二次函数的图象和性质问题七大题型（专项训练）-华东师大版九年级数学下册【含答案】

微专题01二次函数的图象和性质问题七大题型

题型一根据二次函数的定义求参数

G方让-、解题方法总结（2点）

1.紧扣定义列条件：严格依据“形如产"2+bx+c（°、6、c为常数，"0）”的定义，先确定

二次项系数。不为0,再根据题目中“二次函数'"一次函数”“常数函数”等关键词，列关于参

数的等式（如最高次项次数为2）和不等式（如存0）.

2.分步求解验结果：先解等式确定参数的可能值，再代入不等式排除不符合条件的解，最

后将有效参数值代入原函数，验证是否满足题意，避免因忽略〃并导致错解.

二、解题技巧总结（2点）

1.抓“最高次项”核心：无论题目是否给出完整函数式，优先锁定含参数的最高次项，通过

次数等于2确定参数关系，同时牢记“二次项系数不能为0”是前提，优先排除使。=0的参数

值.

2.分类讨论避遗漏：若函数式中参数同时出现在二次项和一次项/常数项，需按“二次函

试卷第1页，共14页

数”“非二次函数（一次/常数）”分类讨论，明确不同情况下参数的取值范围，确保不遗漏特

殊情况.

（24-25八年级下•江苏南通•阶段练习）

1.己知丁=（。+2）/-5x是关于x的二次函数，则〃的取值范围是（）

A.a=2B.C.a=-2D.a工-2

（24-25九年级上•河南周口•期末）

2.若关于x的函数y=2/+「x+l是二次函数，则m的值为（）

A.2B.1C.0D.3

（24-25九年级上•广东惠州•期中）

3.若函数卜=（〃1）』恒-5是关于“的二次函数，则〃?二（）

A.-1B.1C.1或-1D.2

（24-25九年级上•河南周口•阶段练习）

4.若函数y=m+2）x,-2a-6+]是二次函数，则。=()

A.-2B.4C.4或-2D.4或3

（25-26九年级上•山东德州•阶段练习）

5.已知》=（〃?+1）』'-"+2，〃是y关于X的二次函数，贝1|加=

（25-26九年级上•山东济宁•阶段练习）

6.若y=（〃?+2h"~+2]+3是关于x的二次函数，则用的值为

（2025九年级•全国•专题练习）

7.已知y=-4八小+2/-3刀-1.

（1）当”的值为时，它是y关于x的一次函数.

（2）当用的值为时，它是y关于x的二次函数.

题型二二次函数的图象和性质

方饮1.二次函数的开口方向、对称轴、顶点

函数y=ax2+bx+c(a>0)y=ax2+bx+c(a<0)

试卷第2页，共14页

图象的开口方向向上向工

直线、=-《•直线.”一二

对称轴

2a

b4ac-'b4ac-b:y

顶点坐标2屋4aJ12a'4aJ

2.二次函数的增减性

函数y=ax2+bx+c(«>0)y=ax2+bx+c(a<0)

当X<一t时，歹随X的增大而减当X<一t时，y随x的增大而增

2a2a

增减性小：当金时，V随x的增大大；当二时，少随云的增大

2a2a

而增大:而减小:

3.二次函数的最值

函数y=#+bx+c(a>0)y=ax2+bx+c(a<0)

当户-3时，V有最小值当x=-3时，y有最大值

2a2a

最值

"出二无最大值；Aac-b1十口t』

-------,无最小值.

4a4a

（25-26九年级上•黑龙江鹤岗•期中）

8.关于二次函数y=2。-3『+1,下列说法正确的是（）

A.图象的开口向下B.图象的对称轴为直线工=-3

C.图象顶点坐标为（3,-1）D.当x<3时，y随x的增大而减小

（25-26九年级上内蒙古乌兰察布•阶段练习）

9.关于二次函数y=/+4x+l,下列说法正确的是（）

A.函数图象的开口向下B.函数图象的顶点坐标是（2,5）

C.该函数的最大值是5D.当x>-2时，y随x的增大而增大

（25-26九年级上•吉林松原•阶段练习）

10.二次函数》=-丁+21+3的图像，下列说法正确的是（）

试卷第3页，共14页

A.对称轴为直线x=-1B.最大值为4

C.与），轴交点为（。,-3）D.图像过点（2,4）

（25-26九年级上•广西南宁•阶段练习）

11.已知二次函数），=2/-44+1,则下列关于该函数的结论正确的是（）

A.顶点坐标为1]B.函数的最大值为-1

C.当x«2时，y随x的增大而减小D.若2＜再＜占，则乂＜为

（25-26九年级上•北京・期中）

12.下表中列出的是一个二次函数的日变量入•与函数歹的几组对应值：

X•••-113•••

y・・・-4-64・・・

下列各选项中，正确的是（）

A.这个函数的图象开口向下B.这个区数的图象与x轴无交点

C.这个函数的最大值是-6D.当x＞l时，y的值随x值的增大而增大

（25-26九年级上•重庆•期中）

13.已知二次函数卜=。/+（〃-2）工—25为常数，且。工0）.下列五个结论：

①该函数图象经过点（7,0）;

②若。=一1,则当x＞-l时，y随x的增大而减小；

③该函数图象与x轴有两个不同的公共点；

④若。＞2,则关于x的方程ad+（a-2）x-2=0有一个根大于0且小于1；

⑤若〃＞2,则关于x的方程同+（"2）.丫-2卜2的正数根只有一个.

其中正确的个数是（）

A.2个B.3个C.4个D.5个

试卷第4页，共14页

函数y=ax2+bx+c(a>0)y=ax2+bx+c(tz<0)

当x<-?时，N随x的增大而减当xv-?时，y随x的增大而增

2a2a

±;当'>-二时，随x的增大

增减性大；当时，歹随x的增大

2a2a

而增大:而减小:

（25-26九年级上•重庆•斯中）

14.若点M（-3,乂），%（2,必），M（6，M）在二次函数歹=人一2x+3的图像上,则将必、必

的大小关系为.（用““符号连接）

（23-24九年级上•河北保定•期中）

15.若抛物线y=+2X_2,点（-1,凹），（3,必）为抛物线上两点，则必刈.［填

“V”、"/或“=”）

（24-25八年级下•重庆北暗•期中）

16.已知点力（-4,M），4-3,力），C（1，H）都在二次函数歹=—+4X-3的图象上，则弘，

歹2，月的大小关系为.（用连接）

（24-25九年级上・甘肃张掖•阶段练习）

17.己知抛物线y=-x2+2x+2,若点（0,必），。,为），（3,外）都在该抛物线上，必，必，A

的大小关系（用连接）

（24-25九年级上•甘肃武威期中）

18.已知点力（一3,乂），倒一1,%），C（0,8）在函数y=/-2x+用的图象上，则乂，为，外

的大小关系为.

（25-26九年级上刊南安阳•阶段练习）

19.已知二次函数上=加+2姑+3（。>0）,点出-3,必），巴（-1,必），1（3,%）是该函数图

象上的3个点，则必，y2,出的大小关系为.

题型四己知二次函数上对称的两点求对称轴

试卷第5页，共14页

方依二次函数的开口方向、对称轴、顶点

函数y=ax2+bx+c(a>0)y=ax2+bx+c(a<0)

图象的开口方向向上向上

对称轴直线x=直线

2a2a

'b4ac-b~y'b4ac-b2y

顶点坐标[2/4aJ[2/4a)

(24-25九年级上•广东惠州・期中)

20.抛物线y=(x+5)(x-l)的对称轴为

(24-25九年级上•浙江台州•阶段练习)

21.抛物线y=x2+bx+c过点(2,8)和(-6,8),则此抛物线的对称轴为直线

(2024九年级上•全国•专题练习)

22.在平面直角坐标系中，点力例5+〃?,〃)均在抛物线歹=/+队+。上，则6的值

为.

(2024・江苏无锡•二模)

23.已知二次函数y=(x-〃)(x+2a-1)的对称轴是直线x=-2,则。的值为.

(25-26九年级上•浙江金华•期中)

24.已知二次函数y=；,一+/>x+c过点力(〃-5,〃?)，8(八+4045,〃?)，且与直线，=1只有一

m

个交点，则票—1的值为.

(25-26九年级上•安徽•阶段练习)

25.在平面直角坐标系中，设二次函数y=(4+4(x-q-6),其中〃工0.

(1)此二次函数的对称轴为直线'=；

(2)已知点产和0(7,〃)在此函数的图象上，若加4〃，则/的取值范围是.

题型五根据二次函数的增减性求最值

试卷第6页，共14页

©^饮二次函数的最值

函数y=ax2+bx+c(a>0)y=ax2+bx+c(a<0)

当工=-上时，歹有最小值当工=_，时，J有最大值

2a2a

最值

趣攵，无最大值；处无最小值.

4a4a

（24-25九年级上•重庆渝北•阶段练习）

26.对于二次函数歹=-/+2.丫+3,当0<x<4时，y的取值范围为.

（25-26九年级上•河南安阳•阶段练习）

27.二次函数、=2/+庶+6,当工<1时，V随”的增大而减小，求〃?的取值范围是

（24-25八年级下•浙江宁波,期中）

28.已知二次函数卜=---2阮+3/）（/）是常数），当自变量1KXW5时，函数有最大值为

10,贝1」方=.

（2025•浙江衢州•模拟预测）

29.已知二次函数y=f—2x+〃，当-1KXW4时，y的最大值为9,则k的值为.

（24-25九年级下•浙江杭州•开学考试）

30.已知二次函数y=a（x-l）（x-5）S<0）,且当-13"时，函数最大值与最小值的差为

2,则。的值为.

（25-26九年级上•河南安阳•阶段练习）

31.已知二次函数（〃为常数），当1WXW4时，函数y的最大值为-1,贝"的

值为•

题型六画二次函数y=ax2+bx+c的图象

方注1.列表取值：先确定二次函数尸ad+及+。（分0）,选取关于对称轴户-

乡对称的自变量x的值，代入函数计算出对应的），值，形成坐标点列表.

试卷第7页，共14页

2.描点连线：将列表中的坐标点在平面直角坐标系中准确描出，再用平滑曲线按自变量

从小到大顺序依次连接各点，得到二次函数图象.图象是抛物线，。>0开口向上，开

口向下.

(25-26九年级上•安徽合肥•阶段练习)

32.在如图所示的平面直角坐标系中画出二次函数二%一的图象.

(1)补充表格中的y值;

X•••-4-2024•••

1，,

y=-x~-\・・・3•••

4

(2)在平面直角坐标系中画出)，=；/一1的图象；

(3)结合图象，当-2<x<4时，y的取值范围为.

(25-26九年级上•广东广州•阶段练习)

33.已知二次函数.)，=--+2x+2.

X•・•-10123

y=-x:+2x+2・・・・・・

(1)清埴写表中空格处的数值；

(2)结合表格，画出这个二次函数的图象:

试卷第8页，共14页

(3)结合图象可知，当-l<x<2时，y的取值范围是

(24-25九年级上•山西临汾•期末)

34.已知二次函数y=V-4/3.

(1)该二次函数的图像与x轴的交点坐标是_、顶点坐标是」

(2)在平面直角坐标系X。，中，画出二次函数y=--4x+3的图像：(要求至少描出5个格点)

(3)当l<x<4时，结合函数图像，直接写出y的取值范围

(25-26九年级上•山东德州•阶段练习)

35.已知二次函数y=2/_4x-6.

X••・•••

2

y=2x-4x-6•・・••・

试卷第9页，共14页

(I)将)，=2--4x-6化成y=a(x-〃)2+%的形式，并写出对称轴和顶点坐标；

(2)在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象；

(3)当0<x<3时，求)，的取值范围；

(4)求函数图象与两坐标轴交点所围成的三角形的面积.

(25-26九年级上•天津北辰•阶段练习)

36.二次函数y=.d—以-5(〃也。为常数，。工。)的自变量工与函数值歹的部分对应值如下表:

X・・・-101234••・

2

y=x-4.r-5・・・0-5-8m-8•••

(I)请在给出的平面直角坐标系中，画出二次函数y=ad+bx+c的图象;

身

一

.

：

_

一

_

_

.

_

沁

_

7

.

试卷第10页，共14页

(2)根据图象直接回答下列问题:

①当x=时，少有最值(填“大”或“小”)，该最值是：

②若该二次函数图象上有两点6(血,必)和鸟(、/百,M)，比较必和乂的大小，其结果是:

必%；

③当6LV2+阮+C=0时，A的值为；

④当_]<x<4时，y的取值范围是.

(25-26九年级上•河南周口・期中)

37.某同学对函数J，=-/+3忖的图象和性质进行探究：无论x为何值，函数均有意义，所

得自变量与函数的对应值如卜.表.

X•••-4-3-2-101234・.•

y・•・-420220-4・•・

(I)补全上表.

(3)由图象可知，方程-/+巾|=。有个实数根.

(4)由图象可知，方程--+3冈="有两个不相等的实数根时，用的取值范围为

(5)歹随x增大而增大时，X的取值范围是.

题型七二次函数图象和性质的综合问题

方注1.二次函数的开口方向、对称轴、顶点

试卷第11页，共14页

函数y=ax2+bx+c(a>0)y=ax2+bx+c(«<0)

图象的开口方向向上向工

对称轴直线x=直线x=

2a2a

'b4ac-b2''b4ac-]

顶点坐标I2/4a,la4aJ

2.二次函数的增减性

函数y=ax2+bx+c(fl>0)y=ax2+bx+c(a<0)

当x<-，时，y随入•的增大而减当时，随x的增大而增

2a2a

±;当与时，随的增大

增减性小：当时，y随工的增大x>-Jx

2a2a

而增大;而减小:

3.二次函数的最值

函数y=ax2+bx+c(>0)y=ax2+bx+c(。<0)

当工=一^时，有最大值

当》二-丁时，丁有最小值y

2a2a

最值

超二无最大值；4ac-lr工且।任

-------,无最小值.

4a4a

(25-26九年级上•安徽合肥・期中)

38.已知抛物线歹=F-2X.

(I)求该抛物线的对称轴；

(2)若点4(2,必)和8(5,8)在该抛物线上，试比较必和外的大小.

(25-26九年级上•浙江嘉兴•阶段练习)

39.已知二次函数y=/-4x+3.

(1)求抛物线与坐标轴的交点；

(2)当-l<x<3时，直接写出函数歹的取值范围.

(25-26九年级上•浙江杭州•阶段练习)

试卷第12页，共14页

40.已知二次函数y=2--4%-6.

(I)抛物线的对称轴为_,顶点坐标为_;

(2)抛物线与x轴的交点坐标为一，与y轴的交点坐标为_；

(3)当x满足一时，y随x的增大而增大；

(4)当x满足一时，y>0.

(25-26九年级上,天津黝段练习)

41.已知：关于x的二次函数丁=--+及+3的图象过点0,4).

(I)通过配方，将其写成y=炉+A的形式；

(2)求出函数图象与x、N轴的交点力、B、C的坐标；

⑶当V>0时，直接写出X的取值范围；

(4)当4时，y随x的增大而减小.

(25-26九年级上•浙江杭州•阶段练习)

42.在平面直角坐标系中，抛物线y=(x-a)(x+o-2)-%

(1)当”=1时，求抛物线与x轴交点坐标；

(2)求抛物线的对称轴，以及顶点纵坐标的最大值；

⑶若点力(〃,凹)，点8(3,%)在抛物线上，且必<为.求〃的取值范围.

(25-26九年级上•山东德州•阶段练习)

43.如图，点尸(。,3)在抛物线C:歹=4-(6-x)2上，且在抛物线的对称轴右侧.

0

(1)写出抛物线的对称轴和y的最大值，并求。的值.

(2)坐标平面上放置一透明胶片，并在胶片上描画出点尸及抛物线。的一段、分别记为P,

C.平移该胶片，使C所在抛物线对应的函数恰为y=-/+6x-10.求点产移动的最短路

程.

(25-26九年级上•安徽亳州•阶段练习)

试卷第13页，共14页

44.若抛物线），=-./+bx+c（b,C为常数）的顶点的横坐标比抛物线y=-/+4x+c的顶

点的横坐标大2.

⑴求力的值.

（2）点4（再,加）在抛物线丁=-%2+以+c上，点4（工2，〃）在抛物线尸-』+4x+c上.

（/）若々=2再+1,求〃-〃?的最大值.

（«）当再一须=2匕且石+工2工0时,始终有〃-加=12f,直接写出，的值.

试卷第14页，共14页

1.D

【分析】本题考查二次函数的定义，解题的关键是熟练掌握二次函数的定义.

根据二次函数的定义，可得关于。的不等式，解不等式即可.

【详解】解：•••y=（。+2）--5%是关于x的二次函数，

••.〃+2工0,

•••。/一2,

故选：D.

2.B

【分析】此题主要考查了二次函数定义，根据概念得m+1=2,求解即可.

【详解】解：•••关于x的函数），=2£川7+1是二次函数，

，〃?+1=2,

解得〃7=1,

故选：B.

3.A

【分析】此题主要考查了二次函数的定义，正确把握二次函数的定义是解题关键.二次函数

的定义：一般地，形如丁=奴2+瓜+。（〃、氏。是常数，0）的函数，叫做二次函数.

根据♦,形如y=aP+公+&。工0）的困数关系，称为y关于x的一次困数”，即可求解.

【详解】解：•.）=（*1）/料+5是关于x的二次函数,

卜U〃?|+l=2且,

解得:w=-l.

故选：A.

4.B

【分析】本题考查根据二次函数的定义求参数的值，根据二次函数的定义，得到

/-2a-6=2且〃+2H0,进行求解即可.

【详解】解：由题意，得：/-2”6=2且。+2*0,

解得：a=4；

故选B.

5.3

答案第1页，共28页

【分析】本题考查了二次函数的定义，解题的关键是熟练掌握定义，正确求出机的值.根

据二次函数的定义，得出〃?+1工。,何-1|=2即可求出〃?的值.

【详解】解：•••尸（〃?+1）--1+2加是V关于x的二次函数，

:.加+1W=2

解得m=3,

故答案为：3.

6.

2

【分析】本题考了二次函数的定义，二次函数的一般形式：6+C（〃HO）根据二次

函数的定义，函数中必须存在二次项，且二次项系数不能为零。因此，需要满足指数条件

nr-2=2且系数条件也+2工0。

【详解】因为函数是关于x的二次函数，所以》的最高次项为二次，即〃，-2=2。

解方程"」一2=2,得〃/=4,所以m-2或〃1=-2。

乂因为二次项系数〃?+2w0,当m=-2时，/“+2=0,不符合条件，故m=-2舍去。

因此，w=2o

当m=2时，函数为y=4/+2x+3,满足二次函数定义。

7.224或■^二6或匕正或T或0或1

22

【分析】（1）根据一次函数的定义，分析各项的次数和系数的条件来求解〃?的值；

（2）根据二次函数的定义，分析各项的次数和系数的条件来求解机的值.

【详解】解：（1）要使该函数为关于x的一次函数，则化简后含x的最高次项的次数为1,

原式中存在2y项，因此必须使二次项系数之和为0,且不存在更高次项，

故需满足卜二丫3彳1：0,解得加=2,

当〃?=2时，原函数为y=-3x-1,是一次函数，

故答案为：2.

（2）可分以下四种情况讨论：

①当，〃一4二0时，解得〃?=4；

答案第2页，共28页

1+V51-75

1

②当m-m=lW,解得m}=

1’吗

工工:产解得…

③当•

④当〃一〃7=0时，解得叫=0,，〃2=1.

综上所述，当阳的值为4或匕逅或匕正或-1或o或1时，它是y关于x的二次函数.

22

故答案为：4或止叵或二叵或-1或0或1.

22

【点睛】本题考查了•次函数和二次函数的定义，解题关键是根据函数定义，分情况讨论各

项的次数和系数的取值条件，确保函数符合一次或二次函数的形式.

8.D

【分析】本题考查了二次函数图象的性质，熟练掌握二次函数y=。(工-外2+A•的性质是解答

本题的关键.当。>0时，抛物线开口向上，在对称轴的左侧，丁随工的增大而减小，在对称

轴的右侧，y随x的增大而增大；当a<0时，抛物线开口向下，在对称轴的左侧，y随x的

增大而增大，在对称釉的右侧，夕随x的增大而减小.

根据二次函数顶点式性质逐项分析即可.

【详解】解：・关于二次函数y=2a-3f+l,«=2>0,

•••图象开口向上，对称轴为直线x=3,顶点坐标为(3/)，当x<3时，y随x的增大而减小，

故A,B,C错误，D正确.

故选：D.

9.D

【分析】本题考查了二次函数的图象和性质.通过分析二次函数顶点式判断函数图象开口方

向、顶点坐标、最值以及增减性即可求解.

【详解】解：,•,二次函数『=/+以+1,1>0,

二函数图象的开口向上，故A选项错误，不符合题意；

y=x2+4x+\=(x+2)2-3,

・•・函数图象的顶点坐标是(-2,-3),该函数有最小值，最小值是-3,故B、C选项错误，不

符合题意：

答案第3页，共28页

・•・函数图象的对称轴为直线x=-2,

.•.当x>-2时，y随x的增大而增大，故D选项正确，符合题意；

故选：D

10.B

【分析】本题考查了二次函数y="2+bx+c（。工0）的图像与性质，与坐标轴的交点，函数

的最值问题.

先将》=-/+2,+3化为顶点式丁=一（x—iy+4,即可求解对称轴，最值，令x=0可得图像

与），轴的交点，把工=2代入函数解析式计算V值是否等于4即可判断是否经过点（2,4）.

【详解】解：y=-x2+2x+3=-（x-\）?+4,

・••对称轴为直线x=l,故A错误，不符合题意

•••«=-1<0,

.•・函数的最大值为4,故B正确，符合题意；

对于卜=-9+2x+3,当x=0,y=3,

・•・与），轴交点为（0,3）,故C错误，不符合题意：

当x=2时，y=—22+2x2+3=3/4,

则图像不经过点（2,4）,故D错误，不符合题意；

故选:B.

11.D

【分析】本题考杳二次函数的图象和性质，先将二次函数一般式化为顶点式，得出开口方向,

对称轴，顶点坐标，增减性，即可得出正确答案.

【详解】解：•••y=2x2-4x+l=2（x-l）2-l,

・•・顶点坐标为（L-1）,函数图象开口向上，对称轴为直线x=l,函数的最小值为-1,

...当xKl时，»随戈的增大而减小，当xNl时，p随x的增大而增大，

.•.若2"<当，则乂〈必，

综上可知，选项D结论正确，选项A,B,C结论错误，

故选：D.

答案第4页，共28页

12.D

【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式及二次函数的性质，关键是通过对称轴和开

口方向判断增减性.

通过给定的三组对应值，求出二次函数的解析式，再根据二次函数的性质判断各选项.

【详解】设二次函数为%0?+取+%代入点(1,-6).(3,-4)

a-h+c=-4

得，<a+b+c=-6,

9a+3h+c=-4

1

a=­

2

解得。=-1,

11

c=----

2

・•・函数解析式为尸夫?一.5，

V6/=—>0,

2

・•・图象开口向上，故A错误：

...判别式△=/-4QC=(T)2-4X0.5X(-5.5)=1+11=12>0,

・•・图象与x轴有两个交点，故B错误；

,••开口向上，

••・函数有最小值，无最大值，故C错误；

___L___1_]

•.•对称轴为直线”二一五二一1T=，

2

.•・当工>1时，y随x增大而增大，故D正确.

故选：D.

13.C

【分析】本题考杳二次函数的图象和性质，二次函数图象与坐标轴的交点问题，利用二次函

数确定一元二次方程的根，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键.

把x=-i代入函数解析式，求出y值，判断①；求出二次函数的对称轴，判断出增减性，判

断②，根据判别式，判断③；求出方程的根，判断④，分情况讨论求解判断⑤即可.

【详解】•••y=ax2+(a-2)x-2,

答案第5页，共28页

①当x=-l时，y=axl+(〃-2)x(—l)-2=4-〃+2-2=0,

•••图象经过点(TO),故①正确;

②当。=-1时，y=-xi-3x-2,

-33

对称轴户一衍=三=75,

•:开口向下，

当x>-i.5时，y随x增大而减小，

又vx>-\>-1.5,

•.当x>-i时，歹随x增大而减小，故②正确；

③A=(a-2)2-4-a-(-2)=(«-2)2+8a=a2+4«+4=(tJ+2)2>0,

当。工-2时，△>(),有两个不同公共点；

当〃=-2时，△=(),有一个公共点，

二不一定有两个不同公共点，故③错误：

©当。>2时，由①知工=7是根，设另一根为厂,

27

则解得/•=:,

vQ>2,

2

0<-<1,即有一个根在0和1之间，故④正确。

(§)当。>2时，方程|川=2即y=2或夕=一2,

y=-2时，ax2+(a-2)x-2=-2,

.-.av2+(a-2)x=0,解得工=0或工=一小<0,无正根;

a

y=2时，ax2+(tz-2)x-4=0,

•••开口向上，且当x=()时，y=-4<0,

•••方程有一个正根和一个负根，

卜|=2只有一个正根，故⑤正确：

综上，正确结论有①②④⑤，共4个.

故选：C.

14.yy>y]>y2

答案第6页，共28页

【分析】本题考查二次函数图像上点的大小比较，掌握二次函数的性质，开口向上，点离对

称轴越远，函数值越大是解题的关键.

通过确定抛物线的开11方向和对称轴，根据点到对称轴的距离判断函数值大小.

【详解】二次函数），=/一2%+3的二次项系数因此抛物线开口向上，

对称轴为直线X=-g-=1，

2a2x1

由于开口向上，点离对称轴越远，函数值越大，

点〃"-3,必）到对称轴的距离为k3-1|=4,

点M2（2,必）到对称轴的距离为|2-1|=1,

点%（6,%）到对称轴的距离为|6-1|=5,

因为5＞4＞1,所以必,必＞为.

故答案为：必＞M＞为.

15.=

【分析】本题考查二次函数图像与性质比较函数值大小，先将抛物线解析式化为顶点式，即

2

y=-（X-\）-\,求出对称轴，发现点（-%）,（3,%）关于直线》=1对称，从而得到

必=必,推导出“点（-1,乂），（3,力）关于直线x=l对称”是解题的关键.

【详解】解：y=-x2+2x-2=-（x-\）2-1

v抛物线y=-（x-\）2-\对称轴为直线x=\,

•・•点（T,必），（3,力）是抛物线上两点,产=1，

・••点（-1,必），（3,必）关于直线x=l对称,

•.•凹=%，

故答案为：=.

16.必＜乂＜%

【分析】本题考查二次函数的增减性，掌握增减性的影响因素是解题关键.

把二次函数解析式化为顶点式可得对称轴为直线x=-2,从而得到C（L乃）关于对称轴的对

答案第7页，共28页

称点为（-5,%），再根据二次函数的增减性解答即可.

【详解】解：•.•y=/+公一3=（》+2）2-7,

・•・二次函数图象的对称轴为直线工=-2,

.•・。（1,丹）关于对称轴的对称点为（-5,%），

V=1>0,

・•・二次函数图象开口向上，

.♦.当x<-2时，y随X的增大而减小，

v-5<-4<-3,

二必<必<为.

故答案为：必<乂<外.

17.%<必<必

【分析】根据二次函数的对称性，再利用二次函数的增减性可判断y值的大小.本题考查了

二次函数图象上点的坐标的特征，解题的关键是熟记二次函数的增减性.

【详解】ft?：V^=-J2+2X+2=-（X-1）2+3,

••・抛物线开口向下，对称轴为直线x=l,

•••点（。，%），（1，乃）,（3,乃）都在该抛物线上，|1-1|<|0-1|<|3-1|,

二必<凹〈必，

故答案为：y3<y]<y2

18.必>%>必相必<必<必

【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数图象的性质是解题的关键.根据解

析式求得对称轴为直线x=l，开口向上，可知离对称轴越近，函数值越小，离对称轴越远,

函数值越大，分别计算几个点的横坐标与对称轴的距离，即可求解.

【详解】解：V^=X2-2^+W=（X-1）2+W+1,a=l>0,

・••开口向上，对称轴为直线x=l,离对称轴越近，函数值越小，离对称轴越远，函数值越大，

|-3-1|=4,|-1-1|=2,|0-1|=1

答案第8页，共28页

vl<2<4

•••%<乃<必，

故答案为：

19.y2<yi<yi

【分析】本题考查了二次函数的图象与性质.由二次函数解析式可得对称轴为X=-1,且

〃>o,故函数在对称轴处取得最小值，距离对称轴越远的点函数值越大.通过比较各点与

对称轴的距离即可判断大小关系.

【详解】解：由题意知，二次函数y="+2”+3（a>0）的对称轴为“一3=—1^=一1,

点鸟（T，％）在对称轴上，故为最小，

点々（T必）与对称轴的距离为卜3-（-1）|=2,点6（3,必）与对称轴的距离为|3-（-1）|=4,

由于4>2,故必,乂，

因此必〈乂〈必.

故答案为：M<必<必.

20.直线x=-2

【分析】本题考查的是二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握抛物线的对称轴公式.

利用二次函数图象的对称性，结合与戈轴的两个交点坐标推导即可.

【详解】解：・・・y=a+5）（x-l）与x轴的交点坐标为（-5,0）,（1,0）,

•••对称轴为直线x==U=-2.

故答案为：直线x=-2.

21.x=-2

【分析】本题考查了求二次函数的对称轴，熟练掌握二次函数的对称性是解题关键.判断出

点（2,8）和（-6,8）是抛物线上对称的两点，据此求出抛物线的对称轴即可得.

【详解】解：•.•抛物线歹=/+6+c过点（2,8）和（-6,8）,

•••由二次函数的对称性可知，此抛物线的对称轴为直线、=含^=-2,

故答案为：x=-2.

答案第9页，共28页

22.-6

【分析1本题考查了二次函数的性质，根据48的纵坐标相等得出48关于抛物线的对称轴

对称，进而求得6的值，即可求解.

【详解】解：,•,点力（1-阳,哈8（5+矶〃）均在抛物线），二丁+瓜+（?上，

•••抛物线的对称轴为直线x=~=J"；"'":3,

b=-6.

故答案为：-6.

23.5

【分析】本题考查了二次函数的对称性，求出二次函数图象与x轴的两个交点坐标，利用抛

物线的对称性即这两个交点关于对称轴对称，即可求得.

【详解】解：令尸（』一心+2”1）-0,解得：x}=a9x2=\-2af

即抛物线与x轴的两个交点坐标为（凡0），（1-2凡0）,

由于抛物线的对称轴是直线x=-2,即Hr—,

解得：。二5

故答案为：5.

24.675

【分析】本题考查了二次函数的图像和性质，轴对称的性质，正确理解二次函数的轴对称是

解题的关键.先根据抛物线是轴对称图形，结合44两点确定该抛物线对称轴方程为

x=〃+2020,然后根据抛物线与直线》=1只有一个交点确定抛物线顶点的纵坐标为1：写

出抛物线顶点式为丁=；（1-〃-2020）2+1,将点4的坐标代入顶点式求出〃「1,最后代入

所求代入式即可求解.

【详解】解：•••一次函数y=加过点力（〃一5.〃?），8（〃+4045.加），

「•抛物线的对称轴方程为x=（〃-5卜（〃+404、=〃+2020,

2

••・抛物线与直线夕=1只有一个交点，

「•抛物线顶点纵坐标为1,即抛物线的顶点坐标为（〃+2020,1）,

「•该抛物线的顶点式为'=!（•♦〃-2020『+1,

答案第10页，共28页

将点4(〃—5,6)代入顶点式，得加=；(〃-5-〃一2020『+1,

2025?

.•.口===675・

20252025

故答案为：675.

25.3-1</<7

【分析】本题考查二次函数的图像和性质，掌握相关知识是解决问题的关键.

(1)令y=0,可求出函数与x轴交点的横坐标，由二次函数的对称性可求出对称轴；

(2)因为抛物线开口向上，所以抛物线上的点离对称轴越远函数值越大，若〃?《〃，则

|/-3|<7-3,据此解答即可.

【详解】(1)•.•二次函数)•=('।a)(x々6),

令y=0,tip(x+a)(x-«-6)=0,

x,=-a,々=a+6,

二函数经过(一〃,0)和(。+6、0)是对称点，

・•・对称轴为直线x=一"丁6=3,

故答案为：3.

(2)；二次函数y=(x+a)(x-a-6),

•••二次项系数为1>(),

・•・函数图象开口向上，

又•“(/")和。(7,〃)在此函数的图象上，对称轴为直线x=3,

.*.|/-3|<|7-3|,

故答案为：

26.-5<^<4

【分析】本题考查二次函数的图象与性质、二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握以上知

识点是关键.根据题目中的函数解析式和二次函数的性质得出该函数图象开口向下，当％=1

答案第11页，共28页

时，有最大值4,再结合当x=()时，尸=3,当x=4时，y=-5,即可以得到当0<x<4时V

的取值范围.

【详解】解：.••二次函数)，=-/+2X+3=—(X-1)2+4,

...该函数图象开口向下，当x=l时，有最大值4,

・•・当x=0时，7=3,当x=4时，y=-5,

•/0<x<4,

，t的取值范围为-5<"4,

故答案为：-5<y<4.

27.m<-4

【分析】该题考查了二次函数的性质，由于二次函数开口向上，在对称轴左侧函数递减.根

据条件，当x<l时丁随x的增大而减小，故对称轴应大于或等于1.

【详解】解：二次函数y=2/+g+。的对称轴为.

2a4

因为。=2>0,函数图像开口向上，

所以在对称轴左侧，N随x的增大而减小.

由题意，当工<1时，y随工的增大而减小，故对称轴-

解得m<-4.

故答案为：w<-4.

28.-5或11

【分析】本题考查了二次函数的性质、二次函数的最值，先求出二次函数的对称轴，再分

-b>5.1<-b<5和-三种情况，结合二次函数的性质解答即可求解，掌握二次函数的

性质是解题的关键.

【详解】解：•・•二次函数)，=一/一2"+38=一(》+6『+从+36,

・••二次函数的对称轴为直线》=-6,

又••・当自变量14x45时，函数有最大值为10，

.♦•当-625即弥-5时，4=5时取最大值,即-5?-2x56+3b=10,

解得6=-5,

当1<一6<5即一5<力<一1时，x=—b时取最大值，

即-b2+2b2+3b=\0,

答案第12页，共28页

贝iJ〃+3b-10=0,解得乙二一5,4=2,

方程的解不在b的取值范围里，不符合题意；

当时即IN-1,x=l时取最大值,即一12一26+36=10，

解得6=11

综上，6的值为-5或11,

故答案为：-5或11.

29.1

【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题美

键.先根据二次函数的顶点式可得在-14x44内，当-14XV1时，V随光的增大而减小；当

1＜》工4时，y随X的增大而增大，则可得当k4时，y取得最大值，由此即可得.

【详解】解：将二次函数y=、2-2x+k化成顶点式为丁=(4-1『+左-1,对称轴为直线

x=I,

二抛物线开口向上，在-14x44内，当-1VXVI时，y随X的增大而减小；当时，)，

随工的增大而增大，

•••x=4离二次函数的对称轴比x=-1离二次函数的对称轴更远，

.・.当x=4时,V取得最大值，最大值为(4-1)2+"1=八8,

又•.•当-1Vx，4时，y的最大值为9,

二k+8=9,

解得％=1,

故答案为：1.

30.--

8

【分析】本题考查了二次函数的最值问题，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关

键.由。＜0可知二次函数图象开口向下，将二次函数化为顶点式y=a(x-3『-4a,得出顶

点坐标为(3,-4〃)，对称轴为x=3,再根据二次函数的性质得出当x=-l时，函数有最小值

12。，结合题意列出方程，即可求出。的值.

【详解】解：•.•〃＜(),

・•・二次函数N=a(x—1)(》-5)的图象开口向下，

答案第13页，共28页