(%2)工一2，故只需g(%2)min工

-2,x2e[-2,4],对b分类讨论即可求解.

【解答过程】(1)八%)=%(21nx+a)的定义域为(0,+8),f'(x)=21nx+a+x•|=21nx+a+2,

-a-2z-o—2\

令((幻>0,得故函数f(x)在(ek,+8)上单调递增，

-fl-2

因为函数fCO在Q2,+8)上单调递增，所以e2上eF-,解得a二一6,

故实数。的取值范围是[-6,+8).

-a-2-G—2-a-2

(2)令/(£)=0,得％=e丁；令/(%)V0,得0<%<ek；令/(%)>0,得％>ek,

/一a一2、/一Q-2\

故函数/'(X)在(0,ek)上单调递减，在(ek,+8)上单调递增，

一Q-2-U-2

故函数/(外在>=ek处取得极小值，也是唯一的极值点，所以ek=e,解得a=-4.

(3)由(1)知：当％=e〒时，函数/'(x)有最小值/■(ef)=eF-(21nef+a)=_2eF_,

若。=-2，则/'(x)min=-2,

又因为对任意%1E(0,+8)总存在孙6[-2,4],使得g(%2)</(修)，

则当工£[-2,4]时，g(x)的最小值不大于一2,

函数g(x)=4x2-4bx=(2%-bj2-乂的图象开口向上，对称轴为3=

当^工一2,即6工一4时，则g(x)在[-2,4]上单调递增，

故gG)的最小值为g(-2)=4X(-2)2-4g2)<-2,

解得故b3—4；

4

当即bZ28时，则g(幻在[-2,4]上单调递减，

故g(x)的最小值为g(4)=4x4?-4bx43一2,解得b2?，>8；

O

b

2<<4

2-即—4<bV8时，则g(x)在(一2,号上单调递减，在4)上单调递增,

2

故g(x)的最小值为gC)=4x《)-4bx1<-2,解得bW-夜或bN

故一4<b<一或或或<b<8,

综上所述，实数6的取值范围是(-%-阀u[鱼,+8).

【题型4导数中双函数恒(能)成立问题】

x

【例4】(2025•甘肃武威・模拟预测)已知函数f(%)=mx-e~tg(x)=舞，若Vx>0,f(x)>g(x),则m的

取值范围为()

A.[*£)B，g+8)C.(l,e]D.(—co,e]

【答案】B

【解题思路】先将函数不等式化成2mx-(x+21nx)>0,指对同构令£=x+2\nx,再构造函数hQ)=盘,

利用导数分析单调性和最值可得.

【解答过程】由/(x)之g(x),得mx-e-“之饕，即m/e%-%—21n%N0,即me"2inx一(％+21nx)20,

因为x>0,令£=x+21nx,teR,则met-tZO,所以mZ

令力(£)=/贝昉，⑴=亨=号，

所以当££(-8,1)时，hf(t)>0,所亡)单调递增;

当tw(l,+8)时，》(t)vo,九⑴单调递减，

所以/l(t)max=九⑴=5则m>:.

故选:B.

【变式4-1](2025•山东泰安•二模)已知函数/(己=xe-x,g(x)=lnx-x+b(beR)若f(x)Ng(x)在％>0

时恒成立，则力的取值范围为()

A.(-co,e-14-1)B.(-co,e-14-1]C.(-oo,e-1)D.(-oo,e-1]

【答案】B

【解题思路】构造函数M%)=xeT-lnx+x,h(x)>0,求"(%),确定极值点,结合单调性分析最小值，

得U出取值范围.

【解答过程】/(x)>g(x)在%>0时恒成立，f(x)-g(x)N0,

/(x)=xe~x,g(x)=Inx-xVb(bUA),

:.xe~x>Inx—x+b,Ab<xe~x—Inx+x,

设/i(x)=xe~x—Inx+x,h'(x)=e-x(l-%)-；+=0时，x=1,

当x<l时，》0)<0,h(%)单调递减;

当x>l时，hz(x)>0,/i(x)单调递增；1是的极小值点，

•••h(x)的最小值是+1,/(x)>g(x),x>0时恒成立，

•••0<e-1+1,b的取值范围为(一8工-1+1].

故选：B.

【变式4-2](2025•河北衡水•模拟预测)已知函数/(x)=ex,gM=ax+1.

⑴讨论函数Mx)=f(x)-g(x)的单调性；

(2)若Vx6R,Q2/(X)>g(%)恒成立，求实数a的取值范围.

【答案】(1)答案见解析

⑵[L+8)

,x

【解题思路】(1)h(x)=e-a,讨论Zi'a)符号确定单调性;

(2)设7九(％)=a2ex—ax—1,由(7几(%)，陋—。求解.

【解答过程】(1)函数九(x)=fO)-g(x)=e"-QX-1,定义域为R，/iz(x)=ex-a,

当aW0时，F(x)>0,函数八(均在R上单调递增；

当a>0时，由/i'(x)>0,解得l>Ina,函数九(%)在。na,+8)上单调递增;

由九'(%)V0,解得「VIna,函数九(x)在(一8,Ina)上单调递减.

综上，当QW0时，/!(%)在R上单调递增：

当a>0时，h(x)在(-8/na)上单调递减，在(Ina,+8)上单调递增.

(2)显然QH0,设m(x)=a2/(x)-g(x)=a2ex-ax-1,

则W(x)=a2ex—a=a2—£|.

当a>OHJ,由m'(x)>0得%>-Ina,则m(x)在(Tna,+8)上单调递增；

由W(x)<0得X<—Ina,则m(x)在(一8,—Ina)上单调递减.

在x=-Ina处取得最小值m(-lna)=a+a\na-1=Q(1+Ina-5)，

设K(a)=14-Ina-则n'(a)=j+1>0,故n(a)在(0,+8)上单调递增,

Vn(l)=0,当0<a<1时>71(a)<0,即m(-lna)<0,

当a二1时，n(a)>0,即m(Ina)>0(*)»

，欲使m(-lna)=a(1+Ina->0,须使a>1.

当一1Va<0时，m(0)=a2—1<0,(*)式不成立；

当a=—1时，m(—1)=，—2Vo,(*)式不成立；

当aV-l时，m(in*)=-aln2V0,(*)式不成立；

综上所述，实数a的取值范围是口,+8).

【变式4-3](2025•江西新余•模拟预测)设函数〃%)="(e*--a),aER.

(1)若QZ/求/(%)的单调区间；

(2)若g(x)=-](/+4x)-e,当x6[0,+8)时，不等式/(幻>g(x)恒成立，求a的取值范围.

【答案】(1)答案见解析

⑵[-2e,十8)

【解题思路】(1)求出导函数，按照Q=工和a>工分类讨论，当a>工时，解不得等式即可求得单调区间；

eee

(2)将题意转化为不等式xe”+ax+e>0在％e[0,+8)上恒成立，当％=。时，不等式显然成立；当x>0时,

参变分离得—QWc*+：在%€((),+8)上恒成立，令/1(%)=a+*%>0,多次求导判断单调性，进而求出

九6)的最小值，即可得解.

【解答过程】(1)依题意得尸(x)=e*-a+x(e*-a)=(x+l)(e"-a).

①当Q=：时，((%)20在/?上恒成立，所以/(x)在R上单调递增；

②当时，令/(%)V0,得-IV%Vina,令/(X)>0,得工V-1或%>lna,

所以f(%)在(一l』na)上单调递减，在(一8,-1)和(Ina,+8)上单调递增.

所以当a=:时，f(%)在R上单调递增；

当时，/(%)在(-l』na)上单调递减，在(一8,—1)和(]na,+8)上单调递增.

(2)当为£[0,+8)时，不等式％(e*--a)N-](/+4%)-e恒成立，

即不等式xe"+ax4-e>0在％G[0,+8)上恒成立，

当父=0时，不等式e20、显然成立，此时a£R；

当%>0时，xex4-ax+e>0即-a<ex+=在％G(0,+8)上恒成立,

令力(%)=e*+?,%>O则》(%)=铲一、,

令n(x)=hz(x)=e*—爰,则W(%)=ex+^|>0,

所以"(x)=眇-或在％6(0,+8)上单调递增，注意到"⑴=e'=0,

所以当日G(0,1)时,h'M<0,此时人(幻单调递减,

当式€(1,+8)时，T(x)>0,此时出幻单调递增，

所以Zi(x)在x=1时取到最小值为h(l)=e+；=2e,

所以一aW2e,所以Q之一2e,

综上，a的取值范围为［—2e,+8).

【题型5利用导数证明不等式】

【例5】(2026.河北邢台.一模)已知函数/•(丫)=号也在丫=一1处取得极小值一2e.

(1)求a,b的值；

(2)证明：x>—1时，fM<x-1.

【答案】(l)a=l,b=—3

(2)证明见解析.

【解题思路】(1)先进行求导，根据极值的定义，求解Q,b的值：将a,b的值进行检验得出结果；

(2)将不等式进行转化，构造函数，利用导数研究函数的性质，总结得出结论即可;

【解答过程】(1)由题知尸(外二竺詈乂，则((一1)=二皆型=0,乂因为〃-1)二誓=—2e,所以Q=

l,b=-3.

检验：若a=l,b=-3,则=一，『3=(3-?!+?

当xv-i时，((幻vo,/(幻单调递减，当一1〈Iv3时,尸(外>oja)单调递增,

%=-1为的极小值点，符合题意.

所以：a=l,b=—3.

(2)由(1)知f(x)=三三，

证f(x)<x-l(x>-1),即证<X-l(x>-1),

即证无2—3<(x—l)ex(x>—1),即证(x—l)ex—x24-3>0(r>-1).

设g(*)=(x—l)ex-x2卜3,x>—1»则g'(%)=x(ex—2)»

令，(%)=0,得无=。或%=ln2,

当一1VxV0时,g'(x)>0,g(x)单调递增；

当0cx<ln2时，g，(x)<0,g(x)单调递减：

当x>ln2时，g'a)>0,gG)单调递增.

12

又g(-l)=(-1-l)e--(-1)+3=2->0,g(ln2)=1+(2-In2)ln2>0,所以g(x)>0.

所以当%>—1时，/(X)<x-l.

【变式5-1](2026•广西•模拟预测)已知函数一3。%+。2.

()讨论fG)的单调性;

(2)当。>一1时，证明：/(a)>-3.

【答案】(1)答案见解析

⑵证明见解析•

【解题思路】(1)对参数范围进行讨论，再利用导数求解单调性即可.

(2)利用导数求出单调区间，进而得到最值证明不等式即可.

【解答过程】(1)因为/(%)二/一3QX+Q2,所以:(%)=3/—3Q,

当aW0时，可得r(x)NO,此时f(x)在R上单调递增，

当a>0时,令尸(%)>0,xe(-so,-Va)u(Va,+co),

令式(x)VOxe(-4a,Va),

则/(X)在(一8,-VH),(6,+8)上单调递增，在(一份,6)上单调递减，

综上可得，当aWO时，f(x)在R上单调递增,

当a>0时，/(外在(-8,-疝),(亚+8)上单调递增，在(-疝VH)上单调递减，

(2)由题意得/(a)=cP-2。2,

令g(a)=Q?-2a2,则g<a)=3a2—4a,

令C’(a)>。,aw(-1,0)u(q,+8),令g'(a)<0,aG(0,,

则0(Q)在(一1,0),©,+8)上单调递增，在(0,》上单调递减，

则g(a)的极小值为g(：)=-||>-3,而g(-l)=-3,

可得g(a)>g(-1)=-3,即/1(a)>-3得证.

【变式5-2](2025•广东•模拟预测)已知函数/'(%)=x2-2x3lnx.

(1)求曲线y=f(x)在点(ej(e))处的切线方程；

⑵证明：/«<1:

⑶证明：V?<1+；e.

【答案】(l)y=(2e-8e2)x-e2+6e3

(2)证明见解析

(3)证明见解析

【解题思路】(1)由题意求出/(e)的值，求导可得广(%)解析式，根据导数的几何意义，可得切线的斜率，

代入点斜式方程，化简整理，即可得答案.

(2)令/(%)=0,求得极值点，分别讨论》€(0,1)和％6(1,+8)时，尸(外的正负，可得/•(%)的单调性和极

值，分析计算，即可得证.

(3)由(2)得f(x)Wf(l)=l,对任意％E(0,+8)恒成立，贝业=/(1)>/(起)，化简整理，即可得证.

【解答过程】(1)由题意得/(e)=e2-2e3,

22

又/'(%)=2%—2/—6x\nxt则尸(e)=2e—8e,

故曲线y=/(%)在点(e,/(e))处的切线方程为y-(e2-2e3)=(2e-8e2)(x-e),

整理得y=(2e-8e2)x-e2+6e3.

(2)由(I)得尸(%)=2.(1—%-32n%),xG(0,4-oo),

令/'(%)=0,解得％=1,

当xw(0,1)时，l-x>0,-3xlr.x>0,故尸(乃>0,故f(x)单调递增;

当x£(l,+8)时，l-x<0,-3xlnx<0,故/'(%)<0,f(%)单调递减.

故/(%)£/⑴=1.

(3)由(2)得/•(%)式/(1)=1,对任意4W(0,+8)恒成立，

所以1=/(I)>/(Ve)=V?—2elnVe=V?—1e»

故<1+1e.

【变式5-3](2026•河北衡水•模拟预测)已知/(x)=tanx,g(x)=%+：,/i(x)=ax3+x(aG/?).

(1)讨论函数h(x)的单调性；

(2)求证：当为W(0,9时，fMg(x)>1；

(3)若2h(幻<sin2x在xG(04)时恒成立，求实数Q的取值范围.

【答案】(1)答案见解析

(2)证明见解析;

2

(3)a<-;J

【解题思路】(1)通过导数，结合分类讨论，即可判断单调性；

(2)通过不等式变形，构造函数求导，结合单调性证明即可；

(3)通过不等式变形，构造函数求导，结合单调性，求出端点值，即可求解.

【解答过程】(1)因为/I(X)=QX3+X,所以〃(x)=3Q/+1,

当a>。时，h,'(x)=3ax2+1>0,则九(%)在R上单调递增；

当a<0时，由//(%)=3ax24-1>0可解得：匚的<%<—=22,

3a3a

由《(%)=362+1<。可解得：工<的或%>-黑.

则力(外在区间(零,一留)上单调递增，在区间(一8,等)，(-等,+00)上单调递减.

综上，当a20时，力(外在R上单调递增；

当a〈0时，则九(%)在区间(留,-誓)上单调递增，在区间(一8,黑)，(一号,+8)上单调递减.

(2)当x6(0弓)时，要证明f(x)g(x)>1，即证明/(%)g(x)=(x+tanx>1,

因为％>0,所以原不等式可变为x(x+5)tanx>x,HPx2tanx4-tanx-x>0.

令r(x)=x2tanx+tanx-%,则只需证/(x)>0在工6(0,恒成立即可.

F'(x)=2xtanx++—\——1=2xtanx+—^―+tan2x.

coszxcos^xcoszx

因为x€(0,3，所以tanx>0,x2>0,高石>。，所以F'(%)>0,

所以尸(x)在(0,上单调递增，所以F(x)>F(0)=02tan0+tanO—0=0,即/(%)g(%)>1.

因此，当％e(0,9时，/(x)g(x)>1.

(3)分离参数：2ax3<sin2x-2x,因为％>0,所以Q〈竺?

构造函数G(x)=*声，%£(0,胃只需求Q<G(X)恒成立即可.

\4/

(2cos2x-2)2%3一(sin2x-2x)6/2x(cos2x—1)—3(sin2x—2x)

G'CO=(2x3)2

令H(x)=2x(cos2x—1)—3(sin2x-2x)=2xcos2x—3sin2x+4x

Hf(x)=2cos2x-4xsin2x-6cos2x4-4=4(1-cos2x)-4xsin2x=8sinx(sinx-xcosx