二次根式的加法与减法（知识+9个题型讲练+中考题演练+难度分层练）解析版-2024人教版八年级数学下册

专题19.3二次根式的加法与减法

（知识荟萃+9个题型讲练+中考真题演练+难度分层练共52题）

【解析版】

'目录导航

知识荟萃................................................................................2

知识点梳理01：同类二次根式..........................................................2

知识点梳理02：二次根式的加减........................................................2

知识点梳理03；二次根式的混合运算....................................................2

题型讲练.................................................................................3

题型1：同类二次根式.................................................................3

题型2：二次根式的加减运算...........................................................4

题型3：二次根式的混合运算...........................................................5

题型4：分母有理化...................................................................7

题型5：已知字母的值，化简求值.......................................................9

题型6：已知条件式，化简求值........................................................11

题型7：比较二次根式的大小..........................................................13

题型8：二次根式的应用..............................................................15

题型9：复合二次根式的化简..........................................................16

中考真题..............................................................................18

分层训练...............................................................................23

基础夯实............................................................................23

培优拔高............................................................................28

♦知识莒萃

知识点梳理01：同类二次根式

I.同类二次根式概念：化简后被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。

2.合并同类二次根式的方法：把根号外的因数（式）相加，根指数和被开方数不变，合并

的依据式乘法分配律，如m石+明石=（a+〃）石3之0）

知识点梳理02：二次根式的加减

I.二次根式加减法则：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根

式进行合并。

2.二次根式加减运算的步骤：

①化：将各个二次根式化成最简二次根式；

②找：找出化简后被开方数相同的二次根式；

③合：合并被开方数相同的二次根式一一将“系数”相加作为和的系数，根指数与被

开方数保持不变。

知识点梳理03：二次根式的混合运算

二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除,最后加流.

有括号的先算括号里面的（或先去掉括号）

♦题型拼练

题型1:同类二次根式

【典例精讲】（23-24八年级下•河南洛阳•月考）若迎与最简二次根式师手可以合并，

则m的值为（）

m=4m=3m=Sm=6

A.B.C.I）.

【答案】A

【思路点拨】本题考查同类二次根式，熟练掌握同类二根式的定义是解题的关键，根据同类

二次根式的定义解题即可.

【规范解答】解：•・・C与Cm-6可以合并，

*2=2m—6

••，

解得「二4

故选：A.

【变式训练1］（24-25八年级下-陕西商洛・期末）已知最简二次根式’3、-4与禽是同类

二次根式，则x的值是

【答案】3

【思路点拨】本题考查了同类二次根式的定义，即化成最简二次根式后，被开方数相同的二

次根式叫做同类二次根式，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键.根据同类二次根式

3%4***5

的定义可得一，解方程即可求出X的值.

【规范解答】解：：最简二次根式V4与Vy/s是同类二次根式，

3%—4=5

•*•9

解得"3,

故答案为：3.

【变式训练2】（24-25八年级下-安徽马鞍山-期末）下列二次根式与°是同类二次根式

的是（）

A,岳D依c,反D,陋

D.

【答案】B

【思路点拨】本题考查了同类二次根式，根据同类二次根式的定义，化成最简二次根式后,

被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式，即可解答.

【规范解答】解：A、v9v24=2

‘旧与&不是同类二次根式，故A不符合题意;

V18=3V2

B、

二E与血是同类二次根苴，故B符合题意;

V12=2V3

C、

‘旧与疙不是同类二次根式，故C不符合题意;

【）、

与不是同类二次根式，故D不符合题意;

故选：B.

题型2：二次根式的加减运算

【典例精讲】（23-24八年级下•河南新乡•期中）若°+"12=仞，则表示实数&的点会

落在数轴的（）

①②

03

A.段①上B.段②上C.段③上

【答案】B

【思路点拨】此题主要考查了二次根式的化简，减法运算及估算，先化简二次根式，计算出

的值，再估算出“范围，再结合数轴即可得出结果.

【规范解答】解：,.,0+6=何，即"旧一g

a=\^27—VT2=3V3-2v13=v13

VvT<v3<\4

A1<V5<21<a<2

,即9

故实数°的点会落在数轴的段②上,

故选：B.

【变式训练1】（2023•浙江杭州•中考真题）计算：vv.

-V2

【答案】

【思路点拨】本题主要考查二次根式的化简与减法运算，掌握二次根式的性质是解题的关

键.根据二次根式的性质化简，再进行二次根式的减法运算即可求解.

&-«8=&-2\[2=—

【规范解答】解:

故答案为:

【变式训练2]（24-25八年级下-黑龙江牡丹江-期末）下列计算中，正确的是（）

（2>/3）"=2x3=64々一3V3=1

A.B.

=+2代x3企=645

V•I）9

【答案】I）

【思路点拨】本题考查二次根式的运算性质，根据二次根式乘方、加减、乘法和平方根的性

质求解即可.

【规范解答】解：选项A：（2H）2=22X（&）2=4X3=12#6,本选项计算错误.

选项B：4v3-3b=（4-3）仃=0工1,本选项计算错误.

诜项C：丽=5=5,而g+"?=3+4=7,5*7本诜项计算错误.

选项D：2代x3&=2x3x质7=6依，与右边相等，本选项计算正确.

故选：D.

题型3：二次根式的混合运算

2

(2\/3+\/6)(2\/3—V6)—(x^2—1)

【典例精讲】（24-25八年级下•广东湛江•期中）计算:

【答案】3+2、*

【思路点拨】本题考查了二次根式的混合运算，利用平方差公式和完全平方公式化简后再进

行加减运算即可.

(2v3+V%)(2V3-x/6)-(v2-1)

【规范解答】解:

=(12-6)-(2-272+1)

=6-3+2V2

=3+26

(V24—V6)+展+(V6)°xG)

【变式训练1】(24-25八色级下•云南临沧•期末)计算：V6；.

【答案】7

【思路点拨】本题考查了二次根式的混合运算，以及负整数指数基和零指数累，解题的关键

是正确化简二次根式.

先化简二次根式和计算零指数累、负整数指数幕，再进行括号内二次根式的减法运算，然后

进行乘除运算，最后进行加减运算.

【规范解答】解：

=(2V6-佝+n+1x6

=而+V6+1x6

=1+6

=7

【变式训练2】(24-25八年级下-云南红河・期末)计算：

>/27+(V5-V2)(VS+V2)-V12x卜后+a

2V3+1

【答案】

【思路点拨】本题主要考查二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键;

因此此题可根据二次根式的混合运算法则进行求解.

=3v13+(v5)—(v2)-J12x-v6-r2

【规范解答】解：原式

=3V3+5-2-2-6

=20+1

题型4：分母有理化

2

G—1qa—2a+l

【典例精讲】(24-25八年级下•甘肃平凉•期中)先化简，再求值：k2a-4,其中

a=V2+1

2

【答案】化简结果：石，原式二夜

【思路点拨】本题考查了分式的除法运算和二次根式的化简，熟知运算法则是解题的关键.先

将分式的除法运算转化为乘法运算并约分，再将a的值代入计算即可.

a—1.a*—2o+l

【规范解答】解：k21

a-l^(a-l)2

a—22(a—2)

a-12(a-2)

a—2*(a—i)2

2

a-1

当a=O+l时，原式=磊=套=°

21

【变式训练1](25-26八年级下-四川成都・月考)比段大小：得12(填“>”、

或

【答案】

【思路点拨】本题考查了无理数的大小比较，分母有理化，通过有理化分母，将化简

修i1

为再比较与5的大小.

2

^5+1-(>/5+1)(\/5-1)

【规范解答】解:

2(百一1)

5-1

2(yz5-l)

4

2

由于石>2,故V5-1>1

、，一>1

因此22

故答案为：

（网2-1）+亡!

【变式训练2】（24-25八年级下-广东惠州-期中）先化简，再求值：'巾7m

廿.m=V3+2

其中

1口T

【答案】占，

【思路点拨】本题考查了分式的化简求值，分母有理化.

原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到

最简结果，把勿的值代入计算即可求出值.

【规范解答】解：\m

2m+1—m(m+l)(m-1)

--------------+-------------------

mm

m+1m

m(m+l)(m—1)

m-1

1卅1

当m=&+2时，原式:再+2-1-而一

题型5：巳知字母的值，化简求值

【典例精讲】（24-25八年级下•云南普洱•期末）已知血=2+、用，"=2一、门，求下列

各式的值.

⑴nPn+mn2

1_1

⑵6"

【答案】⑴4

一2V3

⑵

【思路点拨】本题主要考杳了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键.

（1）根据/"+皿2=讥皿+2将八九的值代入计算即可得;

n-m

（2）根据小皿，招研”的值代入计算即可得.

m=2+371=2—

【规范解答】（1）解：•・•，、

m2n+mn2=mn(m+n)

=(2+>73)(2->/3)(2+6+2一6)

=(4-3)X4

=1x4

=4

⑵解：”=2+W「=2-V3

11n—m

>—

.mnmn

2-V3-(2+V5)

(2+V3)(2-V3)

【变式训练1】（24-25八年级下・陕西西安・期中）若"二、攵+1,〉二衣-1,求代数式

a2+b2+7at

的值.

【答案】13

Q+力dba_k21J«l

【思路点拨】本题考查了二次根式的化简求值.先求得和的值，再化简

得至产+次+5°力，然后整体代入求解即可.

【规范解答】解：产=以+1,b=

.a+2?=+1+\',r2—1=2V2ab=(v,r2+l)(\/2-1)=1

2

a?++7帅=(a+b)2+5时=(2v(2)+5xl=8+5=13

Y4.9/—4x+7

【变式训练2】（24-25八年级下•山东烟台•期末）若入一—3十。则代数式的

值为.

【答案】8

【思路点拨】本题考查了完全平方公式变形求值、二次根式的化简求值，熟练掌握完全平方

公式是解题关键.先利用配方法可得y2_4r+7一='（Y—>4-3,再代入计算即可得.

【规范解答】解：♦・"=、％+2,

X2-4%+7=%2-4%+44-3

a—2)2+3

=(V5+2-2)2+3

=(V5)2+3

=5+3

=8

故答案为：8.

题型6：已知条件式，化简求值

【典例精讲】（24-25八年级E•安徽蚌埠-开学考试）己知x,y—3

±2

【答案】

【思路点拨】本题考查的是二次根式的化简求值，能够正确的判断出化简过程中被开方数底

数的符号是解答此题的关逆.先化简，再分x、“v同正或同负两种情况作答.

【规范解答】解：vry’=3,

x、,y同号，

••・原式=小+啮书内+亩内

当时，原式=巾+氏=2巴

当时，原式=一网一网=一2汽

故原式=±2°

Q—[b—]

【变式训练1】（24-25八年级下•山东日照•月考）已知-3M,一遥7,求

(驾+1)

ab(a-b)一

\2abJ的值.

【答案】10-22

【思路点拨】本题考查的是已知条件式，求解分式的值，由条件可得

.,3+V5.4、写+8114-Sv'S

。+b=+—7—=—7—

444,再计算分式的混合运算，最后代入计算即可.

1_3XS3+VS

・0=。=(3入药(3-两三丁

【规范解答】解：•・'

百+2

b==、弓+2

v'5-2(v5-2)(v5+2)

3+v5.4雷+8ll+Sv'S

a+b=—+—=—i~

Y筌+】）

(a+b)(a-b)a2+2ab+b2

ab(a-b)2ab

(a+b)(a-b)2ab

ab(a-b)(a+b)2

2

―a+5*

2x4

―11+5V5

_8(11-5^5)

121-125

=-2(11-5^5)

=10百-22

a--=V7a2+—

【变式训练2]（24-25八年级下•广西•期中）已知°，则°,的值为

【答案】9

【思路点拨】本题考查完全平方公式的应用，二次根式的运算，熟练掌握运算法则是解题的

关键.根据完全平方公式将两边平方，然后求解即可.

a—=v'7

【规范解答】解：•••

.（吁¥=（⑺2

a2+i-2a-i=7a2+i-2=7

°,fl,BP

砂+»9

••，

故答案为：9.

题型7：比较二次根式的大小

【典例精讲】（24-25八年级下•湖北十堰・月考D比较大小：2。.

【答案】＞

【思路点拨】本题考查比较二次根式的大小.先把根号外边的数移到根号里面，再比较被开

方数的大小即可.

v4V2=V322a=、笈32>28

【规范解答】解:

•••<12>您

即4尤＞2、

故答案为：.

•JS-1.3

..a=---，0=—,

【变式训练1】（24-25八年级下•安徽马鞍山•期末）已知24那么a,方

的大小关系是a_b（填“＞”或者

【答案】＜

【思路点拨】本题考查无理数的估算和比较大小，掌握相关知识是解决问题的关键.利用作

差法和平方法进行计算比较即可.

Q_b_v——3_2v—

【规范解答】解：0

(2店p<52

•，

・•・2岳<5

9

•••2次一5<0

字<0

4

a-d<0

故答案为：＜

舟i

【变式训练2】（24-25八年级下•江苏南京•月考）比较大小：2(填>,<,

【答案】＜

【思路点拨】本题考查了实数大小比较，首先比较出k和、’3的平方的大小关系，然后根据:

哪个数的平方大，则哪个数也大，判断出它们的大小关系即可.

【规范解答】解：（八丁'5+1）\'二6一+24=二3+丁vG，/万、？二Q

・・2<、弓<3

.5<v5+3<6

.T<3

等

<

故答案为:

题型8：二次根式的应用

【典例精讲】（23-24八年级下-陕西西安・月考）已知三角形的三边的长分别为⑶011,

回吗旧cm,求三角形的周长.（结果化为最简）

【答案】

【思路点拨】本题考查二次根式的混合运算，直接把三角形的三边长相加，再进行二次根式

混合运算即可.

、砥+/

【规范解答】解:三角形的周长为V27+V75=3v3+4V3+5v'3=12vl(cm)

【变式训练1】（24-25八年级下-陕西西安・期中）如图，已知长方体的体积为50a,长

（1）求这个长方体的高;

（2）求这个长方体的表面积.

5」

【答案】（1）丁

40+304

、乙）

【思路点拨】本题主要考查了长方体的体积以及表面积公式，二次根式混合运算的应用.

（】）根据长方体的体积公式，即可求出高；

（2）根据长方体的表面积公式求解即可.

=50a+2旧+依

【规范解答】（1）解：这个长方体的高

50v2_506_SV2

ZvTOxv'TO_20-T

2(2gx依+2依x华+ViSx学)=40+3075

(2)解：表面积为'227

ABCD

【变式训练2】(24-25八年级下•山东济宁•期末)如图，在长方形中，无重叠放入

面积分别为18和8的两张正方形纸片，则剩余部分的面积为.

【答案】4

188

【思路点拨】本题主要考查二次根式的运算及应用，由两张正方形纸片面积分别为和，

则两张正方形纸片边长分别为3迎和2a,然后利用面积公式即可求解，熟练掌握二次根式

的运算是解题的关键.

188

【规范解答】解：•・•两张正方形纸片面积分别为和，

・•・两张正方形纸片边长分别为m=3”和唬=2、2,

.•・剩余部分的面积=刖一2心2氏⑶2&=4,

4

故答案为：.

题型9：复合二次根式的化简

2J4+2\尽-v21-12V3

【典例精讲】(23-24八年级下-浙江宁波•期末)化简的结果

为.

【答案】5

【思路点拨】此题主要考查了二次根式的化简求值，正确应用完全平方公式是解题关键.

直接利用完全平方公式将根号内部分变形开平方得出答案.

21‘4+2-3-J21-12V3

【规范解答】解：

=2j(V3+l)2-J(2^-3)2

=2（百+1）-（26-3）

故答案为：5.

\/S-2y/6—V5+2>/6

【变式训练1)(24-25八年级下-上海宝山・期末)计算：

-7v/2

【答案】

【思路点拨】本题考查了二次根式的运算、完全平方公式，熟练掌握以上知识点是解题的关

键.

根据完全平方公式把式子化简，再进行计算.

V5-2v6—、/5+2巡

【规范解答】解：

=V2-2V6+3-V2+2V6+3

=J(5-2石+(73)2_+2几+(向2

=J(V2-^)2-J(V2+V3)2

=\G—v2-(、片+V2)

=~2\[2

,6-2Vz=

V3-1八>/3+1

【思路点拨】本题考查更合二次根式的化简，完全平方公式，令£二伞=1"20),得出

46—2V5=J(V5-1)2

“+】，代入原式得""S+t=5,解得"2,得出〈I),进而可

得出答案

【规范解答】解：令

,a=t2+1

.v'a+4=Vt2+5

.VPVS+t=5

t2+5=25-lOt+t2

移项，两边平方得

t=2

解得：，

2

*a=2+1=5

2

j6-2v'a=v6-2、弓=J(VS)?-2/+12=J(V5-1)=V5—1

故选：c.

♦中育真霆

1.（2024•河南郑州・中考真题）下列计算正确的是（）

\|x/3-2|=V3-2na+73=禽

V64-V3=V3V2xV5=710

•IJ•

【答案】D

【思路点拨】本题主要考查了二次根式的运算，正确掌握相关运算法则是解题的关键.逐一

计算判断即可.

［规范解答］A、N"2|=一（6一2）=一6+2,计算错误，不符合题意;

B、企+百*6，计算错误，不符合题意;

V5+V3=、用x3=£=<2

C、弥I?,计算错误，不符合感意;

V2xv'5=V2x5=vTO@T7RTA出入斯*

D、，计算正确，符合题尽.

故选：D.

2.（2024・贵州贵阳・中考真题）下列运算正确的是（）

应+V5=M3v2-\[2=3

A.B.

2V3x3V3=6V36应+3日=2

1/・U•

【答案】I）

【思路点拨】本题考查了二次根式的运算法则，掌握二次根式加减乘除的运算法则是本题的

关键.

利用二次根式的运算法则逐项判断即可.

【规范解答】解：A.。与“不是同类二次根式，不能合并，故该选项错误，不符合题意；

3v2一&=2V2

B.八'八"，故该选项错误，不符合题意；

c.VV,故该选项错误，不符合题意；

D.6贝+3、，2=2,故该选项正确，符合题意.

故选1）.

ABCDAECFBD

3.（2024•四川南充•中考真题）如图，菱形与菱形中，E,F在上，

4刖=々"=3。。,下列结论：①昨〜②BE=g③历丁"④

【思路点拨】此题主要考查了菱形的性质，二次根式的混合运算以及勾股定理等知识.

30°45°ABAE

利用菱形的对角线平分对角，结合，，利用勾股定理，表示出，的长，进而即

可解决问题.

EMLABACBD

【规范解答】解：过点£作于点M连接交于点〃，如图所示：

,ABCD,AECF^,BDNABD=^EAF=30°

•.•四边形与四边形都是菱形，点EF杵

.^ABC=2^ABD=6Q°^CAE=^^EAF=15°

△ABC.△4DC

和都是等边三角形,

ABCD2a

设菱形的边长为，

AB=BC=CD=AC=2。=C°==aBO=DO

22=v3a

1,•BO=DO=>/(2a)—a

.BD=2y/3a

.BD=6CD”

■•»故①正确:

RtA/4ME^MAE=^BAC-^CAE=45°AM=EM

则nil在中(，，见M

那么4E2=.2+EM2

AM=EM=^AE

,RtABAfE_ZABD=30€BE=2EM

在中，，则

,BE=>J2AE^故②止确；

222

加,BE=EM+BMBM=\，4EMBM=CX与AE=^AE

那么，则ni，22

AB=AM+BM=^^-AE=^^-AF

22

故③正确;

,,^ABF=^EAF=3Q°^MAE=45°

,BE=2xBM=\'BF2-EM2=底

••，

•♦AM+BM=AB=2a

*，

.x+\[3x=2a

x=爵=（百一1）。

解得9

..OE=BO-BE=V3a-2x

•，

,EF=2OE=2\3a-4z=2\Ga-4(v3-l)a=(4-2v13)a

・♦

.AB-EF=2a・(4-2V3)a=(8-4V3)a2

AE2=(v12x)­=2|(v13—l)a|~=(8-4v3)a2

AB-EF^AE2

,故④正确,

综上，正确的有①②③@,共4个,

故答案为：4.

ABCD

4,（2024•全国•中考真题）如图，四边形中,

^BAD=120°,=^7)=90°MF=1,4D=2八BC、CD,上△4MN

，在上分/<别cJii找+u一点J/、A；使

【答案】2x7

【思路点拨】本题考查的是轴对称-最短路线问题，涉及到平面内最短路线问题求法以及三

角形的外角的性质和垂直平分线的性质等知识，根据已知得出机N的位置是解题关键.

根据要使的周长最小，即利用点的对称，让三角形的三边在同•直线上，作出力关

BCEDAfT

于和的对称点’‘即可得HI最短路线，再利用勾股定理，求出即可.

f

【规范解答】解：作力关于BC和CD的对称点A火4*，连接44，交BC于M，交CD于N，则

即为的周长最小值，作交的延长线于，

.."48=120。

*^HAA'=60°

••，

,HA.,AHLHA

仕H4,•t,

^AAH=3Q°

・••AH=^AA=1

.AH=V22—I2=、44°，=AH4-AA*=1+4=5

AA,=+A"H2=+52=2V7

在中,

△4MA.^=AM+AN+MN=lM+/4"N+MN=4"=2W

周长的最小值

故答案为:

J(-2)2+\[2xV8+0-(1->/3)+V18

5.（2024•云南丽江-中考真题）计算:

【答案】7+3丧

【思路点拨】此题考查了二次根式的混合运算，实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的

关键.原式利用零指数爆、负整数指数耗法则、绝对值的性质、二次根式的乘法与化简计算

即可得到结果.

」(-2)2+立x、/8+-(1-v3)+v'18

【规范解答】解:

=2+V16+2-1+3V2

=2+4+2-1+372

=7+36

♦HBUIIffi

基础夯实

1.（24-25八年级下•云南红河•期末）按一定规律排列的一组二次根式：°,亚,属,

,则第6个二次根式为（）

AV30V35「何V?8

A.I}B.C.nI）.

【答案】D

【思路点拨】本题考查了与算术平方根相关的规律探索题，找到规律是解题的关键；根据前

面几个数的式子可得规律：第〃个数是J-+1.-1,进而求解.

【规范解答】解：•••第〃个二次根式为75+1）2-1,

.当n=6时46+1）2-1=同

，第6个二次根式为国；

故选：D.

2.（24-25八年级下•云南临沧•期末）按一定规律排列的实数：°,2,展,优，⑸，

第200个数是（）

nV200v,soo

A.10D.C.20

【答案】C

【思路点拨】本题主要考查了与实数有关的规律探索，化简二次根式，观察发现被开方数是

序号的2倍，据此规律求解即可.

y/2

【规范解答】解：第一个数为,

2=、与

第二个数为v,

第三个数为“，

第四个数为优，

以此类推可知,

第九个数为5,

工第20。个数是际加耐=2。

故选：C.

3.（24-25八年级下•云南红河•期末）数学老师给出了以下四个代数式：①V。，②、°,

a4aa>1

③，④，且告知.小兴发现：若重新排列顺序后，4个代数式就变成一列从小到大

顺序变化的代数式，则下列排序正确的是（）

A.①@③④B.④②©①C.①④®®I）.③②@@

【答案】B

【思路点拨】本题考查了二次根式的大小比较，将每个代数式进行平方运算，再比较结果的

大小，进而即可求解.，掌握二次根式的性质是解题的关健.

（而町=a11（«明~=a5（/）2_QS

【规范解答】解：，，''

>1

即(<E)~>(a4)2>(v,a^)2>a

.v'a^>a4>v不>a

••9

・••代数式从小到大顺序为(3)②③①，

B

故选：.

4.(24-25八年级下•广东湛江•期中)计算3a+&-5&=

【答案】

【思路点拨】本题主要考查了二次根式的加减运算，通过合并同类项即可求解.

【规范解答】解：3V2+V2-5V2=(3+1-5)V5=-V2

故答案为：一企.

vT?一6

5.(24-25八年级下-云南红河・期末)化简v的结果是.

【答案】

J12

【思路点拨】此题考查了二次根式的减法运算.先化简，再进行二次根式的减法即可.

vT?-\，g

【规范解答】解：

=v'Txl-V3

=2v3-

=(2-1)73

=V3

故答案为：0

6.(24-25八年级下•云南红河•期中)若最简二次根式跖旧与北是同类二次根式，则

力的值为.

【答案】1

【思路点拨】本题考查了同类二次根式的定义.

根据同类二次根式的定义，被开方数相同，列方程求解即可.

3m—1=2

【规范解答】解：由题意得:

m=1

解得

故答案为：1.

7.(24-25八年级下-四川泸州•期中)v的倒数是.

、一十1

【答案】丁

【思路点拨】本题考查了倒数的定义和分母有理化，要将痴+"中的根号去掉，要用

(\ja+vb)(v'a-VS)=a—b

先写出倒数，再直接分母有理化即可.

1_9]

【规范解答】解："3一1的倒数是赤一丁.

、一十i

故答案为：2.

8.(24-25八年级下•陕西商洛•期末)海伦一秦九貂公式：海伦(约公元50年)，古希腊

几何学家，在数学史上以解决几何测量问题闻名，在他的著作《度量》一书中证明了一个利

用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式.即如果一个三角形的三边长分别为乱

_a+&+<___________________

b,c,记"一2,那么这个三角形的面积$一J。"b)W-c)

△ABCQ=8b=4c=6△ABC

如图，在中，，，•求的面积.

【答案】3x15

【思路点拨】本题考查了“海伦公式”的应用，二次根式，代数式求值，掌握知识点是解题

的关键.

将0=8,b=4,，=6代入公式计算得出p,然后再代入5一心一)("6)9-)计算

即可得出答案.

Q=8b=4c=6

【规范解答】解：:，，

2-

s二ABC=vP(P-a)(p-b)(p-c)

=x/9x(9-8)x(9-4)x(9-6)

=3vl5

9.(24-25八年级下-云南红河-期末)计算：

(一1严5+卜图+_(2024-K)°+(V2+1)(V2-1)

【答案】2+&

【思路点拨】本题考查实数的混合运算，二次根式的混合运算，零指数辕和负整数指数辕，

熟练掌握相关运算法则是解题的关键.先进行乘方，去绝对值，零指数辕和负整数指数曷,

平方差公式的计算，再进行加减运算即可.

<I-AJ-1h.»IST=—1+V2+3—1+(2—1)

【R规+R1范解7答】解：原式

=-1+&+3-1+1

=2+贝

10.(24-25八年级下-云南临沧•期末)根据爱因斯坦的相对论，当地面上的时间经过1

秒时，在太空中的宇宙飞船内的时间经过秒('=3xH)5千米/秒,/是宇宙飞船

24x1O5

在太空中的飞行速度).若一艘宇宙飞船在太空中的飞行速度是‘千米/秒，则地面上

的时间经过了10分钟时，该宇宙飞船内的时间经过了几分钟？

【答案】6分钟

【思路点拨】本题主要考查了二次根式的应用，解题时要熟练掌握并能读懂题意列出关系式

是关键.

先求出当地面上的时间经过1秒时，宇宙飞船内经过的时间，即可求解地面上的时间经过了

10分钟时，该宇宙飞船内经过的时间.

【规范解答】解：依题意，当地面时间经过10分钟即600秒时，5=5"0'

3

5

600x^=360

飞船内经过的时间为秒，即6分钟

答：当地面经过10分钟时，该宇宙飞船内的时间经过了6分钟.

培优拔高

6—x/13xV

11.（23-24八年级下•贵州黔东南•期中）若的整数部分为，小数部分为：则

（2X+VD））的值是（）

,4-713口4+旧

A.15.C.29I）.3

【答案】D

【思路点拨】本题考查了二次根式的运算，正确确定6—'\/T3的整数部分x与小数部分）、的值

是关键.

首先根据E的整数部分，确定6—仃3的整数部分”的值，则>即可确定，然后代入所求代

数式计算即可求解.

【规范解答】*，3<V13<4

.-.2<6->/13<3

二6一E的整数部分”=2

则小数部分是：6—\/13—2=4—v\'13,则>y=4—v13

则（2%+V13）y=（4+VT3）（4-v'l3）=16-13=3

故选：D.

12.（24-25八年级下・四川南充・期末）下列运算中，正确的是（）

2

A.2+百=26DV5-V3=V2_（灼=5

D.C.

V（-6）2=-6

D.

【答案】C

【思路点拨】本题主要考查二次根式的运算与化简，根据二次根式的运算法则和性质分别计

算各选项后再进行判断即可.

【规范解答】解：A、2与小不是同类二次根式不能合并，故此选项不符合题意；

B、次与。不是同类二次根式不能合并，故此选项不符合题意；

（灼*=5

C、计算正确.符合题意;

D、/（-6）2=6,原选项计算错误，故不符合题意，

故选：C.

13.⑵-25八年级下•重庆・期末）已知X+2Y+6=4VFTT+2®则•寸的值为（）

3

A.0B.C.1D.2

【答案】D

【思路点拨】本题主要考查了完全平方公式以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解

题的关键.通过对等式进行变形，凑成完全平方的形式，根据非负数的性质求出'和'的值,

进而计算到.

【规范解答】解：•.・4+2y+6=4WT+2、W,

.x+1-4Vx+l+4+2y-2^2）?+1=0

♦•，

.2）2+（历-1）2=0

••，

.Vx+T-2=0、㉕-1=0

解得“3

13

^y=3ox-=-

44

故选：D.

---~十—=

14.(23-24八年级下-上海・期末)计算：一“门.

【答案】-1

【思路点拨】解题思路是先对分母含二次根式的分式进行分母有理化，将其转化为整式与根

式的和，再结合另一项的化简结果，合并同类二次根式得到最终结果.本题考查二次根式的

分母有理化与加减运算，涉及的知识点是二次根式的化的、平方差公式的应用.解题中用到

的方法是分母有理化法，利用平方差公式消除分母中的根号；以及合并同类二次根式法，简

化计算.解题关键是正确进行分母有理化，注意符号的变化.易错点是分母有理化时符号处

2

理错误，或化简显时计算失误.

-2

1-\2/

【规范解答】解:

1x(1+V2)2xV2

"(1-72)(1+V2)y[2xVi

1+V2p-

=-十&

-1

=-1—v,f24-v'2

=-l

故答案为：

15.(24-25八年级下•甘肃天水•期中)对于任意两个正数/〃，/?,定义