广东省深圳市某中学2025-2026学年高一年级上册12月月考数学试题（附答案解析）

广东省深圳市南头中学2025-2026学年高一上学期12月月考数

学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.sin4955=（）

A.—B.1C.--D.—也

2222

2./（x）=bg2.T+x-7的零点所在区间为（）

A.（1,2）B.（2,3）C.（3,4）D.（4,5）

3.对于实数叫b,c,d,下列说法正确的是（）

A.若一<7，则若a>人，贝ijac2>be2

ab

C.若a>b,c>d,则D.若a>b,c>d,则ac>bd

4.如图所示的几何图形，设弧40的长度是4,弧8C的长度是扇环A3C3的面积为

扇形60。的面积为邑.若%=3,则今=（）

5.若不等式（。-2）］2-2（。-2）工-4<0对一切工£1i恒成立，则实数。的取值范围为（）

A.(-00,-2)o(2,+oc?)R.(^X>.-2)LJ[2.+OO)

C.(-2,2)D.(-2,2]

D.2

C.6

7.若函数/（x）=lg（冰+2）在区间［1,2］上单调递减，则实数。的取值范围是（）

A.(—cc.O)B.(—2,0)C.(-1,0)D.(-2,-1)

8.已知函数/")=[)?可；”>，八，则方程/(/1)-2)=2实数根的个数为()

x'+2x+2,x<0

A.6B.7C.10D.II

二、多选题

9.下列说法中，正确的是（）

A.命题“Wx,）*1<%2+）,220”的否定是“3匕jGR,_?+）,2<0，，

B./（x）=JY-1与g（x）=，¥+lWx-I是同一个函数

C.函数/（X）满足/（2x-3）=4x—7,若〃加-3,则实数〃=-1

］、/-m3

（在区间（-8,2］单调递增

Z\

10.已知函数/（6=Sin2x+g+1,则下列结论正确的有（）

A.函数/（"的图象关于点件0）对称

5

B.函数的图象关于直线x=-号7r对称

14

C.函数/（X）的表达式可改写为〃x）=cos（2r+午）+1

D.若/（刈寸仁尸；，其中芭<与，则W—西的最小值为?

11.已知3"=5"=15,则下列结论正确的是（）

A.lga>\gbB.a+b=abC.〃+4b>9

三、填空题

2

12.计算"+21g2+lg25=——♦

13.已知函数/（x）=cos（2x+0的图象经过点（奈1｝请写出一个符合要求的。的值，则

0=

试卷第2页，共4页

14.设。为实数，若实数•%是关于x的方程e'+(1—a)x=lM+hY的解，则——=

四、解答题

15.已知全集为R,集合A={x|/-3X-lOv。},集合B={Mf-(4+2)x+2a>0MeR}.

(1)若。=一1,求Ar)3,AU3：

⑵若。<2,且求实数〃的取值范围.

16.(1)若cos(a—0=9,cos2a=噜，并且弓}/40,兀)，且求。+夕

的值；

(2)已知.»且cos辑+三=-与,求sina.

17.某化工厂在进行生产的过程中由于机器故障导致某种试剂含量超标，已知该试剂超标后

会产生一种有毒气体，在疏散工人，处理好超标试剂后，工厂启动应急系统进行处理，已知

工厂内部有毒气体的浓度y(ppm)与应急系统处理时间/(小时)之间存在函数关系

(其中且应急系统处理2小时后，有毒气体的浓度为I62ppm,继续

处理，再过6小时后，有毒气体的浓度为48ppm.

⑴求a,4的值；

(2)当有毒气体的浓度降低到翳ppm以下(含翳ppm)时，工厂能够正常运行，假设从

启动应急系统开始经过，小时后，工厂能够恢复正常生产，求，的最小值.

£」

18.(1)已知x+V=6,求立匚的值；

X2+X-2

(2)已知lana=3,求sin?a-2sinacosa-cos2a的值；

(3)对于正整数和非零实数乐有优=爪=c;=70,，；=

xyz

求a,Ac的值.

19.设。为实数，/(x)=log2(4'+6/)-.r.

⑴研究/(x)的奇偶性;

(2)是否存在实数“，使得/(x)存在最小值，且其最小值小于-3?若存在，求"的取值范用;

若不存在，说明理由.

试卷第4页，共4页

《广东省深圳市南头中学2025-2026学年高一上学期12月月考数学试题》参考答案

题号1234567891()

答案ADCDDCCDACBC

题号11

答案ABD

1.A

【分析】利用诱导公式化简运算即可.

【详解】sin495:=sin(360°+135°)=sin135°=sin(l80°-45°)=sin45。=与.

故选：A.

2.D

【分析】分别计算各区间端点处的函数值，根据零点存在定理即可判断出答案.

【详解】/(力=10当犬+1-7在定义域(0,内)上是单调增函数，

/(I)=log21-6=-6<0,/(2)=log22-5=-4<0，故函数/(x)在(1,2)不存在零点；

/(3)=Iog23-4<0,/(2)<0,故函数f(x)在(2,3)不存在零点；

/(3)<0./(4)=log,4-3=-1<0,故函数f(x)在(3,4)不存在零点；

/(5)=log,5-2>log24-2=0,/(4)<0,故函数f(x)在(4,5)存在零点；

故选：D.

3.C

【分析】可举例判断ABD,由不等式的性质判断C即可.

【详解】若〃二一1,。=1满足_L<:，但是av。，故A错误：

ab

若c=(),则ac2=be2，故B错误；

因为c>d,所以一4>一。，又a>b,所以。一力一c,故C正确；

若〃=1,b=-2,c=-\,〃=-4满足c>ch但是ac<bd,故D错误.

故选：C.

4.D

【分析】根据题意，由夕=3可得|。4|=3|阿|,再由扇形的面积公式即可得到结果.

<2

【详解】设N8OC=a,由j=3,得晶9=谒=3,即|。4|=3|。用，

答案第1页，共10页

所以丸=担匹也KzM9函一网2

I#|O嫌1即|。砰

故选：D

5.D

【分析】根据给定条件，利用一元二次不等式恒成立问题求解.

【详解】当。=2时，Y<0恒成立，则。=2；

当"2时，1=43-2)"6(叱2)<。'解得一2<"2,

所以实数。的取值范围为1-2,2］.

故选：D

6.C

I+tan15°tan450+tan15°人廿与“八八℃-»•1、&力

【分析】由------7=；----―—--结合两角和的正切公式即可求解.

I-tan15°l-tan45°tan15°

1+Um150_tan450+tan15°

【详解】

I-tan15°l-tan45°tan150

=tan(45°+15°)=tan60°=百.

故选：C.

7.C

【分析】本题考查复合函数的单调性问题，注意对数函数定义域.

【详解】令f=or+2,则y=lg，，

因为函数/(力=皿依+2)在区间［1,2］上单调递减，且)，=口在定义域内递增，

4<0

所以cc八，解得一1<。<。

2。+2>()

故答案为：C

8.D

【分析】先通过换元将方程等价转化为四个方程/(x)=e2+2,/(x)=e-2+2,/(x)=2,

/3)=()的根，再结合函数的图象分别求解这四个方程可得.

【详解】令，=/(幻一2,则/⑺=2.当f>0时，则|ln4=2,得ye?或re之

当Y0时，则r+21+2=2,得，=0或/=一2.

答案第2页，共10页

再由，=/。)-2,即/(x)=，+2,所以原方程八/。)-2)=2等价于下面四个方程的根:

f(x)=e2+2——©,/U)=e-2+2——/(x)=2——(3),/(x)=()——

再由=C，可知函数在(0,1)上单调递减，在上单调递增，

X~4-2X4-2,X<0

在(-8,-1)上单调递减，在1-1,。1上单调递增，图象如下：

对方程①f(x)=e2+2,因为/(X)=e2+2>2,

所以x>0时，|山X二金+2,得lnx=e2+2或一lnx=e?+2,解得x=eZ或户©-〜；

当xv。时，x2+2x+2=e2+2,得工=-1-后+1或1=-1+正+1(舍去).

所以方程/0)=e2+2共有3个根.

对方程/(©=e"+2—②，因为/(x)=e，2>2.

所以x>0时，|lnH=e-2+2,得ln%=e-2+2或—lnx=e-2+2,解得％=3“+2或工=。-产-2；

222-2

当x<0时，x+2x+2=e-+2»^X=-1-Ve~+1s£x=-l+Ve+l(舍去).

所以方程/(x)=e=+2共有3个根.

对于方程/。)=2—③，

所以x>0时，|ln,v|=2,得ln%=2或一lnx=2,解得》=1或彳=屋；

当人<0时,xy+2x+2=2»得人=0或人=-2.

所以方程/。)=2共有4个根.

对于fM=0—④,由函数的图象可知方程有唯一的根x=1.

综上所述，方程的根共有3+3+4+1=11个根.

故选：D.

9.AC

【分析】根据全称量词命题的否定直接判断A；根据相同函数的概念即可判断B：利用换元

答案第3页，共10页

法求函数解析式即可判断C；根据复合函数的单调性即可判断D.

【详解】A：命题“Wx,”R,f+）,2之0”的否定为Fx,"R,x2+y2<0，，,故A正确：

B：由炉-1之0,解得X4T或xNl,所以/（4）的定义域为（一叫一1]=[1,+8）；

[x+l>0

由I、八，解得XN1，所以g（x）的定义域为口，—）,

x-1>0

则/（”）与8。）的定义域不问，所以/*）与双人）不是同一函数，故B错误；

C：令。=2犬-3,则x=J（a）=2（a+3）-7=2a-l=-3,

解得。=_1,故C正确；

D：易知函数y=《）'在R上单调递减；

对于函数y=/-x+3=（K-g）2+11,对称轴为汇=^,

则该函数在（-*g）上单调递减，在g,2]上单调递增，

所以函数y=在（_应当上单调递增，在2]上单调递减，故D错误.

故选：AC

10.BC

【分析】利用检验法将“工=一称代入，即可验证A错误和B正确，由诱导公式结合

余弦函数的周期性得sin（2x+T=cos（2r+詈）所以C正确，根据/（力=g求出对应的x

的通解，找相邻解的最小差值，即可判断D正确.

【详解】A选项，将V代入可得/目=sin住+力+1=1,所以函数/⑴的图象关于

点对称，故A选项错误；

IJ/

B选项，由于sin（-萼+1）=疝（一曰]=-1,故函数/（力的图象关于x=—誓对称，B选项

正确；

C选项，利用诱导公式得Sin2x+W=COSy-

3）/I3

再结合余弦周期性得可女-3卜03,一己+2兀）=可2¥+等

因此f（x）=cos（2x+野）+1,所以选项C正确；

答案第4页，共10页

C兀一)，解得2x+g=2jbr—三或2%;r+?(%eZ),

D选项，由/(x)=g得,sin2x+—=

I3j2366

即x=4乃一;或E+eZ),则|xj-芭|=<勺兀一:一匕兀+1|二[(K-&)兀一与，(％wZ),

(Wf)min=],D错误.

故答案为：BC.

II.ABD

【分析】利用指数函数的单调性推导出。>2>b>1,结合对数函数的单调性可判断A选项；

利用换底公式可判断B选项;利用指数函数的单调性可判断C选项;将代数式〃+4匕与[

相乘，展开后利用基本不等式可判断D选项.

【详解】对于A选项，因为3“=5嗔15,因为3"=15>32,则。〉2,

5<15=5^<?5=52.PIiJl<Z?<2,所以，a>2>b>\,故lg"lg力，A对：

对于B选项,因为3"=5b=15,贝!]々=噫15,6=1吗15,

所以，-=Iog153,-=log155,Ijlij-4-i=log153+log,S5=log1515=1,

abab

所以，岁=1,可得a+Z?=c力，B对；

ab

/1Y1

对于C选项，因为则<>C错;

2.)

对于D选项，因为■!■+:=],所以，+4b=(a+4b)=5+丝+@

a—+-

ababab

>5+,f=9.

当且仅衅琮时,即当"力时,等号成立,

事实上1=21%15=鲁=卷=意工署=咐5-

所以，等号不成立，故a—例>9,Dlj.

故选：ABD.

12.6

【分析】根据指数幕运算公式和对数运算性质计算即可.

22融工

【详解】85+21g24-lg25=(23)3+21g2+21g5=2Xi+2(lg2+lg5)=22+2=6

答案第5页，共10页

故答案为：6.

13.(答案不唯一)

【分析】将点寻/弋入/'(x)=cos(2x+e),利用余弦函数的图象和性质，求值即可.

【详解】由题意：856+q=1=+0=2也，keZ.

所以0=2履一々，k^Z.

所以。的值可以为：-g,y,...

故答案为：(答案不唯一)

14.1

【分析】由e'+(l-。)x=ln〃+lnx,得e*+4=111以+8皿.构造函数/(工)=炉+x,由/(x)的

单调性，可得or=e'.因为实数%是关于％的方程e'+(lT，)x=lna+hM的解，所以”=”，

由此可得£)=1.

【详解】由e'+(l-。)x=Ina+lnx,得e"+x=lnai+ar,即e，+x=lnai+Sn<a.

令〃x)=e，+x,则/a)=〃lnat)

易得〃力是增函数,所以x=】n奴,即⑪=e\

实数/是关于x的方程er+(1-a)x=ln〃+Inx的解，则/是方程e'+x=Inar+c,nttr的解，即

方程=的解.

所以5=”，所以£l=l.

%

故答案为：1

15.(l)An4={x|-2<x<-1或2Vx<5},A(j3=R；

(2)-2<a<2.

【分析】(1)把。=-1代入，分别解一元二次不等式化简集合4B,再利用交集、并集的定

义求解.

(2)求出集合8,QA,再利用集合包含关系列式求解.

答案第6页，共10页

【详解】(1)解不等式Y-3X-10<。，得一2cx<5,则A="|-2<xv5},

当。二-1时，«={X|X2-.V-2>0}={A|(X+I)(X-2)>0}={X|X<-1^X>2},

所以408={划-2<X<一1或2vxv5},A[JB=R.

(2)由(1)知\A={x|%«-2或％35),

由a<2,得8={x|(x-a)(x-2)>0}={x|x<a或x>2},

由4A=3,得—2V4<2.

所以实数。的取值范围是

++3叵

16.(1)—；(2)

4~6~

【分析】(1)根据同角三角函数之间的基本关系计算可得sin(a-/7)=-乎，疝]2。=噜

再由两角差的余弦公式计算可得结果.

(2)先由cosa+g的值，求出sina+g的值，根据sina二sin；|十1・],展开求解.

\J，

【详解】(1)由aw0,；|,夕日0,兀)，且avp,得一瓮<a-〃<0,

又cos(a-0)=旦,所以sin(a=-cos?,

55

因为8$2。=@^>0,贝！0v2avg,0<a<£,所以sin2a=J1-cos?2a=工叵,

102410

所以8s(a+£)=cos[2a-(a-#)]=cos2acos(a-/7)+sin2asin(a-y?)

M4s3x/io2石72

=--------X----------------------X---------=-----------，

1051052

而。<a<£,则0<a+〃<¥，所以。+/=学；

444

(2)由ae*),则,〈宗，又8s.=.与,则sin(a+1)=日,

6\△&3&

=------X--------------------X---------=--------------------

32X3/26

17.(1)0=243,4=；

(2)20

答案第7页，共10页

【分析】（1）将两组条件分别代入解析式，得到方程组，求解即得；

（2）依题，使（1）中求出的解析式小于黑，解不等式即得.

243

。（*162①

【详解】（1）依题意可得，；，由崇可得：《产=白，即64=3,故2=：,

a.（2产=48②①3272

_262_94^]

代入①，"~故。=243,%=上.

32

（2）令243（|「黑，即得（|卜（|「因y=g）x是减函数,

则;N10,解得年20,故1的最小值为20.

18.（1）—：（2）-；（3）a=2、b=5,c=7

175

【分析】（I）根据条件，利用指数幕的运算，即可求解；

（2）根据条件，已知lan2=3,构造齐次式，同除cos?a,即可求解；

（3）根据条件，利用指空数互换和换底公式得'=也起，燮，_[=12鼠£,再结

xtyizt

合条件得〃力=70,即可求解.

I]

【详解】（1）易知）+/>0，且r+x2=x+2+k=8,所以）+%T=2近,

\/

又由x+%"=6，得卜+尸『+2+厂2=36,

所以丁+-=34,则上士=侦=交.

x2+x-23417

sin2«-2sincfcos<7-cos2«

（2）原式=

sin2a+cos2a

tan2«-2tana-1_9-2x3-l_J

tan2a+\9+-15

（3）由=c」=7。,得到x=〃og"70,y=rlog&70,z=/log（.70,

所以1二1二1二1二喻/1二1二log70c

所以x；log（j70t'y/log,70/'z/log<70/

所以111tl_1吗。0+"gio"+log?。c一log?。（。加）,又1=_L+J_+J.,

xyztt*txyz"

所以log?。（必c）=1,得到=70,

答案第8页，共10页

而70,则均为正整数且均