2026年七年级数学下册 三元一次方程组的解法第1课时 三元一次方程组的解法（核心素养教案及反思）

no.4三元一次方程组的解法

第1课时三元一次方程组的解法

教学设计

教学目标

第1课时三元一次方程组的

课题授课人

解法

1.了解三元一次方程组的概念.

2.会运用“代入法”或“加减法”对三元一次方程组逐步消元，进而求

素养目标

解.

3.能根据三元一次方程组的具体形式选择适当的解法.

教学重点三元一次方程组的解法及“消元”思想.

教学难点根据方程组的特点，选择合适的未知数和方法消元.

教学活动

教学步骤师生活动

【情境导入】

（教材尸107问题）请大家看下面这一问题：在一次足

【教学建

球联赛中，一支球队共参加了22场比赛，积47分，且

活动一：创议】

胜的场数比负的场数的4倍多2.按照足球联赛的积分规

设情境，新教师引

则，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得。分，那

课导入导学生思考

么这支球队胜、平、负各多少场？

【设计意两种解法应

我们可以通过设元解一元一次方程或二元一次方

图】如何设元和

程组，得到上面问题的答案为胜14场，平5场，负3

列举实际列方程（组），

场.

问题，为引不必写出解

观察上述问题，我们发现：这道题中一共有三个未

入三元一次方程（组）的

知量和三个相等关系.参考二元一次方程组，我们能否

方程（组）做过程.

把这三个未知量都设出来，然后通过方程求出它们的值

准备.

呢？

今天我们将学习如何通过列三元一次方程组来解

决此类问题.

探究点三元一次方程组的有关概念及解法【教学建

问题1对于“活动一''中的问题，请结合已知条件议】

写出相等关系：学生分

①胜的场数+平的场数+负的场数=22；组讨论合作

②胜场积分+平场积分+负场积分=47；完成问题，

③胜的场数=负的场数X4+2.得出三元一

问题2设这个球队胜、平、负的场数分别为x,乃次方程（组）

Z.根据题意，可以得到哪三个方程？的概念，类

x+y+z=22,①3x+），=47,②x=4z+2.③比二元一次

活动问题3大家知道，方程②③是二元一次方程，观方程组的解

问题引察方程①，结合二元一次方程的定义，方程①有什么特法，将三元

入，自主探点？一次方程组

突方程①中含有三个未知数，并且含未知数的项的次消元后求

【设计意数都是L解，体会方

图】概念引入：程组解法的

结合解二一个方程中含有三个未知数，且含有未知数的式子多样性.当

元一次方程都是整式，含有未知数的项的次数都是1,像这样的方三元一次方

组的“消元”■三元一次方程.程组中有二

方法，探索这个问题的解必须同时满足上面三个条件，因此，元一次方程

二7€-灯尸+『+2=22,①时，可将二

卜/+丁=47,②

程组的解

我们把这三个方程合在一起，写成1=4之+2.③元一次方程

法.变形后代入

概念引入：（或直接代

一个方程组含有三个未知数，且含有未知数的式子人）另两个

都是整式，含有未知数的项的次数都是1,一共有三个方程，运用

方程，像这样的方程组叫作三元一次方程组.代入法消

问题4这个方程组能用代入法解吗？如果能，请元；也可对

写出解题过程.（请学生上台板演）另外两个方

解：把③分别代入①②，得到关于y,z的二元一次方程运用加减

0+57=20,法消去二元

程组1+12N=4L

一次方程中

不含的未知

解这个方程组，得卜=3.数.

把z=3代入③，得x=14.

*=14,

<y=5・

因此，这个三元一次方程组的解为12=3.

问题5你还能用其他方法解这个三元一次方程组

吗？

解：可以用加减法解这个三元一次方程组.因为方程

③中不含未知数y,故考虑通过方程①②消去y.

②一①，得2x—z=25.④

厂=4之+2,

③与④组成方程组脑7一之=25•解这个方程组，得

//=14.

把x=14,z=3代入①，得y=5.

JT=14.

<y=5・

因此，原方程组的解为1=3.（方法不唯一）

归纳总结：解三元一次方程组的基本思路与解二元一

次方程组的基本思路一样.

三元一^欠消元「二元一次消元「一元一次

方程组“代入方程组"代入”方程

或•加成”或“加减”

例（教材P108例1）解三元一次方程组

{3x+4z=7,2x+3y+z=9,5x—9y+7z=8.①②③

问题1观察方程组中的各个方程的未知数，你有什

么发现？

方程①中，不含未知数），；方程②和方程③中，三个

未知数均含有.

问题2根据上面的发现，你认为选择哪种方法解方

程组较简便，请写出解答过程.

用加减法较简便.

解：②x3+③，得l£+10z=35.④

r3.riIe=7.

①与④组成方程组h*r°°=35.解这个方程组，得

仔=5,

〜.r=—12・

把x=5,z=-2代入②，得2x5+3y—2=9,y=:.

1=3u9

1

2=1".

因此，这个三元一次方程组的解为l==-2.

问题3你还有其他解法吗？试一试，并与上面的解

法进行比较.

7—4z

解：由①，得x—a

把④分别代入②③，得到关于），，z的二元一次方程组

7—k

2X^^+3y+z=9・°R_]2

3/9y—5z—13,

整理.得，

.7—4之一[z—27y=-11.

oX9y-7N=8.

o

1

解这个方程组.得'―丁•

之=—2

把z=-2代人①.得1,=5.

，=5.

因此•这个三元一次方程组的解为卜=；.

•r=-?

很明显•使用加减法比使用代入法更简便.

【对应训练】

1.下列是三元一次方程组的是（D）

2x=5,

仔一2y+工=9,

A.xf+jr=7,B.

&-3+£=6

|x+y-r=7>pr+y=2g

Qyxyz=D.*y+E=1,

tr—3y=4R+JC=9

Zr—y+3r=3,

」3x+y-2«・一1,

2.解方程组b+，+*=5・

(1)若先消去X,得到关于y,Z的方程组是

(一3》+之=一7.

(21+5w=16'

(2)若先消去y,得到关于x,z的方程组是

(51+之=2・

(3彳+4»=8'

(3)若先消去z,得到关于x,y的方程组是

/+4»=12,

1

Q"=9—(答案均不唯一)

3.教材P109练习.

【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并

请学生回答以下问题：

活动三：随1.什么是二兀一次方程组？解二元一次方程组的基本

堂训练,课思想是什么？方法有哪些？

堂总结2.解三元一次方程组时有哪些需要注意的问题？如何

消元可以使过程更简便？

【知识结构】

♦有三个未加敦.O.

一有欠如款的式I.a2

子族“嘉盛—XI、蹂产g二元

会有大即数的项蜗金I聚瞪力一方珏逆匹

的次舞3潞出j及

一共有三个方崔|

【作业布置】

教材P1U习题10.4第1,2题.

第1课时三元一次方程组的解法

板书设计1.三元一次方程（组）的概念.

2.三元一次方程组的解法.

本节课通过类比二元一次方程组的学习过程探究

三元一次方程组，让学生感受把新知转化为已知，把不

会的问题转化为学过的问题，把难度大的问题转化为难

教学反思

度较小的问题这一化归思想.感受数学知识之间的密切

联系，增强学生的数学应用意识，初步培养学生建立数

学模型解决问题的良好思维习惯.

备课素材

解题大招

解题大招解三元一次方程组

1.对三元一次方程蛆概念的理解要点：

①三个方程中不一定每一个方程中都含有三个未知数，只要三个方程共含有

三个未知数即可；②在实际问题中含有三个未知数，当这三个未知数同时满足三

个相等关系时，可以建立三元一次方程组求解.

2.解三元一次方程组的要点：其解题基本思想是消元，即通过“代入”或“加

减''进行消元，把"三元”化为“二元”，进而再化为“一元消元是有技巧的，通常

是缺某元就消某元.

+y+之=15,

y+2v十之=16,

如解方程组L+y+2之=17・通过观察发现每个方程未知项的系数和相

等，每一个未知数的系数之和也相等，即系数和相等.具备这种特征的方程组,

我们给它定义为“轮换方程组”，可先求和得到x+y+z=12,再分别作差得出X

=3,），=4,z=5.该方法能较简洁地求出此类方程组的解.

之=1：2：7,

再如解方程组12彳—、+3P=21.通过观察发现此方程组的特点是未知项

间存在着比例关系，根据以往的经验，学生看见比例式就会想把比例式化成关系

式求解，即由x：y=1：2得y=2x;由x：z=1：7得z=7x.

例解下列方程组：

(X_z小pz+y-4«=13d>

——————.f

(1)(234(2)仲一y+3x=-2©

4x+2«y+x-36.②yc+y-2z=5.③

13133

解：(1)由①，得工=呼，y=1z.把犬=呼，y=1z代入②，得2z+,z+z=36,z=

8.所以x=4,y=6.

p=4t