第二十七章《圆》同步练习（含解析）-华东师大版数学九年级下册

第二十七章圆

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一、单选题

1.如图,四边形ABCD为矩形.△ACE为AC为底的等腰直角三角形，连接BE交AD、AC分别于F、

N,CM平分NACB交BN于M,下列结论：(1)BE±ED;(2)AB=AF;(3)EM=EA;(4)AM平分NBAC,其中

正确的结论有()

A.1个B.2个

C.3个D.4个

2.己知：如图，四边形ABCO是。。的内接正方形，点尸是00上不同于点8、。的任意一点，则N8PC

的度数是()

A.45。或135。B.60。或120。C.75。或105。D.45°

3.如图，。0中，直径AB=10,AC=6,CD平分NACB交圆于点D,则CD=()

B.76C.872

4.若NO48=30。，OA=10cm,则以。为圆心，6cm为半径的圆与直线A8的位置关系是()

A.相交B.相切C.相离D.不能确定

5.如图，VA8C内接力AB=AC,ZB=70°,则NOC6等于()

A

C.60°D.65°

6.如图，在。。中，OALBC,NAO8=50。，则NAOC的大小为（）

C.50。D.100°

7.卜列说法：①直径是弦；②半圆是弧；③半径相等的两个圆是等圆；④长度相等的两条弧是等弧;

⑤平面上任意三点能确定一个圆.其中正确的个数是（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

8.下列说法正确的是（）

A.无论过圆内哪一点，只能作一条直径

B.直径是弦，弦是直径

C.半圆是轴对称图形

D.长度相等的两条弧是等弧

9.如图，点AB,。在OO上，ZA=42°,则（）

A.90°B.84°C.72°D.36°

10.已知扇形的弧长为64cm,圆心角为120。，则扇形的面积为（）

A.27/rcmB.13.5^,cm2C.54^-cm2D.36^-cin2

11.如图，线段/W是。。的直径，弦CD_LAB,ZCAB=20°,则NAO/）等于（）

130C.140°D.150°

12.如图，4、3是。。上的两点，408=50°,。£_1回交0。于点凡则的度数为（）.

C.15°D.12.5°

二、填空题

13.如图，边长为6cm的正三角形内接于（20,则阴影部分的面积为（结果保留兀）

14.如图，在AA8C中，A3=3,AC=7,将A48C绕着点A按顺时针方向旋转90。后，得到对应的

AADE,则3c扫过的图形面积为

15.已知在平面直角坐标系入g内一点A到点（1,0）,（-1,0）的距离的平方之比为2,点B的坐标（1,3）,

则线段AB的最大值为.

16.我国明代科学家徐光启在《农政全书》中描绘了一种我国占代常用的水利灌溉工具——筒车.如

图所示，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心。为圆心的圆，已知圆心。在水面的上方，被水面截

得的弦A8长为6米，水面到运行轨道最低点C的距离为1米，则。。的半径为米.

A1B水面

17.如图，在。。中，弦/W,6相交于点P,4=35。，NAP/)=77。，则NA的大小是度.

三、解答题

18.如图，已知A3是。。的苜杼,点P是。。卜一点,连接OP,点A关干OP的对称点。恰好落在

O。上.

(1)求证：OP//BG

(2)过点C作。。的切线C。，交AP的延长线于点D.如戾/。=90",DP=1,求。。的直径.

19.如图，在即△ABC中，ZC=90°,4。是角平分线，OE1AO交人4于E,△4OE的外接圆。。与

边AC相交于点尸，过尸作的垂线交AO于P,交4B于M,交。0于G,连接GE.

A

CDB

(1)求证：BC是。。的切线；

4

⑵若tan/G=§,BE=4,求。。的半径;

⑶在(2)的条件下，求AP的长.

20.如图所示，每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，的顶点均在格点上,NACB

=90。，在建立平面直角坐标系后，解答下列问题.

⑴点A坐标为，点8坐标为；

⑵将△A3C向左平移4个单位，再向下平移5个单位得到△43/G,若aABC内部任意一点P(a,〃)

随△ABC一起平移，则点。平移后的对应点P/坐标为,PP/的长为；

(3)将△ABC绕点。逆时针旋转90。得到a/hB2c2,在图中画出旋转后的282c2,并求出边CB在旋转

过程中所扫过的面积(结果保留兀).

21.如图，AB是。。的直径，点。是0。上一点，过点A的切线与弦80的延长线交于点C,过点。

的直线交线段AC于点石，且OE=C£.

⑴求证：直线。£与。。相切:

(2)已知0。的半径是4,4=30。，求阴影部分的面积.

22.如图，A8是。。的直径，点C'、G为圆上的两点，当点C是弧。G的中点时，CD垂直直线AG,

垂足为。，直线OC与A8的延长线相交于点乙弦CE平分交A8于点尸，连接跖.

D

GC

AO

E

(1)求证:。。与。0相切;

(2)求证:PC=PF；

(3)若tanE=g,8E=石，求线段尸尸的长.

23.如图，有一个半径为3c7〃球形的零件不能直接放在地面上，于是我们找了两个三角形的垫块把这

个零件架起来.两个三角形与球的接触点分别是P,Q,已知a=70。，P=40°,一侧接触点离地面距离

PM是4cm.(sin70°^0.94,cos70°^0.34,tan70°^2.75；sin400^0.64,cos40°~0.77,tan400M.84)

(1)求圆心。距离地面的高度；

(2)直接写出N。。。与Q、p的关系；

(3)另•间接触点离地面距离QN又是多少？

24.如图，在△04/3中，QA=08,C为AB中点,以。为圆心，0C长为半径作圆，A。与。。交于

点、E,直线0B与。。交于点尸和。，连接CF,与。4交于点G.

(1)求证：直线AB是。。的切线;

(2)求证：0D・EG=0G*EF；

(3)若A8=48O,求sinA的值.

《第二十七章圆》参考答案

题号12345678910

答案DABABBCCBA

题号1112

答案C1)

1.D

【分析】连接DE,由NABC二NAEC=NADC=90。，根据圆周角定理的推论得到点A、B、C、D、E

都在以AC为宜径的圆上，再利用矩形的性质可得AE=ME,即①正确；再根据圆周角定理得到

ZAEB=ZACB,ZDAC=ZCED,ZEAD=ZECD,易证△AEF^^CED,即可得至ljAB=AF,即②

正确：由②得到NABF=/AFB=45。，求出NEMC=NMCB+45。，

而NECM=NNCM+45。，即③正确；根据等腰三角形性质求出NEAM=NAME,推出

ZEAM=45°+ZMAN,ZAME=45°+ZBAM,即可判断（4）.

【详解】连接DE.

•••四边形ABCD为矩形,△ACE为AC为底的等腰直角三角形，

AZABC=ZAEC=ZADC=9OC,AB=CD,AD=BC,

・••点A.B.C.D.E都在以AC为直径的圆上,

VAB=CD,

・••弧AB=弧CD,

AZAEB=ZCED,

・•・ZBED=ZBEC+ZCED=ZBEC+ZAEB=90°,

・・・BE_LED,故⑴正确；

•・•点A.B.C.D.E都在以AC为直径的圆上，

AZAEF=ZCED,ZEAF=ZECD,

又•••△ACE为等腰直角三角形，

・・・AE=CE,

在△AEF和©CED中，

ZAEF-ZCED

AE=CD,

ZEAF=NEC。

.,.△AEF^ACED,

・・・AF=CD,

而CD=AB,

・・・AB;AF,即⑵正确；

AZABF=ZAFB=45°,

:.NEMGNMCB+45。，

而NECM=NNCM+45。，

VCM平分NACB交BN于M,

ZEMC=ZECM,

/.EC=EM,

・・・EM=EA,即⑶正确;

VAB=AF,ZBAD=90°,EM=EA,

AZABF=ZCBF=45°,ZEAM=ZAME,

•••△AEC是等腰直角三角形，

:.ZEAC=45°,

・\ZEAM=45°+ZMAN,ZAME=ZABM+ZBAM=45°+ZBAM,

:.NBAM二NNAM,J（4）正确；

故选D.

【点睛】此题考杳等腰三角形的判定与性质，圆周角定理，等腰直角三角形，解题关键在于作辅助线

2.A

【分析】本题主要考查了求正多边形的中心角，圆周角定理，圆内接四边形的性质等知识点，运用分

类讨论思想是解题的关键.

分两种情况讨论：①当点尸在优弧8c上时（记为点尸）；②当点。在劣弧8c上时（记为点9）；

分别利用圆周角定理和圆内接四边形的性质定理即可求解.

【详解】解：分两种情况讨论：

①当点尸在优弧BC上时（记为点〃），

如图，连接08、OC,

四边形448是0。的内接正方形,

.-.Z/?OC=90°,

根据圆周角定理，可得：

NBPC=-/BOC=1x90°=45°,

22

②当点。在劣弧6c上时（记为点P），

则/BPC=180°-NBPC=180°-45°=135°,

.•.N3PC的度数是45。或135。，

故选：A.

3.B

【分析】由题意可知直径所对的圆周角是直角，以及角平分线的定义可得NACD=/BCD=45。，过A

作AM_LCD,过B作BN_LCD,垂足分别为M、N,得到△ACM与△BCN都是等腰直角三角形，

根据等腰直角三角形斜边与直角边的关系可得CM=①AC,BN=^BC,再利用角角边定理证明

22

△ADM与4BDN全等，根据全等三角形对应边相等得到DN=AM,所以DN=CM,从而得到

CM+CN=DN+CN=CD.

【详解】过A作AM_LCD,过B作BN_LCD,垂足分别为M、N,连接AD,

VAB为直径，

，ZACB=90°,

VAB=10,AC=6,

•••BOJAB-C，=8,

VCD平分NACB交。0于D,

:.ZACD=ZBCD=45°,

•••△ACM与△BCN都是等腰直角三角形，AD=BD,

在RSACM中，CM=AC=—x6=372，在RsBCN中，CN=走x8=4近，

222

・・・CM+CN=7及，

・・・AB是直径，

・•・ZADB=90°,

・•・ZADM+ZBDN=90°,

又・・・/BDN+NDBN=90°,

/.ZADM-ZDBN,

NADM=4DBN

在^ADM与^BDIM中，ZAMD=ZDNB=90°,

AD=BD

AAADM^ABDN(AAS),

・•・DN=AM,

又TAM=CM(等腰直角三角形两直角边相等)，

Z.CM=DN,

・•・CD=CN+DN=CN+CM=7及.

故选B.

【点睛】本题考查了圆周角定理，全等三角形的判定与性质，以及等腰直角三角形的判定与性质，作

出辅助线构造出等腰直角三角形与全等三角形是解题的关键

4.A

【分析】根据圆心。到直线L的距离为4圆的半径为八当”>/•时，直线与圆相离；当,/=，♦时，

直线与圆相切；当时，直线与圆相交，即可求解.

【详解】解：•・・NOA3=30。，OA=10cm,

・•・点。到直线AB的距离为:x10=5cm,

・••以。为圆心，6cm为半径的圆与直线44的位置关系是相交，

故选：A.

【点睛】本题主要考查了直线和圆的位置关系，含30。角的直角三角形的性质，熟练掌握直线和圆的

位置关系，含30。角的直角三角形的性质是解题的关键.

5.B

【分析】如图所示，连接03,根据等边对等角和三角形内角和定理求出24=40。，则由圆周角定理

得至|JNAOC=2N4=80。，再根据等边对等角和三角形内角和定理求出N0C8的度数即可.

【详解】解.：如图所示，连接OB,

VAB=AC,Zfi=70°,

；・N8=NAC8=70°,

/.ZA=180°-ZB-ZACB=40°,

JZBOC=2ZA=80°,

•：OB=OC,

180。一/80。

ZOCB=ZOBC==50°,

故选B.

【点睛】本题主要考查了圆周用定理，等边对等角和三角形内角和定理，灵活运用所学知识是解题的

关键.

6.B

【分析】由。。中，利用垂径定理可证得4c=BC，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周

角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得圆周角NAOC的度数.

【详解】解：如图，连接。。，

B

\*OALBC,

•*-AC=EC，

・•・ZAOC=ZAOB=50°,

・，・ZADC=yNAOC=25。，

故选:B.

【点睛】此题考查J'垂径定理与圆周角定理.此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用.

7.C

【分析】本题考查的是圆的认识，根据等圆、等弧和半圆的定义以及确定圆的条件，分别进行判断.

【详解】解：直径是弦，故①正确，

半圆是弧，故②正确，

半径相等的圆是等圆，故③正确，

同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，故④错误，

平面上不共线的三点能确定一个圆，故⑤错误，

正确的各数为3,

故选：C.

8.C

【分析】本题考查圆的基本概念，包括直径、弦、半圆和等弧的定义和性质，利用圆的有关性质分别

判断后及可确定正确的选项.

【详解】解：A、过圆心的点可作无数条直径，过非圆心的点不能作直径，故A错误；

B、直径是经过圆心的弦，但弦不一定是直径，故B错误；

C、半圆是轴对称图形，其对称轴是垂直于其直径的半径所在的直线，是轴对称图形，故C正确；

D、等弧需在同圆或等圆中长度相等且重合，仅长度相等不一定等弧，故D错误；

故选：C.

9.B

【分析】根据圆周角定理即可求解.

【详解】解：・・・8C=8C，Z4=42°,

・•・/ROC=2N必。=84°,

故选：B.

【点睛】本题考查了圆周角定理，掌握圆周角定理是解题的关键.

10.A

【分析】首先根据弧长求出半径，然后根据用形面积公式S附形=孚-进行计算即可得出答案.

360

【详解】解：•・•扇形的弧长为6;rcm,圆心角为120。，

120°

九R=6几

180°

，解得半径R=9cm,

_120°x^x92

喇形一词=27^cnr.

360

故选：A.

【点睛】此题考查了扇形弧长和面积的计算，属F基础题，解答本题的关键是熟记扇形的面积公式及

公式中字母所表小的含义，难度一般.

11.C

【分析】先根据垂径定理得到8C=3Z），再根据圆周角定理得N8OO=2NCAB=40。，然后利用邻

补角的定义计算NAO。的度数.

【详解】解：'•COLA'

：・BC=RD，

：,/BOD=2/CAB

=2x20°

=40°,

・・・NAOO=180。-/BOD

=180°-40°

一140c.

故选：C.

【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所

对的圆心角的一半.也考查了垂径定理.

12.D

【分析】由题意得VAOB是等接三角形，结合O/LAB可得/反加=25。，再根据“同弧所对的圆周

角等于它所对圆心角的一半”即可得出/BAF.

【详解】解：・・・OA=O8,

•••△AO〃是等腰三角形,

OF1.AB

：.ABOF=-AAOB=25°

2

・•・ZBAF=-ZBOF=1x25°=12.5°

22

故选：D.

【点睛】本题主要考查了同弧或等弧所对的圆周角和圆心角的关系、等腰三角形的性质，掌提“同弧

所对的圆周角等于它所对圆心侑的一半''是解题的关键.

13.(4n-3Q)cm2

【分析】连接OB、0C,作OH_LBC于H,根据圆周角定理可知NBOC的度数，根据等边三角形的

性质可求出OB、0H的长度，利用阴影面积=S度形OBC-S2BC却可得答案

【详解】：连接OB、OC,作OH_LBC于H,

贝I]BH=HC=BC=3.

•:△ABC为等边三角形，

；・ZA=60°,

由圆周角定理得，ZBOC=2ZA=120°,

VOB=OC,

・•・ZOBC=30°,

BH

AOB==2>/3,OH=V3,

cosZOBC

・•・阴影部分的面积;年券货-96x65-36,

故答案为(4九-36)cm2.

【点睛】本题.主要考查圆周角定理及等边三角形的性质，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角

等于圆心角的一半；熟练掌握圆周角定理是解题关键.

14.10乃

【分析】先根据旋转的性质可得====再根据所求

的面积等于扇形ACE面积减去扇形ABD面积即可得.

【详解】由旋转的性质可知，AD=AB=3,AE=AC=7,Z1BAD=Z1CAE=9()°,A/ABC=^XDE

•qS八ADE

•・

则所求的面枳为S中影ACE+5；A8C一(％形A8/J+5二仞E)

=S图形ACE~S@形八口。

90TTAC290^AB2

360360

_90^x7290^-x32

360360

=10%

故答案为：10房.

【点睛】本题考查了旋转的性质、扇形的面积公式，掌握扇形的面积公式是解题关键.

15.5+2近

【分析】满足条件的点A在以。(-3,0)为圆心2&为半径的圆上运动，则线段人B的最大值为8。

与圆的半径的和，则求出4。的长即可解决.

【详解】如图，设ML。)，A(x,y),

•••4点到MM的距离的平方比为2,BP：(x-l)2+y2=2l(x+l)2+/j,

x2+6x+y2+I=0,

・•・(x+3)2+y2=(2V2)2,

即J(x+3)2+y2=2近,

上式表明：点A至lj。(-3,0)的距离等于定值2&，则点4在以。(-3,0)为圆心2正为半径的圆上

运动，

如图，连接8。、BN,则点A在线段8。的延长线时，AB最大，且最大值为BD+2加，

,:BN=3,。2。。+023+1=4,

・••由勾股定理得：BD=ylDN2+BN2=742+32=5,

则线段48的最大值为5+2忘.

故答案为：5+272.

y

【点睛】本题是求线段的最大值问题，考查了勾股定理，圆外一点与圆上点的最大值是过圆心的线段，

根据题意得出点A的运动路径是本题的难点与关键.

16.5

【分析】本题主要考查了垂徉定理的应用及勾股定理.熟知垂径定理及勾股定理是解题的关犍.连接

OC交AB于点、M,连接。4,根据题意得MC=1米，OC±AB,利用垂径定理得出AM=；A8=3,

再利用勾股定理建立方程即可解决问题.

【详解】解：连接OC交A8于点M,连接。A,

则MC=1米，OC1AB,

所以点M为的中点.

因为AB=6米,

所以40=枭8=3米，

令。。的半径为一米，

在RtZXAOM中，（/-if+3?=/,

解得r=5,

所以。。的半径为5米.

故答案为：5.

17.42

【分析】本题主要考查了三角形外角的性质、圆周角定理等知识点，掌握同弧或等弧所对的圆周角相

等成为解题的关键.

先根据三角形外角的性质可得ND=42。，再根据圆周角定理可得NA=N。即可解答.

【详解】解：VZB=35°,乙4尸£>=77。，

・•・ND=ZAPD-ZB=77°-35°=42°,

,:ZA=/。，

:.Z4=ZD=42°.

故答案为：42.

18.(1)见解析；(2)。。的直径A8=4.

【分析】(I)由题意可知AP=PC，根据同弧所对的圆心隹相等得到NAOP=^NAOC,再根据同

弧所对的圆心角和圆周角的关系得出N44C=g/A0C,利用同位角相等两直线平行，可得出P0与

BC平行；

(2)由CD为圆。的切线,利用切线的性质得到0C垂育干CD.又AD垂直于CD,利用平面内垂

直于同一条直线的两直线平行得到0C与AD平行，根据两直线平行内错角相等得到NAPO=NCOP,

rt]ZAOP=ZCOP,等量代换可得出NAPO=NAOP,再由OA=OP,利用等边对等角可得出•对角相

等，等量代换可得出三角形AOP三内角相等，确定出三角形AOP为等边三角形，根据等迂三角形的

内角为60。得到NAOP为60。，由OP平行于BC,利用两直线平行同位角相等可得出

NOBC二NAOP=60。，再由OB=OC,得到三角形OBC为等边三角形，可得出/COB为60。，利用平

角的定义得到NPOC也为60。，再加上OP-OC,可得出三角形POC为等边三角形，得至IJ内角NOCP

为60。，可求出NPCD为30。，在直角三角形PCD中，利用30。所对的直角边等于斜边的一半可得出

PD为PC的一半，而PC等于圆的半径OP等于直径AB的一半，可得出PD为AB的四分之一，即

AB=4PD=4.

【详解】(1)证明：TA关于O尸的对称点C恰好落在。。上.

JAP=PC

・•・ZAOP-ZCOP,

ZAOP=gZAOC,

又•・,N48C=；/40C,

・•・ZAOP=ZABC,

：,PO//BCx

(2)解：连接PC,

•・・C。为圆。的切线，

••・OC_LC。，又ADLCD,

C.OC//AD,

JZAPO=ZCOPt

•・•ZAOP=ZCOP,

，ZAPO=ZAOP,

：.OA=APt

•：OA=OP,

・二△APO为等边三角形，

・•・NAOP=60。，

又YOPHBC,

：,Z0BC=ZA0P=6Q°,又OC=OB,

•••△BCO为等边三角形，

••・/COB=60。，

AZPOC=180°-(NAOP+/CO8)=60。，又。尸=OC,

•••△尸0c也为等边三角形，

：.ZPCO=60°,PC=OP=OC,

又•・・NOCO=90°,

AZPCD=30o,

在RSPCO中，PD=^PC,

又,；PC=OP=gAB,

：.PD=-AB,

4

：.AB=4PD=4.

【点睛】此题考杳了切线的性感，等边三角形的判定与性质，含30。直角三角形的性质，轴对称的性

质，圆周角定理，以及平行线的判定与性质，熟练掌握性质及判定是解本题的关键.

19.（1）证明见解析

（2）6

嗯石

【分析】（1）连结。。，根据是角平分线，求出NC=90>,得至IJOOJ_8C,求出灰?是。。的切

线；

（2）构造直角三角形，根据勾股定理求出4的值即可：

（3）连结4G,利用锐角三角函数和相似三角形结合勾股定理解题.

【详解】（1）证明：连结0Q,

VDE1AD,

・・・AE是。。的直径，即。在上，

•••4。是角平分线，

AZI=Z2,

•：OA=OD,

r.Z2=Z3,

・・・N1=N3,

：,OD//ACf

•；ZC=90°,

OD1BC,

・・・AC是。。的切线；

⑵解：・・・OO〃AC,

・•・Z4=ZEAF,

•・・/G二NE4凡

・•・Z4=ZG,

,,4

tanzf4=tanNG=—，

3

设3Q=4AIJliJOD=OE=3k,

在阳△08。中，由勾股定理得（3幻2+（4Q2=（3A+4）2,

解得，"2,依-;（舍），（注：也可由08=5七3火+4得上2）,

・・-3&二6,即。。的半径为6；

(3)解：连结AG,贝|JNAGE=9O°,ZEGM=Z5,

4CMFM4AMGM3

tanZ5=tanZEGM=-,即一=—

3AMGM3GM~~EM~4

AM__AM_GM_33__9

~EM~GM~EM~4X4~\6

AM=-9AE=号

252525

'OD//AC,

OD06CDDB_5CD8

'~AO==85

'~AC~~AB~OB,喂~6~10

s48?4

,AC=——，CD=y,

5

VZ1=Z2,NACD=/AMP=9O。,

・•・△ACOS&M尸,

PMCD\

~AM~~AC~2

54

PM=—AM

225

__________54「

AP=yJPM2+AM2=TTV5.

乙J

【点睛】本题考查圆的切线定义，勾股定理，相似三角形的性质，解直角三角形，本题属于综合性较

强的题型，能够灵活掌握每个知识点是解决本题的关键.

20.(1)(1,4),(3,1)

(2)(4-4,〃-5),丙

(3)图见解析,兀

【分析】(1)根据坐标系即可得点A坐标，点8坐标：

(2)根据平移的性质可得点P平移后的对应点P/坐标，然后根据勾股定理即可求出PP/的长；

(3)根据旋转的性质即可将△ABC绕点C逆时针旋转90。得到△A2B2C2,根据扇形面枳公式即可求

出边CB在旋转过程中所扫过的面积.

【详解】(1)点A坐标为(1,4),点8坐标为(3,1)；

故答案为：(1,4),(3,1)；

(2)根据平移可得点夕平移后的对应点P/型标为(a-4,h-5),

・・・尸尸/的长为"，？=历，

故答案为：(〃-4,h-5),741；

(3)如图，△A232c2即为所求;

边C8在旋转过程中所扫过的面积史巳包■二史叱

=7T.

360360

【点睛】本题考查直角坐标系中点的坐标，平移的性质，勾股定理，旋转的性质及求扇形面积.利用

数形结合的思想是解题关键.

21.(1)见解析

⑵16>/3—8n

3

【分析】本题重点考杳等腰三角形的性质、切线的判定与性质、勾股定理、扇形的面积公式等知识,

正确地作出辅助线是解题的关健.

(1)连接OD、A。，由A8是0。的直径，AC与。。相切于点A,得NAOB=NAOC=NB4C=90。，

推导出NEZM=NE4Q,ZODA=ZOAD,进而推导出NO力NBA。=90。，即可证明直线DE与0O

相切；

(2)先证明CE=AE=DE=^AC,再根据00的半径是4,4=30。，求得。。=OA=。/《=；人8=4,

A8=8,NAO。=2/8=60。，则△AOQ是等边三角形，所以AO=OZ)=4,NB4O=60°,求得

30=4石，ZC4D=3O°,则4C=2CO,由4。=6。。=4,求得当，进而求得S八即=86，

S.ACD=~T~，则SVAOD=45SVAFD=—J，而S国形AOD=,乃，则S阴影=5v八OD+5VAED-SH]KA0D=

166-8〃

【详解】(1)证明：连接ODA。，则OO=OA,

〈AB是。。的直径，AC与。。相切于点4,

AZADB=90°,ACLAB,

；・ZADC=N8AC=90。，

/.ZEZM+ZEDC=90°,NE4O+ZC=90°,

,/DE=CE,

:.NEDC=NC,

/./EDA=/FAD.

•・•ZODA=ZOAD,

・•・4ODE=ZODA+/EDA=Z.OAD+ZLEAD=ABAC=90°,

•IO力是O。的半径，且DEAOD,

・•・直线OE与0。相切.

(2)解：VZ£DC=ZC,ZEDA=ZEAD,

/.CE=AE=DE=-AC,

2

TO。的半径是4,4=30。，

・•・OD=OA=OB=-AB=4

2t

AB=&ZAOD=2N4=60°,

・•・△AOO是等边三角形，

AAD=OD=^NR4O=60。，

:.BD=ylAB2-AD2=782-42=4V3，^CAD=ZBAC-Z£?XD=30°，

:.AC=2CD,

'：AD=VAC2-CD2=yj(2CD？-CD2=yfiCD=4,

•e4百

••CD=----,

3

■:S")=1x4x4百=86，5.-lx4x^-巫，

2△八(一r〃/>233

56A8=TS^AHD=,S.,®=；SSCD=

J41

..c_607cx4?_8兀

•3册形8A=^F=7，

•q_q_1_q_q_A底、4G8兀16>/3—8兀

333

・•・阴影部分的面积为空巨二细.

22.⑴见解析;

Q）见解析；

⑶PF二亚

8

【分析】（1）要证明。C与GO相切，只要求出NOCP=90c即可，根据已知可得？。90?,所以只

要证明AD//OC即可解答;

（2）要证明PC=P”,只要证明N尸产C=NPB,结合图形可知NPFGNBAC+NACR

ZPCF=ZPCB+ZBCF,根据已知8平分工人8,可得4。/=/水＞\所以只要讦明

NPCB=NBAC即可解答；

（3）根据是00的直径，想到直径所对的圆周角是直角，所以连接4E,根据已知可求出AB的

长，AC=38C,然后再证明△尸C8s△以C,从而得到PC=3所，最后在RtAOCP中，利用勾股定理进

行计算即可解答.

【详解】（1）解：（1）•.•CO_LAO,

ZD=90°,

・•・ZDAC+ZDCA=90°,

二•点。是弧BG的中点,

：•CG=BC

ZDAC=ZBAC,

-OA=OC,

:.ZOCA=ZBAC,

ZOCA=ZDAC,

/.AD//OC,

；・ZD=ZOCP=90°,

•.•oc是圆。的半径，

.•.DC与00相切，

（2）•.•AB是。0的直径,

.-.Z4Cfi=90°,

/.ZPCB4-ZACD=90°,

由（1）得：ZDAC+ZDC4=90°,

/.ZPCB=ZDAC,

QADAC=ABAC,

：.NPCB=NBAC,

•.•C石平分N'ACB,

:.ZACF=/BCF,

•:NPFC=NBAC+NACF,NPCF=NPCB+NBCF,

:"PFC=/PCF,

:.PC=PF；

（3）连接AE,

•.•CE平分NAC4,

AE=BE，

AE=BE，

•••Afi是00的直径，

:.ZAEB=90°,

.•.A4£8为等腰直角三角形，

•:AB=OBE=M，

OB=OC=—

2

VtanE=-

3

tanNCAB=----=—,

AC3

♦：4PCB=/BAC,NP=NP,

：・〉PCBS>PAC,

.DCPB\

**7c-7c-3*

..设=PC=3x,

在RtAOCP中，OC2+PC