黄金分割（题型专练）-苏科版九年级数学下册【含答案】

6.2黄金分割

题型一黄金分割有关的概念辨析

题型二根据黄金分割求线段长

题型三根据黄金分割求面积

题型四黄金分割点的形成与应用

黄金分割题型一黄金三角形

题型二黄金矩形

题型三黄金五角星

拓展培优题

A基础达标题

题型一黄金分割有关的概念辨析

（2023•靖江市•期末）

1.神奇的自然界处处隐含着数学美！生物学家在向日葵圆盘中发现：向口葵籽粒成螺线状

排列，螺线的发散角是137.5°.我们知道圆盘一周为360。，360。-137.5。=222.5。，

137.5°4-222.5°«0.618.这体现了()

A.轴对称B.旋转C.平移D.黄金分割

（2025•祁江区•校级月考）

2.大自然是美的设计师，既使是一片小小的银杏叶，也蕴含着“黄金分割如图，若4

P、8三点共线，点尸为的黄金分割点（力尸＞〃P）,下列各式正确的是（）

试卷第1页，共8页

门八

AL-B-P=-A-BB-4-P=-B--PC--B-P=-A-B-T）-A-P=，BP

*"BP*ABAPABAP•BPAB

（2025•姑苏区•校级月考）

3.如图，点8是线段4C的黄金分割点（48>8C）,则下列结论中正确的是（）

■」」

ABC

A.AC2=AB2+BC2B.BC2=ACAB

「ABV5-1cBCV5-1

AC2AC2

（2024•江苏•校级期中）

4.黄金分割是公认为最能引起美感的比例，被广泛应用于艺术、建筑、设计等领域.黄金

分割点比例计算公式为正］，其中逐-1介于整数〃和»1之间，则〃的值是.

2

题型二根据黄金分割求线段长

（2025•工业园区•校级月考）

5.若线段力8=2,且点。是48的黄金分割点，则4。等于（）

A.V5-1B.3-亚C.D.后一1或3—石

2

（2025•扬州•三模）

6.大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，尸为48的黄金分

害I］点（力?>P8）,如果48的长度为10cm,那么PB的长度约为（）cm

试卷第2页，共8页

（2025•淮安•期末）

7.我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法如图.在设计人体雕像时,

为了增加视觉美感利用黄金分割法，将雕像力8分为上下两部分，其中C为/仍的黄金分割

点空”（）.618,已知长为2米，则8c的长是一米.

A

（2025•沐阳县•校级模拟）

8.如图，这是“安”字在止方形米字格中的书写形态，已知止方形48CO的边长为2cm,笔

画横钩“一”与正方形对角线交于E点，点E为线段的黄金分割点，BE>DE,则BE的

长为—cm.（结果保留根号）

AD

.

B

（2024•沐阳县校级月考）

9.某品牌汽车为了打造更加精美的外观，特将汽车后视镜。设计为整个车身黄金分割点的

位置（如图），若该车车身总长48约为5米，则车头”与后视镜。的水平距离约为—

米.（提示：黄金分割比=亚二

2

OQ\i'H

（2022•丹阳市・期中）

10.已知线段/的长度为8cm，点、A,B为线段I上两个不同的黄金分割点，则AB=.

题型三根据黄金分割求面积

试卷第3页，共8页

（2025•昆山市•月考）

11.如图，正方形力BDE中,点C是线段44的黄金分割点即===,E表示以4C为

ABAC

边的正方形的面积，$2表示矩形C8Z）尸面积，则E与$2的大小关系（）

A.无法确定B.S]<S2C.S、>S?D.£=*

（2024•鼓楼区•校级三模）

12.如图，点C是线段的黄金分割点，即空=W，若以4C为边的正方形4C0E的

题型四黄金分割点的形成与应用

（2024•玄武区•校级月考）

13.采用如下方法可以得到黄金分割点：如图，46是已知线段，经过点、B作BD人4B,使

BD二；AB,连接。力，在O/上截取。石=。8；在48截取4c=4E,点。就是线段48的

A.B.逐-1C.3-若D.石-2

2

（2024•扬州•期末）

14.在欧几里得的《几何原本》中给出一个找线段的黄金分割点的方法.如图所示以线段48

试卷第4页，共8页

为边作正方形力班?。，取4。的中点E,连接8E,延长。力至产，使得EF=BE,以"'为

边作正方形力产G〃，则点〃即是线段/出的黄金分割点.若记正方形/尸G”的面积为

矩形8。〃/的面积为S?,则£与S?的比值是（

石-1

—

题型一黄金三角形

（2023•姑苏区•校级期末）

15.我们把顶角为36。的等腰三角形称为“黄金三角形”，它的底与腰的比值为造二1.如图,

在△川?。中，ZJ=36°,AB=AC,BD平分N4BC交AC于点。,若BC=2,则CO的长

为（）

6+2

B.亚-3C.V5+2

2

（2024祁江区•校级三模）

16.如图，△力4c顶角是36。的等腰三角形（底与腰的比为造二1的三角形是黄金三角形）,

2

若AABC、△8QC、△DEC都是黄金三角形，已知力8=8,则。£=_.

试卷第5页，共8页

D

BEC

（2024•扬州・期末）

17.新定义：如果等腰三角形腰上的中线与腰的比值为黄金分割数（黄金数），那么称这个

等腰三角形为“精准三角形如图，△49C是“精准三角形"，AB=AC=2,CD1AB,垂足

为点。，那么8。的长度为

题型二黄金矩形

（2024・宜兴市•期中）

18.宽与长的比是正二1的矩形叫黄金矩形，黄金矩形给我们以协调的美感，世界各国许多

2

著名建筑为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计.已知四边形力8CQ是黄金矩

形.（ABvBC）,点、P是边AD上一点,则满足尸4_LPC的点。的个数为（）

A.3B.2C.1D.0

（2024・沐阳县•校级月考）

19.宽与长的比是避二1的矩形叫黄金矩形，黄金矩形给我们以协调的美感，世界各国许多

2

著名建筑为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计.已知四边形力灰刃是黄金矩形

pn

点p是边力D上一点,且NP8C=45。，贝1」定二（）

A.B.yC.D.1

224

（2024・沐阳县•校级模拟）

20.对许多画家、艺术家来说“黄金分割”是他们在现实的创作中必须深入领会的•种指导方

针，摄影师也不例外.摄影中有一种拍摄手法叫黄金分割构图法，其原理是：如图，将正方

形48C。的边8c取中点。，以。为圆心，线段。。为半径作圆，其与边8C的延长线交于

试卷第6页，共8页

点尸，这样就把正方形力水?。延伸为黄金矩形/屐八若CE=4,贝

（2022•祁江区•月考）

21.再读教材：

宽与长的比是垦1（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的

2

美感，世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，下面,

我们用宽为2的矩形纸片折叠黄金矩形.（提示：=2）

第一步，在矩形纸片一端，利用图①的方法折出一个正方形，然后把纸片展平.

第二步，如图②，把这个止方形折成两个相等的矩形，冉把纸片展平.

第三步，折出内侧矩形的对角线44,并把44折到图③中所示的力。处.

第四步，展平纸片，按照所得的点。折出。E,使。E_LNQ,则图④中就会出现黄金矩形.

MB

NC

图①

图④

(1)图③中［8=（保留根号）;

（2）如图③，判断四边形区4。。的形状，并说明理由;

（3）请写出图④中所有的黄金矩形，并选择其中一个说明理由.

题型三黄金五角星

（2024•高新区•一模）

22.如图，将的圆周分成五等份，依次隔一个分点相连，即成一个正五角星形.此时点

试卷第7页，共8页

MN

"是线段力D8E的黄金分割点，也是线段的黄金分割点，则-77=_____

AM

（2024・沐阳县•校级二模）

23.人们把避二1叫做黄金分割数.五角星是常见的图案，如图，在五角星中存在黄金分

2

害I］数，世=丝=丝=若BE=4,则MN=.

（2024•祁江区•一模）

24.人们把垦1这个数叫做黄金分割数，著名数学家色罗庚的优选法中的0.618法就应用

2

了黄金分割数.设4=立」，力=在里，得乃川，记s,=&iD+峋土D（〃取正整

22"\+an1+b"

1111

数）,则g+g+c+…的值为（）

5%»2024

1c2023、2024

A.-------B.C2025D.-------

2024---------------------------20242025

试卷第8页，共8页

1.D

【分析】根据黄金分割数的近似值为0.618可直接得出答案.

【详解】解：•••137.5。+222.5。，0.618,黄金分割数的近似值为0.618,

••・体现了“黄金分割”.

故选：D.

【点睛】本题考查黄金分割的应用，解题的关键是牢记黄金比的近似值为0.618.

2.B

【分析】本题考查黄金分割,把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小

部分与较大的比值，则这个比值即为黄金比，解题的关键是根据黄金分割的定义得出比例式

即可.

【详解】解：因为点P为线段4月的黄金分割点，且力/＞＞尸8,

APBP

所Griq以刘=而

显然四个选项只有B选项符合题意.

故选：B.

3.C

【分析】本题主要考查了黄金分割的定义:把线段AB分成两条线段AC^BC(AC＞BC),

且使力。是力8和8C的比例中项，叫做把线段48黄金分割，点。叫做线段力8的黄金分割

点.根据黄金分割点的定义，知4c为较长线段；则43=近二1/C，进而判断即可.

2

【详解】解：因为点〃是线段力。的黄金分割点(力4＞8C),

所以任=££=逅二1,ABJACBC,

ACAB2

故选：c

4.1

【分析】本题考查了无理数的估算，利用夹逼法可得不＜逐＜8，即得2＜逐＜3,进而

得1〈石-1＜2,据此即可求解，掌握夹逼法是解题的关键.

【详解】解：•邛＜也＜显

：.2＜旧＜3,

•••1〈行一1＜2,

答案第1页，共13页

n=\t

故答案为：1.

5.D

【分析】分/CvBC、两种情况，根据黄金比值计算即可.本题考查的是黄金分割

的概念，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样

的线段分割叫做黄金分割，他们的比值（与叫做黄金比.

【详解】解：•.・线段力8=2,且点。是48的黄金分割点，

二当力时，BC=^^~AB=&T,

2

当力C>8C时，ffC=2-（V5-l）=3-y/5,

故选D.

6.A

【分析】本题主要考查了黄金分割，根据黄金分割比例可得21。0.61848,结合

尸8ao.618H4求解,即可解题.

【详解】解：”为48的黄金分割点（4P>尸8）,

・•.4a0.618”,

PB仪0.382,48-3.82cm,

故选：A.

7.1.236

【分析】本题考查了黄金分割，根据黄金分割的定义并结合图象计算即可得解，熟练掌握黄

金分割的定义是解此题的关键.

【详解】解：由题意可得:8C=2x0.618=1.236米,

故答案为：1.236.

8.3>/2->/10##>/10-3>/2

【分析】本题主要考查黄金分割点的定义、勾股定理、正方形的性质、二次根式的混合等知

识点，灵活运用相关知识点成为解题的关键.

根据勾股定理和正方形的性质求出8。，再根据黄金分割点的定义列式，然后根据二次根式

的运算法则计算即可.

答案第2页，共13页

【详解】解：•.•43=2,

BD=12+22=2立，

•・•点E为线段BD的黄金分割点，BE>DE,

BE_4s-\即翳亨,解得:

~BD~2BE=M-五,

.•.DF=2>/2-（Vi0->/2）=3V2->/i0.

故答案为：36-M.

15-5”

~2~

【分析】本题考查了黄金分割：把线段分成两条线段4C和8c（力C>〃C）,且使HC是

彳8和8c的比例中项（即力5:4C=4C:8C）,叫做把线段48黄金分割，点。叫做线段48

的黄金分割点.根据黄金分割比=1二1,即可求解.

2

【详解】解：•••汽车后视镜。设计为整个车身黄金分割点的位置，该车车身总长约为5

米,

.•.8。=正」48=叵45=旭^（米）,

222

.•ZC=”-8C=5-亚=区也

（米）,

22

••・车头力与后视镜C的水平距离约为号米,

故答案为：“产

10.（85/5-16）cm

【分析】根据把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项,

这样的线段分割W做黄金分割,他们的比值且二1叫做黄金比,即可求解.

2

【详解】解：如图，

。d0P

/

•.•点44为线段/上两个不同的黄金分割点，PQ=8cm,

.-.^=50=^—!-x8=（W5-4）cm»

2

J5-.4P+52-P^-（4^/5-4）x2-8-（8>/5-16）cm.

答案第3页，共13页

故答案为:（8>/5-16）cm

【点睛】此题主要是考查了黄金分割点的概念，熟记黄金分割分成的两条线段和原线段之间

的关系是解题的关键.

11.D

【分析】本题考查黄金分割、矩形的面枳公式、正方形的面积公式等知识，解题的关键是理

解题意，灵活运用所学知识解决问题.利用正方形和矩形的面积公式有，=月c，，

S”BCBD=BCAB,由空=线，推出/C2=8CM8,可得结论.

ABAC

【详解】解：〈四边形为3。石是正方形,

/.AB=BD.

•••S、表示以力C为边的正方形的面积,

:.S^AC2.

•••s?表示矩形。以）产面积,

:$=BCBD=BCAB.

ACBC

ABAC

:.AC2=BCAB.

s、=s»*

故选：D.

12.100

【分析】本题考查比例线段，黄金分割，正方形和矩形的面积公式，熟练掌握相关知识是关

键.

由空=二二可得，AC'=ABBC,因此正方形4CQE的面积和矩形bGB的面积相等.

ACAR

【详解】解：.•.会=4?，

ACAB

­.AC2=ABBC,

•.•正方形力CDE的面积为100,

・♦•力。2=10（）,

.'.ABBC=\00,

•••长为48,宽为C*的矩形的面枳=100.

答案第4页，共13页

故答案为：100.

13.C

【分析】本题考查黄金分割，熟知黄金分割的定义及巧妙运用勾股定理是解题的关键.利用

勾股定理求出AD的长即可解决问题.

【详解】解：由题知，

,/AB=2,RD=iAB,

2

BD=\.

又BD1AB,

40=4+22=亚•

又•:DE=BD=T,

AE—>/5—1»

则/1。=力七=后一1,

,BC=AB-AC=2-(45-\)=3-y[5.

故选：C.

14.D

2

【分析】根据H是AB的黄金分割点求出4/2=8".,求出4=AH,S2=BHBC=BHAB,

再得出答案即可.

【详解】解：•・•〃是48的黄金分割点，

AH2=BHAB,

vS,=AH2,Si=BHBC=BHAR,

：.S\=S”即：=1,

故选：D.

【点睛】本题考查了黄金分割，能熟记黄金分割的性质是解此题的关键.

15.A

【分析】根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得/48c=/。=72。，再利用角平

分线的定义可得NO4C=36。，从而利用三角形内角和定理可得N8QC=72。，进而可得

ZC=Z5Z)C=72°,然后利用等角对等边可得BC=8。，从而可得乙班)。是“黄金三角形”,

最后进行计算即可解答.

答案第5页，共13页

【详解】解：VZ/1=36°,AB=AC,

/ABC=zC=1(180°-zJ)=72°,

BD平分N4BC,

ZDBC=-ZABC=36°,

2

NBDC=\80。-NDBC-ZC=72°,

"C=2BDC=T2。,

：.BC=BD,

.•.△BDC是“黄金三角形”,

,DCV5-1

.------=---------9

BC2

•/BC=2,

DC=y/5-\，

故选：A.

【点睛】本题考查了黄金分割，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握黄金分割，以及等腰三

角形的判定是解题的关键.

16.12-4石##-4石+12

【分析】△48。顶角是36。的等腰三角形，则两底角为72。，这样的三角形称为黄金三角形,

又ABDC、AOEC都是黄金三角形，可证8080=%。，DE=DC,利用DE=DC=AC-AD=AB-BC

求解.

【详解】解：根据题意可知，8C=避二14从

2

•••&ABC顶角是36。的等腰三角形，

••.AB=AC,"8C=4C=72。，

又"BDC也是黄金三角形，

・ZC8O=36。，BC=BD,

:.乙4BD=UBCYCBD=36°,

：.BD=4D,同理可证。E=DC,

：.DE=DC=AC-AD=AB-BC=AB-^^-AB=12-45/5.

2

故答案为：12-4逐.

答案第6页，共13页

【点睛】黄金三角形是较特殊的三角形，几个黄金三角形叠合在一起，可构造出若干个等腰

三角形，利用等腰三角形的边相等进行代换.

175-2k

2

【分析】本题考查的知识点是用勾股定理解三角形，黄金分割，解题关键是熟练掌握勾股定

理；作小班?的中线CW,根据题目中“精准三角形”的定义可得生=叵11,根据勾股定

AB2

理得到CD2=CM2-MD2=AC?-4。2可求解

【详解】解：如图，作“8C的中线CM,

AB2

AB-2»

.­•CA/=V5-1,

•••M是中点，

:.AM-MB=—AB=1,

2

令DM=x,则4。=x+l,

•••CD2=CM1-MD1=AC1-AD2,

.•.(V5-1)2-X2=22-(X+1)2,

275-3

••X=----------，

2

:•DM=2亚-3,

2

•••BD=MB-DM=.

2

故答案为：I”.

2

18.D

【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，一元二次方程的解，熟练掌握勾股定理，利用

判别式判断一元二次方程解的情况是解题的关键.设=BC=b,假设存在点人且

答案第7页，共13页

AP=x,则=利用勾股定理得到8尸=41+力尸=/+/,

PC2=PD2+CD2=(b-x)2+a2,BC2=BP2+PC2,可得到方程/一队+^=0,结合

理=囚=避二1,然后根据判别式的符号即可确定有几个解，由此得解.

BCb2

【详解】解：如图所示，四边形/8CZ)是黄金矩形，AB<BC,—=^1,

BC2

设”="，BC=b,假设存在点P,口/尸=x.则PZ)=b-x,

在Rt△力8P中，BP2=AB1+AP2=a2+x2,

在RUPDC中，PC2=PD2+CD2=(b-x)2+a2,

PB1PC,

BC2=BP1+PC2,即32=/+42+(6_»+。2,

整理得Y-bx+a2=0>

•••^=b2-4ac=b2-4a\又处二巴二昱1,即

BCb22

•••^=b2-4ac=b1-4a2=b2-4x("—"b?=(2必5)b2,

4

2石-5<0，6>0，

△=从-4/=(2指-5万<0,

方程无解，即点尸不存在.

故选：D.

19.A

【分析】本题考查黄金矩形的性质以及等腰直角三角形的性质，解题的关键是利用黄金矩形

的宽长比设未知数，并结合等腰直角三角形的边的关系求解.

通过设"=%根据黄金矩形性质表示出力。的长，再利用等腰直角三角形性质得到相关线

答案第8页，共13页

段长度，进而求出

•••四边形力8CZ）是黄金矩形（月8<8。，且宽与长的比是或二1,

2

,AB45-\

•-----=------,

BC2

22

■:ZPBC=45°,/4=90°,AB〃CD,

•・./ABP=NAPB=45°,

・••△力8尸是等腰直角三角形，则/尸=彳8=〃，

vPD=AD-AP,而/。=8c=

2

PD=AD—AP="+]a—a=--a，又DC=AB=a,

22

4s-\

•••PD~~2~aA/5-11V5-1,

--=--------=x—=--------

DCa2--12

故选：A.

20.（2+2V5）##（2>/5+2）

【分析】本题考查的知识点是正方形的性质、勾股定理、解一元二次方程的，解题关键是得

到OD=OE.

设45=24，贝lj8C=CO=48=2x,OC=?BC=x,OD=OE=x+4,然后在Rtz^OCO

2

中利用勾股定理列方程求出x=l+不进而得到48=2X=2（1+石）=2+26.

【详解】解：依题得：OD=OE,

设=2x,

则正方形力4C。中，BC=CD=AB=2x,467）=90。，

•••。是AC的中点,

答案第9页，共13页

OC=-BC=x,

2

.-.OE=OC+CE=x+4

OD=OE=x+4

.♦.在中，OC-+CD1=OD2

.-.x2+(2x『=(x+4)2

整理得，X2-2X-4=0

解得x=I+右或x=I-，5(舍去)

...48=2x=2(l+石)=2+2反

故答案为：(2+26).

21.(1)75;

(2)四边形历1D0是菱形，理由见解析

(3)图④中所有的黄金矩形是四边形8COE、四边形MNDE.

理由

【分析】本题主要考查了矩形的性质，正方形的性质，菱形的判定，勾股定理，黄金分割,

正确理解黄金矩形的定义是解题的关键。

(1)由正方形的性质得到BC=CN=MN=2,/NCB=90°,则可得到AC=4V=；CV=1,

再利用勾股定理求解即可；

(2)由折叠的性质可知，AB=AD,/BAQ=NDAQ,根据矩形的对边平行结合平行线的

性质可证明力。=/8。4,得到“8=8。，则可证明四边形历1。。是平行四边形，进而证

明四边形84。。为菱形；

(3)由矩形的性质可得/尸=4C=MN=2,NM=NN=90。，MF=FB=AN=4C=\,

再证明四边形MNZ)E是矩形，得至IJDE=MN=2,求出得到乌=巨」，

BC2

曳包=在二1,据此可得结论.

ME2

【详解】(1)解：如图③所示，

由题知四边形8CNM为正方形，且MN=2,

:.BC=CN=MN=2,Z.VC5=90°,

又;把止方形8cMM折成两个相等的矩形，，

答案第10页，共13页

,,AC=AN=-CN=\

2t

AB=y/AC2+BC2=石.

（2）解：四边形的形状是菱形，理由如下：

由折叠的性质可知，AB=AD,/BAQ=NDAQ,

•••原纸片为矩形，

BQ//AD,

NBQA=ZDAQ,

/.NBAQ=NBQ4,

:.4B=BQ,

BQ=AD,

四边形84。。是平行四边形，

又,：AB=AD,

.•.四边形历1。。为菱形；

（3）解：图④中所有的黄金矩形是四边形8COE、四边形"NOE.

理由如下：

•.•四边形/和四边形,4C8b都是矩形，

AF=BC=W=2,NM=NN=90。,MF=FB=AN=AC=T

又•:DEIND,

："NDE=9Q0,

••・四边形"NOE是矩形，

:.DE=MN=2,

,**AB=AD="\/5，

CD-AD—AC=>/5—1»

.CDV5-1

••----=--------,

BC2

••・四边形4cOE为黄金矩形，：

fMN2V5-1

'ME-2+不-1-2

四边形MADE为黄金矩形.

答案第11页，共13页

V5-1

22.

【分