2024北师大版八年级数学下册《不等式及其性质》每课时教学设计汇编（含两个教学设计）

2.1不等式及其性质第1课时教学设计

^^教学分析

教学内容以解析

1.教学内容

本课选自北师大版本八年级下册数学教材第二章《不等式与不等式组》第1课时“2.1不等式及其

性质”。主要内容紧扣日常情境（如行李尺寸限制、树围增长等）引出不等式的意义与表示方法，并在

数轴上演示不等式解集的表示。

2•内容解析

本节围绕“不等式”这一概念展开，先通过现实实例“不得超过”“超过”等词语引出不等式符号的含

义，再归纳出不等式的定义及常见形式。随后，针对不等式解和解集的区别进行探究，强调了不等式

的解往往是一个范围，并用数轴法形象地呈现解集。教学重点在于识别生活情境中的不等关系并用不

等式表达；难点在于理解并熟练表示不等式解集，形成将具体情境转化为数学表达的建模能力。

教学目标与解析

1.教学目标

•掌握不等式的定义，能准确识别等不等号;

•会用不等式表示实际情境中的不等关系；

・理解不等式的解与解集的区别与联系，能借助数轴直观表示不等式的解集。

2.目标解析

♦通过典型生活场景，引导学生熟悉不等号及其含义：

•让学生在列式尝试与数轴展示中，体会不等式解集的范围性；

・强调用不等式数学化实际问题，并能进行初步分析与判断.

3.重点难点

•教学重点：不等式及解集的概念、数轴上表示法。

•教学难点：将语言信息或图形信息正确转化为不等式表达，并准确区分2”与“〉”等符号所代表的实际

含义。

学情分析

学生已具备一元一次方程的求解与表达能力，对代数式与方程思维比较熟悉。然而，不等式的范

围解集和数轴表示较方程解更为灵活，易在2”与“〉”等关系上混淆。通过情境引导和对比讲解，能较

好地帮助学生掌握不等式的建模与解集表示方法。

教学过程设计

新课导入

创设情景，引入新课

问题情境：

1.章节导读

对于跷跷板、拔河比赛、手机流量、汽车限速和打折购物方案的选择等生活场景，你也许并不陌生,

但是你是否想过它们与某种“不等关系”有关？其实，与相等关系相比，不等关系更为普遍.

本章将结合具体问题了解不等式的意义：

①探索不等式的基本性质

②研究一元一次不等式（组）的解法

③运用一元一次不等式解决一些简单的实际问题

2.情景引入

如图，用两根长度均为/cm的绳子分别围成一个正方形和一个圆

_______。______I

旦

（I）如果要使正方形的面积不大于25cm2,那么绳长/应满足怎样的关系式？

解.：正方形边长为:cm,面积为（白2cm2

44

“不大于"即'M',故关系式为：4）125

4

（2）如果要使圆的面积不小于lOOcm?,那么绳长/应满足怎样的关系式？

解：圆半径为｝cm,面积为兀（J）cm2

“不小于”即“2"，故关系式为：^>100

（3）当/=8时，正方形和圆的面积哪个大？/=12呢？改变/的值再试一试，由此你能得到什么猜想？

解：①当/=8时：正方形面积=（：）=4cnr,圆面积斐=冬5.09cnr,圆的面积更大

44万JT

②当/=12时：正方形面积=（根）=9cm2,圆面积=*=*11.46cm2,圆的面积仍更大

【设计意图】通过“绳子围图形”的生活情境，引导学生感受“不等关系''的广泛存在，激发学习兴趣，

同时为后续不等式的概念与应用铺垫背景，让学生初步体会到“相等”和“不等”在日常中的区另J,从而

顺势引出不等式的研究。

新知探究

探究点1：根据题意列出不等式

1.议一议：

（1）铁路部门对旅客随身携带的行李有如下规定：每件行李外部尺寸的长、宽、高之和不得超过160

cm。设行李外部尺寸的长、宽、高分别为acm、bcm、ccm,请你列出行李外部尺寸的长、宽、

高满足的关系式.

关键信息：铁路规定行李长、宽、高之和“不得超过"16（）cm

变量设定：设行李长、宽、高分别为“cm、bcm、ccm；

关系式：«+b+c<160

（2）通过测量一棵树的树围（树干的周长）可以估算出它的树龄。通常规定以树干离地面1.5m的地

方为测量部位。某树栽种时的树围为6cm,在一定生长期内每年增加约1cm,设经过x年后这棵树的

树围超过10cm,请你列出x满足的关系式。

关键信息：栽种M树围6cm,每年增加Icm,x年后树围为“当前树围+年增加量x年数”

变量设定：设经过x年，树围为6+xcm

“超过”的含义：大于（>）,故关系式为：6+Q10

2.知识归纳

关键符号与概念总结：

①“不大于”（G：表示等于或小于（如烂10,读作“X小于或等于10”）

②“不小于,，（》：表示等于或大于（如xzio,读作。大于或等于10”）

③“超过"（>）：表示严格大于（如X>1。，读作“X大于10”）

3.练一练

①某校组织安全知识竞赛，规定答题时间不超过90分钟，设答题时间为t分钟，用不等式表示为

解怎90

②某款运动鞋每双售价不低于18（）元，设其售价为x元，用不等式表示为。

解:xR80

③一个三角形两边长为3cm、5cm,第三边长acm满足“两边之和大于第三边、两边之差小于第三边”,

用不等式表示第三边的范围为。

解:2va<8

【设计意图】通过对具体情境中关键词（如“不超过”“超过”）的提炼，引导学生观察、比较和讨论，

从而准确写出不等式，形成从“真实情景”到“数学语言”过渡的总维模式。

探究点2：不等式的概念

1.新知探究

由上述问题分别得到如下关系式：

I2,2

71（（）>（；），a+b+c<160,6+x>10.

观察这几个关系式，它们有什么共同特点？与同伴进行交流.

解:①形式上：均为不等式（用等不等号连接）：

②结构上：均由两个代数式通过不等号连接而成；

③意义上：均表示现实问题中的不等关系（是现实场景的数学抽象）

2.知识归纳

不等式的定义：

一般地，用符号“v"（或“0”）、“>"（或2"）连接的式子叫作不等式.

如：x<500>pN200、h>1.4

Tvxv3、4WTW8、|2x-l|十3等都是不等式

你还能列举出其他不等式吗？

【设计意图】通过归纳讨论，让学生对不等式的形式结构及识别方法有清晰认识，引导学生用“比较观

念“看待不等式，逐步完成对“不等式”的概念建构。

探究点3:不等式的解

1.尝试思考

当我们得到不等式：6+x>l（）o你能找到满足这个不等式的x的一些值吗？

（1）x=3,4,5,5.5能使不等式6+x410成立吗？

解：①当x=3时,6+3=9<10,不成立;

②当x=4时,6+4=10=10,不成立；

③当x=5时,6+5=11>10,成立;

④当x=5.5时，6+5.5=11,5>10,成立。

故x=5,5.5能使不等式6+x>10成立

（2）你能找出多少个使不等式成立的x值？你是怎样找的？

解：能找出无数个使不等式成立的x值。

通过解不等式6+x>IO,移项得x>4,所有大于4的实数都是该不等式的解

如4.1,4.5,6,100等

由此可以发现，不等式的解一般是一个范围.

2.练一练

下列数值中，不是不等式2x-3>5的解的是（）

A.5B.6C.4D.7

【分析】要判断哪个数值不是解，需先解不等式求出解集，再验证选项是否在解集内

解不等式2x-3>5

移项得：2x>5+3（移项变号）

合并同类项得：2x>8

系数化为1得：x>4

解集为x>4,不是解的是x=4,选C

3.知识归纳

不等式的解：

在一个含有未知数的不等式中，能使不等式成立的未知数的值，叫作不等式的解.

一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集.

例如：（1）不等式6+Q10的解集是x>4

（2）不等式xT&2的解集是让3

（3）不等式、2>0的解集是所有非零实数

求不等式解集的过程叫作解不等式

【设计意图】让学生亲身体验到不等式的解可能有无穷多个，理解不等式解集往往是连续区间的特征,

进一步认识到不等式与方程在“解”的形式上存在区别，从计算与数轴表示两方面培养对不等式解的全

面理解。

探究点4：在数轴上表示不等式的解集

1.思考交流

你能在数轴上表示不等式6+x>10的解集吗？不等式x-修2的解集又该如何表示呢？与同伴进行交流.

解：①不等式6+x>IO的解集为x>4,表示数轴上，4右边的点

04

如图，x>4这一解集的图像为：

在表示4的点位置画空心圆圈，并在空心圈的右边画一条射线

（空心圈表示4不在解集内）

②不等式x-l<2

移项得XW2+1

即x<3

故不等式X-1W2的解集为烂3,表示数轴上，3及其左边的点

03

如图，XW3这一解集的图像为：

在表示3的点位置画实心圆圈，并在空心圈的左边画一条射线

（实心圈表示3在解集内）

2.练一练

已知不等式-2x+5<3的解集为工>1,在数轴上表示解集.

解：数轴表示如下：

01

【设计意图】通过数轴呈现，直观把握解的区间概念，让学生了解在数轴上表示不等式的解集的作用

方式。

巩固练习

1.某研学团共32名学生，酒店每间客房最多住4人，设需预订的客房数为m,满足住宿需求的不等

式为.

解:v<60

2.在△ABC中，/A的度数不小于NB度数的2倍，设NA为a。，NB为0。，则NA与NB的数量关

系用不等式表示为o

解:a>2p

3.

《中国居民膳食指南》建议成年人每日摄入膳食纤维不低于25克，设每日摄入量为g克，对应的不等式为

解：g>25

4.下列说法正确的是（）

A.x=l是不等式x+2>4的解B.不等式x-3<0的解集是x<3

C.不等式2xv8的所有解是x=3D.x>5是不等式x+l>5的解集

解：B.

5..不等式3X+1W10的解集是（）

A.x<3B.x<3

C.x>3D.x>3

解：A

6.已知x=2是不等式ax+l>3的一个解，则a的值不可能是（）

A.2B.1.5

C.1D.2.5

解：C

7.在数轴上表示解集.

（1）3x+2>8的解集为x>2,再数轴上表示该解集

解：如图，数釉表示如下：

（2）2（xT）W5x+3的解集为疙-|,在数轴上表示该解集

解：如图，数轴表示如下：

_530

8.小红带了20元零花钱去文具店买笔记本，每本笔记本的售价是3元（单价固定，无优惠）

小红想知道：她最多能买多少本这样的笔记本？

解：设小红买的笔记本数量为x本

由题可列不等式：3x520

解不等式3x<20

得送

因为x必须是正整数，所以x的最大可能值是6

故小红最多能买6本

【设计意图】分层次巩固前面所学的列不等式、解不等式、数轴表示，帮助学生进一步掌握并内化解

不等式的基础方法和思维过程。通过典型习题演练，检查学生对于转化、判断、区间表示等要领的掌

握情况，及时查漏补缺。

课堂小结

一般地，用符号“v"（或）、

定义T

（或M>M）连接的式子叫作不等式.

形式上：均为不等式（用“>”“三”等不

等号连接）

不等式的概

念及其解特点结构上：均由两个代数式通过不等号连接而

成.

意义上：均表示现实问题中的不等关系.

-I-而一I在一个含有未知数的不等式中，能使不等式成

I一~―।・立的未知数的值，叫作不等式的解.

板15设计

主板书副板书

2.1不等式及其性质第一课时例题

探究点1根据题意列出不等式

探究点2不等式的概念学生练习板演

探究点3不等式的解

探究点4在数轴上表示不等式的解集

课堂小结

作业布置

I.必做题：习题2.1第1、2、3题。

2.探究性作业：习题2.1第9题。

--------------------教学反思

2.1不等式及其性质第2课时教学设计

教学分析

教学内容以解析

1.教学内容

本节选自北师大版八年级下册，第2章“不等式与不等式组”之2.1"不等式及其性质”第二:果时，核

心知识点为不等式的基本性质。通过类比等式的性质，探究不等式在加减、乘除运算下的不等号变化

规律，为后续求解不等式及其应用奠定基础。

2.内容解析

本节主要介绍不等式的对称性和传递性，以及基本性质三条：①两边加（减）同一个数，不等号

方向不变；②两边乘（除以）同一个正数，不等号方向不变；③两边乘（除以）同一个负数，不等号

方向改变。通过实例和数轴将性质贯通，提高变形与求解能力，强调与等式异同。

教学目标与解析

1.教学目标

•理解并掌握不等式的三个基本性质，能清晰区分性质与等式性质的异同。

•灵活运用不等式的性质解决含参或稍复杂的变形问题，准确区分其与等式性质的差异。

2.目标解析

•学生需记住并理解加减、乘除运算下不等号的变化原则。

•学生需能熟练完成求解含参数不等式的变形及数轴表示。

3.重点难点

•教学重点：掌握不等式的三条基本性质，正确进行变形。

•教学难点：在乘或除以负数时，不等号方向要改变；并合理区分不等式与等式操作的差别。

学情分析

学生已熟悉一元一次方程的变形与求解方法，具备一定运算与数轴表示能力。但很多学生在乘除

负数时易忽视不等号的翻转，对此需着重讲解和习题练习，结合数轴示例以巩固理解并避免混淆.

教学过程设计

新课导入

创设情景，引入新课

问题情境：

情景引入

经过上节课的学习，你还记得什么是不等式吗？不等式的解和解集又是如何区分的呢？

（1）不等式的定义：

即用符号"V”（或M）、">"（或"N”）连接的式子

（2）不等式的解与解集：

①解：能使不等式成立的单个具体数值，是“满足条件的个体”

②解集：能使不等式成立的所有数值的全体，是“所有解的集合“，通常用“不等式表示"或"数轴表示"

下面，我们将类比等式的性质研究不等式所具有的性质.

【设计意图】通过复习回顾上节课的核心概念（不等式及其解、解集），引导学生再次聚焦到不等式

的基本概念上，为本节课“不等式性质''的探讨做好铺垫，明确学习方向。

新知探究

探究点1:不等式的性质

1.想一想

根据不等式的特点，我们不难理解以下结论.

①不等式的对称性

文字表述：如果一个数大于另一个数，那么另一个数必然小于这个数

符号语言:

如果a>b,那么b<a

②不等式的传递性

文字表述：如果第一个数小于（或大于）第二个数，且第二个数小于（或大于）第三个数，那么第一

个数小于（或大于）第三个数

符号语言:

如果a<b,b<c,那么a<c

【设计意图】通过数值举证，让学生体会不等式的对称性与传递性。此过程能帮助学生巩固对不等式

“方向”概念的理解，培养从“直观到抽象''的思维能力。

探究点2：不等式的基本性质1

1.想一想

等式两边都加（或减）同一个数（或同一个代数式），所得结果仍是等式.这一性质在不等式上是否成

立？

S>2

两边同时加或5+3>2+3变形后的a>；5

减同一个数不等式

-li<4!；

-1-2<4-2-3；<；2

5—3+5>—5+52>0

变形后的不等号不变

由此可发现：不等式的两边都加（或减）同一个代数式，不等号的方向不变

2.知识归纳

不等式的基本性质1：不等式的两边都加（或减）同一个代数式，不等号的方向不变

符号表示:

①如果a>b,那么a±c>b土c（c为任意数或代数式）

②如果a<b,那么a±c<b±c（c为任意数或代数式）

3.练一练

变形不等式使其符合“x>a”的形式.

【分析】利用不等式两边都加（或减）同一个数（或代数式），不等号的方向不变求解

解：不等式两边同时加;，得

1131

化商得：X、

4

【设计意图D通过具体的数值变换，让学生体会“加减同一个量”时不等号方向保持不变的规律，为进

一步的乘除变形奠定基础。

探究点3：不等式的基本性质2、3

1.想一想

（1）等式两边都乘（或除以）同一个不为0的数，所得结果仍是等式.这一性质在不等式上是否成立？

J-；

3;>工3x4>1x4

।;两边向时乘或变形后的.々>了

-Z<:4产二型数”2+2<4・2不等式：i

-5>r7-5x3>-7x3

变形后的不等号不变

由此可以发现：不等式两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变

（2）刚刚所乘或除的数全都是正数，现在将它们全都变成负数，以上结论还成立吗？

3；>:1两访同时3x（-4）>1x（-4）-1才之二4

；；乘或除一变形后的；；

-2<4个负数一2+（-2）<4-（-2）不等式1：>T2

j।>=>

-5/-7-5x（-3）>-7x（-3）1^<；21

变形后的不等号全都和原来的相反

由此可得：不等式两边都乘（或除以）同•个负数，不等号的方向必须改变

2.知识归纳

不等式的基本性质：

不等式的基本性质2：不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变

符号语言：如果a>b且。0,那么ac>bc,

CC

不等式的基本性质3：不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变

符号表示：如果a>b且cvO,那么acvbc,

CC

3.练一练

①求解不等式-4x>16.

解：依据性质3变形

不等式两边同时除以-4（负数）

不等号方向由“〉"变为"V”：

•4K16

—〈一

・4-4

化简得：x<-4

②求解不等式言2

解：依据性质2变形：

不等式两边同时乘3,得：

yx3<2x3

化简得：x<6

4.典例分析

例1根据不等式的基本性质解下列不等式，并将解集表示在数轴上.

（1）x-5>-1

解•：根据不等式的基本性质1

两边都加5,得

x>-l+5

即x>4

这个不等式的解集在数轴上的表不如图所小：

-oj1234567~*

（2）-2x>3

解：根据不等式的基本性质3

两边都除以-2（注意不等号方向改变）

得x<-3/2

这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示：

-5-4-3-2-10

~2

5.思考交流

等式两边都乘（或除以）同一个不为0的数，所得结果仍是等式.这一性质再不等式上是否成立？

联系：①加减运算上，两者行为一致，（不等式方向不变）

②传递性逻辑相似，但不等式传递时有方向

③在正数范围内，乘除正数的性质与等式类似（不等号方向不变）

区别：①乘或除以负数时不等号反向

②不等式没有“两边同时消去”的简单保号性

【设计意图】通过正数与负数两种情况的对比，让学生直观感受“不等号翻转”的关键所在，突破易错

点。引导学生自觉区分乘（除）正数与负数对不等式方向产生的影响。

巩固练习

1.若a>b,则下列不等式一定成立的是（)

A.a-2<b-2B.-3a>-3b

、ab

C.2a>b+25

解：D.

2.已知mvn,下列不等式正确的是（）

A.m+2>n+2B.m-3>n-3

cmn

C.-5m>-5n5

解：C.

3.若x>y,则下列变形错误的是（）

A.x+5>y+5B.x-(-3)>y-(-3)

C.-2x<—2yD*

解：D

4.若xvy,且（aT）x>（aT）y,则a的取值范围是______.

解：a<l

5.若关于x的不等式（a+2）x>l的解集是xv」；，则a的取值范围是

解：a<—2

6.设a>b,则2a-52b-5

解：>

7.已知G（o-V5）V0,若b=2-a则b的取值范围.

解:2-V