《工程力学（第3版）》-第9章

9.1梁弯曲时横截面上的正应力9.1.1纯弯曲变形一般情况下，梁横截面上既有弯矩又有剪力。对于横截面上的某点而言，则既有正应力又有切应力。但是，梁的强度主要取决于横截面上的正应力，切应力居次要地位。所以本节将讨论梁在纯弯曲（截面上没有剪力）时横截面上的正应力。一矩形截面等直梁如图9−1（a）所示。梁上作用着两个对称的集中力F，该梁的剪力图和弯矩图如图9−1（b）、（c）所示，在梁的CD段内，横截面上只有弯矩没有剪力，且全段内弯矩为一常数，这种弯曲称为纯弯曲。下一页返回9.1梁弯曲时横截面上的正应力将图9−1（a）中梁受纯弯曲的CD段作为研究对象。变形之前在表面画些平行于梁轴线的纵线ab、cd和垂直于梁轴线的横线l—1、2—2（图9−2（a））。然后在梁的纵向对称面内施加一对大小相等、方向相反的力偶M，使梁产生纯弯曲变形（图9−2（b））。这时可观察到下列变形现象：（1）横向线1—1和2—2仍为直线，且仍与梁轴线正交，但两线不再平行，相对倾斜角度θ。（2）纵向线变为弧线，轴线以上的纵向线缩短（如ab），轴线以下的纵向线伸长（如cd）。（3）在纵向线的缩短区，梁的宽度增大；在纵向线的伸长区，梁的宽度减小。情况与轴向拉伸、压缩时的变形相似。上一页下一页返回9.1梁弯曲时横截面上的正应力9.1.2正应力分布规律根据平面假设可得出矩形截面梁在纯弯曲时的正应力分布规律：（1）中性轴上的线应变为零，所以其正应力亦为零。（2）距中性轴距离相等的各点，其线应变相等，根据胡克定律，它们的正应力也相等。（3）横截面上的正应力沿横截面y轴线性分布，即σ=Ky，或K=σ/y，K为待定常数，如图9−3

所示。上一页下一页返回9.1梁弯曲时横截面上的正应力9.1.3弯曲正应力的计算在纯弯曲梁的横截面上任取一微面积dA（图9−4），微面积上的微内力为σdA。由于横截面上的内力只有弯矩M，所以由横截面上的微内力构成的合力必为零，而梁横截面上的微内力对中性轴z的合力矩就是弯矩M，即上一页下一页返回9.1梁弯曲时横截面上的正应力上一页下一页返回9.1梁弯曲时横截面上的正应力上一页下一页返回9.1梁弯曲时横截面上的正应力Iz

和Ｗz

都是与截面有关的几何量。有关型钢的Iz

和Ｗz

可在相关工程手册中查到。式（9−4）和式（9−6）是由纯弯曲梁变形推导出的，但只要梁具有纵向对称面，且载荷作用在对称面内，则当梁的跨度较大时，对梁横截面上既有弯矩又有剪力，也可应用式（9−6）计算最大正应力。当梁横截面上的最大应力大于比例极限时，此式不再适用。9.1.4常用截面的惯性矩的计算为了应用式（9−4），必须解决惯性矩Iz

的计算问题。根据即可导出梁的截面为各种形状时Iz

的计算公式。上一页返回9.2梁弯曲时正应力强度计算为了保证梁在载荷作用下能够正常工作，必须使梁具备足够的强度。也就是说，梁的最大正应力值不得超过梁材料在单向受力状态（轴向拉、压情况）下的许用应力值[σ]，即式（9−11）就是梁弯曲时的正应力强度条件。需要指出的是，式（9−11）只适用于许用拉应力[σl]和许用压应力[σy]相等的材料。如果两者不相等（如铸铁等脆性材料），为保证梁的受拉部分和受压部分都能正常工作，应该按拉伸和压缩分别建立强度条件，即σlmax≤[σl]，σymax≤[σy]（9−12）运用梁弯曲时的正应力强度条件，可对梁进行强度校核、截面设计和确定梁的许用载荷等三类强度问题计算。返回9.3弯曲切应力简介9.3.1矩形截面梁上的切应力设矩形截面梁的横截面宽度为b，高为h，且h＞b（图9−12），横截面上剪力为FQ

。梁横截面上的切应力的分布比较复杂，对于矩形截面梁可以作以下两点假设：（1）横截面上各点的剪应力方向与剪力FQ

方向相同。（2）切应力沿截面宽度均匀分布，距中性轴等距离的各点切应力数值都相等。据此可以推导出矩形截面梁横截面上距中性轴为y处的切应力计算公式为下一页返回9.3弯曲切应力简介式中，FQ

为横截面上的剪力；S*z为距中性轴为y的横线外侧部分的面积A*对中性轴z的静矩；Iz

为横截面对中性轴z的惯性矩；b为矩形截面的宽度。上一页下一页返回9.3弯曲切应力简介9.3.2典型截面梁的最大切应力计算常见典型截面梁如工字形截面梁、圆形截面梁、圆环形截面梁，最大切应力发生在中性轴上，如图9−13所示，其值分别为上一页下一页返回9.3弯曲切应力简介9.3.3弯曲切应力强度条件梁内的最大切应力一般发生在剪力最大的横截面的中性轴上。梁的切应力强度条件为τmax≤[τ]（9−19）式中，[τ]为梁所用材料的许用切应力。在设计梁的截面时，通常可先按正应力强度条件进行计算选型，再按切应力强度校核。上一页返回9.4梁的弯曲变形与刚度9.4.1梁的弯曲变形概述工程上有一些梁，虽然强度足够，但由于弯曲变形过大，也会影响其正常工作。如车床的主轴，若变形过大，将影响齿轮的啮合和轴承的配合，而造成齿轮、轴和轴承严重磨损，降低寿命，产生噪声；主轴外伸端变形过大，还会影响零件的加工精度，甚至造成废品；桥梁的变形过大，当火车通过时，会引起桥梁严重振动。因此，梁的变形必须限制在一定范围内，即梁应满足刚度要求。1.挠曲线方程梁在发生弯曲变形时，若其最大工作应力不超过材料的弹性极限，梁的轴线由原来的直线被弯成一条光滑的曲线AB′，变形后的梁轴线称为挠曲线（图9−15）。下一页返回9.4梁的弯曲变形与刚度当梁发生平面弯曲时，梁的挠曲线可用方程y=f(x)来表示，称为梁的挠曲线方程。2.挠度和转角梁的变形是通过梁的横截面的位移即挠度和转角来度量的。（1）挠度，是指梁轴线上的一点在垂直于轴线方向上的位移，通常用y表示。图9−15中yC

是梁轴线上C点的挠度。一般规定向上的挠度为正，向下的挠度为负，单位是mm。（2）转角，是指梁的各截面相对原来位置转过的角度，用θ表示。图9−15中θC

即截面C的转角。一般规定，逆时针方向的转角为正，顺时针的转角为负，单位是弧度（rad）或度（°）。上一页下一页返回9.4梁的弯曲变形与刚度求变形的基本方法是积分法，由于该法计算较烦琐，本书中不作介绍。表9−1

给出了由积分法算得的梁在简单载荷情况下的挠度和转角的计算公式，以供查用。9.4.2用叠加法求梁的变形从表9−l可以看出，梁的挠度和转角均与梁的载荷呈线性关系。因梁在比例极限内工作，梁的材料服从胡克定律，而且梁的变形微小，在此情况下，当梁上同时受到几个载荷作用时，每一载荷所引起的梁的变形不受其他载荷的影响。于是，就可以用叠加法来计算梁的变形，即先求出各个载荷单独作用下梁的挠度和转角，然后将它们代数相加，得到几个载荷同时作用时梁的挠度与转角。上一页下一页返回9.4梁的弯曲变形与刚度9.4.3梁的刚度条件计算梁的变形，主要目的在于进行刚度计算。所谓梁要满足刚度要求，就是指梁在外力作用下，应保证最大挠度小于许用挠度，最大转角小于许用转角。即梁的刚度条件为式中，[y]为梁的许用挠度，[θ]为梁的许用转角。它们的具体数值可参照有关手册确定。一般来讲，对于弯曲构件，如果能满足强度条件，往往刚度条件也能满足。所以在设计计算中，常常是先进行强度计算，然后对刚度进行校核。上一页返回9.5提高梁的强度和刚度的措施9.5.1合理安排梁的支承及增加约束当梁的尺寸和截面形状已定时，合理安排梁的支承或增加约束，可以缩小梁的跨度、降低梁上的最大弯矩。如图9−18所示受均布载荷的简支梁，若能改为两端外伸梁，则梁上的最大弯矩将大为降低。增加约束，缩短梁的跨度，对提高梁的刚度极为有效。若在图9−18（a）所示简支梁中间加一活动铰支座，则梁的最大挠度只有原来的1/16。下一页返回9.5提高梁的强度和刚度的措施9.5.2选择合理的截面形状从梁的正应力强度条件可知，梁的抗弯截面系数Wz

越大，横截面上的最大正应力就越小，即梁的抗弯能力越大。Wz

一方面与截面的尺寸有关，同时还与截面的形状（材料的分布情况）有关。由于横截面上的正应力和各点到中性轴的距离成正比，靠近中性轴的材料正应力较小，未能充分发挥其潜力，故将靠近中性轴的材料移至界面的边缘，必然使Wz

增大。如在满足Wz

的情况下，选用工字钢和槽钢制成的梁较为合理；建筑中则常采用混凝土空心预制板；既受弯曲又受扭转的轴类零件，则采用空心圆截面比较合理。这样既可减少梁的横截面面积，达到节约材料、减轻自重的目的，又提高了梁的强度和刚度。上一页下一页返回9.5提高梁的强度和刚度的措施9.5.3合理布置载荷当载荷已确定时，合理地布置载荷可以减小梁上的最大弯矩，提高梁的承载能力。例如，图9−19（a）所示的简支梁，集中力F作用在梁的中点l/2处，则Mmax=Fl/4。若按图9−19（b）所示，使梁上的集中力F靠近支座，如距离左支座l/6处，则Mmax=5Fl/36，相比之下，后者的最大弯矩减小很多。机床中许多齿轮轴，常把齿轮安置在紧靠轴承处，就是这个原因。此外，在结构允许的条件下，应尽可能把集中力改为分散的力。如图9−19（c）所示，其最大弯矩值比图9−19（a）有了明显的降低。超出额定载荷的物体要过桥时，采用长平板车将集中载荷分为几个载荷，就能安全过桥。上一页下一页返回9.